1、中考數學復習專題幾何論證題中輔助線的添加方法例1:如圖：等腰梯形 ADBC中AB / CD,底角/ ABC=45 對角線AC、BD交于點0,且/ BOC=120求:ADBC的值分析：在已知條件中，底角/ ABC=450,有的同學想到延長兩腰，出現一個 等腰直角三角形。而在本題中這樣添輔助線，反而增加解題困難，因為 / BOC=1200的條件不能很好的運用。故本題添輔助線時，應考慮過上底頂點D （或A）作對角線的平行線，把梯形問題轉化為平行四邊形及頂角為120的等AD 腰三角形問題，而解等腰三角形時，常添的輔助線是作底上的高，這樣不難求ADBC 的比值。證明：過D點作DF / AC交BC的延長線

2、于F,作DE丄BC于EAD / BC AC / DFn平行四邊形ACFD二AD=CF Lac=dfi等腰梯形 ABCD 二DB=ACJ 二 BD=DFAC / DFn / BDF= / BOC=120DE 丄 BF/ BDE=60、二 J BE=EF I n BE=EF=V3a/ BED=90l設DE =a丿DE =CE = a -EF= 3aCF =AD=&3-1)a廠BC 二 BE CE 二(一3 1)aAD2 3BC ( .3 1)a2例2:求證：CM丄AD增添中點（或添平行線）的方法，故取AOD s如圖：已知直線PQ是線段AB的中垂線，C是0Q上的任意一點，若0D丄BC于D, M是0D

3、的中點分析：在已知條件中，PQ是線段AB的中垂線，同學們肯定想到連結 AC 運用線段中垂線性質，但證明此題這樣的添線與其它已知條件的應用沒有多大關 系，這種添線不能解答本題，而圖中出現“母子三角形”，使我們想到能否運用 三角形相似及線段成比例來解本題。而要證CM丄AD，從圖中觀察到如能證得/仁/A，那么CM丄AD即可成立；而/ A除了在Rt AON中，它還在 AOD 中，若把/ 1也放到與厶AOD相似的三角形中，結論就可成立。因此構筑一個 與厶AOD相似的三角形是本題解答的關鍵。而已知條件 M是0D的中點，想到32CG =筑=?=少， AOD CGM .OD b OD CGM。通過基本圖形分析

4、，發現/2= / 3,故/ AOD= / CGM。因此證:AO 是本題又一關鍵。OD GM證明：取OC的中點為G,連GM, PQ是AB的中垂線,/ BOC=9O 設 OA=OB=a，OD=b .OD 丄 BC,/ CDO= / ODB=9O0 vZ 4+Z 3=900，Z 3+Z B=90 ./4=Z B， COD s OBD .=a，G、M 為 OC、OD 的中點.CD OD bOC=2CG, CD=2GM.Z 1 = Z A.vZ A+ Z ANO=90.Z 1 + Z CNH=900 即Z NHC=900，CM 丄AD.例3:如圖：正方形 ABCD中，E、F分別AB、BC的中點,AF和D

5、E交于點P求證：CP=CD5#分析：要證明CP=CD，因為CP、CD在同一三角形中，一般三種思路可證： 思路（1）:只要證對角相等，即證/ 仁/2。如圖（1）分別尋找/ 1、/ 2的等 量ABCD 是正方形，二 AB / CD，/ 2=/AEP，/ 1 = ?，延長 CP 交 AB 于 G，a/ 1 = / EPG。要證/ 1、/ 2只要證/ AEP=EPG，由已知可知，E、F為 AB、BC的中點可證： AEDBFA，可得AF丄DE，P為垂足。假設/ AEP=/ EPG，G可能為AE的中點，因此證PG為AE的中線是本思路證題的關鍵。本題出現“母子”三角形基本圖形故不難，推得 些 J =膽，設P

6、E為a，PAAD 2 PA為2a, PD為4a,因為AE / CD，可推得PE:PD=EG:CD=1:4。由此可證得 G為 AE的中點，PG是AE的中線，/ AEP=/ EPG成立。從分析的過程中得到思路（2），匹=電=匹=丄二 PG =丄 AE =丄 AB，” AB = PC =CDPD CD PC 424思路（3）:要證CP=CD，只要證：C在線段PD的中垂線上，取AD的中點，連 CH、PH,證：四邊形 AFCH為平行四邊形，由思路（1）可知，AF丄DE，故 CH丄DE，再證：CH平分PD,通過Rt APO易證CH平分PD。證明方法（1）： E、F 為 AB、BC 的中點，ABCD 是正方

7、形，二 AB=AD , / B=/ DAE , BF=AE ADEBAF ,二/ ADE= / EAP/ EAP+/ DAP=90,：/ ADE+ / DAP=90,：/ APD= / APE=90,/ ADE= / EAP,.APE DPA,AEAD常：設PE為a#.AP =2a, AP2 二 PE 卩D, PD = 4a, AB / CDEG _ PECD PD1 丁 AE4, AB= 1:2,#G為AE的中點，PG=EG / GEP=/ GPE,/ GPE=/ 1,/ GEP=/ 2/ 仁/2, CP=CD證明方法（2）（如圖2）:取AD的中點為H，連CH、PH. ABCD 是正方形，二

8、 BC / AD , BC=AD , F、H 為 BC、AD 的中點, CF/ AH，CF=AH , AFCH為平行四邊形. CH / AF，由證明方法（1）可知AP丄DE，故CH丄P. 在RtAAPO中，PH為斜邊中線， PH 二丄 AD 二 DH , CH 垂直平分 PD,A CP=CD.2例4:0 Oi與。02相交于點A , P是O1O2的中點（1）如圖（1）如果AC切O O2于點A，交O Oi于點C, D是AC的中點 求證：PA=PD（2）如圖（2）如果過點A作兩圓的一條割線交O O1于點C,交O O2于點B, 點D是BC的中點，那么PA與PD是否相等？如果相等，請給出證明；如 果不相

9、等，請說明理由。分析（1）:由已知可知，P為O1O2的中點，D為AC的中點，AC切于O O2于點 A。想到常用輔助線，連 O1D、O2A，由O1D丄AC , O2A丄AC ,得O1D / O2A , 作PG / O2A可證得G為AD中點，PG垂直平分AD，可證得PA=PD分析（2）:通過觀察發現PA=PD,理由是什么？由已知條件，分別作O1E丄AC ,PH丄BC , O2F丄AB , P為O1O2的中點，所以H為EF中點，要證：PD=PA,只要證：DH=AH，現在只要證 DE=AF，因為 DE=CD CE, AF=EF AE，因為11CE=AE，所以證CD=EF是本題的關鍵，而CD二BC，所以

10、只要證EF二BC22即可。證明（1）:在圖（1）中連 O1D、O2A，作 PG/ O2A. D 為 AC 中點， O1D 丄AC. AC切于O O2于點A , O2A 丄 AC. O2A / O1D/ PG. P為O1O2的中點, G為AD的中點，且 PG丄AD. PA=PD.證明(2):作OiE丄BC于E, PH丄BC于H , O2F丄BC于F,OiE/ PH/ O2. P為O1O2的中點, H為EF的中點，E為AC的中點，F為AB的中點.1111EF =AE AF AC AB (AC AB) BC ,22221v CD BC ,2 CD=EF, AF=EF AE , DE=CD CE. AF=DE.v EH=PH, DH=AH , PH 丄AD. PA=PD.從以上四例中，你是否有所收益，拿到幾何題以后，應認真分析已知條件找 出證題中有用的