2023七年級數(shù)學(xué)下冊第3章因式分解3.3公式法第1課時用平方差公式因式分解教學(xué)設(shè)計（新版）湘教版授課內(nèi)容授課時數(shù)授課班級授課人數(shù)授課地點授課時間設(shè)計意圖嗨，親愛的同學(xué)們！今天我們要一起探索數(shù)學(xué)的奧秘，開啟因式分解的新篇章。這節(jié)課，我們將用平方差公式來因式分解，讓復(fù)雜的式子變得簡單有趣。讓我們一起走進(jìn)數(shù)學(xué)的世界，感受數(shù)學(xué)的樂趣吧！??????核心素養(yǎng)目標(biāo)教學(xué)難點與重點1.教學(xué)重點：

-明確本節(jié)課的核心內(nèi)容，以便于教師在教學(xué)過程中有針對性地進(jìn)行講解和強(qiáng)調(diào)。

-理解并掌握平方差公式：\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)。

-能夠正確識別和應(yīng)用平方差公式進(jìn)行因式分解。

-通過實例練習(xí)，熟練運用平方差公式解決實際問題。

2.教學(xué)難點：

-識別并指出本節(jié)課的難點內(nèi)容，以便于教師采取有效的教學(xué)方法幫助學(xué)生突破難點。

-難點一：理解平方差公式中\(zhòng)(a^2\)和\(b^2\)的含義，以及如何正確識別它們。

-例如，在式子\(x^2-9\)中，學(xué)生需要理解\(x^2\)是\(x\)的平方，\(9\)是\(3\)的平方。

-難點二：將復(fù)雜的多項式分解時，如何正確地應(yīng)用平方差公式。

-例如，在式子\(x^4-16\)中，學(xué)生需要先識別出\(x^4\)和\(16\)都是平方項，然后正確分解。

-難點三：解決實際問題時，如何將問題轉(zhuǎn)化為適合應(yīng)用平方差公式的形式。

-例如，在解決“一個數(shù)的平方減去另一個數(shù)的平方等于多少？”這類問題時，學(xué)生需要學(xué)會如何構(gòu)建平方差的形式。教學(xué)資源-軟硬件資源：黑板、粉筆、直尺、三角板

-課程平臺：湘教版七年級數(shù)學(xué)課程教材

-信息化資源：PPT課件、在線互動平臺、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)軟件

-教學(xué)手段：實物演示、小組討論、課堂練習(xí)、多媒體教學(xué)教學(xué)流程1.導(dǎo)入新課

-詳細(xì)內(nèi)容：首先，我會以一個簡單的數(shù)學(xué)謎題來吸引學(xué)生的注意力：“我有兩個平方，相加或相減，結(jié)果總相等。請問我是誰？”讓學(xué)生在思考中引入平方差的概念。接著，我會展示幾個平方差的具體例子，如\(4-9\)和\(25-16\)，引導(dǎo)學(xué)生觀察它們的特征，并引入平方差公式。這個過程大約需要5分鐘。

2.新課講授

-內(nèi)容一：首先，我會解釋平方差公式\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)的含義，并通過圖形和文字結(jié)合的方式展示公式的來源。例如，用兩個相等的正方形來表示\(a^2\)和\(b^2\)，然后展示它們相減的過程，從而引出公式。這個過程大約需要10分鐘。

-內(nèi)容二：接著，我會通過幾個具體的例子來演示如何應(yīng)用平方差公式進(jìn)行因式分解。例如，展示如何將\(x^2-4\)分解為\((x+2)(x-2)\)，并引導(dǎo)學(xué)生注意公式中的\(a\)和\(b\)是如何確定的。這個過程大約需要10分鐘。

-內(nèi)容三：最后，我會讓學(xué)生嘗試自己應(yīng)用公式進(jìn)行因式分解，選擇一些簡單的多項式，如\(x^2-1\)和\(x^2-16\)，讓學(xué)生在練習(xí)中鞏固對公式的理解。這個過程大約需要10分鐘。

