江蘇省蘇州市2022-2023學年高二下學期數學期中試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、單選題1．設函數f(x)=1?x2，則f(x)在A．-2 B．0 C．1 D．22．已知Cn2=28（n∈N，且n≥2A．30 B．42 C．56 D．723．設f'(x0)為函數f(x)在xA． B．C． D．4．在某項志愿服務中，需從來自甲、乙兩個單位的10名志愿者（甲單位6名、乙單位4名）中選出4名志愿者組成志愿者服務小組，所選4名志愿者不全來自同一個單位的選法種數為（）A．156 B．180 C．194 D．6725．在某項測驗中，假設測驗數據服從正態分布N(75，16).如果按照16%，34%，34%，16%的比例將測驗數據從大到小分為A，B，【附：隨機變量ξ服從正態分布N(μ，σ2)，則P(μ?σ<ξ<μ+σ)=0.A．75 B．79 C．83 D．916．?x1，x2∈[1，A．1e2 B．1e C．7．講臺上有左、右兩盒粉筆，左盒中有20支白色粉筆、5支黃色粉筆，右盒中有5支紅色粉筆、6支黃色粉筆、4支藍色粉筆.某位老師從這兩盒中取粉筆，取自左盒的概率為40%，取自右盒的概率為60%.若這位老師從這兩盒粉筆中任取一支，則取到黃色粉筆的概率為（）A．0.275 B．0.28 C．0.32 D．0.68．設a=1.A．a<b<c B．b<c<a C．c<b<a D．c<a<b二、多選題9．已知f'(x)是函數f(x)的導函數，其圖象如圖所示，則下列關于函數A．在(?∞，1)上單調遞減 B．在C．在x=1處取得極小值 D．在x=4處取得極大值10．在(xA．常數項為212 B．x3C．系數最大項為第3項 D．有理項共有5項11．甲、乙兩盒中各放有除顏色外其余均相同的若干個球，其中甲盒中有4個紅球和2個白球，乙盒中有2個紅球和3個白球，現從甲盒中隨機取出1球放入乙盒，再從乙盒中隨機取出1球.記“從甲盒中取出的球是紅球”為事件A，“從甲盒中取出的球是白球”為事件B，“從乙盒中取出的球是紅球”為事件C，則（）A．A與B互斥 B．A與C獨立 C．P(C|A)=12 12．設函數f(x)=eA．fB．函數f(x)的圖象過點(?1，1eC．函數f(x)既存在極大值又存在極小值，且其極大值大于其極小值D．方程f(x)=k有兩個不等實根，則實數k的取值范圍為(0三、填空題13．用0，1，2，3，4，5這六個數字組成無重復數字的四位數，在組成的四位數中，能被5整除的有個.14．寫出一個同時具有下列性質①②③的函數f(x)=.①定義域為R，函數值不恒為0，且圖象是條連續不斷的曲線；②?x∈R，f(?x)+f(x)=0；③f'(x)為函數15．在下圖中，從第2行起，除首末兩個位置外，每個位置上的數都等于它肩上的兩個數的和，最初幾行是：自左向右，第n行第i+1個數記為Cni（n，i∈N且i≤n）.若C15k=C152k?3（n，k∈N且k≤n），則k的值為16．已知函數f(x)=lnx，g(x)=12x四、解答題17．從4名男生和2名女生中任選2人參加演講比賽，（1）至少選到1名女生的的方法有多少種?（2）設隨機變量X表示所選2人中女生的人數，求X的分布列及期望、方差.18．在①只有第6項的二項式系數最大；②第5項與第7項的二項式系數相等；③奇數項的二項式系數之和為512；這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.已知(2x?1)n注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.（1）求a1（2）求a119．將一個邊長為1米的正六邊形鐵皮的六個角截去六個全等的四邊形，再把它沿虛線折起（如圖），做成一個無蓋的正六棱柱鐵皮盒.（1）試把這個正六棱柱鐵皮盒的容積V表示為盒底邊長x的函數；（2）x多大時，盒子的容積V最大?20．近年來，我國電影市場非?；鸨卸嗖績炐銍a電影陸續上映，某影評網站統計了100名觀眾對某部電影的評分情況，得到如下表格：評價等級★★★★★★★★★★★★★★★人數23101075以表中各評價等級對應的頻率作為各評價等級對應的概率，假設每個觀眾的評分結果相互獨立.從全國所有觀眾中隨機抽取4名，（1）求恰有3人評價為五星，1人評價為四星的概率；（2）記其中評價為五星的觀眾人數為X，求X的分布列與數學期望.21．已知函數f(x)=x（1）求f(x)的極值；（2）設曲線f(x)在點T(t，f(t))處的切線為l，記l在y軸上的截距為b=g(t)，當l的斜率為非負數時，求22．已如函數f(x)=e（1）當a=2時，求函數f(x)的單調區間；（2）當a=1時，求證：函數f(x)存在極小值點x0，且f(

