專題22圓錐曲線軌跡全歸納

更盤點?置擊看老

M目錄

題型一：定義法：圓型............................................................................1

題型二：橢圓定義型..............................................................................3

題型三：雙曲線定義型............................................................................6

題型四：拋物線定義型...........................................................................9

題型五：直接設點型.............................................................................13

題型六：相關點代入法...........................................................................16

題型七：交軌法.................................................................................18

題型八：參數消參法............................................................................21

題型九：空間型：坐標法.........................................................................24

題型十：空間型：截面型曲線軌跡.................................................................29

題型十一：空間型：雙球圓錐型...................................................................33

題型十二：立體幾何定角型.......................................................................37

題型十三：復數中的軌跡........................................................................41

更突圍?錯;住握分

題型一：定義法：圓型

指I點I迷I津

如果動點P的運動規律合乎我們已知的某種曲線(如圓、橢圓、雙曲線、拋物線)的定義，可直接寫出所

求的動點的軌跡方程，這種方法叫做定義法.

平面內到一定點的距離等于定長的點的軌跡是圓，定點為圓心，定長為圓的半徑.

(1)若直線含參，參數在x系數出，則不包含豎直，如y=k(x-1)+1,不含想x=1

(2)若直線含參，參數在y的系數出，則不含水平，如x+m(y-1)+2=0,不含y=1

(3)若直線參數在常數位置，則為一系列平行線，如x+y+c=0與y=-x平行

1.(22-23高三?四川綿陽,階段練習)已知加eR,若過定點A的動直線4：+機-2=。和過定點8的動

直線小丁-4=-加尤+2)交于點?(尸與A,B不重合)，則錯誤的是()

A.A點的坐標為(2,1)B.點尸的軌跡方程Y+y2-5y=0

C.R42+PB2=25D.2B4+P3的最大值為5班

【答案】B

【分析】求出直線恒過的定點可判斷A,由已知可得兩條直線互相垂直，由此可驗證B、C,由已知可得m，PB,

設=進而求出2R4+P8的最大值，即可判斷D.

【詳解】由動直線4：x-，〃y+〃L2=。，得％-2+機(1一))=0,所以定點4(2,1),故A正確；

由動直線4：y-4=Tw(x+2),可得5(-2,4),

由:x-wy+/W-2=0和4："zx+y-4+2機=0,滿足lx機+(-〃j)xl=0

所以ZjL/z，可得R4_LPB,

22

所以+|PB|=|AB|=(2+2)2+(1-4)2=25,故c正確；

設尸(x,y),則(x-2y+(y-l)2+(x+2)2+(y-4)2=25,

即點尸的軌跡方程為Y+y2-5y=0,而尸與A,8不重合，貝ljxw：±2,故B錯誤；

因為設=。為銳角，則|B4|=5cos。，|PB|=5sin。，

所以2|R4|+|P同=5(2cose+sin6)=5gsin(e+。),

所以當sin(O+0)=l時，2|上4|+|正外取最大值5石，故D正確.

故選:B.

2.(2022高三?全國?專題練習)設機?R,過定點A的動直線x+沖+機=0和過定點8的動直線5-y-m+2=0

交于點尸@y),則I正如+1尸例的取值范圍是()_

A.[V5,2A/5]B.[A/10,275]C.[而4的D.[2下,4布]

【答案】B

【分析】先由兩直線方程求出48的坐標，由于兩直線垂直，所以|叢|2+|四|2=|48|2=10,若設/45「=6,

則1PAi=Msin。，|PB|=710cos然后表示出I尸A|+1P81變形后，利用三角函數的性質可求得其范圍.

【詳解】解：由題意可知，動直線x+my+m=。經過定點A(0,-l),

動直線M-y-相+2=0,即加(x-l)-y+2=0,經過點定點8(1,2),

...動直線x+沖+機=。和動直線-丫-相+2=0的斜率之積為一1,始終垂直，

尸又是兩條直線的交點，E4J_PB,」如F+1尸8/=|AB/=10.設ZABP=0,貝！]|PA|=癡sin。，|P81=VHicos。，

由|PA|..O且|尸8|..0,可得6e[0,―]:\PA\+\PB\=^(sin9+cos6>)=275sin(6>+-),0e[0,—],

242

.?.8+feC，^],Sin(0+-)e[^,1],2氐in(。+f)e,26],故選：B.

