2022-2023學年吉林省白山市普通高校對口單招高等數學一自考真題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(50題)1.

2.設函數f(x)在[a，b]上連續，且f(a)·f(b)<0，則必定存在一點ξ∈(a，b)使得（）A.f(ξ)>0B.f(ξ)<0C.f(ξ)=0D.f(ξ)=0

3.

A.

B.

C.

D.

4.設y=5x，則y'=A.A.5xln5

B.5x/ln5

C.x5x-1

D.5xlnx

5.設y=sinx，則y'|x=0等于()．A.1B.0C.-1D.-2

6.

7.（）。A.e-2

B.e-2/3

C.e2/3

D.e2

8.個人試圖在組織或社會的權威之外建立道德準則是發生在（）

A.前慣例層次B.慣例層次C.原則層次D.以上都不是

9.

10.函數y=ex+arctanx在區間[-1，1]上（）

A.單調減少B.單調增加C.無最大值D.無最小值

11.

12.設y=sin2x，則y'等于()．A.A.-cos2xB.cos2xC.-2cos2xD.2cos2x

13.（）。A.

B.

C.

D.

14.設a={-1，1，2)，b={3，0，4}，則向量a在向量b上的投影為（）A.A.

B.1

C.

D.-1

15.

16.

有()個間斷點。

A.1B.2C.3D.4

17.若，則下列命題中正確的有()。A.

B.

C.

D.

18.A.等價無窮小

B.f(x)是比g(x)高階無窮小

C.f(x)是比g(x)低階無窮小

D.f(x)與g(x)是同階但非等價無窮小

19.A.3B.2C.1D.0

20.函數y=sinx在區間[0，n]上滿足羅爾定理的ξ=A.A.0B.π/4C.π/2D.π

21.A.A.6dx+6dyB.3dx+6dyC.6dx+3dyD.3dx+3ay

22.

23.下列反常積分收斂的是（）。

A.

B.

C.

D.

24.A.3B.2C.1D.1/2

25.設z=ysinx，則等于()．A.A.-cosxB.-ycosxC.cosxD.ycosx

26.

27.設函數y=(2+x)3，則y'=

A.(2+x)2

B.3(2+x)2

C.(2+x)4

D.3(2+x)4

28.

29.

30.

A.-e

B.-e-1

C.e-1

D.e

31.設f(x)為連續函數，則等于()A.A.

B.

C.

D.

32.

33.

34.A.A.sinx+sin2B.-sinx+sin2C.sinxD.-sinx

35.

36.設f(x)為連續函數，則(∫f5x)dx)'等于()A.A.

B.5f(x)

C.f(5x)

D.5f(5x)

37.

38.

39.

40.

41.若y=ksin2x的一個原函數是(2/3)cos2x，則k=

A.-4/3B.-2/3C.-2/3D.-4/3

42.

A.絕對收斂

B.條件收斂

C.發散

D.收斂性不能判定

43.

44.A.A.

B.

C.

D.

45.微分方程y''-2y'=x的特解應設為A.AxB.Ax+BC.Ax2+BxD.Ax2+Bx+C46.設函數f(x)在點x0處連續，則下列結論肯定正確的是()。A.

B.

C.

D.

47.A.eB.e-1

C.e2

D.e-248.方程x=z2表示的二次曲面是A.A.球面B.橢圓拋物面C.柱面D.圓錐面49.設函數f(x)=2sinx，則f'(x)等于()．A.A.2sinxB.2cosxC.-2sinxD.-2cosx．50.函數f(x)=2x3-9x2+12x-3單調減少的區間為A.(-∞，1]B.[1，2]C.[2，+∞)D.[1，+∞)二、填空題(20題)51.52.53.

sint2dt=________。54.設y1(x)、y2(x)是二階常系數線性微分方程y″+py′+qy=0的兩個線性無關的解，則它的通解為______．55.

56.

57.

58.

59.曲線y=x/2x-1的水平漸近線方程為__________。

60.

61.設f(x)=1+cos2x，則f'(1)=__________。

62.

63.

64.y''-2y'-3y=0的通解是______.65.

66.

67.設，則y'=______。

68.

69.

70.

三、計算題(20題)71.證明：72.求曲線在點(1，3)處的切線方程．73.

74.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．75.76.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

77.

78.79.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則80.

81.

82.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．83.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．84.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．

85.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

86.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．87.

88.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

89.求微分方程的通解．90.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．四、解答題(10題)91.求y"-2y'=2x的通解．92.

93.

94.95.96.

97.

98.

99.展開成x-1的冪級數，并指明收斂區間(不考慮端點)。100.五、高等數學(0題)101.求微分方程y+2xy=xe-x2滿足y｜x=0=1的特解。

六、解答題(0題)102.

參考答案

1.C解析：

2.D

3.C本題考查的知識點為復合函數導數的運算．

由復合函數的導數鏈式法則知

可知應選C．

4.A由導數公式可知(5x)'=5xln5，故選A。

5.A由于

可知應選A．

6.D

7.B

8.C解析：處于原則層次的個人試圖在組織或社會的權威之外建立道德準則。

9.A解析：

10.B因處處成立，于是函數在（-∞，+∞)內都是單調增加的，故在[-1，1]上單調增加.

