第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年福建省福州市連江一中高二（下）3月適應性數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設f(x)=xlnx，若f′(x0)=2，則xA.e2 B.ln2 C.ln222.函數y=12x2A.(?1,1] B.(0,1] C.[1,+∞) D.(0,+∞)3.設函數f(x)的導函數f′(x)圖象如圖，則函數y=f(x)的圖象可能為(

)A.B.

C.D.4.如圖1，現有一個底面直徑為10cm高為25cm的圓錐容器，以2cm3/s的速度向該容器內注入溶液，隨著時間(單位：s)的增加，圓錐容器內的液體高度也跟著增加，如圖2所示，忽略容器的厚度，則當t=π時，圓錐容器內的液體高度的瞬時變化率為(

)A.33006πcm/s

B.33005πcm/s5.如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，側面A1ADD1是正方形，且∠A1AB=120°A.9 B.7 C.3 D.6.若定義在R上的函數f(x)滿足f′(x)?3f(x)<0，f(0)=1，則不等式f(x)>e3x的解集為(

)A.[0,+∞) B.(?∞,0) C.(1,+∞) D.(?∞,0]7.已知點P為直線y=x+1上的一點，M、N分別為圓C1：(x?4)2+(y?1)2=4與圓：C2A.5 B.6 C.2 D.18.已知函數f(x)=x2+ax，若函數f(x)在x∈[2,+∞)上是單調遞增的，則實數A.(?∞,8) B.(?∞,16]

C.(?∞,?8)∪(8,+∞) D.(?∞,?16]∪[16,+∞)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數f(x)=x3?3x+1，則過點(1,?1)且與曲線y=f(x)相切的直線方程可以為A.2x+y?1=0 B.y=?1 C.9x+4y?5=0 D.3x+2y?1=010.已知數列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1(n∈A.{an?12}是等比數列 B.{a11.已知函數f(x)=ln(x+1)?asinx，a∈R，則下列結論正確的是(

)A.當a=1時，f(x)在(0,f(0))處的切線方程為y=0

B.當a=1時，f′(x)在(?1,π2)上存在唯一極大值點x0

C.存在a，使得f(x)有且僅有2個零點

D.存在三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若f(x)=3xf′(1)+x4，則f′(0)=______．13.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點F到準線的距離為4，直線l過點F且與拋物線交于A、B兩點，若M(m,2)是線段AB的中點，則m的值為______．14.已知函數f(x)=x(lnx?ax)有兩個極值點，則實數a的取值范圍是______．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知函數f(x)=ax3+bx在x=1處有極值2．

(1)求a，b的值；

(2)求函數f(x)在區間16.(本小題12分)

在等差數列{an}中，a3=5，且a2n=2an+1．

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)已知數列{bn}17.(本小題12分)

某產品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件.如果降低價格，銷售量將會增加，且每星期多賣出的商品件數與商品單價的降低值x(單位：元，0≤x≤21)的平方成正比.已知商品單價降低2元時，一星期多賣出24件．

(1)將一個星期的商品銷售利潤表示成關于x的函數y=f(x)．

(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？18.(本小題12分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為62，右頂點為E(2,0)，A，B為雙曲線C右支上兩點，且點A在第一象限，以AB19.(本小題12分)

函數f(x)=lnx?ax(a∈R)，g(x)=12ax2?x．

(1)求函數f(x)的單調區間；

(2)當a>0時，若不等式參考答案1.D

2.B

3.C

4.C

5.D

6.B

7.C

8.B

9.BC

10.BC

11.ACD

12.?6

13.3

14.(0,115.解：(1)∵函數f(x)=ax3+bx在x=1處取得極值2，

∴f′(1)=3a+b=0f(1)=a+b=2，解得a=?1b=3，

(2)由(1)得：f(x)=?x3+3x，

f′(x)=?3x2+3=?3(x+1)(x?1)，

令f′(x)>0，解得：?1<x<1，

令f′(x)<0，解得：x>1或x<?1，

故f(x)在[?2,?1)遞減，在(?1,12]遞增，

故f(x)的最大值是16.解：(1)在等差數列{an}中，設公差為d，

由a3=5，可得a1+2d=5，

由a2n=2an+1，可得a2=a1+d=2a1+1，

解得a1=1，d=2，

則an=1+2(n?1)=2n?1；

(2)數列{bn}的前n項和為Sn，且2Sn=3bn?1，

可得n=1時，2b1=2S1=3b1?1，解得17.解：(1)設一星期多賣出的商品件數為t件，設t=kx2，

由題意知24=k×22，解得k=6．

由題意知，f(x)=(30?9?x)(432+6x2)，

x0(0,2)2(2,12)12(12,21)21f′(x)?0+0?f(x)9072單調遞減極小值單調遞增極大值11664單調遞減且f(0)=6×72×21=9072，f(12)=6×216×9=11664，

因為11664>9072，所以當x=12時，商品銷售利潤最大，此時定價為30?12=18元．

所以當定價為18元時，一個星期的商品銷售利潤最大．

18.解：(1)右頂點E(2,0)，所以a=2，

設焦距為2c，由于e=ca=62，

解得c=3，所以b=c2?a2=1，所以雙曲線C：x22?y2=1；

(2)證明：設A(x1,y1)，B(x2,y2)，由于A，B為雙曲線C右支上兩點，

因此直線AB斜率不為0，

所以設AB：x=my+t，

聯立直線AB和雙曲線方程可得x=my+tx22?y2=1，化簡得(m2?2)y2+2mty+t2?2=0，

其中m2?2≠0Δ=8(m2+t19.解：(1)由題意得f′(x)=1x?a=1?axx，x>0，

當a≤0時，則f′(x)=1?axx>0，

∴f(x)的遞增區間為(0,+∞)；

當a>0時，令f′(x)<0，則x>1a；令f′(x)>0，則0<x<1