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】f(x)=1?x2，f'故答案為：A

【分析】利用導數的運算法則，瞬時變化率的定義求解，即可得答案.2．【答案】C【解析】【解答】因為Cn2=28，所以n(n?1)2=28所以An故答案為：C

【分析】由已知結合排列數及組合數公式即可求解出答案.3．【答案】D【解析】【解答】結合圖象根據導數的幾何意義可得：對于A：由圖可得f'對于B：由圖可得f'對于C：由圖可得f'對于D：由圖可得f'故答案為：D.

【分析】由導數的幾何意義可得f'(x0)4．【答案】C【解析】【解答】所選4名志愿者來自同一單位的共有C6同一個單位的選法種數為C10故答案為：C

【分析】先求出所選的4名志愿者來自于一個單位的結果數，然后用總數去掉不符合條件的情況即可求解出答案.5．【答案】B【解析】【解答】設測驗數據為X，依題意X～N(75，16)，則μ=75，設等級為A的測驗數據的最小值為a，則P(X≥a)=0.因為P(μ?σ<ξ<μ+σ)=0.6826，所以所以P(X≥79)≈0.1587，所以故答案為：B

【分析】設測驗數據為X，依題意X～N(75，16)，根據正態分布的性質可得6．【答案】B【解析】【解答】因為?x1，x2即lnx1?令h(x)=lnx?ax，x∈[1，e]，則即h(x)=lnx?ax在[1，又h'(x)=1x?a所以a≤1x在[1，e]上恒成立，因為所以g(x)min=g(e)=1e，所以a≤故答案為：B

【分析】令h(x)=lnx?ax，x∈[1，e]，求導，根據導數的符號可得g(x)=1x在[1，7．【答案】C【解析】【解答】p=40%故答案為：C

【分析】利用全概率公式進行求解，可得答案.8．【答案】A【解析】【解答】ln令f(x)令f'(x)當0<x<e時，f'所以f(x)所以f所以lna<lnb令g(x)令g'(x)=0當0<x<1時，g'當x>1時，g'所以g(x)在(0所以g(x)≤g(1)=ln因為ln所以b<e，即所以a<b<c.故答案為：A.

【分析】令f(x)=lnxx，，求導，根據導數符號可得f(x)9．【答案】B,D【解析】【解答】由題意可得：當x<4時，f'(x)≥0；當x>4時，所以f(x)在(?∞，4)上單調遞增，在(4，+∞)上單調遞減，則A不符合題意，B符合題意，C不符合題意，D符合題意；故答案為：BD.

【分析】由f'(x)的圖像可知10．【答案】B,C,D【解析】【解答】(x?1對于A：令9?3r2=0，解得r=3，可得即常數項為?21對于B：令9?3r2=3，解得r=1，可得即x3項的系數為?對于C：由通項公式可得：第r+1項的系數為ar當r為偶數時，ar>0；當r為奇數時，取r為偶數，令ar≥a整理得3r2+29r?64≥0所以系數最大項為第3項，C符合題意；對于D：令9?3r2∈Z，則所以有理項共有5項，D符合題意；故答案為：BCD.

【分析】由題意，利用二項式展開式的通項公式，逐項進行判斷，可得答案.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】對A：A與B是互斥事件，正確；對B：P(A)=46=23P(A)?P(C)≠P(AC)，錯誤；對C：P(C|A)=P(AC)對D：P(C)=4故答案為：ACD

【分析】根據互斥事件的定義，條件概率公式，全概率公式，即可求解出答案.12．【答案】A,D【解析】【解答】由題意可知f對于A，由f'(x對于B，設切點為(切線方程y?ex0(2+1x令h所以函數f(x)在(?1，1e)因為h(12所以存在x0∈(1所以過點(?1，1e)的直線與函數f(x)所以過點(?1，1對于C，f(x)的定義域為(?∞令f'(x)=0，當x∈(?∞，?1)∪(當x∈(?1，0)∪(0所以f(x)在(?∞，?1)和(12，當x=?1，時，f(x)取得極大值為f(?1)=當x=12，時，f(x)因為1所以極大值小于極小值，C不符合題意；對于D，由C選項知，作出f(x)的圖象如圖所示要使方程f(x)=k有兩個不等實根，只需要y=k與f(x)有兩個交點，由圖可知，k∈(0所以實數k的取值范圍為(0，故答案為：AD.

