青島版九年級數學上冊相似三角形的性質

學習目標：1.了解相似三角形對應線段的比等于相似比.了解相似三角形周長的比等于相似比、面積比等于相似比的平方.2.能應用相似三角形的性質進行有關計算.能應用相似三角形的性質進行有關周長、面積的計算.回顧思考：1.相似三角形的判定1.2.相似三角的判定2.4全等三角形的對應高、對應中線和對應角平分線分別相等.兩個相似三角形,它們的對應高、對應中線和對應角平分線的比與它們的相似比之間有什么關系呢?3.相似三角的判定3.探究（一）：如圖所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比為k,其中AD,A'D'分別是BC和B'C'上的高,那么AD與A'D'的比與相似比之間有怎樣的關系?自學提示：(1)圖中的ΔABD和ΔA'B'D'相似嗎?如何證明?(2)由相似三角形的性質,你能得到AD與A'D'的比與相似比之間的關系嗎?探究一：已知:如圖所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比為k,AD,A'D'分別為BC,B'C'邊上的高.求證:AD:A'D'=k.探究二：1.已知:如上圖所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比為k,AE,A'E'分別為BC,B'C'邊上的中線.求證:AE:A'E'=k.AC'E'B'A'ECB探究三：1.已知:如上圖所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比為k,AE,A'E'分別為ΔABC,ΔA'B'C'角的平分線.求證:AE:A'E'=k.AC'E'B'A'ECB歸納性質:相似三角形的性質定理:相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比,都等于相似比.例題展示：如圖所示,在ΔABC中,AD⊥BC,垂足為D,EF∥BC,分別交AB,AC,AD于點E,F,G,,AD=15.求AG的長自學提示：教師引導思考:(1)由EF∥BC可以得到哪兩個三角形相似?(2)相似三角形的相似比是多少?(3)AG與AD是不是相似三角形的對應線段?(4)根據相似三角形的性質能否求出線段AG的長?解∵EF∥BC,∴ΔAEF∽ΔABC.∵AD⊥BC,∴AD⊥EF.∴AD:AG=AE:AB又∵AE:AG=3:5,AD=15,∴,AG:15=3:5∴AG=9.(1)ΔABC的周長和ΔA'B'C'的周長的比與它們的相似比有什么關系?請說明理由.(2)ΔABC的面積和ΔA'B'C'的面積的比與它們的相似比有什么關系?請說明理由.思考猜想：自學探究：相似三角形的性質定理:相似三角形的周長比等于相似比.相似三角形的面積比等于相似比的平方.例題展示：如圖所示,在ΔABC中,D,E,F分別為BC,AC,AB邊的中點.求:(1)ΔDEF的周長與ΔABC的周長之比.(2)ΔDEF的面積與ΔABC的面積之比.達標練習：1.如果兩個相似三角形對應高之比為1:4那么他們對應中線之比（）A1:2B1:4C1:8D1:162.在ΔABC∽ΔA'B'C'且AB：A'B'=3:4，ΔABC的周長為15cm，則ΔA'B'C'的周長為（）A18cmB20cmC15/4cmD80/3cmBB達標練習：3.已知兩個相似三角形的周長之比為2:3，則他們的面積之比為（）A2:3B4:9C3:2D9:44.如圖平行四邊形ABCD中DE=?CD

求證：（1)△ABF∽△CEB

(2)△DEF的面積為2，求平行四邊形ABCD的面積。BABFCDE小結：今天學會了什么?還有什么困惑？1.3相似三角形的性質

學習目標1.在理解相似三角形基本性質的基礎上，掌握相似三角形對應中線、對應高線、對應角平

分線的比等于相似比，周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方。2.通過實踐體會相似三角形的性質，會用性質解決相關的問題。1.回憶全等三角形的性質:

兩個全等三角形具有哪些性質?往事新憶全等三角形的①對應角相等②對應邊相等③對應高相等④對應中線相等⑤對應角平分線相等新知猜想展開想象的翅膀:相似三角形的對應角、對應邊、對應高、對應中線及對應角平分線有何關系？相似三角形的性質根據相似三角形的定義我們可以知道哪些性質？對應角相等，對應邊成比例。J我們把相似三角形對應邊的比值稱為相似比猜想EQ相似三角形對應高的比是否等于相似比信不信不由你已知：如圖，△ABC∽△A′B′C′,△ABC與△A′B′C′的相似比是k,AD、A′D′是對應高。求證：B’A’C’D’ABCD證明：∵△ABC∽△A′

