拔高點突破02圓錐曲線中的仿射變換、非對稱韋達、光

學性質問題

目錄

01方法技巧與總結...............................................................2

02題型歸納與總結...............................................................6

題型一：仿射變換問題...........................................................6

題型二：非對稱韋達問題.........................................................8

題型三：橢圓的光學性質........................................................10

題型四：雙曲線的光學性質......................................................12

題型五：拋物線的光學性質......................................................14

03過關測試....................................................................16

亡法牯自與.柒年

//\\

一、仿射變換問題

仿射變換有如下性質：

1、同素性：在經過變換之后，點仍然是點，線仍然是線；

2、結合性：在經過變換之后，在直線上的點仍然在直線上；

3、其它不變關系.

我們以橢圓為例闡述上述性質.

22x!-X

橢圓二+當=1(。>6>0)，經過仿射變換a，則橢圓變為了圓狀+了2="，并且變換過程有

aby,=-y

Ib

如下對應關系：

(1)點變為p[x0,￡yj；

(2)直線斜率左變為〃=9左，對應直線的斜率比不變；

b

(3)圖形面積S變為卜=幺5,對應圖形面積比不變；

b

(4)點、線、面位置不變(平行直線還是平行直線，相交直線還是相交直線，中點依然是中點，相

切依然是相切等)；

⑸弦長關系滿足耨二唇，因此同一條直線上線段比值不變，三點共線的比不變

總結可得下表:

變換前變換后

22

方程/+q=g>0)+y2=a2

橫坐標xr

,a

縱坐標yy=-y

b

a.

，A/Ay

斜率k4kba

Ax

Ax，Axb

面積S=—Ax-AyS'=—Axr-Ayr-—S

22b

2J,

/'=J]+k'2Ax，=Jl+2Ax=---/b

弦長I=J1+-2Ax

Vb2,1+公

不變量平行關系；共線線段比例關系；點分線段的比

二、非對稱韋達問題

在一元二次方程辦2+6尤+。=0中，若△＞（）,設它的兩個根分別為％,多，則有根與系數關系：

百+%=-2,尤也=￡，借此我們往往能夠利用韋達定理來快速處理卜-百+后，工+'之類的結構，

aaxYx2

但在有些問題時，我們會遇到涉及占的不同系數的代數式的應算，比如求生，3占％+2改一%或

x22X,X2一玉十%2

之類的結構，就相對較難地轉化到應用韋達定理來處理了.特別是在圓錐曲線問題中，我們聯立

直線和圓錐曲線方程，消去尤或y,也得到一個一元二次方程，我們就會面臨著同樣的困難，我們把這種

形如與+2x,,幾占％+〃無,土或四%+2占一%之類中不，%的系數不對等的情況，這些式子是非對稱結

X22%入2—石+工2

構，稱為“非對稱韋達”.

三、光學性質問題

1、橢圓的光學性質

從橢圓的一個焦點發出的光線，經過橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點（如圖1）.

圖1圖2圖3圖4

【引理1】若點在直線L的同側，設點是直線上上到兩點距離之和最小的點，當且僅當點尸

是點A關于直線L的對稱點A'與點、B連線A'B和直線L的交點.

【引理2】若點A,B在直線乙的兩側，且點到直線的距離不相等，設點P是直線L上到點A,8距

離之差最大的點，即|24-尸耳最大，當且僅當點尸是點A關于直線乙的對稱點A與點3連線A3的延長線

和直線L的交點.

22

【引理3】設橢圓方程為1+斗=1（。＞6＞0）,月，鳥分別是其左、右焦點，若點。在橢圓外，則

ab

DF]+DF2＞2a.

2、雙曲線的光學性質

從雙曲線的一個焦點發出的光從雙曲線的一個焦點發出的光線經過雙曲線的另一個焦點（如圖）.

【引理4】若點在直線L的同側，設點是直線乙上到兩點距離之和最小的點，當且僅當點尸

是點A關于直線L的對稱點A'與點、B連線A'B和直線L的交點.

【引理5】若點A,2在直線L的兩側，且點A,3到直線的距離不相等，設點P是直線L上到點4,3距

離之差最大的點，即\PA-PB\最大，當且僅當點尸是點A關于直線L的對稱點A與點3連線A'B的延長線

和直線L的交點.

