第十九章一次函數變量與函數第2課時

1.了解變量與常量的意義．2.概括并理解函數概念中的單值對應關系．3.用解析法和列表法表示函數關系，確定簡單實際問題的自變量取值范圍和函數值．學習目標

汽車以60km/h的速度勻速行駛，行駛路程為skm，行駛時間為th．填寫下表，s的值隨t的值的變化而變化嗎？t/h12345s/km60120180240300在以上的變化過程中，變化的量是_______,不變的量是________試用含有t的式子表示____________t和s60千米S=vt情境導入

（1）電影票的售價為10元/張，第一場售出150張票，第二場售出205張票，第三場售出310張票，三場電影的票房收入各多少元．設一場電影售出x張票，票房收入為y元，y的值隨x的值的變化而變化嗎？在以上的變化過程中，有幾個量？變化的量是_______,不變的量是________票價、張數和票房收入，張數和票房收入發生了變化，票價始終不變；探究新知

（2）你見過水中漣漪嗎？圓形水波慢慢地擴大，在這一過程中，當圓的半徑r分別為10cm，20cm，30cm時，圓的面積S分別為多少？S的值隨r的值的變化而變化嗎？在以上的變化過程中，有幾個量？變化的量是_______,不變的量是________圓周率π、半徑和面積，半徑和面積發生了變化，圓周率π始終不變；探究新知

（3）用10

m長的繩子圍一個矩形，當矩形的一邊長x分別為3

m，3.5

m，4

m，4.5

m時，它的鄰邊長y分別為多少？y的值隨x的值的變化而變化嗎？在以上的變化過程中，有幾個量？變化的量是_______,不變的量是________

矩形的周長、邊長和鄰邊長，邊長和鄰邊長發生了變化，矩形的周長始終不變．探究新知

在問題（1）~（3）的變化過程中，發生變化的量有限制條件嗎？如何限制？變化過程中，發生變化的量要符合實際問題的意義．如（1）中的時間t就不能為負數，（2）中票的張數x就只能為自然數．探究新知

在問題（1）~（3）的變化過程中，發生變化的量有限制條件嗎？如何限制？變化過程中，發生變化的量要符合實際問題的意義．如：（1）中票的張數x就只能為自然數．情景問題中的t呢？不能是負數探究新知

請給問題（1）~（3）中發生了變化的量和始終不變的量起一個恰當的名稱．在一個變化過程中，我們稱數值發生變化的量為變量，數值始終不變的量為常量．

在一個變化過程中，理解變量、常量的關鍵詞是什么？發生了變化始終不變．探究新知

指出下列變化過程中的變量和常量：（1）汽油的價格是7.4元/升，加油x升，車主加油付油費y元；（2）小明看一本200頁的小說，看完這本小說需要t天，平均每天所看的頁數為n；（3）用長為30cm的繩子圍矩形，圍成的矩形一邊長為x

cm，其面積為S

．變量x，y；常量7.4．變量t，n；常量200．變量x，S；常量30．探究新知

思考（1）~（3）中是否各有兩個變量？同一問題中的變量之間有什么聯系？也就是說當其中一個變量確定一個值時，另一個變量是否隨之確定一個值呢？探究新知

變化過程（1）有兩個變量x、y，當x取定一個值時，y有唯一確定的值與其對應．變化過程（2）有兩個變量r、S，當t取定一個值時，S有唯一確定的值與其對應．變化過程（3）有兩個變量x、y，當x取定一個值時，y有唯一確定的值與其對應．探究新知

（1）下圖是體檢時的心電圖．其中橫坐標x表示時間，縱坐標y表示心臟部位的生物電流，它們是兩個變量．在心電圖中，對于x的每個確定的值，y都有唯一確定的對應值嗎？對于x的每個確定值，y都有唯一確定的值與其對應．生物電流y時間x探究新知

（2）在下面的我國人口數統計表中，年份與人口數可以記作兩個變量x與y．對于表中每個確定的年份x，都對應著一個確定的人口數y嗎？

對于表中每個確定的年份x，都對應著一個確定的人口數y．中國人口數統計表年份人口數/億198410.34198911.06199411.76199912.52201013.71探究新知

一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數．如果當x=a時，y=b，那么b叫做當自變量的值為a時的函數值．探究新知

