PAGE1-第五課考點突破·素養提升素養一數學抽象角度1概率與頻率【典例1】對一批U盤進行抽檢，結果如下表：抽出件數a50100200300400500次品件數b345589次品頻率b(1)計算表中次品的頻率.(2)從這批U盤中隨意抽取一個是次品的概率約是多少？(3)為保證買到次品的顧客能夠剛好更換，要銷售2000個U盤，至少需進貨多少個U盤？【解析】(1)表中次品頻率從左到右依次為0.06，0.04，0.025，0.017，0.02，0.018.(2)當抽取件數a越來越大時，出現次品的頻率在0.02旁邊搖擺，所以從這批U盤中隨意抽取一個是次品的概率約是0.02.(3)設須要進貨x個U盤，為保證其中有2000個正品U盤，則x(1-0.02)≥2000，因為x是正整數，所以x≥2041，即至少需進貨2041個U盤.【類題·通】頻率是概率的近似值，是隨機的，隨著試驗的不同而改變；概率是多次的試驗中頻率的穩定值，是一個常數，不要用一次或少數次試驗中的頻率來估計概率.【加練·固】某射擊運動員為備戰奧運會，在相同條件下進行射擊訓練，結果如下：射擊次數n102050100200500擊中靶心次數m8194492178455擊中靶心的頻率0.80.950.880.920.890.91(1)該射擊運動員射擊一次，擊中靶心的概率大約是多少？(2)假如該射擊運動員射擊了300次，則擊中靶心的次數大約是多少？(3)假如該射擊運動員射擊了300次，前270次都擊中靶心，那么后30次肯定都擊不中靶心嗎？(4)假如該射擊運動員射擊了10次，前9次中有8次擊中靶心，那么第10次肯定擊中靶心嗎？【解析】(1)由題意得，擊中靶心的頻率與0.9接近，故概率約為0.9.(2)擊中靶心的次數大約為300×0.9=270.(3)由概率的意義可知概率是個常數，不因試驗次數的改變而改變.后30次中，每次擊中靶心的概率仍是0.9，所以不肯定擊不中靶心.(4)不肯定.角度2互斥事務與對立事務的概率【典例2】(1)(2024·全國卷Ⅰ)甲、乙兩隊進行籃球決賽，實行七場四勝制(當一隊贏得四場成功時，該隊獲勝，決賽結束).依據前期競賽成果，甲隊的主客場支配依次為“主主客客主客主”.設甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場競賽結果相互獨立，則甲隊以4∶1獲勝的概率是________.

(2)(2024·江蘇高考)從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參與志愿者服務，則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是________.

【解析】(1)前五場中有一場客場輸時，甲隊以4∶1獲勝的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108，前五場中有一場主場輸時，甲隊以4∶1獲勝的概率是0.4×0.62×0.52×2=0.072，綜上所述，甲隊以4∶1獲勝的概率是P=0.108+0.072=0.18.答案：0.18(2)方法一：從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參與志愿者服務，共有C52=10種狀況.若選出的2名學生恰有1名女生，有C3若選出的2名學生都是女生，有C22=1所以所求的概率為6+110=7方法二：P=1-C32C52答案：7【類題·通】互斥事務與對立事務概率的計算1.若事務A1，A2，…，An兩兩互斥，則P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).2.設事務A的對立事務是A，則P(A)=1-P(A).【加練·固】甲、乙兩人參與普法學問競賽，共有5個不同題目，選擇題3個，推斷題2個，甲、乙兩人各抽一題.(1)甲、乙兩人中有一個抽到選擇題，另一個抽到推斷題的概率是多少？(2)甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？【解析】把3個選擇題記為x1，x2，x3，2個推斷題記為p1，p2.“甲抽到選擇題，乙抽到推斷題”的狀況有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6種；“甲抽到推斷題，乙抽到選擇題”的狀況有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6種；“甲、乙都抽到選擇題”的狀況有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6種；“甲、乙都抽到推斷題”的狀況有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2種.因此基本領件的總數為6+6+6+2=20.(1)“甲抽到選擇題，乙抽到推斷題”的概率為620=310，“甲抽到推斷題，乙抽到選擇題”的概率為620=310，故“甲、乙兩人中有一個抽到選擇題，另一個抽到推斷題”的概率為310(2)“甲、乙兩人都抽到推斷題”的概率為220=110，故“甲、乙兩人至少有一人抽到選擇題”的概率為1-110素養二數學運算角度1古典概型【典例3】某產品的三個質量指標分別為x，y，z，用綜合指標S=x+y+z評價該產品的等級.若S≤4，則該產品為一等品.現從一批該產品中，隨機抽取10件產品作為樣本，其質量指標列表如下：產品編號A1A2A3A4A5質量指標(x，y，z)(1，1，2)(2，1，1)(2，2，2)(1，1，1)(1，2，1)產品編號A6A7A8A9A10質量指標(x，y，z)(1，2，2)(2，1，1)(2，2，1)(1，1，1)(2，1，2)(1)利用上表供應的樣本數據估計該批產品的一等品率.