利用空間向量證明線面平行問題

姚偉力余姚八中數(shù)學(xué)組315430向量是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，是一個具有代數(shù)與幾何雙重屬性的量，為我們用代數(shù)方法研究幾何問題提供了強(qiáng)有力的工具。線面平行是立體幾何的一個重要內(nèi)容，是面面平行等內(nèi)容的基礎(chǔ)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個難點(diǎn)和重點(diǎn)，若我們能充分應(yīng)用好向量這個工具的特點(diǎn)，發(fā)揮它的雙重屬性，能起到事半功倍的效果。一、應(yīng)用空間共線向量定理：由平面外的一條直線和平面內(nèi)一條直線共線，得到線面平行。例1（2004年天津）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD±底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn)。證明：PA//平面EDB。X證明：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=a，連結(jié)AC，AC交BD于G，

連結(jié)EG。依題意得A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,a-,a-)。:底面ABCD是正方形，G是此正方形的中心，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為(a,a,0),「.PA=(a,0,-a),EG=(a,22 20,-a)「.PA=2EG,vPeEG,APA//EG,而EGu平面EDB,PA亡平面EDB,「.PA//2平面EDB。二、應(yīng)用向量平行于平面和空間向量共面定理,我們可得到如下的性質(zhì)：如圖,已—I- —知直線L不在平面a內(nèi)，取直線L上的任一非零向量n,平面a中存在兩個不共線向量a,—? -fr -I-fb，若存在唯一的實(shí)數(shù)對%,%，使得n=%〃+%b，則L//a。?n L?n LNCNC證明：由n=%a+%b知n,a與b共面，因此n//a,由直線L不在平面a內(nèi)得到L//a。例2、已知平行四邊形ABCD,P為平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M,N分別為PC,PB的中點(diǎn)；求證：MN〃面PAB。D

!?■ ■■■證明：構(gòu)造向量MN,AP,AB,PC和CB。???MN=1（PC+CB）=1（AC—AP+cB）=1（AB—AP）

22 2??.MN//面PAB例3、已知四邊形ABCD是正方形，S是平面ABCD外一點(diǎn)，且SA=SB=SC=SD,SP:PD=1:2,SN:NA=2:1，SM:MC=2:1。求證：58//平面PMN。■ Ifc g。構(gòu)造向量SB，PN與PM證明：如圖，連結(jié)AC與BD交于O,連結(jié)SO，易證SO1平面ABCD，由四邊形ABCD為正方形知■ Ifc g。構(gòu)造向量SB，PN與PM令BC=v2，SO=1，由題目已知可得坐標(biāo)：O（0，0，0），S（0，0，1），A（0，-1，0），B（1，0，0），1 2 21 21C（0，1，0），D（-1，0，0），所以P（-3，0，3），M（0，3，3），N（0，-3，3），則SB=（1，0，-1），PN=（1，-2，-1），PM=（1，2，-1），所以SB=3PN+3PM，所以SB//平面PMN。三、應(yīng)用法向量：如果能證明平面外直線的方向向量垂直平面的法向量，得到線面平行。例4、已知四邊形ABCD是正方形，S是平面ABCD外一點(diǎn)，且SA=SB=SC=SD，SP:PD=1:2,SN:NA=2:1,SM:MC=2:1,求證:SB//平面PMN。，-3)，PM=(3，31-3)，工l—■ k —■1工l—■ k —■1),則S瓦n=0,所以SB±n,由PN,PM可得到平面PMN的法向量n=(-1,0,得至1」58〃平面PMN。從上述問題中可以看到,在解決線面平行問題時