第頁3.4圓周角和圓心角的關系第1課時圓周角定理及其推論1根底題知識點1圓周角的概念1.以下四個圖中，∠x是圓周角的是(C)ABCD知識點2圓周角定理2.(2023·衢州)如圖，點A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，那么∠AOB的度數是(B)A.75°B.70°C.65°D.35°3.如圖，CD是⊙O的直徑，過點D的弦DE平行于半徑OA.假設∠D的度數是50°，那么∠C的度數是(A)A.25°B.30°C.40°D.50°4.(2023·蘭州)如圖，在⊙O中，eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，點D在⊙O上，∠CDB＝25°，那么∠AOB＝(B)A.45°B.50°C.55°D.60°5.(2023·廣東)同圓中，弧AB所對的圓心角是100°，那么弧AB所對的圓周角是50°.6.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠AOB＝70°，AB＝AC，那么∠ABC＝35°.知識點3圓周角定理的推論17.(教材P80練習T2變式)(2023·柳州)如圖，在⊙O中與∠1一定相等的角是(A)A.∠2B.∠3C.∠4D.∠58.(2023·哈爾濱)如圖，⊙O中，弦AB，CD相交于點P，∠A＝42°，∠APD＝77°，那么∠B的大小是(B)A.43°B.35°C.34°D.44°9.如圖，⊙O的直徑AB過弦CD的中點E.假設∠C＝25°，那么∠D＝65°.10.如圖，A，B，C，D是⊙O上的四個點，AB＝BC，BD交AC于點E，連接CD，AD.求證：DB平分∠ADC.證明：∵AB＝BC，∴eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵)).∴∠ADB＝∠BDC.∴DB平分∠ADC.易錯點忽略弦所對的圓周角不唯一而致錯11.在直徑為4的⊙O中，弦AB＝2eq\r(3)，點C是圓上不同于A，B的點，那么∠ACB的度數為60°或120°.中檔題12.(2023·菏澤)如圖，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，那么∠OBA等于(D)A.64°B.58°C.32°D.26°13.(2023·泰安)如圖，點A，B，C是⊙O上的三點，且四邊形ABCO是平行四邊形，OF⊥OC交圓O于點F，那么∠BAF等于(B)A.12.5°BC.20°D.22.5°14.(2023·貴港)如圖，A，B，C，D是⊙O上的四個點，B是eq\o(AC,\s\up8(︵))的中點，M是半徑OD上任意一點.假設∠BDC＝40°，那么∠AMB的度數不可能是(D)A.45°B.60°C.75°D.85°15.(2023·泰安)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠A＝45°，BC＝4，那么⊙O的直徑為4eq\r(2).16.如圖，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，垂足為點C，交⊙O于點D，點E在⊙O上.(1)假設∠AOD＝52°，求∠DEB的度數；(2)假設OC＝3，OA＝6，求tan∠DEB的值.解：(1)連接OB.∵OD⊥AB，∴eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).∴∠BOD＝∠AOD＝52°.∴∠DEB＝eq\f(1,2)∠BOD＝26°.(2)∵OD⊥AB，OC＝3，OA＝6，∴OC＝eq\f(1,2)OA，即∠OAC＝30°.∴∠AOC＝60°.∴∠DEB＝eq\f(1,2)∠AOC＝30°.∴tan∠DEB＝eq\f(\r(3),3).17.如圖，在⊙O中，AB＝AC，∠CBD＝30°，∠BCD＝20°，試求∠BAC的度數.解：連接OB，OC，OD.∵∠BOD＝2∠BCD，∠COD＝2∠CBD，∠CBD＝30°，∠BCD＝20°，∴∠COD＝60°，∠BOD＝40°.∴∠BOC＝100°，∠BAC＝eq\f(1,2)∠BOC＝50°.綜合題18.如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，點E在對角線AC上，EC＝BC＝DC.(1)假設∠CBD＝39°，求∠BAD的度數；(2)求證：∠1＝∠2.解：(1)∵BC＝DC，∴eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(DC,\s\up8(︵)).∴∠BAC＝∠CAD＝∠CBD.∵∠CBD＝39°，∴∠BAC＝∠CAD＝39°.∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝78°.(2)證明：∵EC＝BC，∴∠CBE＝∠CEB.∵∠CBE＝∠1＋∠CBD，∠CEB＝∠2＋∠BAC，∴∠1＋∠CBD＝∠2＋∠BAC.又∵∠BAC＝∠CBD，∴∠1＝∠2.

