6.應(yīng)用一元一次方程——追趕小明北師大版·七年級上冊

新課導(dǎo)入①我坐車以40公里/小時的速度從家出發(fā)到學(xué)校需要3小時，那么我家到學(xué)校有_____公里。②如果我想用2小時的時間從家出發(fā)到學(xué)校，那么我需要的速度為____公里/小時。③如果我以80公里每小時的速度從家出發(fā)到學(xué)校，那么需要用______小時。路程=速度×?xí)r間601.5120速度=路程÷時間時間=路程÷速度新課探究小明每天早上要在7:50之前趕到距家1000m的學(xué)校上學(xué)。一天，小明以80m/min的速度出發(fā)，5min后，小明的爸爸發(fā)現(xiàn)他忘了帶語文書。于是，爸爸立即以180m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他。（1）爸爸追上小明用了多長時間？追及問題分析家學(xué)校80m/min小明走的路程=爸爸走的路程等量關(guān)系：5min180m/min怎么求爸爸追上小明的時間？小明走的總時間－爸爸追的時間=5min解得x

=4（1）設(shè)爸爸追上小明用了xmin80×5+80x

=180x因此，爸爸追上小明用了4min。解：小明：爸爸：80×580x180x根據(jù)題意得：（2）追上小明時，距離學(xué)校還有多遠？180×41000m？解：180×4=720（m）1000－720=280（m）所以，追上小明時，距離學(xué)校還有280m。

甲、乙兩人從相距180千米的A，B兩地同時出發(fā)，甲騎自行車，乙騎摩托車，沿同一條路線相向勻速行駛.已知甲的速度為15千米/時，乙的速度為45千米/時，經(jīng)過多少時間兩人相遇？相遇問題分析等量關(guān)系：180千米AB甲乙15千米/時45千米/時甲的行程+乙的行程=A、B兩地間的距離同時出發(fā)甲行的時間=乙行的時間經(jīng)過多少時間兩人相遇？解：設(shè)經(jīng)過x小時后甲、乙兩人相遇。由題意：15x+45x=180解得x=3答：經(jīng)過3小時后兩人相遇。航行問題

一艘輪船在A、B兩地之間航行，順流用3h，逆流航行比順流航行多用30min，輪船在靜水中的速度為26km/h，求水流的速度。順?biāo)械暮剿?靜水中的航速+水流速度順?biāo)心嫠?h分析等量關(guān)系：3.5h逆水中的航速=靜水中的航速－水流速度26km/h?順?biāo)械暮匠?逆水中的航程設(shè)水流速度為x千米/小時解：3(x+26)=3.5(26-x)解得：x=2答：水流速度為2千米/小時議一議育紅學(xué)校七年級學(xué)生步行到郊外旅行。七（一）班的學(xué)生組成前隊，步行速度為4km/h，七（二）班的學(xué)生組成后隊，速度為6km/h。前隊出發(fā)1h后，后隊才出發(fā)，同時后隊派一名聯(lián)絡(luò)員騎自行車在兩隊之間不間斷地來回進行聯(lián)絡(luò)，他騎車的速度為12km/h。根據(jù)上面的事實提出問題并嘗試去解答。問題1：后隊追上前隊用了多長時間？問題2：后隊追上前隊時聯(lián)絡(luò)員行了多少路程？問題3：聯(lián)絡(luò)員第一次追上前隊時用了多長時間？問題4：當(dāng)后隊追上前隊時，他們已經(jīng)進行了多少路程？問題5：聯(lián)絡(luò)員在前隊出發(fā)多長時間后第一次追上前隊？舉例：育紅學(xué)校七年級學(xué)生步行到郊外旅行。七（一）班的學(xué)生組成前隊，步行速度為4km/h，七（二）班的學(xué)生組成后隊，速度為6km/h。前隊出發(fā)1h后，后隊才出發(fā)，同事后隊派一名聯(lián)絡(luò)員騎自行車在兩隊之間不間斷地來回進行聯(lián)絡(luò)，他騎車的速度為12km/h。問題1：后隊追上前隊用了多長時間？解：設(shè)后隊追上前隊用了x小時，由題意列方程得： 6x=4x+4

