閔行三中2024學(xué)年第二學(xué)期3月月考高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試卷滿分分值：150分完卷時(shí)間：120分鐘命題人：王定一?填空題（本大題共有12題，滿分54分，第16題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果1.已知拋物線方程為，則其準(zhǔn)線方程為______．2.曲線在點(diǎn)處的切線斜率為_____________.3.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦距是6，橢圓上的一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于10，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．4.雙曲線漸近線方程是____________．5.已知，則______．6.從甲、乙、丙、丁四位家長(zhǎng)中選三人對(duì)某小學(xué)附近的三個(gè)路口維護(hù)交通，每個(gè)路口安排一人，則不同的安排方法有__________種.7若圓和圓外切，則______.8.若，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則的最大值為______．9.采礦、采石或取土?xí)r，常用炸藥包進(jìn)行爆破，部分爆破呈圓錐漏斗形狀（如圖），已知圓錐的母線長(zhǎng)是炸藥包的爆破半徑R，它的值是固定的．當(dāng)炸藥包埋的深度為_______可使爆破體積最大．10.設(shè)P是曲線上任意一點(diǎn)，則曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角α的取值范圍是__．11.已知函數(shù)對(duì)有則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________12.定義在R上奇函數(shù)y=f（x）滿足f（3）=0，且當(dāng)x＞0時(shí)，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，則函數(shù)g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_______.二?選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）13.下列選項(xiàng)中，不屬于排列問題的是（）A.從六名學(xué)生中選三名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽，共有多少種選法B.有十二名學(xué)生參加植樹活動(dòng)，要求三人一組，共有多少種分組方案C.從3，5，7，9中任選兩個(gè)數(shù)做指數(shù)運(yùn)算，可以得到多少個(gè)冪D.從中任取兩個(gè)數(shù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，可以得到多少個(gè)不同的點(diǎn)14.如果且，那么直線不經(jīng)過（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限15.如果函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則以下關(guān)于判斷正確的是（）A.在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù) B.在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)C.是極小值點(diǎn) D.是極小值點(diǎn)16.已知函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意恒成立，關(guān)于下列兩個(gè)命題的判斷，說法正確的是（）命題①：方程至多只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；命題②：若是以2為周期的周期函數(shù)，則對(duì)任意，都有．A.①真命題；②假命題 B.①假命題；②真命題C.①真命題；②真命題 D.①假命題；②假命題三?解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.17.已知圓的圓心為，且與直線相切.（1）求圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與圓M交于A，B兩點(diǎn)，求.18.設(shè)，已知函數(shù)．（1）若函數(shù)曲線在點(diǎn)處的切線斜率為－1，求實(shí)數(shù)a的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．19.為響應(yīng)國(guó)家提出的“大眾創(chuàng)業(yè)萬眾創(chuàng)新”的號(hào)召，小王大學(xué)畢業(yè)后決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品.經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研，生產(chǎn)該小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本2萬元，每生產(chǎn)萬件，需另投入流動(dòng)成本萬元.已知在年產(chǎn)量不足4萬件時(shí)，，在年產(chǎn)量不小于4萬件時(shí)，.每件產(chǎn)品售價(jià)6元.通過市場(chǎng)分析，小王生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)年能全部售完.（1）寫出年利潤(rùn)（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬件）的函數(shù)解析式.（年利潤(rùn)=年銷售收入-年固定成本-流動(dòng)成本.）（2）年產(chǎn)量為多少萬件時(shí)，小王在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？20.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率是，短軸長(zhǎng)為2，若點(diǎn)分別是橢圓的左右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)，，直線交橢圓于點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）（i）求證：是定值；（ii）設(shè)的面積為，四邊形的面積為，求的最大值.21.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）已知有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，（i）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（ii）求的最小值．

閔行三中2024學(xué)年第二學(xué)期3月月考高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試卷滿分分值：150分完卷時(shí)間：120分鐘命題人：王定一?填空題（本大題共有12題，滿分54分，第16題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果1.已知拋物線的方程為，則其準(zhǔn)線方程為______．【答案】【解析】【分析】由題意可知，且焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，即可得準(zhǔn)線方程.【詳解】由題意可知，且焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，所以其準(zhǔn)線方程為.故答案為：.2.曲線在點(diǎn)處的切線斜率為_____________.【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋瑒t，可知曲線在點(diǎn)處的切線斜率.故答案為：.3.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦距是6，橢圓上的一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于10，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意求，即可得橢圓方程.