22

【引理6】設雙曲線方程為1-==1（。＞0,6＞0）,片，居分別是其左、右焦點，若點。在雙曲線外

ab

（左、右兩支中間部分，如圖），則。耳-￡＞耳＜2a.

3、拋物線的光學性質

從拋物線的焦點發出的光線，經過拋物線上的一點反射后，反射光線與拋物線的軸平行（或重

合）.反之，平行于拋物線的軸的光線照射到拋物線上，經反射后都通過焦點.

【結論1】已知：如圖，拋物線C:f=2py（p>0）,心,句為其焦點，,是過拋物線上一點

。伉，％）的切線，4,8是直線）上的兩點（不同于點￡>）,直線。C平行于y軸.求證：

ZFDA=ZCDB.（入射角等于反射角）

【結論2】已知：如圖，拋物線C:y2=2px（p>0）,尸是拋物線的焦點，入射光線從尸點發出射到拋

物線上的點求證：反射光線平行于x軸.

㈤2

題型歸納與總結

題型一：仿射變換問題

【典例1-1】如圖，作斜率為3的直線/與橢圓1+產=1交于P,Q兩點，且"也，；在直線/的上方,

22

［典例7-27P是橢圓,+q=l上任意一點，O為坐標原點，PO=2OQ,過點。的直線交橢圓于A,B

兩點，并且QA=QB,則A4B面積為.

22

【變式1-1］已知橢圓的標準方程為'+上=1.

42

LlUUULIL1ULUU)

(1)設動點P滿足：OP=OM+ON，其中N是橢圓上的點，直線QW與QV的斜率之積為問：

是否存在兩個定點耳，耳，使得|尸耳|+「閭為定值？若存在，求可，工的坐標；若不存在，說明理由.

(2)設動點P滿足：OP=OM+2ON，其中M,N是橢圓上的點，直線與QV的斜率之積為問：

是否存在點尸，使得點尸到尸的距離與到直線尤=2風的距離之比為定值？若存在，求產的坐標；若不存

在，說明理由.

【變式1-2】已知橢圓C:^+^=l(a>6>0)經過點(|,口，其離心率為手，設A,B,/是橢圓C

上的三點，且滿足OM=cosaOA+sinaOB,ae(0gJ,其中。為坐標原點.

(D求橢圓的標準方程；

(2)證明：△。48的面積是一個常數.

22

【變式1-3］對于橢圓當=1(。/>0),令x'=2,y'=；,那么在坐標系x'Oy'中，橢圓經伸縮變換得

abab

到了單位圓X‘2+y，2=i,在這樣的伸縮變換中，有些幾何關系保持不變，例如點、直線、曲線的位置關系

以及點分線段的比等等；而有些幾何量則等比例變化，例如任何封閉圖形在變換后的面積變為原先的士,

ab

由此我們可以借助圓的幾何性質處理一些橢圓的問題.

(1)在原坐標系中斜率為4的直線/,經過無'=二，了'=斗的伸縮變換后斜率變為《，求女與人滿足的關系；

ab

22

⑵設動點尸在橢圓一：5+y2=l(a>0)上，過點P作橢圓口的切線，與橢圓二+丁=2(°>0)交于點

aa

Q,R,再過點。，R分別作橢圓匕的切線交于點S,求點S的軌跡方程；

(3)點4［號］)在橢圓。+y=1上，求橢圓上點8,C的坐標，使得AA8C的面積取最大值，并求出該

最大值.

【變式1-4］在平面直角坐標系尤Oy中，若在曲線耳的方程尸(x,y)=。中，以(幾為非零的正實數)

代替(羽，)得到曲線外的方程PUx"y)=0,則稱曲線&、E?關于原點“伸縮”，變換(x,y)f稱為

“伸縮變換”，X稱為伸縮比.

⑴己知曲線耳的方程為9=1，伸縮比％=；，求用關于原點“伸縮變換”后所得曲線區的方程；

⑵射線/的方程好缶心0),如果橢圓月：撩+/=1經“伸縮變換”后得到橢圓當，若射線/與橢圓昂E2

分別交于兩點A、B,且|4刃=母，求橢圓反的方程；

⑶對拋物線耳：d=2pj,作變換(尤,y)->(4尤,4y),得拋物線E2=2pz_y；對當作變換

(x,y)-?(4x,%y),得拋物線片：/=2。3y;如此進行下去，對拋物線紇：Y=2p“y作變換

(x,y)f(々x,4y),得拋物線"+1：/=2。用y,...若R=1,4=2",求數列｛p“｝的通項公式P..

