應用題-經典應用題-牛吃草問題基本

知識-5星題

課程目標

知識點考試要求具體要求考察頻率

牛吃草問題基本知識C1.了解牛吃草問題的概念。少考

2.能夠準確理解牛吃草的解題原

理。

3.可以熟練運用牛吃草公式來解決

牛吃草問題。

知識提要

牛吃草問題基本知識

?概述

牛吃草問題：又稱為消長問題，是英國偉大的科學家牛頓在他的〈普遍算術,一書中提出的

一個數學問題，所以也稱為“牛頓問題”，俗稱“牛吃草問題

解決該問題要抓住兩個關鍵量：草的生長速度和草原的原草量

?公式:

設定1頭牛1天吃草量為"1”；（1）草的生長速度=（對應牛的頭數X

吃的較多的天數-對應牛的頭數x吃的較少天數）十（吃的較多天數-吃的較少天數）（2）原有

草量=牛的頭數x吃的天數-草的生長速度x吃的天數（3）吃的天數=原有草量+（牛的頭數-

草的生長速度）（4）牛的頭數=原有草量一吃的天數+草的生長速度。

?牛吃草的變型

“牛吃草''問題有很多的變例，像抽水問題、檢票口檢票問題等等，只有理解了“牛吃草”問題的

本質和解題思路，才能以不變應萬變，輕松解決此類問題.

精選例題

牛吃草問題基本知識

1.一個大型的污水池存有一定量的污水，并有污水不斷流入，若安排4臺污水處理設備，36

天可將池中的污水處理完；若安排5臺污水處理設備，27天可將池中的污水處理完；若安排

7臺污水處理設備，天可將池中的污水處理完.

【答案】18

【分析】牛吃草問題變形.

不妨設一臺污水處理設備一天處理一份污水，

每天新流入的污水：

（4X36-5X27）+（36-27）=1（份）.

原有的污水量：

4x36-1x36=108（份）.

分牛法：1臺污水處理設備處理每天新流入的污水，剩下6臺設備處理原有污水

108+（7-1）=18（天）.

2.解放軍戰士在洪水不斷沖毀大壩的過程中要修好大壩.若10人需45分鐘，20人需20分

鐘，則14人修好大壩需分鐘.

【答案】30

【分析】設每個人1分鐘修好1份.

10x45=450（份）,

20x20=400（份）,

每分鐘新沖毀:

（450-400）+（45-20）=2（份）,

原先沖毀:

450-2x45=360（份）,

360+（14-2）=30（分鐘）.

3.小方用一個有洞的杯子從水缸里往三個同樣的容積的空桶中舀水.第一個桶距水缸有1米，

小方用3次恰好把桶裝滿；第二個桶距水缸有2米，小方用4次恰好把桶裝滿.第三個桶距

水缸有3米，那么小方要多少次才能把它裝滿？（假設小方走路的速度不變，水從杯中流出的

速度也不變）

【答案】6

【分析】小方裝第二個桶比第一個桶多用了一杯水，同時多走了2x4—lx3=5（米）路，

所以從杯中流出的速度是IX5=0.2（杯/米），于是1桶水原有水量等于3-3X0.2=2.4（杯）

水，所以小方要2.4+（1-3X0.2）=6（次）才能把第三個桶裝滿.

4.如下圖所示，一塊正方形草地被分為完全相同的四塊以及中間的陰影部分.已知草一開始

是均勻分布，且以恒定的速度均勻生長.但如果某塊地上的草被吃光，就不再生長（因為草根

也被吃掉了）.老農先帶著一群牛在1號草地上吃草，兩天后把1號草地上的草全部吃完（這

期間其他草地的草正常生長）.之后他讓一半牛在2號草地上吃草，另一半在3號草地上吃草,

結果又過了6天，這兩個草地上的草也全部吃完.最后，老農把卷的牛放在陰影草地上吃草，

而剩下的牛放在4號草地上，最后發現兩塊草地上的草同時吃完.如果一開始就讓這群牛在整

塊草地上吃草，那么吃完這些草需要多少天？

【答案】110

【分析】設牛的頭數為[2,5]=10頭，設一頭牛一天吃一份草，所以1,2,3,4號草地的

生長速度為

5

（5x6-10x2）4-6=-,

原有草量為,

550

2x10——x2=—,

陰影分配牛的頭數是4的1.5倍，所以陰影草地的成長速度和原有草量都是4號的1.5倍，所

以整塊草地的生長速度為

原有草量為

5050275

yX4+yX1.5=—,

一開始就讓這群牛在整塊草地上吃草，那么吃完這些草需要

亍275十（/1°5_5.\=11°（天1）

方法二：假設1至4號草地每塊面積為Q,生長速度為U,1號草地2天吃完，草總量為Q+

2v；2號和3號草地，接著6天吃完，草總量為2。+16/6天吃完的草總量應為2天吃完草

總量的3倍，即：

3（a+2u）=2a+16v,

可得a=10u,牛群每天吃草6。又1的牛放在陰影部分的草地中吃草，另外￡的牛放在4號

草地吃草，它們同時把草場上的草吃完，說明陰影部分為4號草地的1.5倍；相當于整個草地

面積為5.5a,即55z每天長草5.5%于是，草可吃

55v丁

7一M=110（天）.

