第五章微分方程模型5.1傳染病模型5.2經濟增加模型5.3

正規戰與游擊戰5.4藥品在體內分布與排除5.5香煙過濾嘴作用5.6人口預測和控制5.7煙霧擴散與消失5.8萬有引力定律發覺第1頁動態模型描述對象特征隨時間(空間)演變過程.分析對象特征改變規律.預報對象特征未來性態.研究控制對象特征伎倆.依據函數及其改變率之間關系確定函數.微分方程建模依據建模目標和問題分析作出簡化假設.按照內在規律或用類比法建立微分方程.第2頁5.1傳染病模型描述傳染病傳輸過程.分析受感染人數改變規律.預報傳染病高潮到來時刻.預防傳染病蔓延伎倆.不是從醫學角度分析各種傳染病特殊機理,而是按照傳輸過程普通規律建立數學模型.背景與問題傳染病極大危害(艾滋病、SARS、

)基本方法第3頁已感染人數(病人)i(t)每個病人天天有效接觸(足以使人致病)人數為

模型1假設若有效接觸是病人,則不能使病人數增加必須區分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?第4頁模型2區分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設1）總人數N不變，病人和健康人百分比分別為.2）每個病人天天有效接觸人數為

,且使接觸健康人致病.建模

~日接觸率SI模型第5頁模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時刻

(日接觸率)tm

Logistic模型病人能夠治愈！?t=tm,di/dt最大第6頁模型3傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染.增加假設SIS模型3）病人天天治愈百分比為

~日治愈率建模

~日接觸率1/

~感染期

~一個感染期內每個病人有效接觸人數，稱為接觸數.mls/=第7頁模型3i0i0接觸數

=1~閾值感染期內有效接觸使健康者感染人數不超出原有病人數1-1/

i0模型2(SI模型)怎樣看作模型3(SIS模型)特例idi/dt01>10ti>11-1/

i0t

1di/dt<0>1,i0<1-1/

i(t)按S形曲線增加接觸數

(感染期內每個病人有效接觸人數)i(t)單調下降第8頁模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統，稱移出者.SIR模型假設1）總人數N不變，病人、健康人和移出者百分比分別為.2）病人日接觸率

,日治愈率

,

接觸數=/建模需建立兩個方程.第9頁模型4SIR模型無法求出解析解先做數值計算,再在相平面上研究解析解性質(通常r(0)=r0很小)第10頁模型4SIR模型數值解i(t)從初值增加到最大;t,i0.s(t)單調減;t,s0.04.設

=1,

=0.3,i0=0.02,s0=0.98,用MATLAB計算作圖i(t),s(t)及i(s)si相軌線i(s)第11頁模型4消去dtSIR模型相軌線分析相軌線定義域相軌線11si0D在D內作相軌線圖形，進行分析第12頁si101D模型4SIR模型相軌線及其分析傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調減

相軌線方向P1s0imP1:s0>1/

i(t)先升后降至0P2:s0<1/

i(t)單調降至01/

~閾值P3P4P2S0第13頁模型4SIR模型預防傳染病蔓延伎倆

(日接觸率)衛生水平

(日治愈率)

醫療水平傳染病不蔓延條件——s0<1/

預計降低s0提升r0提升閾值1/

降低

(=

/

)

,

群體免疫忽略i0第14頁模型4預防傳染病蔓延伎倆降低日接觸率

提升日治愈率

提升移出百分比r0以最終未感染百分比s

和病人百分比最大值im為度量指標.

1/

s0i0s

i

10.30.30.980.020.03980.34490.60.30.50.980.020.19650.16350.50.51.00.980.020.81220.02000.40.51.250.980.020.91720.020010.30.30.700.020.08400.16850.60.30.50.700.020.30560.05180.50.51.00.700.020.65280.02000.40.51.250.700.020.67550.0200