題型二：非對稱韋達問題

【典例2-1】(2024?湖北宜昌.二模)已知4、4分別是離心率6=正的橢圓E:g+《=l(a＞b＞0)的左右

2ab

頂點，P是橢圓E的上頂點，且出?。&=-1.

(1)求橢圓E的方程；

(2)若動直線/過點(0,-4),且與橢圓E交于A、8兩點，點M與點B關于y軸對稱，求證：直線恒

過定點.

【典例2-2】已知A、B分別是橢圓一+丁=1的右頂點和上頂點，C、。在橢圓上，且CD〃/4B,設直線

2

AC、8￡＞的斜率分別為匕、月，證明：左他為定值.

22

【變式2-1】已知橢圓C：二+々=1"＞》＞0)的左右焦點分別為爪-c,0),乙(。,0),M,N分別為左

ab

右頂點，直線/：尤="+1與橢圓C交于A3兩點，當t=-YI時，A是橢圓的上頂點，且居的周長

3

為6.

⑴求橢圓C的方程；

(2)設直線AM,BN交于點Q,證明：點。在定直線上.

(3)設直線AM,的斜率分別為配匕，證明：?為定值.

22

【變式2-2］（2024.河南新鄉三模）已知耳（-君,0）,耳（6,0）分別是橢圓C:J+與=1（。>6>0）的左、

a"b'

右焦點，尸是橢圓C上的一點，當PBIBR時，1Pgi=2|PB|.

（1）求橢圓C的標準方程：

（2）過點。（-4,0）的直線/與橢圓C交于M,N兩點,點M關于x軸的對稱點為點AT,證明：直線

MVT過定點.

22

【變式2-3】已知橢圓C:j+==1過點4-2,-1）,且“=

ab

（I）求橢圓C的方程：

（II）過點8（-4,0）的直線/交橢圓c于點M,N,直線跖4,24分別交直線彳=-4于點尸,。.求黑的值.

22

【變式2-4］（2024?湖北?一模）如圖，。為坐標原點，橢圓C:=+2=l（a>b>0）的焦距等于其長半

ab

軸長，M,N為橢圓C的上、下頂點，且|MN|=2g

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點P（0,l）作直線/交橢圓C于異于M,N的兩點，直線交于點T.求證：點T的縱坐標

為定值3.

題型三：橢圓的光學性質

【典例3-11歐幾里德生活的時期，人們就發現橢圓有如下的光學性質:從橢圓的一個焦點射出的光線，經

丫22

橢圓內壁反射后必經過該橢圓的另一焦點.現有橢圓C:=+當=1(°>6>0),長軸長為2碗，從C的左焦

ab

點廠發出的一條光線，經c內壁上一點P反射后恰好與X軸垂直，且|尸尸|=孚.

(1)求C的方程；

⑵設點A(2.1),若斜率不為0的直線/與C交于點均異于點A),且A在以為直徑的圓上，

求A至卜距離的最大值.

【典例3-2】阿波羅尼斯在對圓錐曲線的研究過程中，還進一步研究了圓錐曲線的光學性質，例如橢圓的

光學性質：(如圖1)從橢圓一個焦點發出的光線，經過橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一個焦點

PF.F.Q

上.在對該性質證明的過程中(如圖2),他還特別用到了“角平分線性質定理”：得，從而得到

PF?F2Q

(1)如圖3,已知橢圓C:《+《=l(a〉6>0)的左右焦點分別為耳，工，一束光線從&(—1,0)射出，經橢圓

上尸點反射：尸處法線(與橢圓C在尸處切線垂直的直線)與無軸交于“點，已知|尸周=20,閨閘=及，

求橢圓C方程(直接寫出結果)

圖3

(2)已知橢圓C,長軸長為2a,焦距為2c,若一條光線從左焦點射出，經過橢圓上點若干次反射，第一次

回到左焦點所經過的路程為5c,求橢圓的離心率

(3)對于拋物線y2=2/(p>0)，猜想并證明其光線性質.