444424

【點睛】關鍵點點睛：此題考查直線過定點問題，考查兩直線的位置關系，考查三角函數的應用，解題的

關鍵是由已知得到\PA^+\PB|2=|AB|2=10,通過三角換元轉化為利用三角函數的性質求IPA\+\PB\的取值

范圍，考查數學轉化思想，屬于較難題.

3.(24-25高三?福建廈門?階段練習)已知。(0,0),。]。,當)直線4：依-y+2左+3=0,直線

l2:x+ky+3k+2=0,若尸為44的交點，則31Poi+2|PQ|的最小值為()

A.3y/3B.6—3A/2C.9-3,\/2D.3+*\/6

【答案】A

【分析】利用直線過定點及兩直線位置關系先確定P的軌跡，取點構造相似結合三角形三邊關系計算即可.

【詳角單】因為直線4：質一y+2%+3=0,直線4:x+外+3上+2=。，易知/1J.4，

且44分別過定點4(一2,3),3(—2,-3),取其中點C(—2,0),易知APL5尸,

則尸點在以C為圓心，3為半徑的圓上，取點連接PE,QE,QP,

不難發現p注c=CWO=2]，貝【「△月。。?△ECP,所以P胃O=12

則3|尸。|+2\PQ\=2(|PE|+|Pe|)>2\QE\=2^QO2+OE2=36,

當且僅當P、。、E三點共線，且P與線段和圓C的交點重合時取得等號.

故選：A.

4.（22-23高三?福建莆田?階段練習）已知機eR,若過定點A的動直線乙：x-邛y+根-2=。和過定點3的動

直線4：y-4=-根（X+2）交于點尸（P與4,8不重合），則下列結論中正確的是（）

A.A點的坐標為（2,1）B.點尸的軌跡方程/+y2-5y=0

C.PA2+PB2=25D.2R4+PB的最大值為56

【答案】ACD

【分析】根據定點判斷方法、直線垂直關系、勾股定理、三角函數輔助角求最值即可得解.

【詳解】對于選項A：

I1:兀_沖+根—2=0可以轉化為機（l_y）+%_2=0,

故直線恒過定點A（2,1）,故該選項正確；

對于選項C：4：y_4=T〃（x+2）恒過定點8（-2,4）,由/,:x-my+m-2=0和l2:twc+y-4+2m=0,

足lx"z+（—m）xl=0,所以可得PA±PB,所以砰=（2+2）2+（1—4）2=25,故

C正確；

對于選項B：設P（x,y）,則（x-2）2+（y-l）2+（x+2）2+（y-4）2=25,

即點P的軌跡方程為f+丁_5y=0,而P與A,B不重合，則挖去A,B兩點故B錯誤；

對于選項D：

因為PA±PB,設NPAB=e,e為銳角,則|M=5cosa網=5sin6,

所以2|到+|尸目=5（2cos6+sine）=58in（6+°）,所以當sin（。+同=1時，2\PA\+\PB\取最大值5百,

故D正確.

故選：ACD.

5.（22-23高三?新疆烏魯木齊?階段練習）設加eR,過定點A的動直線x+畋+1=0和過定點B的動直線

m-丫-2%+3=。交于點尸（x,y）,則尸點的軌跡方程是

【分析】根據兩直線的方程可求得定點A、3的坐標，以及兩直線垂直，進而可得尸點的軌跡是以AB為直

徑的圓，即得.