3.實踐活動

-內(nèi)容一：我會提供一些練習(xí)題，讓學(xué)生獨立完成，這些題目包括直接應(yīng)用平方差公式進(jìn)行因式分解的題目，以及一些需要學(xué)生先識別平方差形式再進(jìn)行因式分解的題目。這個過程大約需要10分鐘。

-內(nèi)容二：接著，我會讓學(xué)生通過小組合作，解決一些更復(fù)雜的因式分解問題，如\(x^4-81\)，鼓勵他們在討論中互相幫助，共同完成。這個過程大約需要10分鐘。

-內(nèi)容三：最后，我會設(shè)計一個實際應(yīng)用問題，如“一個長方形的面積是\(25\times36\)平方厘米，如果它的長比寬多2厘米，求長方形的長和寬。”這個問題要求學(xué)生不僅應(yīng)用平方差公式，還需要一些基本的代數(shù)運算。這個過程大約需要10分鐘。

4.學(xué)生小組討論

-方面一：如何識別平方差的形式？

-舉例回答：學(xué)生可能會回答，當(dāng)看到形如\(a^2-b^2\)的式子時，就意識到它可能是平方差的形式。

-方面二：在因式分解時，如何正確應(yīng)用平方差公式？

-舉例回答：學(xué)生可能會討論，在因式分解時，需要確保正確地將\(a^2\)和\(b^2\)代入公式，并正確地寫出\(a+b\)和\(a-b\)。

-方面三：如何將實際問題轉(zhuǎn)化為適合應(yīng)用平方差公式的形式？

-舉例回答：學(xué)生可能會討論，在解決實際問題時，需要先理解問題的背景，找出其中的平方項，并確定它們的關(guān)系。

5.總結(jié)回顧

-內(nèi)容：在課堂的最后，我會讓學(xué)生回顧本節(jié)課學(xué)到的內(nèi)容，包括平方差公式、公式的應(yīng)用以及解決實際問題的方法。我會提問一些問題，如“什么是平方差公式？”和“如何使用平方差公式進(jìn)行因式分解？”來檢查學(xué)生對知識的掌握。同時，我會強(qiáng)調(diào)本節(jié)課的重難點，如正確識別平方差的形式和應(yīng)用公式。這個過程大約需要5分鐘。

總用時：45分鐘教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-介紹與本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的內(nèi)容，如平方差公式在代數(shù)中的廣泛應(yīng)用，包括在解方程、求多項式函數(shù)的零點、以及解決實際問題中的應(yīng)用。

-引入平方差在幾何學(xué)中的應(yīng)用，例如在解析幾何中，平方差公式可以用來求解拋物線的方程，或者在計算多邊形面積時，通過分割和重組來簡化計算。

-探討平方差公式與二項式定理的關(guān)系，解釋為什么二項式定理的展開形式中會出現(xiàn)平方差的形式。

2.拓展建議：

-為學(xué)生提供具體的拓展學(xué)習(xí)建議，以下是一些具體的活動和建議：

-設(shè)計一個活動，讓學(xué)生通過實驗來驗證平方差公式，例如使用正方體來表示\(a^2-b^2\)，并展示如何通過拼接得到\(a+b\)和\(a-b\)的形狀。

-提供一些歷史背景資料，讓學(xué)生了解平方差公式的歷史起源和發(fā)展，以及它在數(shù)學(xué)發(fā)展史上的重要性。

-鼓勵學(xué)生探索平方差在數(shù)學(xué)競賽中的題目，通過解決這些題目來提高他們的數(shù)學(xué)思維能力和解題技巧。

-引導(dǎo)學(xué)生研究平方差公式在物理學(xué)中的應(yīng)用，例如在物理公式中出現(xiàn)的平方差形式，以及它們?nèi)绾螏椭鉀Q實際問題。

-建議學(xué)生閱讀相關(guān)的數(shù)學(xué)科普文章或書籍，以加深對平方差公式及其應(yīng)用的理解。

-組織學(xué)生進(jìn)行小組研究，讓他們選擇一個與平方差公式相關(guān)的主題，進(jìn)行深入的研究和報告，以增強(qiáng)他們的研究能力和團(tuán)隊合作精神。