11.D

12.D本題考查的知識點為復合函數求導數的鏈式法則．

Y=sin2x，

則y'=cos(2x)·(2x)'=2cos2x．

可知應選D．

13.D

14.B

15.D

16.C

∵x=0，1，2，是f(x)的三個孤立間斷∴有3個間斷點。

17.B本題考查的知識點為級數收斂性的定義。

18.D

19.A

20.Cy=sinx在[0，π]上連續，在(0，π)內可導，sin0=sinπ=0，可

知y=sinx在[0，π]上滿足羅爾定理，由于(sinx)'=cosx，可知ξ=π/2時，cosξ=0，因此選C。

21.C

22.A解析：

23.D

24.B，可知應選B。

25.C本題考查的知識點為高階偏導數．

由于z=ysinx，因此

可知應選C．

26.D

27.B本題考查了復合函數求導的知識點。因為y=(2+x)3，所以y'=3(2+x)2·(2+x)'=3(2+x)2.

28.B

29.D解析：

30.C所給問題為反常積分問題，由定義可知

因此選C．

31.D本題考查的知識點為定積分的性質；牛-萊公式．

可知應選D．

32.C

33.A解析：

34.D

35.B

36.C本題考查的知識點為不定積分的性質．

(∫f5x)dx)'為將f(5x)先對x積分，后對x求導．若設g(x)=f(5x)，則(∫f5x)dx)'=(∫g(x)dx)'表示先將g(x)對x積分，后對x求導，因此(∫f(5x)dx)'=(∫g(x)dx)'=g(x)=f(5x)．

可知應選C．

37.D解析：

38.D

39.C解析：

40.C

41.D解析：

42.A

43.A解析：

44.Dy=e-2x，y'=(e-2x)'=e-2x(-2x)'=-2e-2x，dy=y'dx=-2e-2xdx，故選D。

45.C因f(x)=x為一次函數，且特征方程為r2-2r=0,得特征根為r1=0，r2=2.于是特解應設為y*=(Ax+B)x=Ax2+Bx.

46.D本題考查的知識點為連續性的定義，連續性與極限、可導性的關系由函數連續性的定義：若在x0處f(x)連續，則可知選項D正確，C不正確。由于連續性并不能保證f(x)的可導性，可知A不正確。自于連續必定能保證極限等于f(x0)，而f(x0)不一定等于0，B不正確。故知應選D。

47.C

48.C方程x=z2中缺少坐標y，是以xOy坐標面上的拋物線x=z2為準線，平行于y軸的直線為母線的拋物柱面。所以選C。

49.B本題考查的知識點為導數的運算．

f(x)=2sinx，

f'(x)=2(sinx)'=2cosx，

可知應選B．

50.Bf(x)=2x3-9x2+12x-3的定義域為(-∞，+∞)

f'(x)=6x2-18x+12=6(x23x+2)=6(x-1)(x-2)。

令f'(x)=0得駐點x1=1，x2=2。

當x＜1時，f'(x)＞0，f(x)單調增加。

當1＜x＜2時，f'(x)＜0，f(x)單調減少。

當x＞2時，f'(x)＞0，f(x)單調增加。因此知應選B。51.2本題考查的知識點為二階導數的運算．

f'(x)=(x2)'=2x，

f"(x)=(2x)'=2．

52.

53.54.由二階線性常系數微分方程解的結構可知所給方程的通解為

其中C1，C2為任意常數．55.2．

本題考查的知識點為極限的運算．

能利用洛必達法則求解．

如果計算極限，應該先判定其類型，再選擇計算方法．當所求極限為分式時：

若分子與分母的極限都存在，且分母的極限不為零，則可以利用極限的商的運算法則求極限．

若分子與分母的極限都存在，但是分子的極限不為零，而分母的極限為零，則所求極限為無窮大量．

檢查是否滿足洛必達法則的其他條件，是否可以進行等價無窮小量代換，所求極限的分子或分母是否有非零因子，可以單獨進行極限運算等．

56.

57.

58.1/3本題考查了定積分的知識點。

59.y=1/2

60.

61.-2sin2

62.

63.3/23/2解析：64.y=C1e-x+C2e3x由y''-2y'-3y=0的特征方程為r2-2r-3=0，得特征根為r1=3，r2=-1，所以方程的通解為y=C1e-x+C2e3x.

65.

66.

本題考查的知識點為二元函數的偏導數．67.本題考查的知識點為導數的運算。

68.(03)(0,3)解析：

69.

70.00解析：

71.

72.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

73.由一階線性微分方程通解公式有

74.

75.

76.

77.

78.

79.由等價無窮小量的定義可知

80.

81.

82.由二重積分物理意義知

83.

84.

85.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

86.

列表：

說明

87.

則

88.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

89.90.函數的定義域為

注意

91.y"-2y'=x為