【詳解】由x+股+1=0可知=所以該直線過定點4（一1,0）,

由〃zx-y-2機+3=0可得加（％-2）=,一3,所以該直線過定點3（2,3）,因為1XM7—M7X1=O,

所以直線x+叼+1=0與力叱->-2m+3=0垂直，所以24_1_尸3,即尸點的軌跡是以A3為直徑的圓,

所以尸點的軌跡方程是口-二1-1j=㈠一?”,即

題型二：橢圓定義型

；指I點I迷I津：

平面內與兩個定點F1,F2的距離之和等于常數（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓：

；的點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距

二石6五一缸而近語:麗5而百~~^POQ=60°~尊研碗7鬲運轉%-2'?有"謝不誦:萬名'VABC鬲’

重心，B,C分別在射線。尸，。。上運動，記/的軌跡為C1,G的軌跡為G,則（）

A.G為部分圓，a為部分橢圓B.G為部分圓，G為線段

c.G為部分橢圓，C?為線段D.G為部分橢圓，c2也為部分橢圓

【答案】c

【分析】建系如圖，由兩點間距離公式結合中點坐標公式可得點M的軌跡方程，由此得G為部分橢圓；過

點A作與y軸垂直的直線分別交0尸于點E,交OQ于點尸，得等邊"EF,由平面幾何可得G是等邊AOEF

的外心，由此可得點G的軌跡G為y軸在曲線內的一段線段.

【詳解】以。為原點，以NPOQ的角平分線為y軸建立平面直角坐標系如圖所示.

依題意得直線OQ的方程為y=^3x,直線。尸的方程為y=-瓜.

設點8伍,一回)，C(c,V3c),由因=2得僅一c)z+3僅+4=4(*),

x=b+c=2x

設點M(x,y)，因為M是8c的中點，所以＜

y=

4J\

將其代入(*)得；/+12無2=4,即可+了一1,故M的軌跡C］為橢圓在4POQ內部的部分.

3

過點A作與y軸垂直的直線分別交O尸于點E,交0Q于點F,貝心OEF顯然也是等邊三角形.

下面證明等邊VABC的重心G即等邊AOEF的外心.

設/OCB=e,貝IjNOBC=120。一6=ZAC尸，又N3OC=NCE4=60°,且BC=AC,所以尸G4,

因此OC=AF.

在AOGC和△/G4中，ZOCG=0+30°=ZFAG,又G4=GC,所以AOGC=G4,則OG=fU,同理可

證OG=EG,即點G是等邊AOEF的外心，所以，點G在》軸上移動，故點G的軌跡g為y軸在曲線C1內

【點睛】關鍵點點睛：建立適當的坐標系是解決本題的關鍵.

,rr,irr

2.(2024?浙江紹興?模擬預測)單位向量力向量分滿足k+6卜1夕6+2,若存在兩個均滿足此條件的向量

irirzirrx

瓦,￡,使得優+%=X他+a),設￡,瓦,￡在起點為原點時，終點分別為4穌當.則S△四當的最大值()

A.2上B.6C.4D.2

【答案】B

22

【分析】設商=(1,。)，方=(x,y),整理得?+］=i,可知點用,當在橢圓上，設層關于點。的對稱點為名，

分析可知A,Bt,B3三點共線，結合橢圓性質分析求解.

【詳解】由題意不妨設萬=(1,0),b=(x,y),貝U?+B=(x+l,y),

因為忖+W=］萬,6+2,則+1)~+y2=—x+2,整理得+=1,

可知向量B的終點B的軌跡為橢圓，且4（1,0）為橢圓的右焦點，

可知點耳㈤在橢圓上，設與關于點。的對稱點為名，因為瓦+￡=彳（￡+可，則瓦=（彳-1）￡+熱，

yjk

——廠'^

可得。4=（1—4）083+23，由（1一九）+2=1可知A為鳥三點共線，一~9多Z}勺

x

設耳G，X）,因為。為線段當員的中點，則山鄉q=2%期=2x；|o4聞=回區右，

當且僅當月為短軸頂點時，等號成立，所以S△叫&的最大值為6?故選：B.

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點有兩點：

L設@=（1,0）,石=（x,y）,求得向量B的終點B的軌跡為橢圓；

2設.B2關于點。的對稱點為鳥，可知A綜鳥三點共線.