(2)在該樣本的一等品中，隨機抽取2件產品.①用產品編號列出全部可能的結果；②設事務B為“在取出的2件產品中，每件產品的綜合指標S都等于4”，求事務B發生的概率.【解析】(1)計算10件產品的綜合指標S，如下表：產品編號A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故該樣本的一等品率為610=0.6，從而可估計該批產品的一等品率為(2)①在該樣本的一等品中，隨機抽取2件產品，試驗的樣本空間Ω={(A1，A2)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A7)，(A1，A9)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A7)，(A2，A9)，(A4，A5)，(A4，A7)，(A4，A9)，(A5，A7)，(A5，A9)，(A7，A9)}共15個樣本點.②在該樣本的一等品中，綜合指標S等于4的產品編號分別為A1，A2，A5，A7，則事務B包含的樣本點有：(A1，A2)，(A1，A5)，(A1，A7)，(A2，A5)，(A2，A7)，(A5，A7)，共6個樣本點.所以P(B)=615=2【類題·通】古典概型及其解法1.古典概型是一種最基本的概率模型，也是學習其他概率模型的基礎，在高考題中，常常出現此種概率模型的題目.解題時要緊緊抓住古典概型的兩個基本特征，即有限性和等可能性.2.在求古典概型問題的概率時，往往須要我們將全部基本領件一一列舉出來，以便確定基本領件總數及事務所包含的基本領件數.這就是我們常說的窮舉法.在列舉時應留意按肯定的規律、標準，不重不漏.【加練·固】甲、乙兩校各有3名老師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.(1)若從甲校和乙校報名的老師中各任選1名，寫出全部可能的結果，并求選出的2名老師性別相同的概率.(2)若從報名的6名老師中任選2名，寫出全部可能的結果，并求選出的2名老師來自同一所學校的概率.【解析】(1)甲校2名男老師分別用A，B表示，1名女老師用C表示；乙校1名男老師用D表示，2名女老師分別用E，F表示.從甲校和乙校報名的老師中各任選1名，試驗的樣本空間Ω={(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)}，共9個樣本點.事務“從中選出2名老師性別相同”包含的樣本點有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4種，所以選出的2名老師性別相同的概率為P=49(2)從甲校和乙校報名的6名老師中任選2名，試驗的樣本空間Ω={(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)}，共15個樣本點.從中選出2名老師來自同一所學校包含的樣本點有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6個樣本點，所以選出的2名老師來自同一所學校的概率為P=615=2角度2概率統計的綜合應用【典例4】某中學組織了一次數學學業水平模擬測試，學校從測試合格的男、女生中各隨機抽取100人的成果進行統計分析，分別制成了如圖所示的男生和女生數學成果的頻率分布直方圖.(注：分組區間為[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100])(1)若得分大于或等于80認定為優秀，則男、女生的優秀人數各為多少？(2)在(1)中所述的優秀學生中用分層抽樣的方法抽取5人，從這5人中隨意選取2人，求至少有一名男生的概率.【解析】(1)由題可得，男生優秀人數為100×(0.01+0.02)×10=30，女生優秀人數為100×(0.015+0.03)×10=45.(2)因為樣本量與總體中的個體數的比是530+45=115，所以樣本中包含的男生人數為30×115=2，女生人數為設抽取的5人分別為A，B，C，D，E，其中A，B為男生，C，D，E為女生，從5人中隨意選取2人，試驗的樣本空間Ω={(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)}，共10個樣本點.事務“至少有一名男生”包含的樣本點有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，共7個樣本點，故至少有一名男生的概率為P=710，即選取的2人中至少有一名男生的概率為7【類題·通】求解古典概型的交匯問題一般步驟1.將題目條件中的相關學問轉化為事務；2.推斷事務是否為古典概型；3.選用合適的方法確定基本領件個數；4.代入古典概型的概率公式求解.【加練·固】甲、乙兩組各四名同學的植樹棵數如下，甲：9，9，11，11，乙：X，8，9，10，其中有一個數據模糊，無法確認，以X表示.(1)假如X=8，求乙組同學植樹棵數的平均數和方差.(2)假如X=9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵數為19的概率.【解析】(1)當X=8時，乙組四名同學的植樹棵數分別是8，8，9，10，故x=8+8+9+104=35s2=14×=1116(2)當X=9時，記甲組四名同學分別為A1，A2，A3，A4，他們植樹的棵數依次為9，9，11，11；乙組四名同學分別為B1，B2，B3，B4，他們植樹的棵數依次為9，8，9，10.分別從甲、乙兩組中隨機選