【變式3-1](2024?高三?安徽池州?期末)已知橢圓具有如下光學性質：從橢圓的一個焦點發出的光線射向

22

橢圓上任一點，經橢圓反射后必經過另一個焦點.若從橢圓C：二+4=1(〃>b>0)的左焦點K發出的光線,

ab

經過兩次反射之后回到點K，光線經過的路程為8,橢圓C的離心率為g.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)如圖，若橢圓C的右頂點為A,上頂點為B,動直線/交橢圓C于。兩點，且始終滿足。尸，OQ,

作。交PQ于點求K4.MB的最大值.

【變式3-2](2024?全國?模擬預測)已知橢圓具有如下光學性質：從橢圓的一個焦點發出的光線射向橢圓

22

上任一點，經橢圓反射后必經過另一個焦點.若從橢圓T:1r+}=l(a>b>0)的左焦點々發出的光線，

經過兩次反射之后回到點片，光線經過的路程為8,T的離心率為且.

2

(1)求橢圓T的標準方程;

⑵設。(蒞,0),且X°>a,過點。的直線/與橢圓T交于不同的兩點M,N,歹2是T的右焦點，且

/。區"與互補，求居面積的最大值.

題型四：雙曲線的光學性質

【典例4-1】雙曲線在物理學中有很多應用，比如波的干涉圖樣為雙曲線、反射式天文望遠鏡利用了其光

學性質等等.

(1)已知A、8是在直線/兩側且到直線/的距離不相等的兩點，P為直線/上一點.試探究當點P的位置滿

足什么條件時，||尸HTP訓取最大值；

(2)若光線在平滑曲線上發生反射時，入射光線與反射光線關于曲線在入射點處的切線在該點處的垂線對

稱.證明：由雙曲線的一個焦點射出的光線，在雙曲線上發生反射后，反射光線的反向延長線交于雙曲線

的另一個焦點.

【典例4-2】(2024?遼寧丹東?一模)我們所學過的橢圓、雙曲線、拋物線這些圓錐曲線，都有令人驚奇的

光學性質，且這些光學性質都與它們的焦點有關.如從雙曲線的一個焦點處出發的光線照射到雙曲線上，

經反射后光線的反向延長線會經過雙曲線的另一個焦點(如圖所示，其中PQ是反射鏡面也是過點P處的

22

切線).已知雙曲線C:二-2=1(a>0,b>0)的左右焦點分別為月，F2,從工處出發的光線照射到

a-b'

雙曲線右支上的點尸處(點尸在第一象限)，經雙曲線反射后過點

(1)請根據雙曲線的光學性質，解決下列問題:

當a=l,b=y[3,且直線PF2的傾斜角為120。時，求反射光線PM所在的直線方程;

(2)從尸2處出發的光線照射到雙曲線右支上的點A處，且尸，耳,A三點共線，經雙曲線反射后過點8,

3\NF\

APLPM，sinZPAB=-,延長6尸，&A分別交兩條漸近線于S，T，點N是ST的中點，求證：號n為

56g

定值.

(3)在(2)的條件下，延長P。交y軸于點。，當四邊形耳尸耳。的面積為8時，求。的方程.

【變式4-1](2024?安徽安慶?一模)如圖1所示，雙曲線具有光學性質：從雙曲線右焦點發出的光線經過

22

雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的左焦點.若雙曲線￡:亍-/=1。＞0)的左、右

焦點分別為片、F2,從F2發出的光線經過圖2中的A、2兩點反射后，分別經過點C和。，且

(1)求雙曲線E的方程；

(2)設4、4為雙曲線E實軸的左、右頂點，若過P(4,0)的直線/與雙曲線C交于M、N兩點，試探究直

線4"與直線4N的交點。是否在某條定直線上？若存在，請求出該定直線方程；如不存在，請說明理由.