【詳解】由題意可知：，即，則，且焦點(diǎn)在軸上，所以該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.4.雙曲線的漸近線方程是____________．【答案】【解析】【分析】由雙曲線的方程可知，，即可直接寫出其漸近線的方程.【詳解】由雙曲線的方程為，可知，；則雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.5.已知，則______．【答案】1【解析】【分析】直接求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)含義即可得到答案.【詳解】,，則.故答案為：1.6.從甲、乙、丙、丁四位家長(zhǎng)中選三人對(duì)某小學(xué)附近的三個(gè)路口維護(hù)交通，每個(gè)路口安排一人，則不同的安排方法有__________種.【答案】【解析】【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可，第一步從四個(gè)不同元素中選三個(gè)元素，第二步對(duì)所選元素進(jìn)行排列.【詳解】首先從四位家長(zhǎng)中選三人有種方法，然后將選出的三位家長(zhǎng)分別安排到三個(gè)路口有種方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，總的安排方法數(shù)為種.故答案為：7.若圓和圓外切，則______.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)兩圓外切則圓心距等于半徑之和即可求解.【詳解】圓圓心為，半徑為1，圓圓心為，所以圓心距，因?yàn)閮蓤A外切，所以,所以.故答案為：4.8.若，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則的最大值為______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線方程可得出的表達(dá)式，再結(jié)合并利用對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可求得的最大值為.【詳解】由橢圓可得，由雙曲線可得，所以，又，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；所以，即的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；故答案為：9.采礦、采石或取土?xí)r，常用炸藥包進(jìn)行爆破，部分爆破呈圓錐漏斗形狀（如圖），已知圓錐的母線長(zhǎng)是炸藥包的爆破半徑R，它的值是固定的．當(dāng)炸藥包埋的深度為_______可使爆破體積最大．【答案】【解析】【分析】先將圓錐的體積轉(zhuǎn)化為關(guān)于深處的關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系求得的最大值點(diǎn)，從而得解.【詳解】結(jié)合圖形，可知圓錐的體積為，又因?yàn)椋矗裕瑒t，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得最大值，所以炸藥包要埋在深處.故答案為：.10.設(shè)P是曲線上任意一點(diǎn)，則曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角α的取值范圍是__．【答案】【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)的值域，再結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性求解．【詳解】由已知得，由得．故答案為：．11.已知函數(shù)對(duì)有則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)，不妨設(shè)，由已知化簡(jiǎn)可得即在上遞增,進(jìn)而判斷可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意設(shè)，不妨設(shè)，，任意有可得即可得在上遞增,因?yàn)椋?dāng)時(shí)，恒成立，即在上遞增.當(dāng)時(shí)，不能恒成立，即在不符合單調(diào)遞增.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：12.定義在R上的奇函數(shù)y=f（x）滿足f（3）=0，且當(dāng)x＞0時(shí)，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，則函數(shù)g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_______.【答案】3【解析】【分析】要求函數(shù)g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象的個(gè)數(shù)．根據(jù)已知條件可判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，進(jìn)而畫函數(shù)的圖象，觀察兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可．【詳解】令，因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，所以當(dāng)x＞0時(shí)，．所以函數(shù)在上為增函數(shù)．因?yàn)閥=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以．所以函數(shù)為偶函數(shù)，且函數(shù)在上為減函數(shù)．因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)y=f（x）滿足f（3）=0，所以．所以．做函數(shù)與函數(shù)的圖象如圖所示．由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)．所以函數(shù)g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，方法一，零點(diǎn)存在性定理的運(yùn)用；方法二，函數(shù)與方程的關(guān)系，零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)的判斷；方法三，可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題．本題由條件“不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，”應(yīng)想到構(gòu)造函數(shù)．二?選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）13.下列選項(xiàng)中，不屬于排列問題的是（）A.從六名學(xué)生中選三名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽，共有多少種選法B.有十二名學(xué)生參加植樹活動(dòng)，要求三人一組，共有多少種分組方案C.從3，5，7，9中任選兩個(gè)數(shù)做指數(shù)運(yùn)算，可以得到多少個(gè)冪D.從中任取兩個(gè)數(shù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，可以得到多少個(gè)不同的點(diǎn)【答案】B【解析】【分析】排列是要求有順序的，故而只需看每個(gè)選項(xiàng)中的是否和順序有關(guān)即可.【詳解】A.選出3名學(xué)生后，哪位同學(xué)參加哪門競(jìng)賽需再排序，故屬于排列問題，故A錯(cuò)誤；B.分組無順序，故不屬于排列問題，B正確；C.如和是不同的，即哪個(gè)數(shù)作指數(shù)和底數(shù)是不同的，故屬于排列問題，故C錯(cuò)誤；D.如和是不同的點(diǎn)，故屬于排列問題，故D錯(cuò)誤.故選：B.14.如果且，那么直線不經(jīng)過（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橫截距和縱截距的范圍求得正確答案.【詳解】由且，可得同號(hào)，異號(hào)，所以也是異號(hào)；令，得；令，得；所以直線不經(jīng)過第三象限.故選：C15.如果函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則以下關(guān)于判斷正確的是（）A.在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù) B.在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)C.