B′

C′∴∠B=∠B′∵AD、A′D′分別是△ABC與△A′B′C′的高∴∠ADB=∠A′D′B′=90O∴△ABD∽△A′

B′

D′我也做一做：A組，求證：相似三角形對應中線的比等于相似比。B組，求證：相似三角形對應角平分線的比等于相似比2.如圖,△ABC∽△A′B′C′,

相似比為K,AD、A′D′分別為△ABC和△A′B′C′的中線，求證：AD:A′D′=KC′ABCDA′B′D′3.如圖,△ABC∽△A′B′C′,

相似比為K,AD、A′D′分別為△ABC和△A′B′C′的角平分線，求證：AD:A′D′=KABCDB′A′C′D′相似三角形周長的比等于相似比嗎？已知：求證：∽△△證明：∽△△∵∴∴(相似三角形對應邊成比例)(等比性質)ACBB′A′C′做一做

如下圖⑴、⑵、⑶分別是邊長為1、2、3的等邊三角形，它們都相似。⑴⑵⑶⑵與⑴的相似比=（）⑵與⑴的面積比=（）⑶與⑴的相似比=（）⑶與⑴的面積比=（）

由此我們可以得到什么結論？

對等邊三角形而言，面積比=相似比的平方。2:14:13:19:1

動動你聰明的腦子，想一想

上述結論是否適用于一般的相似三角形？ABCA′B′C′DD′證明：∽△△分別過A、A′，作AD⊥BC于D，∵∴∴∴

結論3

相似三角形的面積比為相似比的平方。對應高的比對應中線的比對應角平分線的比周長的比

相似三角形等于相似比.面積的比等于相似比的平方感悟與反思：相似三角形的性質如圖，四邊形ABCD相似于四邊形A′B′C′D′，相似比為k，它們面積的比是多少？相似多邊形面積比等于相似比的平方.ABCA′B′C′DD′延伸探究:同樣我們可以得出：相似多邊形的周長比等于相似比1．如果兩個三角形相似，相似比為3∶5，那么對應角的角平分線的比等于多少？2．相似三角形對應邊的比為2:5，那么相似比為______，對應角的角平分線的比為______，周長的比為______，面積的比為______．3∶52:52:54:253、若兩個三角形面積之比為16:9，則它們的對高之比為_____，對應中線之比為_____4:34:32:5小試牛刀1.如圖,在△ABC中,AD:DB=1:2,DE∥BC,若△ABC的面積為9,則S四邊形DBCE=（）ABCDE大顯身手：2.如圖，在ABCD中，E為AB延長線上一點，AB:AE=2:5,若S△DFC=12cm2，則S△EFB=()DABCEF3.已知:梯形ABCD中,AD∥BC,AD=36,BC=60cm,延長兩腰BA,CD交于點O,OF⊥BC,交AD于E,EF=32cm,則OF=_______.

ABCDEFO小王有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=60cm，高線AD=40cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上。挑戰自我ABCSREPDQ（1）△

ASR與△

ABC相似嗎？為什么？（2）求正方形SPQR的面積。(1)△ASR與△ABC相似嗎?為什么?(2)求正方形PQRS的面積.分析:(1)△ASR∽△ABC.理由是:(2)由(1)可知,△ASR∽△ABC.四邊形PQRS是正方形RS∥BC∠ASR=∠B∠ARS=∠C△ASR∽△ABC.設正方形PQRS的邊長為xcm,則AE=(40-x)cm,解得,x=24.所以正方形PQRS的面積為576cm2.(相似三角形對應高的比等于相似比)例題解

析ABCSREPDQ4060（1）如果把正方形的零件改變為加工矩形零件,設DP=x，DE=y，寫出y與x之間的函數關系式，試確定x的取值范圍。

PBACDEFMN如圖，△ABC是一塊余料，邊AB=90厘米，高CN=60厘米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在AB上，其余兩個頂點分別在BC、AC上(2)當DE是DP的1.5倍時恰好符合要求，求此時零件的面積是多少?(3)在問題(2)中，具體操作時，發現在AB線段上離B點34cm處有一蛀蟲洞，請你確定一下，它是否影響余料的使用，說明理由。（量得BN=70cm）變式訓練：自我測試1、兩個矩形相似,它們的對角線之比是1:3,那么它們的相似比是

,周長比是

,面積比是

.2、若兩個相似三角形的相似比是3:5,其中第一個三角形的周長為21cm,則第二個三角形的周長為

cm.3、如果把一個三角形每條邊的長都擴大為原來的5倍，那么它的周長擴大為原來的

倍，而面積擴大為原來的

倍。4、如圖，已知△ABC∽△ADE，且BC=2DE，則△ADE與四邊形BC