3.（23-24高三上?上海?模擬）設圓。]和圓。2是兩個定圓，動圓P與這兩個定圓都相切，則動圓尸的圓心的

軌跡不可能是（）

00（OC

【答案】A

【分析】按動圓P與圓。I、圓。2內切、外切情況分類，結合橢圓、雙曲線定義確定軌跡的可能情況即得.

【詳解】設動圓尸的半徑為「，圓。1和圓。2的半徑分別是小4，

①當4=馬，且兩圓外離時，|。。2>4+4，

r+r=O,P\r—ry=O,P

若圓尸與圓。1、圓。2都外切或都內切，則有或_JD，

r+^2—Cz2r丫2—'*

于是11=1O2P\,此時點P的軌跡是線段。。2的中垂線；

r-r,=0,P[r+r,=0,P

若圓尸與圓。|、圓。2一個外切一個內切，則有八。或JD

r+r2=O2Pr-r,=O2P

于是11。佇-|。2Pll=：i+4,此時點P的軌跡是雙曲線，

因此此時點尸的軌跡是一條直線和一個雙曲線，B可能；

②當4片4，且兩圓內含時（不妨設。馬），1OXO2\<rx-r2<rx+r2,

若圓尸與圓。1、圓。2都內切，貝第'L即有|qp|+|QH=L0此時尸點軌跡為橢圓；

T—丫2=。2門

r,-r=0,P\1111

若圓尸與圓。I內切、與圓。2外切時，貝I有_'即有|0/|+|。2尸|=

r.+r2,此時尸點軌跡為橢圓;

r+R—

因此尸點軌跡為兩個橢圓，C可能；

③當兩圓々片弓且兩圓外離時（不妨設石>4）,1。。2\>rx+r2>rx-r2,

r+r,-O,P\fr-r=0,P\

若圓P與圓。1、圓o?都外切或都內切，則有或1_'L

廠+乃二02門|r一2二02門

有I?PI—iaHI=La，尸點軌跡為雙曲線；

r-n=O,P\fr+r=0P\

若圓尸與圓。1、圓。2一個外切一個內切，則有或}

有|qr—14尸|=卷+々,尸點軌跡為雙曲線,

因此尸點軌跡為兩個雙曲線，D可能；

而兩個圓相交或相外切時，P點軌跡是被直線。。2分成的不連續的兩段圖形，軌跡不可能是完整的橢圓

兩圓內切時，P點軌跡是直線。。2被其中較大的圓分成的在該圓外部的兩條射線(不含端點)，A不可能.

故選：A

【點睛】關鍵點睛：涉及軌跡形狀的判斷問題，利用基本軌跡定理、橢圓、雙曲線及拋物線定義是求解問

題的關鍵.

4.(23-24高三?陜西榆林?模擬)已知點N(2,0),動點A在圓跖(尤+2丫+/=64上運動，線段AN的垂直

平分線交AM于尸點，則尸的軌跡方程為；若動點0在圓(x+iy+y2=1上運動,則|尸0的最大值為.

22

【答案】—r+^v=16

1612

【分析】由題意得出R4=PN,得到點P滿足|PM|+|PN|=8>4,根據橢圓的定義，求得點P表示MN為

焦點的橢圓，即可求解.

將求盧。|最大值的問題，轉化為求點尸到圓心C(-LO)距離最大值的問題，結合點P滿足橢圓方程，轉化為

二次函數求給定區間的最大值即可.

【詳解】由題意，圓(x+2)2+V=64的圓心為M(-2,0),點N(2,0),線段AN的垂直平分線交AM于點尸，

所以尸是⑷V的垂直平分線上的一點，所以|即=|PN|,又由|AM|=8,所以點P滿足1PMi+|尸兇=8>4,

根據橢圓的定義，可得點尸表示為焦點的橢圓，其中2a=8,2c=4,

22

可得a=4,c=2,所以=7=12,所以橢圓的方程為—+匕=1.

1612

22?