【變式4-2]鄭州中原福塔的外立面呈雙曲拋物面狀，造型優美，空中俯瞰猶如盛開的梅花綻放在中原大

地，是現代建筑與藝術的完美結合.雙曲拋物面又稱馬鞍面，其在笛卡爾坐標系中的方程與在平面直角坐標

系中的雙曲線方程類似.雙曲線在物理學中具有很多應用，比如波的干涉圖樣為雙曲線、反射式天文望遠鏡

利用了其光學性質等等.

s

（1）已知A,B是在直線/兩側且到直線/距離不相等的兩點，尸為直線/上一點.試探究當點P的位置滿足

什么條件時，1PA-總1取最大值；

（2）若光線在平滑曲線上發生反射時，入射光線與反射光線關于曲線在入射點處的切線在該點處的垂線

對稱.證明：由雙曲線一個焦點射出的光線，在雙曲線上發生反射后，反射光線的反向延長線交于雙曲線的

另一個焦點.

題型五：拋物線的光學性質

【典例5-1】拋物線具有光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向

射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知點廠為拋物線

C:y2=2px（p＞0）的焦點，。為坐標原點，/點在拋物線上，且其縱坐標為滿足屈目=

（1）求拋物線C的標準方程；

⑵已知平行于x軸的光線/從點尸（根,2）（加＞0）射入，經過拋物線上的點A反射后，再經過拋物線上另一點

B,最后沿8。方向射出，若射線3尸平分求實數加的值.

【典例5-2】拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方

向射出，反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后反射光線或其反向延長線必過拋物線的焦

點.已知拋物線C：y?=2x,。為坐標原點.一束平行于x軸的光線乙從點尸（九2）（帆＞2）射入，經過C上

的點AQ,%）反射后，再經C上另一點磯%,%）反射后，沿直線4射出，經過點Q（4〃，f）.

⑴求證：yxy2=-1；

⑵若PB平分ZABQ,求點B到直線QP的距離.

【變式5-1】拋物線具有如下光學性質：由其焦點發出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的

方向射出.如圖，已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為JF,。為坐標原點.一條平行于N軸的光線從上方

射向拋物線C,經拋物線上N兩點反射后，又沿平行于N軸的方向射出，且兩平行光線間的最小距

離為4.

(1)求拋物線C的方程；

(2)過N向拋物線的準線作垂線，垂足為P,證明：M,O,P三點共線.

【變式5-2](2024.高三?青海西寧.開學考試)根據拋物線的光學性質可知，從拋物線的焦點發出的光線經

該拋物線反射后與對稱軸平行.已知拋物線Cy2=2px(p>o),如圖，點尸為C的焦點，過廠的光線經

拋物線反射后分別過點M(2,2夜-2),N(3,-2應-2).

⑴求C的方程；

⑵設點E(0,2),若過點0(2,2)的直線與C交于R,T兩點,求面積的最小值.

1.（2024?江蘇揚州?模擬預測）雙曲線具有光學性質，從雙曲線一個焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射,

22

其反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.若雙曲線及鼻-2=1（。＞0,6＞0）的左、右焦點分

cib

別為耳，F2,從工發出的光線經過圖中的A,8兩點反射后，分別經過點C和。，且cosNBAC=-g,

ABBD=0＞則E的離心率為（）

A.近B?亙C.巫D.下

352

2.拋物線有如下光學性質：過焦點的光線經拋物線反射之后得到的光線平行于拋物線的對稱軸：反之，

平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線丁=?的焦點為尸，一條

平行于X軸的光線從點M（2,l）射出，經過拋物線上的點A反射后，再經拋物線上的另一點B射出，則

AaWr的周長為（）

A.—+\/13B.—+y/29C.8+y/13D.8+A/29

3.（2024?高三.江西.期末）阿波羅尼斯（約公元前262年?約公元前190年），古希臘著名數學家，主要著

作有《圓錐曲線論》、《論切觸》等.尤其《圓錐曲線論》是一部經典巨著，代表了希臘幾何的最高水平，此

書集前人之大成，進一步提出了許多新的性質.其中也包括圓錐曲線的光學性質，光線從雙曲線的一個焦點

22

發出，通過雙曲線的反射，反射光線的反向延長線經過其另一個焦點.已知雙曲線C^-4=1（。＞0,

ab

b＞0）的左、右焦點分別為月，F2,其離心率6=逐，從尸2發出的光線經過雙曲線C的右支上一點E的

反射，反射光線為砂，若反射光線與入射光線垂直，貝UsinNg￡E=（）

4.橢圓具有如下光學性質：從橢圓的一個焦點發出的光線，經過橢圓反射后，反射光線過橢圓的另一個

22

焦點（如圖）.已知橢圓E:J+==l（a>6>0）的左、右焦點分別為￡,不，過點尸2的直線與E交于點A,

aIBFI9S

B,過點A作E的切線/,點8關于/的對稱點為若M同=答，局=￡，則下9=（）

5司3S”馬

注：S表示面積.