下圖是一只螞蟻在豎直的墻面上的爬行圖，請問：螞蟻離地高度h是離起點的水平距離t的函數嗎？為什么？

螞蟻離起點的水平距離t是離地高度h的函數嗎？為什么？水平距離t/cm離地高度h/cm123456654321

當t取定一個值時，h有多個值與其對應．不是是當h取定一個值時，t有唯一確定的值與其對應．探究新知例1一水管以均勻的速度向容積為100立方米的空水池中注水，注水的時間t與注入的水量Q如下表：請從表中找出t與Q之間的函數關系式，且求當t＝5分15秒時，水池中的水量Q的值．t(分鐘)2468……Q（立方米）481216……例題解析即當t為5分15秒時，水量為立方米．解：∵水管是勻速流出水于池中，速度是(4÷2)＝2，即每分鐘2立方米，∴函數解析式為Q＝2t，自變量t為非負數．又∵水池容積為100立方米，時間不能超過100÷2＝50(分鐘)，∴0≤t≤50．當t＝5分15秒時，Q＝2×＝例題解析

例2汽車油箱中有汽油50

L．如果不再加油，那么油箱中的油量y（單位：L）隨行駛路程x（單位：km）的增加而減少，平均耗油量為0.1

L/km．（1）寫出表示y與x的函數關系的式子；

解：（1）行駛路程x是自變量，油箱中的油量y是x的函數．行駛路程為x時耗油為：0.1x．油箱中的油量為：50－0.1x．所以函數關系式為：y＝50－0.1x．例題解析

例2汽車油箱中有汽油50

L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（單位：L）隨行駛路程x（單位：km）的增加而減少，平均耗油量為0.1

L/km．（2）指出自變量x的取值范圍；

解：（2）僅從式子y＝50－0.1x看，x可以取任意實數，但是考慮到x代表的實際意義是行駛路程，所以不能取負數，并且行駛中耗油量為0.1x，它不能超過油箱中現有汽油50

L，即0.1x≤50，x≤500．

因此自變量x的取值范圍是：0≤x≤500．例題解析

像y＝50－0.1x這樣，用關于自變量的數學式子表示函數與自變量之間的關系的式子，叫做函數的解析式，它是描述函數的常用方法．例題解析

1．下列問題中哪些量是自變量？哪些量是自變量的函數？試寫出用自變量表示函數的式子．（1）改變正方形的邊長x，正方形的面積S隨之改變．

（2）秀水村的耕地面積是，這個村人均占有耕地

面積y隨這個村人數n的變化而變化．x是自變量，S是x的函數．n是自變量，y是n的函數．課堂練習

2.甲乙兩地相距520km，一輛汽車以80km/h的速度從甲地開往乙地，行駛t(h)后停車加油.（1）寫出汽車距乙地的路程s(km)與行駛時間t(h)之間的函數關系式；（2）求出自變量t的取值范圍.解：(1)S=520-80t(2)0≤t≤6.5課堂練習

（1）在一個變化過程中，什么是變量？什么是常量？舉一個運動變化的例子并指出其變量和常量．

（2）在一個變化過程中，對于變量x和y而言，滿足什么對應關系時，y才是x的函數？兩個變量滿足“一對多”的關系是函數嗎？并舉例說明對函數概念中“對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應”的認識．

（3）函數的表示方法有哪些？自變量的取值范圍如何確定？受哪些因素的限制？如何確定函數值？課堂小結第十九章一次函數變量與函數第2課時函數

情境引入學習目標1.了解函數的相關概念，會判斷兩個變量是否具有函數關系．2.能根據簡單的實際問題寫出函數解析式，并確定自變量的取值范圍．（重點、難點）3.會根據函數解析式求函數值.導入新課游戲：數青蛙一只青蛙一張嘴，兩只眼睛四條腿；兩只青蛙兩張嘴，四只眼睛八條腿；三只青蛙三張嘴，六只眼睛十二條腿.1.青蛙的眼睛數和只數有關系嗎？能用數學式子表達嗎？2.青蛙的腿數和只數有關系嗎？能用數學式子表達嗎？這里有變化的量嗎？如果有,是什么？它們之間有什么關系？觀察與思考講授新課函數的相關概念一想一想，如果你坐在摩天輪上，隨著時間的變化，你離開地面的高度是如何變化的？情景一下圖反映了摩天輪上的一點的高度h(m)與旋轉時間t(min)之間的關系.t/分012345…h/米…(1)根據左圖填表：(2)對于給定的時間t，相應的高度h能確定嗎？11374537310