解方程得：x=2答：后隊追上前隊時用了2小時。育紅學(xué)校七年級學(xué)生步行到郊外旅行。七（一）班的學(xué)生組成前隊，步行速度為4km/h，七（二）班的學(xué)生組成后隊，速度為6km/h。前隊出發(fā)1h后，后隊才出發(fā)，同時后隊派一名聯(lián)絡(luò)員騎自行車在兩隊之間不間斷地來回進行聯(lián)絡(luò)，他騎車的速度為12km/h。問題2：后隊追上前隊時聯(lián)絡(luò)員行了多少路程？解：由問題1得后隊追上前隊用了2小時，因此聯(lián)絡(luò)員共進行了： 12×2=24答：后隊追上前隊時聯(lián)絡(luò)員行了24千米。育紅學(xué)校七年級學(xué)生步行到郊外旅行。七（一）班的學(xué)生組成前隊，步行速度為4km/h，七（二）班的學(xué)生組成后隊，速度為6km/h。前隊出發(fā)1h后，后隊才出發(fā)，同時后隊派一名聯(lián)絡(luò)員騎自行車在兩隊之間不間斷地來回進行聯(lián)絡(luò)，他騎車的速度為12km/h。問題3：聯(lián)絡(luò)員第一次追上前隊時用了多長時間？解：設(shè)聯(lián)絡(luò)員第一次追上前隊時用了x小時，由題意： 12x=4x+4

解得x=0.5答：聯(lián)絡(luò)員第一次追上前隊時用了0.5小時。談?wù)勥@節(jié)課你有什么收獲？1.借助線段圖理解題意。2.追及問題的相等關(guān)系：甲的行程=乙先走的行程+乙后走的行程。3.相遇問題的相等關(guān)系：甲的行程+乙的行程=兩地的距離。4.航行問題的相等關(guān)系：順?biāo)械暮叫兴俣?靜水中的航行速度＋水流速度逆水中的航行速度=靜水中的航行速度－水流速度1.從課后習(xí)題中選取；2.完成練習(xí)冊本課時的習(xí)題.課后作業(yè)5.6應(yīng)用一元一次方程——追趕小明

小明和小華相距10米，他們同時出發(fā)，相向而行，小明每秒走3米，小華每秒走4米，他們能相遇嗎？幾秒鐘可以相遇？等量關(guān)系：小明走的路程+小華走的路程=相距的路程所用公式：路程=速度×?xí)r間情境導(dǎo)入這道題是小學(xué)做過的一種很常見的應(yīng)用題：行程問題，用到的數(shù)量關(guān)系主要有：

路程=平均速度×?xí)r間；時間=路程÷平均速度.行程問題就是要抓住速度、路程、時間三個量之間的關(guān)系，找出等量關(guān)系，正確地列出方程，解決實際問題.1.若杰瑞的速度是6米/秒，則它5秒跑了________米．2.若湯姆的速度是7米/秒，要抓到14米遠處正在吃食物而毫無防備的杰瑞需要________秒．3.若杰瑞想在4秒鐘內(nèi)搶在湯姆前面吃到放在30米處的奶酪，則它至少每秒鐘要跑________米．3027.25

小明每天早上要在7:50之前趕到距家1000m的學(xué)校上學(xué).一天，小明以80m/min的速度出發(fā)，5min后，小明的爸爸發(fā)現(xiàn)他忘了帶語文書.于是,爸爸立即以180m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他.(1)爸爸追上小明用了多長時間？(2)追上小明時，距離學(xué)校還有多遠？獲取新知

分析：當(dāng)爸爸追上小明時，兩人所走路程相等.解：(1)設(shè)爸爸追上小明用了x分鐘，則此題的數(shù)量關(guān)系可用線段圖表示.據(jù)題意，得80×5＋80x=180x.答：爸爸追上小明用了4分鐘．（2）180×4=720（米），1000－720=280（米）.答：追上小明時，距離學(xué)校還有280米．化簡，得100x=400.