,

s0(r0

)s

,im

s

,im

第15頁模型4SIR模型被傳染人數預計記被傳染人數百分比x<<s0i0P1

i0

0,s0

1

小,s0

1提升閾值1/

s0-1/

=

降低被傳染人數百分比x第16頁傳染病模型模型1模型2(SI)模型3(SIS)模型4(SIR)區分病人和健康人考慮治愈模型3,4:描述傳輸過程,分析改變規律,預報高潮時刻,預防蔓延伎倆.模型4:數值計算與理論分析相結合.第17頁5.2經濟增加模型增加生產發展經濟增加投資增加勞動力提升技術建立產值與資金、勞動力之間關系.研究資金與勞動力最正確分配，使投資效益最大.調整資金與勞動力增加率，使經濟(生產率)增加.1.道格拉斯(Douglas)生產函數產值Q(t)F為待定函數資金K(t)勞動力L(t)技術f(t)=f0(常數)第18頁模型假設靜態模型每個勞動力產值每個勞動力投資z伴隨y增加而增加，但增加速度遞減yg(y)01.Douglas生產函數解釋含義？Douglas生產函數產值Q,資金K,勞動力L,技術f0第19頁

~資金在產值中份額1-

~勞動力在產值中份額更普通道格拉斯(Douglas)生產函數1.Douglas生產函數~單位資金創造產值~單位勞動力創造產值第20頁w,r,

K/L

求資金與勞動力分配百分比K/L(每個勞動力占有資金)，使效益S最大.資金和勞動力創造效益資金來自貸款，利率r勞動力付工資w2）資金與勞動力最正確分配（靜態模型）第21頁3)經濟(生產率)增加條件(動態模型)要使Q(t)或Z(t)=Q(t)/L(t)增加,K(t),L(t)應滿足條件模型假設投資增加率與產值成正比(用一定百分比擴大再生產)勞動力相對增加率為常數第22頁Bernoulli方程3)經濟增加條件第23頁產值Q(t)增加dQ/dt>03)經濟增加條件

~勞動力相對增加率第24頁每個勞動力產值Z(t)=Q(t)/L(t)增加dZ/dt>03)經濟增加條件勞動力增加率小于初始投資增加率第25頁5.3正規戰與游擊戰戰爭分類：正規戰爭，游擊戰爭，混合戰爭.只考慮雙方兵力多少和戰斗力強弱.兵力因戰斗及非戰斗減員而降低，因支援而增加.戰斗力與射擊次數及命中率相關.建模思緒和方法為用數學模型討論社會領域實際問題提供了可借鑒示例.第一次世界大戰Lanchester提出預測戰役結局模型.第26頁普通模型每方戰斗減員率取決于雙方兵力和戰斗力.每方非戰斗減員率與本方兵力成正比.甲乙雙方支援率為u(t),v(t).f,g

取決于戰爭類型x(t)~甲方兵力，y(t)~乙方兵力模型假設模型第27頁正規戰爭模型甲方戰斗減員率只取決于乙方兵力和戰斗力雙方均以正規部隊作戰忽略非戰斗減員假設沒有支援f(x,y)=

ay,a~乙方每個士兵殺傷率a=rypy,ry~射擊率，

py~命中率第28頁0正規戰爭模型為判斷戰爭結局，不求x(t),y(t)而在相平面上討論x與y關系.平方律模型乙方勝第29頁游擊戰爭模型雙方都用游擊部隊作戰甲方戰斗減員率還伴隨甲方兵力增加而增加忽略非戰斗減員假設沒有支援f(x,y)=

cxy,c~乙方每個士兵殺傷率c=rypyry~射擊率py~命中率py=sry/sxsx~甲方活動面積sry~乙方射擊有效面積第30頁0游擊戰爭模型線性律模型第31頁0混合戰爭模型甲方為游擊部隊，乙方為正規部隊乙方必須10倍于甲方兵力!設x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=1(km2),sry=1(m2)第32頁5.4藥品在體內分布與排除藥品進入機體形成血藥濃度(單位體積血液藥品量).血藥濃度需保持在一定范圍內——給藥方案設計.

藥品在體內吸收、分布和排除過程——藥品動力學.