,?,圓C的方程為(x+iy+y2=i,.?.圓心c(-l,o),半徑廠=1,設尸(x,y),則友+氣=1,j?二口一廣，

P到圓心C的距離1Pq=J(x+l)2+y2=^(X+1)2+12-|X2=￡(x+4)2+9,

又無目T,4].?.當x=4時，|PC|取得最大值5,尸。的最大值為：1Pqim+廠=5+1=6,

22

故答案為：上+二=1,

1612

題型三：雙曲線定義型

指I點I迷I津

平面內與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等于常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定

點做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.

1.(22-23高三?江西?階段練習)已知點電,2后)，8(2夜,0),點尸為圓X2+/-5A/2X+V2j+12=0上一

點，則|叫T冏的最小值為()

A.2B.4C.逑D.盛

55

【答案】D

【分析】A,8為兩個定點，問題可轉化為以A,8為焦點的雙曲線與圓有交點，由此求|網-|尸目的最小值.

【詳解】圓C：X2+/-5A/2X+圓心

(5^2㈤

c

2'2

I乙乙)

由％AB=%BC=-1,所以A,B,C二點共線,

問題可以轉化為：已知點4(-2,0),8(2,0),點尸為圓C:(x-3)2+y2=l上一點，求121H冏的最小值,

設4Hp3|=2a(a>0),則點尸軌跡為以A,8為焦點的雙曲線的右支，

22

雙曲線方程為二-一二=1,由點尸在圓C:(X-3)2+/=1上，所以雙曲線與圓有交點,

a4—a

尤2/

=1

由-a14-a2,消去y,得4——6a2工+々4+4/=0,

。-3)“2=1

42

224=20fl-64a>0,解得心拽,

A=(-6fl)-16(fl+4?,2

5

則|PA|-|尸8|=2a2竽，所以附-阿的最小值竽.

故選：D

【點睛】1.求雙曲線的標準方程的基本方法是待定系數法.具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標

準方程的形式，然后再根據a,b,c,e及漸近線之間的關系，求出a,6的值.

2.解答曲線與曲線相交的題目時，時常把兩個曲線的方程聯立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助

根與系數的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系，要強化聯立得出一元二次方程后的運算能

力，重視根與系數之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題.

2.(21-22高三?江蘇南通?階段練習)在矩形WA中，AA=8,AB=6,把邊AB分成w等份，在83的

延長線上，以B'B的“分之一為單位長度連續取點.過邊上各分點和點A作直線，過*8延長線上的對應

分點和點A作直線，這兩條直線的交點為P,如圖建立平面直角坐標系，則點P滿足的方程可能是()

22

D.---^=l(x>8,y>0)

6436、'

【答案】C

【分析】設尸(1,%),結合題意找出/與%的關系式，即可求解.

【詳解】設%),貝斯“，為N。，根據題意，易得直線lA.P:y=(x+4),直線:y=七(x-4).

由心：y=U、(x+4),令無=4,得>=&、，因此邊A2上各分點坐標為

尤o+4%+4(xo+4)

由L：y=(x-4),令y=6,得元=研“。-4)+4,因此臺為延長線上的對應分點坐標為|鮑二夕+4,6

%-4%I%

65-4)8%72

結合題意，可知y0%+4，化簡得無-九=1.

——=-^—169

86

22

因此點P滿足的方程為：—-^=l(x>4,y>0).

169v7

故選：C.

3.(2018高三上?全國?專題練習)已知定點耳(-2,0),月(2,0),N是圓0：//1上任意一點，點^關

于點N的對稱點為M,線段片加的中垂線與直線7yl相交于點P,則點P的軌跡是

A.直線B.圓

C.橢圓D.雙曲線

【答案】D

【分析】由N是圓。:/+產=1上任意一點，可得ON=1,結合已知，由垂直平分線的性質可得PM=P￡,

從而可得|沙-P耳|=|時-"用=崢=2ON=2為定值，由雙曲線的定義可得點尸的軌跡是以用，工為焦點

的雙曲線.

【詳解】/Jd因為N為居M中點，。為用工中點，所以|&M|=2|ON|=2,

因為P在線段邛0的中垂線上，所以|P￡I=|PM|,因此歸KH尸周=￡M=2|ON|=2,即點P的軌跡是雙曲

線，故選D.