-設(shè)計一個項目，讓學(xué)生嘗試將平方差公式應(yīng)用到日常生活中，比如在烹飪、建筑或其他領(lǐng)域，以增強(qiáng)數(shù)學(xué)與實際生活的聯(lián)系。教學(xué)反思教學(xué)結(jié)束后，我總是習(xí)慣性地進(jìn)行一番教學(xué)反思，總結(jié)經(jīng)驗，找出不足，以便在今后的教學(xué)中不斷提升。以下是我對本次“平方差公式因式分解”教學(xué)的反思：

首先，我注意到學(xué)生在理解平方差公式時存在一定的困難。在課堂中，我發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生對公式中的\(a^2\)和\(b^2\)的理解不夠深入，容易將它們與\(a\)和\(b\)混淆。為了解決這個問題，我在教學(xué)中采用了圖形輔助法，通過展示正方形來直觀地展示\(a^2\)和\(b^2\)的概念，幫助學(xué)生建立起對平方差公式的直觀認(rèn)識。

其次，我在新課講授環(huán)節(jié)采用了多個實例來引導(dǎo)學(xué)生掌握平方差公式。這些實例包括直接應(yīng)用公式進(jìn)行因式分解的題目，以及需要學(xué)生先識別平方差形式再進(jìn)行因式分解的題目。通過這些實例，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生的理解程度有了明顯的提高。然而，我也發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生在解決較復(fù)雜的因式分解問題時，仍然存在困難。為了解決這個問題，我決定在今后的教學(xué)中，增加一些具有挑戰(zhàn)性的題目，讓學(xué)生在挑戰(zhàn)中不斷進(jìn)步。

在教學(xué)實踐中，我還注意到小組討論環(huán)節(jié)對于學(xué)生的幫助很大。在小組討論中，學(xué)生可以互相啟發(fā)，共同解決難題。例如，在解決一個復(fù)雜的因式分解問題時，一個學(xué)生可能會提出一個獨特的解題思路，而這個思路正好是另一個學(xué)生的困惑所在。通過這種互相交流，學(xué)生的思維得到了拓展，解決問題的能力也得到了提高。

此外，我在實踐活動環(huán)節(jié)設(shè)計了多個實際問題，讓學(xué)生在解決實際問題的過程中應(yīng)用平方差公式。這一環(huán)節(jié)得到了學(xué)生的積極響應(yīng)，他們不僅能夠熟練地運用公式，還能夠?qū)?shù)學(xué)知識應(yīng)用于實際生活。這讓我深刻地認(rèn)識到，將數(shù)學(xué)知識與實踐相結(jié)合是提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和解決問題能力的重要途徑。

在教學(xué)過程中，我還發(fā)現(xiàn)了一些值得改進(jìn)的地方。例如，在導(dǎo)入新課環(huán)節(jié)，我可以用更生動有趣的方式吸引學(xué)生的注意力，如通過數(shù)學(xué)故事或者有趣的數(shù)學(xué)游戲來引入平方差的概念。在實踐活動環(huán)節(jié)，我可以設(shè)計更多具有創(chuàng)新性的題目，讓學(xué)生在解決問題的過程中感受到數(shù)學(xué)的樂趣。典型例題講解例題1：

題目：分解因式\(9x^2-81\)。

解答：首先識別出\(9x^2\)和\(81\)都是平方項，其中\(zhòng)(9x^2=(3x)^2\)，\(81=9^2\)。根據(jù)平方差公式\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)，我們可以將原式分解為：

\[9x^2-81=(3x)^2-9^2=(3x+9)(3x-9)\]

進(jìn)一步簡化得到：

\[9x^2-81=3(3x+3)(x-3)\]