建立房室模型——藥品動力學基本步驟.房室——機體一部分，藥品在一個房室內均勻分布(血藥濃度為常數)，在房室間按一定規律轉移.本節討論二室模型——中心室(心、肺、腎等)和周圍室(四肢、肌肉等).第33頁模型假設中心室(1)和周圍室(2),容積不變.藥品在房室間轉移速率及向體外排除速率與該室血藥濃度成正比.藥品從體外進入中心室，在二室間相互轉移,從中心室排出體外.模型建立中心室周圍室給藥排除c1(t),x1(t)V1c2(t),x2(t)V2轉移第34頁線性常系數非齊次方程對應齊次方程通解模型建立第35頁幾個常見給藥方式1.快速靜脈注射t=0

瞬時注射劑量D0藥品進入中心室,血藥濃度馬上為D0/V1給藥速率f0(t)和初始條件第36頁2.恒速靜脈滴注t>T,c1(t)和c2(t)按指數規律趨于零0

t

T藥品以速率k0進入中心室第37頁3.口服或肌肉注射相當于藥品(劑量D0)先進入吸收室，吸收后進入中心室.吸收室藥量x0(t)吸收室中心室D0第38頁參數預計各種給藥方式下c1(t),c2(t)取決于參數k12,k21,k13,V1,V2t=0快速靜脈注射D0,在ti(i=1,2,,n)測得c1(ti)由較大用最小二乘法定A,

由較小用最小二乘法定B,

第39頁參數預計進入中心室藥品全部排除第40頁建立房室模型,研究體內血藥濃度改變過程,確定轉移速率、排除速率等參數,為制訂給藥方案提供依據.機理分析確定模型形式，測試分析預計模型參數.藥品在體內分布與排除房室模型：一室模型二室模型多室模型非線性(一室)模型c1較小時近似于線性~一級排除過程如c1較大時近似于常數~零級排除過程第41頁過濾嘴作用與它材料和長度有什么關系?人體吸入毒物量與哪些原因相關，其中什么原因影響大，什么原因影響小?模型分析分析吸煙時毒物進入人體過程，建立吸煙過程數學模型.構想一個“機器人”在經典環境下吸煙，吸煙方式和外部環境在整個過程中不變.問題5.5香煙過濾嘴作用第42頁模型假設定性分析1）l1~煙草長，l2~過濾嘴長，l=l1+l2，毒物量M均勻分布，密度w0=M/l1.2）點燃處毒物隨煙霧進入空氣和沿香煙穿行數量比是a′:a,a′+a=1.3）未點燃煙草和過濾嘴對隨煙霧穿行毒物(單位時間)吸收率分別是b和.4）煙霧沿香煙穿行速度是常數v，香煙燃燒速度是常數u，v>>u.Q~吸一支煙毒物進入人體總量第43頁模型建立0t=0,x=0，點燃香煙q(x,t)~毒物流量w(x,t)~毒物密度1)求q(x,0)=q(x)流量守恒第44頁t時刻，香煙燃至x=ut1)求q(x,0)=q(x)2)求q(l,t)第45頁3)求w(ut,t)考查t內毒物密度增量(單位長度煙霧毒物被吸收部分)第46頁4)計算QQ~吸一支煙毒物進入人體總量第47頁結果分析煙草為何有作用?1）Q與a,M成正比，aM是毒物集中在x=l處吸入量2)~過濾嘴原因，

,l2~負指數作用是毒物集中在x=l1處吸入量3）

(r)~煙草吸收作用b,l1~線性作用第48頁帶過濾嘴不帶過濾嘴結果分析4)與另一支不帶過濾嘴香煙比較，w0,b,a,v,l均相同，吸至x=l1扔掉.提升

-b與加長l2，效果相同.第49頁香煙過濾嘴作用在基本合理簡化假設下，用準確數學工具處理一個看來不易下手實際問題.引入兩個基本函數：流量q(x,t)和密度w(x,t)，利用物理學守恒定律建立微分方程，結構動態模型.對求解結果進行定性和定量分析，得到合乎實際結論.第50頁背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增加概況中國人口增加概況年1908193319531964198219901995人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口改變規律控制人口過快增加5.6人口預測和控制做出較準確預報建立人口數學模型第51頁指數增加模型——馬爾薩斯1798年提出慣用計算公式x(t)~時刻t人口基本假設