2

5.（多選題）（2024?江蘇常州?二模）雙曲線具有光學性質：從雙曲線一個焦點發出的光線經過雙曲線鏡面

22

反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.如圖，雙曲線E:二-匕=1的左、右焦點分別

為耳,耳，從尸2發出的兩條光線經過E的右支上的AB兩點反射后，分別經過點C和。，其中A區,明共

線，則（）

若直線A3的斜率上存在，則上的取值范圍為

B.當點C的坐標為（2炳,亞）時，光線由號經過點A到達點C所經過的路程為6

C.當Ag.A。=A/時，耳鳥的面積為12

D.當AB.AOuAB。時，cosN丹為A=-雪

22

6.過橢圓土+匕=1的右焦點/的直線與橢圓交于A,B兩點，則VAQB面積最大值為

7.己知橢圓C:〈+y2=i左頂點為人，P,。為橢圓C上兩動點，直線P。交AQ于E,直線Q。交AP于。,

直線OROQ的斜率分別為冊網且桃2=-g，AD=2DF,AE=〃EQ(2,〃是非零實數)，求

A2+//2=.

8.橢圓的光學性質，從橢圓一個焦點發出的光，經過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個焦點

22

上.已知橢圓C：亍+%=1(0<6<2),片,外為其左、右焦點.叔是C上的動點，點N(0,我，若

|MN|十|M胤的最大值為6,動直線/為此橢圓C的切線，右焦點入關于直線/的對稱點

尸(占，x),S=|3X|+4y—24],則橢圓C的離心率為;；S的取值范圍為.

9.如圖甲，從橢圓的一個焦點出發的光線或聲波，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點，其

中法線/'表示與橢圓C的切線垂直且過相應切點的直線，如圖乙，橢圓C的中心在坐標原點，焦點為

6(-c,0),耳(c,0)(c>0),由可發出的光經橢圓兩次反射后回到月經過的路程為8c.利用橢圓的光學性

質解決以下問題：

橢圓C的離心率為—；點「是橢圓C上除頂點外的任意一點，橢圓在點尸處的切線為/,居在/上的射影

H在圓f+y2=8上，則橢圓C的方程為一.

10.如圖所示，由圓錐曲線的光學性質知道：從橢圓的一個焦點出發的光線，經橢圓反射(即經橢圓在該

22

點處的切線反射)后，反射光線經過橢圓的另一個焦點.已知橢圓c的方程為L+2L=I,其左、右焦點

43

分別是月，與,直線/與橢圓C相切于點尸(1,%),過點尸且與直線/垂直的直線/'與橢圓長軸交于點M,

11.圓錐曲線因其特殊的形狀而存在著特殊的光學性質.我們知道，拋物線的光學性質是平行于拋物線對稱

軸的光線經拋物線反射后匯聚于其焦點；雙曲線的光學性質是從雙曲線一個焦點發出的光，經過雙曲線反

射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上.卡式望遠鏡就是應用這些性質設計的.下圖

為卡式望遠鏡的中心截面示意圖，其主要由兩塊反射鏡組成，主鏡是中央開孔的凹拋物面鏡C,副鏡是雙

曲線左支的旋轉面型凸雙曲面鏡。，主鏡對應拋物線的頂點與副鏡對應雙曲線的中心重合，當平行光線投

射到主鏡上時，經過主鏡反射，將匯聚到主鏡的焦點4處，但光線尚未匯聚時，又受到以耳為焦點的凸雙

曲面鏡的反射，穿過主鏡中心的開孔后匯聚于另一個焦點F?處.以耳耳的中點為原點，居區為無軸，建立平

面直角坐標系.若閨閭=4米，凹拋物面鏡的口徑A2為8(0-1)米，凸雙曲面鏡的口徑為1米，要使

副鏡的反射光線全部通過凹拋物面鏡C的中央孔洞，則孔洞直徑最小為米.