【點睛】本題主要考查定義法求軌跡方程、雙曲線定義的應用，屬于難題.求軌跡方程的常見方法有:①直接

法，設出動點的坐標(x,y),根據題意列出關于羽y的等式即可；②定義法，根據題意動點符合已知曲線的

定義，直接求出方程；③參數法，把x，y分別用第三個變量表示，消去參數即可；④逆代法，將

代入/■(%,%)=。.

4.(20-21高三?湖北武漢,模擬)在平面直角坐標系xOy中，動點P與兩個定點片卜石,0)和鳥(石連線

的斜率之積等于;，記點尸的軌跡為曲線E,直線/：丫=左(》一2)與￡交于人，8兩點，貝IJ()

A.E的方程為‘-丁之B.E的離心率為6

C.E的漸近線與圓(x-2『+y2=l相切D.滿足|AB|=2g的直線/有2條

【答案】CD

yy1x21—

【解析】由已知結合斜率的兩點式有二方?甘方="即可得E的方程為9=門3士石，進而可求E

的離心率，利用圓心到E的漸近線距離判斷圓與E的漸近線的位置關系，聯立直線/與曲線E,結合

|筋|=71二記|占-尤21求％值的個數，由此即可判斷各選項的正誤.

yV12I—

【詳解】令玖尤,了），由題意得：太后,廣百=§,即得,r一/=1/*±百，

EIA錯誤，又a=0,c=2,即e=^g,故B錯誤，

3

由E的漸近線為y=±*x,而（x-2『+丁=1圓心為（2,0）,半徑為1,

_2坦

回(2,0)至ljy=是巨離為d=/3=1,故E的漸近線與圓（x-2『+y2=l相切，故C正確,

3月

聯立曲線E與直線/的方程,整理得：（1-3獷）/+12/無一3（4/+1）=0,A=l+F>0,

2

El&+/=］,尤述2=；），ffi!|AB|=yjl+k|-x21=2^,

代入整理：|叫=2*］：）=26即有左2=1或公=0（由y=0與y2=i,x*±6無交點，舍去），故

k=+l,E1D正確.故選：CD

【點睛】易錯點睛：

（1）兩點式表示斜率時要保證分母不為0,從而確定曲線E的軌跡要去掉xw±g.

（2）由|=J1+/|-々1=2有求得k值要考慮曲線E的軌跡不包含x手七耳的情況舍掉增根.

5.（24-25高三?全國?模擬）過曲線C上一點P作圓d+y2=i的兩條切線，切點分別為若kpA?PB=2,

則曲線C的方程為.

【答案】2x2-y2=l且xri）

【分析】設尸及切線方程，由直線與圓相切得出關于斜率左的方程，由判別式得出片+$>1,再由斜率關

系計算即可.

【詳解】設POo，%），則過點P的切線方程為丁一%=左（3-%），即依-y+%-心=。,

所以［甫=1,得（片-1）二一2%%左+上一1=0,

則如，如是此方程的兩根，A=4x：y；-4（x：-I）（y：-l）>0,即君+尤>1,

7

故kpA，kpB=2,得2片一%二1而要滿足題意需P在圓外，則%>§，

7

即曲線C的方程為2--/=1（f>:且Vwl）.

故答案為：2尤2-〉2=1（/>］且燈21）

題型四：拋物線定義型

指I點I迷I津：

平面內與一個定點F和一條定直線1（1不經過點F）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線：

的焦點，直線I叫做拋物線的準線.

1?'（2i-27高三示.薪江薪酶芍廠巨而簫F（b7i）7直磅7；J二二i'~p旃而言奇高-a萬在首第

垂線，垂足為。，且詼?/=喬,河，動點尸的軌跡為C,已知圓M過定點。（0,2）,圓心M在軌跡C

上運動，且圓M與x軸交于A、2兩點，設|。4|=乙，|。為=/2,則%+乎的最大值為（）

12,1

A.2B.3C.272D.372

【答案】C

【分析】利用數量積運算可得動點P的軌跡C方程，設M4，￡進而得至岷M的方程為：

22

-4+（—）7+/2）2，可得A32,0）,如-2,。），利用兩點之間的距離公式可得,

*+}=與詈=*16，再利用基本不等式即可得出.