【分析】根據導數的運算法則及初等函數的導數公式，利用導數值的定義及求過點處的切線方程的步驟，結合導數法求函數的極值的步驟及將方程f(x)=k有兩個不等實根轉化為y=k與f(x)有兩個交點，再利用數形結合即可求解，逐項進行判斷，可得答案.13．【答案】108【解析】【解答】若個位為0，則有A53=60個，若個位為5綜上可得組成的四位數中，能被5整除的有60+48=108個.故答案為：108

【分析】分末位是數字0和末位是數字5兩種情況討論，利用排列組合知識，結合計數原理得到答案.14．【答案】sinx+x【解析】【解答】取f(x)=sin函數定義域為R，函數值不恒為0，且圖象是條連續不斷的曲線；f(?x)=sinf'故答案為：sin

【分析】取f(x)=sinx+x，根據已知條件，結合奇偶函數的定義判定出函數為奇函數，可得15．【答案】3或6；1819【解析】【解答】C15k=C152k?3，則k=2k?3，k=3或k+2k?3=15，C=C故答案為：3或6；1819

【分析】由已知結合組合數公式的性質即可求解出答案.16．【答案】[?【解析】【解答】∵f(x)=lnx，則設切點坐標A(x1，ln故切線方程為y?lnx1又∵g(x)=12x設切點坐標B(x2，故切線方程為y?(12x由題意可得1x1=構建F(x)=12x∵x>0，可得x+1>0，令F'(x)>0，解得x>1；令F'∴F(x)在(1，+∞)上單調遞增，在(0，當x趨近于0時，F(x)趨近于正無窮大，當x趨近于正無窮大時，F(x)趨近于正無窮大，可得F(x)的值域為[?12，故答案為：[?1

【分析】根據導數的幾何意義分析可得12x217．【答案】（1）解：從4名男生和2名女生中任選2人有C62種方法，不含女生的方法C4（2）解：隨機變量X的可能取值為0，PPP故X的分布列為X012P681所以ED【解析】【分析】(1)利用間接法及組合數公式即可求解出至少選到1名女生的的方法數；

(2)根據已知條件求出隨機變量的取值，求出對應的概率，即可得出隨機變量的分布列，利用隨機變量的期望公式及方差公式即可求解出X的分布列及期望、方差.18．【答案】（1）解：二項式(2x?1)n的展開式第r+1項為Tr+1=Cnr(2x)選擇①，因為展開式中只有第6項的二項式系數最大，所以在Cnr（n，r∈N且r≤n）中只有Cn選擇②，因為展開式中的第5項與第7項的二項式系數相等，所以Cn4=選擇③，因為展開式中的奇數項的二項式系數之和為512，所以Cn0+所以(2x?1)n=在(*)式中令x=0，得(2×0?1)10=a在(*)式中令x=12，得(2×1所以a1（2）解：對(*)式兩邊求導得10×(2x?1)令x=1，得10×(2×1?1)9×2=所以a1【解析】【分析】(1)選①②③時，求出n=10，利用展開式和賦值法求出結果即可；

(2)利用函數的求導和賦值法求出結果.19．【答案】（1）解：如圖，易得MN=CD=x，(0<x<1)，AC=1?x2，則盒子的高所以盒子的底面積S=6S所以盒子的容積V=Sh=332（2）解：由（1）可得V(x)=94x所以V'(x)=94(2x?3x2所以當0<x<23時V'當23<x<1時V'所以當x=23時所以當x=2【解析】【分析】(1)正六棱柱鐵皮盒的底面邊長為x(0<x<1)，求出正六棱柱容器的高，表示出正六棱柱容器的容積V表示為盒底邊長x的函數；

(2)利用導數研究函數V(x)的最值.20．【答案】（1）解：依題意樣本中抽取1人，評價為五星的頻率為P5=75所以從全國所有觀眾中隨機抽取4名，恰有3人評價為五星，1人評價為四星的概率P=C（2）解：依題意X的可能取值為0、1、2、3、4，且X～B(4，所以P(X=0)=C40P(X=2)=C42P(X=4)=C所以隨機變量X的分布列為：X01234P13272781所以E(X)=4×3【解析】【分析】(1)首先求出評價為五星、四星的頻率，再根據相互獨立事件的概率公式計算即可；

(2)依題意可得X～B(4，21．【答案】（1）解：因為f(x)=x2+x?1f'令f'(x)=0，解得x1所以f'(x)、x(?∞?1(?12(2f?0+0?f(x)單調遞減極小值?e單調遞增極大值5單調遞減所以當x=?1時f(x)取極小值，即f(x)極小值=?e，當x=2時f(x)（