x=4.80×580x180x在審題過程中，如果能把文字語言變成圖形語言——線段圖，即可使問題更加直觀，等量關(guān)系更加清晰.我們只要設(shè)出未知數(shù)，并用代數(shù)式表示出來，便可以得到方程.例1小麗和小紅每天早晨堅持跑步，小紅每秒跑4米，小麗每秒跑6米.（1）如果她們從100米跑道的兩端相向跑，那么幾秒之后兩人相遇？（2）如果小麗站在百米跑道起跑處，小紅站在她面前10米處，兩人同時同向起跑，幾秒后小麗追上小紅？例題講解（1）如果她們從100米跑道的兩端相向跑，那么幾秒之后兩人相遇？題目中已知些什么？用圖表示出來.等量關(guān)系:小麗所跑的路程+小紅所跑的路程=100米.小麗跑的路程小紅跑的路程100米解：設(shè)經(jīng)過x秒后兩人相遇，則小麗跑的路程為6x米，小紅跑的路程為4x米，由此可得方程：6x+4x=100.解得：x=10.答：經(jīng)過10秒后兩人相遇.小麗跑的路程小紅跑的路程100米題目中已知些什么？用圖表示出來.（2）如果小麗站在百米跑道起跑處，小紅站在她面前10米處，兩人同時同向起跑，幾秒后小麗追上小紅？小麗跑的路程

(6x)小紅跑的路程

(4x)10米追及點等量關(guān)系:小麗所跑的路程-小紅所跑的路程=10米.解：設(shè)經(jīng)過x秒后小麗追上小紅，則小麗跑的路程為6x米，小紅跑的路程為4x米，由此可得方程：6x-4x=10.解得：x=5.答：經(jīng)過5秒后小麗追上小紅.小麗跑的路程

(6x)小紅跑的路程

(4x)10米追及點相遇問題：關(guān)于兩人從兩地出發(fā)相向而行的行程問題稱為相遇問題，這類問題往往根據(jù)路程之和等于總路程列方程．如圖5－6－1所示，甲的行程＋乙的行程＝兩地相距的路程．圖5－6－1A，B兩地相距60千米，甲、乙兩人分別從A，B兩地出發(fā)相向而行，甲的速度是8千米/時，乙的速度是6千米/時．經(jīng)過多長時間兩人相距4千米？8x6x604AB8x6x604AB追及問題：(1)對于同向同時不同地的問題，如圖5－6－2所示，甲的行程－乙的行程＝兩出發(fā)地相距的路程；圖5－6－2(2)對于同向同地不同時的問題，如圖5－6－3所示，甲的行程＝乙先走的路程＋乙后走的路程．注意：同向而行注意始發(fā)時間和地點．一隊學(xué)生去校外進行軍事野營訓(xùn)練，他們以5km/h的速度行進，走了18min的時候，學(xué)校要將一個緊急通知傳給隊長，通訊員從學(xué)校出發(fā)，騎自行車以14km/h的速度按原路追上去，通訊員用多少時間可以追上學(xué)生的隊伍？

相等關(guān)系：通訊員的行進路程＝學(xué)生的行進路程．5×18/605x14x注意單位統(tǒng)一問題1：操場一周是400米，小明每秒跑5米,小華騎自行車每秒10米,兩人繞跑道同時同地同向而行，他倆能相遇嗎？環(huán)形跑道問題分析小華小明同時同地同向而行能相遇問題2：操場一周是400米，小明每秒跑5米,小華騎自行車每秒10米,兩人繞跑道同時同地同向而行，經(jīng)過幾秒鐘兩人第一次相遇？分析小華小明同時同地同向而行拓展訓(xùn)練：經(jīng)過幾秒鐘兩人第三次相遇？解：設(shè)經(jīng)過x秒兩人第一次相遇，依題意，得10x-5x=400,解得x=80.答：經(jīng)過80秒兩人第一次相遇變式訓(xùn)練：操場一周是400米，小明每秒跑5米,小華騎自行車每秒10米,兩人繞跑道同時同地同向而行，兩人同時同地相背而行，則兩個人何時相遇？分析小華小明同時同地相背而行解：設(shè)經(jīng)過x秒兩人第一次相遇，依題意，得10x+5x=400,解得x=.答：經(jīng)過秒兩人第一次相遇環(huán)形跑道問題：設(shè)v甲＞v乙，環(huán)形跑道長s米，經(jīng)過t秒甲、乙第一次相遇.一般有如下兩種情形：①同時同地、同向而行：v甲t-v乙t=s.①同時同地、背向而行：v甲t+v乙t=s.例2小明和他的哥哥早晨起來沿長為400m的環(huán)形跑道練習(xí)跑步．小明跑2圈用的時間和他的哥哥跑3圈用的時間相等．兩人同時同地同向出發(fā)，結(jié)果經(jīng)過2min40s他們第一次相遇，若他們兩人同時同地反向出發(fā)，則經(jīng)過幾秒他們第一次相遇？解：設(shè)小明的速度為xm/s，

則他的哥哥的速度為xm/s，由題意得160x＝160×－400.解得x＝5.