例題2：

題目：分解因式\(x^2-4y^2\)。

解答：這里\(x^2\)和\(4y^2\)都是平方項，其中\(zhòng)(4y^2=(2y)^2\)。應(yīng)用平方差公式，我們得到：

\[x^2-4y^2=x^2-(2y)^2=(x+2y)(x-2y)\]

例題3：

題目：分解因式\(16a^2-25b^2\)。

解答：這里\(16a^2\)和\(25b^2\)都是平方項，其中\(zhòng)(16a^2=(4a)^2\)，\(25b^2=(5b)^2\)。應(yīng)用平方差公式，我們得到：

\[16a^2-25b^2=(4a)^2-(5b)^2=(4a+5b)(4a-5b)\]

例題4：

題目：分解因式\(x^4-81\)。

解答：首先，我們可以將\(x^4\)看作\((x^2)^2\)，\(81\)看作\(9^2\)。應(yīng)用平方差公式，我們得到：

\[x^4-81=(x^2)^2-9^2=(x^2+9)(x^2-9)\]

然后，我們再次應(yīng)用平方差公式分解\(x^2-9\)：

\[x^4-81=(x^2+9)(x^2-9)=(x^2+9)(x+3)(x-3)\]

例題5：

題目：分解因式\(a^2-4b^2c^2\)。

解答：這里\(a^2\)是平方項，而\(4b^2c^2\)可以看作\((2bc)^2\)。應(yīng)用平方差公式，我們得到：

\[a^2-4b^2c^2=a^2-(2bc)^2=(a+2bc)(a-2bc)\]板書設(shè)計①平方差公式

-\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

-公式中\(zhòng)(a\)和\(b\)代表任意數(shù)

-\(a^2\)和\(b^2\)分別表示\(a\)和\(b\)的平方

②因式分解步驟

-識別平方差形式

-確定公式中的\(a\)和\(b\)

-應(yīng)用公式進(jìn)行因式分解

③應(yīng)用實例

-\(9x^2-81\)：\(9x^2=(3x)^2\)，\(81=9^2\)

-\(x^2-4y^2\)：\(4y^2=(2y)^2\)

-\(16a^2-25b^2\)：\(16a^2=(4a)^2\)，\(25b^2=(5b)^2\)

-\(x^4-81\)：\(x^4=(x^2)^2\)，\(81=9^2\)

-\(a^2-4b^2c^2\)：\(4b^2c^2=(2bc)^2\)作業(yè)布置與反饋作業(yè)布置：

為了幫助學(xué)生鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，提高他們的因式分解能力，以下是一份作業(yè)布置：

1.完成課本練習(xí)題中的第1題至第5題，這些題目涉及直接應(yīng)用平方差公式進(jìn)行因式分解。

2.選擇課本中的兩個例題，嘗試自己寫出解題步驟，并解釋每一步的思考過程。

3.設(shè)計一個實際問題，如“一個長方形的面積是\(25\times36\)平方厘米，如果它的長比寬多2厘米，求長方形的長和寬。”并嘗試用平方差公式來解決這個問題。

4.閱讀課本中關(guān)于平方差公式在幾何學(xué)中的應(yīng)用部分，選擇一個你感興趣的例子，寫下你的理解和學(xué)習(xí)心得。

5.在線平臺上的數(shù)學(xué)論壇或班級群內(nèi)，分享你今天學(xué)到的平方差公式，并邀請同學(xué)們一起討論如何應(yīng)用這個公式解決實際問題。

作業(yè)反饋：

1.批改作業(yè)時，我會仔細(xì)檢查每個學(xué)生是否正確應(yīng)用了平方差公式進(jìn)行因式分解。

2.對于正確完成作業(yè)的學(xué)生，我會給予積極的反饋，如“很好，你能夠熟練地應(yīng)用平方差公式進(jìn)行因式分解。”

3.對于在應(yīng)用公式時出現(xiàn)錯誤的學(xué)生，我會指出具體錯誤，并提供正確的解題步驟。例如，“注意，這里你應(yīng)該將\(4y^2\)視為\((2y)^2\)，而不是直接寫成\(2y\)的平方。”

4.我會鼓勵學(xué)生在