:人口(相對)增加率r是常數今年人口x0,年增加率rk年后人口伴隨時間增加，人口按指數規律無限增加.與慣用公式一致rtextx0)(=?第52頁指數增加模型應用及不足與19世紀以前歐洲一些地域人口統計數據吻合.適合用于19世紀后遷往加拿大歐洲移民后代.可用于短期人口增加預測.不符合19世紀后多數地域人口增加規律.不能預測較長久人口增加過程.19世紀后人口數據人口增加率r不是常數(逐步下降)第53頁阻滯增加模型——邏輯斯蒂(Logistic)模型人口增加到一定數量后，增加率下降原因：資源、環境等原因對人口增加阻滯作用,且阻滯作用隨人口數量增加而變大假設r~固有增加率(x很小時)xm~人口容量（資源、環境能容納最大數量）r是x減函數第54頁dx/dtx0xmxm/2tx0x增加先快后慢xmx0xm/2阻滯增加模型(Logistic模型)指數增加模型Logistic模型應用經濟領域中增加規律(耐用消費品售量).種群數量模型(魚塘中魚群,森林中樹木).S形曲線第55頁參數預計用指數增加模型或阻滯增加模型作人口預報，必須先預計模型參數r或r,xm.模型參數預計、檢驗和預報

指數增加模型阻滯增加模型由統計數據用線性最小二乘法作參數預計例：美國人口數據(百萬)186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4281.4tx第56頁r=0.2022/10年，x0=6.0450模型參數預計、檢驗和預報

指數增加模型阻滯增加模型r=0.2557/10年，xm=392.0886年實際人口計算人口(指數增加模型)計算人口(阻滯增加模型)17903.96.03.918005.37.45.0…………1960179.3188.0171.31970204.0230.1196.21980226.5281.7221.21990251.4344.8245.3422.1指數增加模型阻滯增加模型第57頁模型檢驗用模型計算年美國人口誤差不到3%與實際數據(年281.4)比較=274.5模型參數預計、檢驗和預報

為做模型檢驗在參數預計時未用年實際數據模型應用加入年人口數據后重新預計模型參數r=0.2490,xm=434.0x()=306.0預報美國年人口第58頁考慮年紀結構和生育模式人口模型年紀分布對于人口預測主要性.只考慮自然出生與死亡，不計遷移.人口發展方程F(r,t)~人口分布函數(年紀<r人口)p(r,t)~人口密度函數N(t)~人口總數rm()~最高年紀第59頁人口發展方程一階偏微分方程第60頁人口發展方程0tr定解條件已知函數(人口調查)生育率(控制伎倆)第61頁生育率f(t)

分解

~總和生育率h~生育模式0第62頁人口控制系統~總和生育率——控制生育多少~生育模式——控制生育早晚和疏密正反饋系統滯后作用很大輸入輸入輸出反饋第63頁人口指數1）人口總數2）平均年紀3）平均壽命t時刻出生人，死亡率按

(r,t)計算平均存活時間4）老齡化指數控制生育率控制N(t)不過大控制

(t)不過高第64頁5.7煙霧擴散與消失現象和問題炮彈在空中爆炸，煙霧向四面擴散，形成圓形不透光區域.不透光區域不停擴大，然后區域邊界逐漸明亮，區域縮小，最終煙霧消失.建立模型描述煙霧擴散和消失過程，分析消失時間與各原因關系.問題分析無窮空間由瞬時點源造成擴散過程，用二階偏微分方程描述煙霧濃度改變.觀察到煙霧消失與煙霧對光線吸收、以及儀器對明暗靈敏程度相關.第65頁模型假設1）煙霧在無窮空間擴散，不受大地和風影響；擴散服從擴散定律.2）光線穿過煙霧時光強相對降低與煙霧濃度成正比；無煙霧大氣不影響光強.3）穿過煙霧進入儀器光線只有明暗之分，明暗界限由儀器靈敏度決定.模型建立1）煙霧濃度改變規律擴散定律：單位時間經過單位法向面積流量q與濃度C梯度成正比.

第66頁曲面積分奧氏公式1）煙霧濃度改變規律微分形式，并利用積分中值定理第67頁初始條件Q~炮彈釋放煙霧總量

~單位強度