則小明的哥哥的速度為5×＝7.5(m/s)．設(shè)經(jīng)過ys他們第一次相遇，

由題意，得(5＋7.5)y＝400.解得y＝32.答：經(jīng)過32s他們第一次相遇．例2

順(逆)水(風(fēng))問題一架飛機在兩個城市之間飛行，當(dāng)順風(fēng)飛行時需2.9h，當(dāng)逆風(fēng)飛行時則需3.1h．已知風(fēng)速為20km/h，求無風(fēng)時飛機的航速和這兩個城市之間的距離．設(shè)無風(fēng)時飛機的航速為xkm/h，根據(jù)順風(fēng)速度＝無風(fēng)速度＋風(fēng)速，逆風(fēng)速度＝無風(fēng)速度－風(fēng)速，由路程＝速度×?xí)r間列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果．解：設(shè)無風(fēng)時飛機的航速為xkm/h，根據(jù)題意，得2.9(x＋20)＝3.1(x－20)．解這個方程，得x＝600.則3.1(x－20)＝1798.因此，無風(fēng)時飛機的航速為600km/h，這兩個城市之間的距離為1798km.1．順(逆)風(fēng)問題中的有關(guān)公式：①順風(fēng)速度＝無風(fēng)速度＋風(fēng)速；②逆風(fēng)速度＝無風(fēng)速度－風(fēng)速；③順風(fēng)速度－逆風(fēng)速度＝2×風(fēng)速．2．順(逆)水問題中的有關(guān)公式：①順?biāo)俣龋届o水中的速度＋水流速度；②逆水速度＝靜水中的速度－水流速度；③順?biāo)俣龋嫠俣龋?×水流速度．例3家住山腳下的孔明同學(xué)想從家出發(fā)登山游玩，據(jù)以往的經(jīng)驗，他獲得如下信息：①他下山時的速度比上山時的速度每小時快1km；②他上山2h到達的位置，離山頂還有1km；③抄近路下山，下山路程比上山路程近2km；④下山用1h.根據(jù)上面信息，他做出如下計劃：(1)在山頂游覽1h；(2)中午12：00回到家吃中餐．若依據(jù)以上信息和計劃登山游玩，請問：孔明同學(xué)應(yīng)該在什么時間從家出發(fā)？解：設(shè)上山的速度為vkm/h，

則下山的速度為(v＋1)km/h，

由題意得2v＋1＝v＋1＋2，解得v＝2.

即上山速度是2km/h.A隨堂演練2．甲、乙兩人在環(huán)形跑道上練習(xí)跑步，已知環(huán)形跑道一圈長400米，乙每秒跑6米，甲每秒跑8米．如果甲在乙前面8米處同時同向出發(fā)，那么經(jīng)過幾秒兩人首次相遇(

)A．208秒 B．204秒

C．200秒 D．196秒D3．甲、乙兩人賽跑，甲的速度是8米/秒，乙的速度是5米/秒，如果甲從起點處往后退20米，乙從起點處向前進10米，若甲、乙兩人同時出發(fā)，則甲經(jīng)過幾秒鐘追上乙？解：設(shè)甲經(jīng)過x秒追上乙．由題意，得8x－5x＝20＋10.解這個方程，得x＝10.因此，甲經(jīng)過10秒追上乙．4．A，B兩地相距30千米．甲、乙兩人分別從A，B兩地同時出發(fā)，相向而行．已知甲比乙每小時多走1千米，經(jīng)過2.5小時兩人相遇，求甲、乙兩人的速度．解：設(shè)乙的速度為x千米/時，則甲的速度為(x＋1)千米/時．根據(jù)題意，得2.5x＋2.5(x＋1)＝30.