22

12?點48是橢圓￡:'+]=1的左右頂點，若過定點(1,0)且斜率不為0的直線與橢圓E交于N兩點,

求證：直線AM與直線的交點在一條定直線上.

13.如圖，橢圓。有兩頂點A(TO),過其焦點F(0,l)的直線/與橢圓。交于C,。兩點，并與x

軸交于點P,且直線/的斜率大于1,直線AC與直線8。交于點Q.

⑴求橢圓。的方程；

(2)求證：。尸?0。為定值.

14.如圖，已知A,B,C是長軸為4的橢圓上的三點，點A是長軸的右頂點，過橢圓中心。，且

ACBC=O,|BC|=2|AC|.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)若過C關于y軸對稱的點。作橢圓的切線DE,則AB與DE有什么位置關系？證明你的結論.

15.如圖，已知橢圓C［：^+《=1，直線3,=履+加(加＞0)與圓。2：(彳-咪+;/=1相切且與橢圓6

交于A,8兩點.

4

(1)若線段中點的橫坐標為求機的值；

(2)過原點。作乙的平行線4交橢圓于C,。兩點，設|川|=山。a，求彳的最小值?

xr=x

16.(2024?安徽合肥?一模)已知曲線C：/+丫2=2,從曲線C上的任意點P(x,y)作壓縮變換y上得

正

到點尸'(x',y').

⑴求點P'(x,y)所在的曲線E的方程;

⑵設過點F(-1,0)的直線/交曲線￡于A,B兩點，試判斷以A2為直徑的圓與直線尤=-2的位置關系，并

寫出分析過程.

/[x'=X

17.設O為坐標原點，橢圓C：±+y2=l經過升縮變換，r-后變為曲線C',尸是曲線C'上的點.

2-[y=V2.y

(1)求曲線C的方程.

(2)設點。在直線x=-3上，且。尸?尸。=1.證明：過點P且垂直于。。的直線/過C的左焦點廠.

18.生活中，橢圓有很多光學性質，如從橢圓的一個焦點出發的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經過

另一個焦點現橢圓C的焦點在無軸上，中心在坐標原點，從左焦點片射出的光線經過橢圓鏡面反射到右焦

點尸2,這束光線的總長度為4,且橢圓的離心率為無，左頂點和上頂點分別為A、B.

2

⑴求橢圓C的方程；

(2)點尸在橢圓上，求線段3P的長度忸片的最大值及取最大值時點尸的坐標；

(3)不過點A的直線/交橢圓C于M,N兩點,記直線/,4W,4V的斜率分別為匕配《，若人(匕+匕)=1,

證明：直線/過定點，并求出定點的坐標.

19.如圖，橢圓有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點出發的光線，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的

22

另一個焦點.已知橢圓C：三+與=1(。＞匕＞0)的左、右焦點分別為片，F2,左、右頂點分別為A,B,一

ab

光線從點6(-1,0)射出經橢圓c上p點反射，法線(與橢圓。在p處的切線垂直的直線)與％軸交于點Q,

已知伊耳1=1,誨。|=g.求橢圓C的方程.

20.歷史上第一個研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年——325年），大約100年后，阿波羅尼斯

更詳盡、系統地研究了圓錐曲線，并且他還進一步研究了這些圓錐曲線的光學性質：如圖甲，從橢圓的一

個焦點出發的光線或聲波，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點，其中法線/'表示與橢圓的切

線垂直且過相應切點的直線.

已知圖乙中，橢圓C的中心在坐標原點，焦點為￡（-c,0）,g（c,0）（c＞0）,由K發出的光線經橢圓兩次反

射后回到月經過的路程為處c.

⑴點尸是橢圓C上除頂點外的任意一點，橢圓C在點尸處的切線為/,工在/上的射影H滿足=

利用橢圓的光學性質求橢圓C的方程；

⑵在：（1）的條件下，設橢圓C上頂點為。，點A3為x軸上不同于橢圓頂點的點，且乙+/=4,直

線AQ,8。分別與橢圓C交于點M,N（M,N異于點Q）,QTLMN,垂足為T,求刀的最小值.

22

21.已知點P（U）為橢圓C：「+與=1（。＞人＞0）內一點，過點尸的直線/與C交于A,8兩點.當直線

ab

/經過C的右焦點鳥（3,0）時，點尸恰好為線段AB的中點.