是極小值點(diǎn) D.是極小值點(diǎn)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖象分析在不同區(qū)間上取值的正負(fù)，然后判斷相應(yīng)的單調(diào)性，即可判斷每個(gè)選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，由圖象知在上取正值，所以在上遞增，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由圖象知在上取正值，所以在上遞增，B正確；對(duì)于C，由圖象知在某個(gè)上取負(fù)值，這里，所以在上遞減，從而不可能是的極值點(diǎn)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由圖象知在上取正值，在某個(gè)上取負(fù)值，這里，所以在上遞增，在上遞減，從而是的極大值點(diǎn)，D錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于使用圖象判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，再由此確定函數(shù)的單調(diào)性.16.已知函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意恒成立，關(guān)于下列兩個(gè)命題的判斷，說法正確的是（）命題①：方程至多只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；命題②：若是以2為周期的周期函數(shù)，則對(duì)任意，都有．A.①真命題；②假命題 B.①假命題；②真命題C.①真命題；②真命題 D.①假命題；②假命題【答案】C【解析】【分析】對(duì)于命題①：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性分析其零點(diǎn)即可；對(duì)于命題②：利用函數(shù)是定義域?yàn)榈闹芷诤瘮?shù)，知函數(shù)在一個(gè)周期上必有最大值和最小值，再利用條件，得到，再對(duì)與1的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論，即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋矗瑢?duì)于命題①：令，故，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則至多有一個(gè)零點(diǎn)，所以方程至多只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，故命題①為真命題；對(duì)于命題②：因?yàn)楹瘮?shù)是周期為2，取一個(gè)周期，由題意可知在內(nèi)連續(xù)不斷，則在內(nèi)必有最大值和最小值，設(shè)在內(nèi)的最大值為，最小值為，設(shè)，，且，對(duì)任意，顯然時(shí)，恒成立，下面考慮的情況，由導(dǎo)數(shù)定義可知，即，若，則成立；若，設(shè)，即，則，且，可得，所以成立；綜上所述：對(duì)任意實(shí)數(shù)，都成立，故命題②為真命題；故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于命題②：設(shè)的最大值為，最小值為，在一個(gè)周期上，，當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立，當(dāng)時(shí)，利用不等式的性質(zhì)可證明.三?解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.17.已知圓的圓心為，且與直線相切.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與圓M交于A，B兩點(diǎn)，求.【答案】（1）+（2）【解析】【分析】（1）由圓心到切線的距離等于半徑求得半徑后可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求出圓心到弦所在直線的距離，由勾股定理求得弦長(zhǎng)．【小問1詳解】因?yàn)閳A心為，所以圓心M到切線的距離=，所以半徑，所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+；小問2詳解】由題可知圓心M到直線的距離=，又由（1）知半徑，所以=，所以=．18.設(shè)，已知函數(shù)．（1）若函數(shù)曲線在點(diǎn)處的切線斜率為－1，求實(shí)數(shù)a的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）；減區(qū)間是，增區(qū)間是（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由，求出a的值即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性討論a的范圍即得.【小問1詳解】由得，由曲線在處切線斜率為-1，可得，.,當(dāng)單調(diào)遞增；單調(diào)遞減.減區(qū)間是，增區(qū)間是.【小問2詳解】由得：①時(shí)，，∴在遞增，滿足函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格增，②時(shí)，時(shí)，，在遞增，若函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格增，綜上可得19.為響應(yīng)國(guó)家提出的“大眾創(chuàng)業(yè)萬眾創(chuàng)新”的號(hào)召，小王大學(xué)畢業(yè)后決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品.經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研，生產(chǎn)該小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本2萬元，每生產(chǎn)萬件，需另投入流動(dòng)成本萬元.已知在年產(chǎn)量不足4萬件時(shí)，，在年產(chǎn)量不小于4萬件時(shí)，.每件產(chǎn)品售價(jià)6元.通過市場(chǎng)分析，小王生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)年能全部售完.（1）寫出年利潤(rùn)（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬件）的函數(shù)解析式.（年利潤(rùn)=年銷售收入-年固定成本-流動(dòng)成本.）（2）年產(chǎn)量為多少萬件時(shí)，小王在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？【答案】（1）；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為8萬件時(shí)，所獲年利潤(rùn)最大，為9萬元.【解析】【分析】（1）分以及，分別求解得出表達(dá)式，寫成分段函數(shù)即可；（2）當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)得出.然后根據(jù)基本不等式求出時(shí)，的最值，比較即可得出答案.【小問1詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，令，解得.易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).綜上，當(dāng)年產(chǎn)量為8萬件時(shí)，所獲年利潤(rùn)最大，為9萬元.20.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率是，短軸長(zhǎng)為2，若點(diǎn)分別是橢圓的左右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)，，直線交橢圓于點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）（i）求證：是定值；（ii）設(shè)面積為，四邊形的面積為，求的最大值.【答案】（1）；（2）①證明見解析；②1.【解析】【分析】（1）由已知得的值，再由離心率求出關(guān)系，即可求出橢圓方程.（2）①由（1）得，求出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出坐標(biāo)，即可證明結(jié)論；②，將表示為關(guān)于的函數(shù)，進(jìn)而得出關(guān)于的函數(shù)，整