第2課時圓周角定理的推論2，3根底題知識點1圓周角定理的推論21.如圖，AB是△ABC外接圓的直徑，∠A＝35°，那么∠B的度數是(C)A.35°B.45°C.55°D.65°2.(教材P83練習T2變式)從以下直角三角板與圓弧的位置關系中，可判斷圓弧為半圓的是(B)3.(2023·南充)如圖，BC是⊙O的直徑，點A是⊙O上的一點，∠OAC＝32°，那么∠B的度數是(A)A.58°B.60°C.64°D.68°4.如圖，把直角三角板的直角頂點O放在破損玻璃鏡的圓周上，兩直角邊與圓弧分別交于點M，N，量得OM＝8cm，ON＝6cm，那么該圓玻璃鏡的半徑是(B)A.eq\r(10)cmB.5cmC.6cmD5.如圖，A，D是⊙O上的兩個點，BC是直徑.假設∠D＝32°，那么∠OAC＝(B)A.64°B.58°C.72°D.55°6.如圖，在半徑為5cm的⊙O中，AB為直徑，∠ACD＝30°，求弦BD的長.解：∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°.又∵∠ABD＝∠ACD＝30°，∴BD＝AB·cos∠ABD＝10×eq\f(\r(3),2)＝5eq\r(3)(cm).知識點2圓周角定理的推論37.圓內接四邊形ABCD中，∠A＝70°，那么∠C＝(D)A.20°B.30°C.70°D.110°8.如圖，四邊形ABCD是圓內接四邊形，E是BC延長線上一點.假設∠BAD＝105°，那么∠DCE的大小是(B)A.115°B.105°C.100°D.95°9.(2023·邵陽)如下圖，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，∠BCD＝120°，那么∠BOD的大小是(B)A.80°B.120°C.100°D.90°10.(2023·淮安)如圖，在圓內接四邊形ABCD中，假設∠A，∠B，∠C的度數之比為4∶3∶5，那么∠D的度數是120°.易錯點對圓內接四邊形的概念理解不清導致錯誤11.如圖，在⊙O中，點A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝110°，那么∠α＝140°.中檔題12.如圖，CD是⊙O的直徑，∠1＝30°，那么∠2＝(C)A.30°B.45°C.60°D.70°13.(2023·牡丹江)如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB經過圓心，∠B＝3∠BAC，那么∠ADC等于(B)A.100°B.112.5°C.120°D.135°14.(2023·白銀)如圖，⊙A過點O(0，0)，C(eq\r(3)，0)，D(0，1)，點B是x軸下方⊙A上的一點，連接BO，BD，那么∠OBD的度數是(B)A.15°B.30°C.45°D.60°15.如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求證：(1)AD＝CD；(2)AB是⊙O的直徑.證明：(1)∵四邊形ABCD內接于⊙O，∴∠D＝180°－∠B＝130°.∵∠ACD＝25°，∴∠DAC＝180°－∠D－∠ACD＝180°－130°－25°＝25°.∴∠DAC＝∠ACD.∴AD＝CD.(2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－40°＝90°.∴AB是⊙O的直徑.16.(2023·宜昌)如圖，在△ABC中，AB＝AC.以AB為直徑的半圓交AC于點D，交BC于點E.延長AE至點F，使EF＝AE，連接FB，FC.(1)求證：四邊形ABFC是菱形；(2)假設AD＝7，BE＝2，求半圓和菱形ABFC的面積.解：(1)證明：∵AB為半圓的直徑，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC，∴CE＝BE，又∵EF＝AE，∴四邊形ABFC是平行四邊形.又∵AB＝AC(或∠AEB＝90°)，∴平行四邊形ABFC是菱形.(2)連接BD.∵AD＝7，BE＝CE＝2，設CD＝x，那么AB＝AC＝7＋x.∵AB為半圓的直徑，∴∠ADB＝90°，∴AB2－AD2＝CB2－CD2.∴(7＋x)2－72＝42－x2.∴x1＝1或x2＝－8(舍去).∴AB＝8.∴S半圓＝eq\f(1,2)×π×42＝8π.∴BD＝eq\r(15).∴S菱形ABFC＝8eq\r(15).綜合題17.如圖，在△ABC中，∠C＝60°，以AB為直徑的半圓O分別交AC，BC于點D，E，⊙O的半徑為2eq\r(3).(1)求證：△CDE∽△CBA；(2)求