⑴求橢圓C的方程；

(2)橢圓的光學性質是指：從橢圓的一個焦點出發的一束光線經橢圓反射后會經過橢圓的另一個焦點.設從

橢圓C的左焦點居出發的一束光線經過點尸，被直線/反射，反射后的光線經過橢圓二次反射后恰好經過

點K,由此形成的三角形稱之為“光線三角形”.求此時直線/的方程，并計算“光線三角形”的周長.

22.橢圓滿足這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點發射光線，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個

焦點.如果沒有阻擋，此過程可以不斷重復進行下去.

22

⑴橢圓C：1+]=1,8分別為其左、右焦點.試問，從尸I發射的光線，經橢圓反射后第一次回到^

時，光線經過的路程d的最大值和最小值分別為多少？(寫出結論即可，無須說明)

22

⑵如圖，橢圓C?:J+2=1(°>6>0)的左、右焦點分別為居,工，從月發射的光線，經橢圓上兩點P,。

ab

處分別反射后，光線回到尸I，已知cos/￡P工=(，|/蜀=|PQ|,求橢圓g的離心率e的值.

O

23.歷史上第一個研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯(公元前375年-325年)，大約100年后，阿波羅尼斯更詳

盡、系統地研究了圓錐曲線，并且他還進一步研究了這些圓錐曲線的光學性質：如圖甲，從橢圓的一個焦

點出發的光線或聲波，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點，其中法線/‘表示與橢圓C的切線

垂直且過相應切點的直線，如圖乙，橢圓C的中心在坐標原點，焦點為月(-C,0)，B(G0)(C>0),由可發出

的光經橢圓兩次反射后回到大經過的路程為更C.利用橢圓的光學性質解決以下問題：

3...........................................................

（2）點尸是橢圓C上除頂點外的任意一點，橢圓在點尸處的切線為/，工在/上的射影“在圓/+丁=4上,

求橢圓C的方程.

24.圓錐曲線有著令人驚奇的光學性質，這些性質均與它們的焦點有關.如：從橢圓的一個焦點處出發的光

線照射到橢圓上，經過反射后通過橢圓的另一個焦點；從拋物線的焦點處出發的光線照射到拋物線上，經

反射后的光線平行于拋物線的軸.某市進行科技展覽，其中有一個展品就利用了圓錐曲線的光學性質，此展

品的一個截面由一條拋物線G和一個“開了孔”的橢圓c,構成（小孔在橢圓的左上方）.如圖，橢圓與拋物

線均關于X軸對稱，且拋物線和橢圓的左端點都在坐標原點，月，尸2為橢圓G的焦點，同時可也為拋物線

a的焦點，其中橢圓的短軸長為2g,在尸2處放置一個光源，其中一條光線經過橢圓兩次反射后再次回到

尸2經過的路程為8.由F?照射的某些光線經橢圓反射后穿過小孔，再由拋物線反射之后不會被橢圓擋住.

（2）若由尸2發出的一條光線經由橢圓G上的點尸反射后穿過小孔，再經拋物線上的點。反射后剛好與橢

圓相切，求此時的線段的的長；

（3）在（2）的條件下，求線段尸。的長.

拔高點突破02圓錐曲線中的仿射變換、非對稱韋達、光

學性質問題

目錄

01方法技巧與總結:;.：；；.：；：；：；；；；；.；；；.二；.：；；；：；：；：；.；；；.：；；.：；；；：；二；；二；：.：；；；：；二：；二；；.：；；.；；；.=；：：；：：；；：；；；：；二=二；；：2

02題型歸納與總結...............................................................6

題型一：仿射變換問題...........................................................6

題型二：非對稱韋達問題.........................................................8

題型三：橢圓的光學性質........................................................10

題型四：雙曲線的光學性質......................................................12

題型五：拋物線的光學性質......................................................14

03過關測試....................................................................16

亡法牯自與.柒年

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一、仿射變換問題

仿射變換有如下性質：

1、同素性：在經過變換之后，點仍然是點，線仍然是線；

2、結合性：在經過變換之后，在直線上的點仍然在直線上；

3、其它不變關系.

我們以橢圓為例闡述上述性質.

22x!-X

橢圓二+當=1(。>