，2v（2+64

【詳解】設尸（X,y）,則Q（x,-1）,

0QP-QF=FPFQ,0(0,y+l),(—x,2)=(x,y~l)'(x,—2),02(y+l)=x2—2(^—1),Elr2=4y.

團動點尸的軌跡C為：Jc2=4y.設（oGIR）.則IW的方程為：（x-a）?+（y/+（?-2>.

2

22

化為X2-lax+y--^-y=4-a.令y=0,貝!JN—2qx+〃2=4,解得X=〃+2,或〃-2.

取A(〃+2,0),B(a~2,0).回|D4|=//=J(a+2)2+4,|Q8|=〃=J(a-2)2+4.當〃工0時,

116

4J_2〃+162(4+8)2_?]?16a221+-----

丁廠優二而+64=">+64-V\+646420，當且僅當

a2H—Q

a

”=±2近時取等號.當。=0時，7t+j=2.綜上可得：:’的最大值為20.故選：C.

’2’121

2.（2024高三?全國?專題練習）已知尸是直線/：x-y-2=0上的一個動點，過點尸作拋物線C:y=d的兩條

切線R4,PB,切點分別為A,B,則AAPB的重心G的軌跡方程為（）

142412

A.y=—x2——%+一B.y=-x2——%+一

333333

214421

C.y=—x2——x+—D.y=—x2——x+—

333333

【答案】B

【分析】設a01，%）,B（x2.y2）-的重心為G（x,y）,由定理1.1知P（E券,萬62），再由重心公式得

至1］與=無，力=4尤2-3y,代入直線/方程整理即可.

【詳解】設4（久】,月），BO2,%），△上鉆的重心為G（x,y）.

由定理1.1知P（詈,萬62），則由三角形的重心坐標公式，

可得x=%+1+Xp=辱,

_M+>2+力_X；+￥+%尤2_（玉+*2）—XiX2_421

y=-3-=-3-=3,一廠

2

于是，xp=x,yp=4xp-3y=4x-3yf

由點尸在直線/：元_y_2=0上得x_（4*_3y）_2=0,即y=+

其中定理1.1及證明：如圖，拋物線f=2py（p>0）上兩個不同的點A,B的坐標分別為4（xi，y）8（孫均），

以A,8為切點的切線以，尸3相交于點尸，我們稱弦42為阿基米德△上鉆的底邊.

所以過點A的切線方程為y-4=土"-％）,過點B的切線方程為y-4=邃5-%）,聯立這兩個方程

,消去可得了=丑/，再將x=q追代入點A處的切線方程，

22

可得>=￥+土（上產-%]=畢.這表明，點尸的坐標為（三三，竽].故選：B.

3.（20-21高三?廣西南寧?模擬）拋物線：y2=4x的過焦點的弦的中點的軌跡方程為（）

A.y2=x-1B.y~=x-/C.y~=2（x-1）D.y~=2x—1

【答案】C

【解析】設出過焦點的直線方程，與拋物線方程聯立求出兩根之和，可得中點的坐標，消去參數可得中點

的軌跡方程.

【詳解】由拋物線的方程可得焦點尸（1,0）,可得過焦點的直線的斜率不為0,

設直線方程為：X=my+1,

設直線與拋物線的交點A&,%）,B（X2,%）,設A3的中點P（x,y）,

聯立直線與拋物線的方程可得：

22

y-4my-4=0,%+%=4根，^+x2=m（yt+y2）+2=4m+2,

Y—2fli+]

',消去機可得產的軌跡方程：y2=2x-2,故選：C.

{y=2m

【點睛】方法點睛：求軌跡方程的常見方法有：1、定義法；2、待定系數法；3、直接求軌跡法；4、反求

法；5、參數方程法等等.