瓶子或罐頭盒等圓柱形的物體，常常如下圖那樣堆放.隨著層數的增加，物體的總數是如何變化的？

填寫下表：

12345……1361015對于給定任一層數n，相應的物體總數y確定嗎？有幾個y值和它對應？層數n物體總數y唯一一個y值情景二一定質量的氣體在體積不變時，假若溫度降低到-273℃，則氣體的壓強為零.因此，物理學把-273℃作為熱力學溫度的零度.熱力學溫度T(K)與攝氏溫度t(℃)之間有如下數量關系：T=t+273，T≥0.(1)當t分別等于-43，-27，0，18時，相應的熱力學溫度T是多少？(2)給定任一個大于-273℃的攝氏溫度t值，相應的熱力學溫度T確定嗎？有幾個T值和它對應？230K、246K、273K、291K唯一一個T值解：當t=-43時，

T=-43+273=230（K）情景三思考：上面的三個問題中，各變量之間有什么共同特點？①時間

t

、相應的高度h

；②層數n、物體總數y；③攝氏溫度t

、熱力學溫度T.共同特點：都有兩個變量，給定其中某一個變量的值，相應地就確定了另一個變量的值.

一般地，在某個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數.如果當x=a時y=b，那么b叫做當自變量的值為a時的函數值.要點歸納練一練下列問題中，一個變量是否是另一個變量的函數？如果是，請指出自變量.（1）改變正方形的邊長x，正方形的面積S隨之變化；（2）秀水村的耕地面積是106m2，這個村人均占有耕地面積y

（單位：m2）隨這個村人數n的變化而變化；（3）P是數軸上的一個動點，它到原點的距離記為x，它對應的實數為y，y隨x的變化而變化．

解：（1）S是x的函數，其中x是自變量.（2）y是n的函數，其中n是自變量.（3）y不是x的函數.例如，到原點的距離為1的點對應實數1或-1,典例精析例1下列關于變量x，y的關系式：

y=2x+3；

y=x2+3；

y=2|x|；④；⑤y2-3x=10，其中表示y是x的函數關系的是

．

判斷一個變量是否是另一個變量的函數，關鍵是看當一個變量確定時，另一個變量有唯一確定的值與它對應.方法一個x值有兩個y值與它對應例2已知函數(1)求當x=2，3，-3時，函數的值；(2)求當x取什么值時，函數的值為0.解：（1）當x=2時，y=;

當x=3時，y=;

當x=-3時，y=7;

（2）令解得x=

即當x=

時，y=0.把自變量x的值帶入關系式中，即可求出函數的值.

問題：請用含自變量的式子表示下列問題中的函數關系：（1）汽車以60km/h

的速度勻速行駛，行駛的時間為t（單位：h），行駛的路程為s（單位：km）；（2）多邊形的邊數為n，內角和的度數為y．問題（1）中，t取-2有實際意義嗎？

問題（2）中，n取2有意義嗎？確定自變量的取值范圍二根據剛才問題的思考，你認為函數的自變量可以取任意值嗎？

在實際問題中，函數的自變量取值范圍往往是有限制的，在限制的范圍內，函數才有實際意義；超出這個范圍，函數沒有實際意義，我們把這種自變量可以取的數值范圍叫函數的自變量取值范圍．例3汽車的油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（單位：L）隨行駛里程x（單位：km）的增加而減少，平均耗油量為0.1L/km.（1）寫出表示y與x的函數關系的式子.解:(1)函數關系式為:y=50－0.1x0.1x表示的意義是什么？叫做函數的解析式（2）指出自變量x的取值范圍；(2)由x≥0及50－0.1x≥0

得0≤x≤500∴自變量的取值范圍是0≤x≤500確定自變量的取值范圍時，不僅要考慮使函數解析式有意義，而且還要注意各變量所代表的實際意義.歸納汽車行駛里程，油箱中的油量均不能為負數！（3）汽車行駛200km時，油箱中還有多少油？(3)當x=200時,函數

y的值為y=50－0.1×200=30.因此,當汽車行駛200km時,油箱中還有油30L想一想：下列函數中自變量x的取值范圍是什么？.0.-1.-2-2x取全體實數x取全體實數使函數解析式有意義的自變量的全體.當堂練習1.設路程為s，時間為t，速度為v，當v=60時，路程和時間的關系式為

，這個關系式中，

是常量，

是變量，

是

的函數.60s=60tt和sst2.油箱中有油