6v—5.5v

5.有一牧場，草均勻生長，17頭牛30天可將草吃完，19頭牛則24天可以吃完.現有若干

頭牛吃了6天后，賣掉了4頭牛，余下的牛再吃兩天便將草吃完.問：原來有多少頭牛吃草？

【答案】40頭

【分析】設1頭牛1天的吃草量為“1”，那么每天生長的草量為：

（17X30-19X24）+（30-24）=9,

原有草量為：

（17-9）x30=240.

現有若干頭牛吃了6天后，賣掉了4頭牛，余下的牛再吃兩天便將草吃完，如果不賣掉這4

頭牛，那么原有草量需增加4x2=8才能恰好供這些牛吃8天，所以這些牛的頭數為：

（240+8）+8+9=40（頭）.

6.一片勻速生長的牧草，如果讓馬和牛去吃，15天將草吃盡；如果讓馬和羊去吃，20天將草

吃盡；如果讓牛和羊去吃，30天將草吃盡.已知牛和羊每天的吃草量的和等于馬每天的吃草

量，現在讓馬、牛、羊一起去吃草，幾天可以將這片牧草吃盡？

【答案】12天

【分析】根據題意可得：

15天馬和牛吃草量=原有草量+15天新生長草量……①

20天馬和羊吃草量=原有草量+20天新長的草量……②

30天牛和羊（等于馬）吃草量=原有草量+30天新生長草量……@

由①x2-③可得：

30天牛吃草量=原有草量，

所以：

牛每天吃草量=原有草量+30;

由③可知，

30天羊吃草量=30天新生長草量，

所以：

羊每天吃草量=每天新生長草量；

設馬每天吃的草為3份，將上述結果帶入②得：

原有草量=20X3=60（份），

所以：

牛每天吃草量=60-30=2（份）.

這樣如果同時放牧牛、羊、馬，可以讓羊去吃新生長的草，牛和馬吃原有的草，可以吃:

60+（2+3）=12（天）.

7.早晨6點，某火車進口處已有一些名旅客等候檢票進站，此時，每分鐘還有若干人前來進

口處準備進站.這樣，如果設立4個檢票口，15分鐘可以放完旅客，如果設立8個檢票口，7

分鐘可以放完旅客.現要求5分鐘放完，需設立幾個檢票口？

【答案】11

【分析】設1個檢票口1分鐘放進1個單位的旅客.

（1）1分鐘新來多少個單位的旅客：（4X15—8X7）+（15-7）="個）；

（2）檢票口開放時已有多少個單位的旅客在等候：4x15-1義15=52^（個）；

（3）5分時間內檢票口共需放進多少個單位的旅客：52：+6X5=55（個）；

（4）設立幾個檢票口：55+5=11（個）.

8.一個蓄水池，每分鐘流入4立方米水.如果打開5個水龍頭，2小時半就把水池水放空，

如果打開8個水龍頭，1小時半就把水池水放空.現在打開13個水龍頭，問要多少時間才能

把水放空？

【答案】54分鐘.

【分析】先計算1個水龍頭每分鐘放出水量.2小時半比1小時半多60分鐘，多流入水

4X60=240（立方米）.時間都用分鐘作單位，1個水龍頭每分鐘放水量是240+（5義150-

8x90）=8（立方米），8個水龍頭1個半小時放出的水量是8X8X90,其中90分鐘內流入

水量是4x90,因此原來水池中存有水8X8X90-4X90=5400（立方米）.打開13個水龍

頭每分鐘可以放出水8X13,除去每分鐘流入4,其余將放出原存的水，放空原存的5400,

需要5400+（8X13-4）=54（分鐘）.所以打開13個龍頭，放空水池要54分鐘.

本題實際上是牛吃草問題的變形，水池中的水，有兩部分，原存有水與新流入的水，就需要分

開考慮，解本題的關鍵是先求出池中原存有的水.這在題目中卻是隱含著的.

9.小明從甲地步行去乙地，出發一段時間后，小亮有事去追趕他，若騎自行車，每小時行15

千米，3小時可以追上；若騎摩托車，每小時行35千米，1小時可以追上；若開汽車，每小

時行45千米，多少分鐘能追上.

【答案】45

【分析】本題是“牛吃草”和行程問題中的追及問題的結合.小明在3-1=2（小時）內走了

15x3-35x1=10（千米），那么小明的速度為10+2=5（千米/時），追及距離為

（15-5）x3=30（千米）.汽車去追的話需要：30+（45-5）="小時）=45（分鐘）.

10.在地鐵車站中，從站臺到地面有一架向上的自動扶梯.小強乘坐扶梯時，如果每秒向上邁

一級臺階，那么他走過20級臺階后到達地面；如果每秒向上邁兩級臺階，那么走過30級臺

階到達地面.從站臺到地面有幾級臺階.

【答案】60

【分析】每秒向上邁一級臺階，那么他走過20級臺階后到達地面；

20+1=20（秒）（他走了20秒，自動下滑也為20秒）；

如果每秒向上邁兩級臺階，那么走過30級臺階到達地面；

30+2=15（秒）（他走了15秒，自動下滑也為15秒）；

本題非常類似于“牛吃草問題”，如將題目改為：

“在地鐵車站中，從站臺到地面有一架向上的自動扶梯.小強乘坐扶梯時，如果每秒向上邁一

級臺階，那么他走過20秒后到達地面；如果每秒向上邁兩級臺階，那么走過15秒到達地

面.問：從站臺到地面有多少級臺階？”

采用牛吃草問題的方法，電梯20-15=5（秒）內所走的階數等于小強多走的階數：2x15-

1x20=10（階），電梯的速度為10+5=2（階/秒），扶梯長度為20x