4.（2024?浙江?模擬預測）已知曲線C上的點滿足：到定點（1,0）與定直線'軸的距離的差為定值機，其中,

點A,8分別為曲線C上的兩點，且點8恒在點A的右側，則（）

A.若機=g,則曲線C的圖象為一條拋物線

B.若機=1,則曲線C的方程為V=4x

C.當7"＞1時，對于任意的A（X，%）,3（9,%）,都有㈤＞闖

D.當心＜-1時，對于任意的A（%,%）,8優,％）,都有㈤＞同

【答案］AC

【分析】設曲線C上的點P（x,y）,由題意求出的方程，分x20、x＜0化簡后逐項判斷可得答案.

【詳解】對于A,若機=；,設曲線C上的點P（x,y）,由題意可得小》-吁+六一禺=g,

化簡得y2=2x+W—9當XNO時，y=3x--為拋物線，

1144

33

當x＜°時’因為x＜。，所以尤-丁。，而冷0,顯然不成立,

綜上，若則曲線C的圖象為一條拋物線，故A錯^________

對于B,若m=1,設曲線C上的點P（x,y）,由題意可得，a-1）2+丫2一國=1,

化簡得V=2X+2N，當時，產=以為拋物線，當無＜0時，y=0為一條射線，故B錯誤;

對于C,若m＞1,設曲線C上的點P（x,y）,由題意可得J（x-l『+y2-0=加，

化簡得丁=2x+2機國+4一1,因為m＞1,當時，y2=2（m+l）|x--y

一帆）（

為開口向右，頂點為［/虧1,oj的拋物線的一部分,，當x＜0時，/=2（l-777）lx1-|—-rvi

為開口向左，頂點為（手,4的拋物線的一部分，，且（一,。］與［T,可關于舊對稱,其圖象大致如

下，

因為4（%,%）,3（%，%）兩點的縱坐標相同，根據對稱性可得閭＞國，故c正確;

對于D,若相＜-1,設曲線C上的點P（K,y）,由題意可得+;/-|x|=m,

為開口向右，頂點為（臂,。］的拋物線的一部分，且（一'°j與（亨，“關于x=；對稱，其圖象大致如下，

因為A&,%）,3（.，%）兩點的縱坐標相同，根據對稱性可得閭＜同，故D錯誤.

故選：AC.

【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵點是設曲線C上的點P(x,y),求出尸點的軌跡方程，數形結合求出答案.

5.(24-25高三?全國?模擬)設廠(1,0),點M在x軸上，點尸在y軸上，且麗=2旃，PM1PF>當點尸在

'軸上運動時，點N的軌跡方程為.

【答案】y2=4x

【分析】設知(知0)，尸(0,%),N(x,y),根據而_)_麗可得%+y：=0,根據麗=2而可得毛=-x,%=gy,

代入即可得結果.

【詳解】設M(%,0),「(。,%)，陽羽,八則加=5,-%)//］。,-%),MN=(x-x0,y),MP=(-x0,y0),

無o=—x

UU1UULUx-x0=-2x0

因為兩1而，貝尸=%+尤=0,又因為麗=2詼，則、，即11

y=2%%=5〉

2

可得T+2=0,2

即y2=4x.故點N的軌跡方程是y2=4x.故答案為：y=4x.

4

題型五：直接設點型

指I點I迷I津

如果動點運動的條件就是一些幾何量的等量關系，這些條件簡單明確，不需要特殊的技巧，易于表述

成含的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法.

(1)到線段兩端點相等的點的軌跡是該線段的垂直平分線.

(2)到角的兩邊相等的點的軌跡是該角的平分線及外角平分線.

(3)平面內到一定點的距離等于定長的點的軌跡是圓，定點為圓心，定長為圓的半徑.

求解過程：

(1)建系：建立適當的坐標系

(2)設點：設軌跡上的任一點P(x,y)

(3)列式：列出有限制關系的幾何等式

(4)代換：將軌跡所滿足的條件用含的代數式表示，

(5)檢驗：對某些特殊值應另外補充檢驗.

1.(24-25高三上?河北保定?階段練習)已知曲線C：無2+/=火丫>0),從c上任意一點P向x軸作垂線段PP',

尸’為垂足，點Af滿