1、第四篇圖論基石出圖論是拓扌卜學的一個分支， 以圖作為研究對象。它最早起源于對一些數學游戲的難題研究，如哥 尼斯堡七橋問辱I専弈J詞題、四色猜想問題等。關于圖論的第一篇論文是瑞士數學家歐拉發表於1736年。1847年克?；舴蚶碚搱D論分析電路中的 電流問題，這是圖論在工程的最早應用。近年來 隨著科學技術的發展， 圖論的應用研究越來越廣 已經運用至J運籌學、控帝J學. 網 紹*理論. 博弈論. 社會學和計算機科學等各個領域圖論中所討論的圖， 是由頂點牙口郁方向或不帶方 向的弧線聯結而成的線狀圖。我XH在二元關系一 章中已見過，當我們研究的對象矣皂被抽象為離散 的元素的集合奔口集合上的二元關系時，用關

2、系圖 表示牙口處理是很方便的由于大量丿司題的研究需 要，圖被作為一個抽象的數學系統加以研究，其 研究右法本身已成為一種新的科學方法，用于具 系統功育巨的模型的分析與設計中。本篇著重介紹 圖論的基本槪念，圖 的基本，1生 質以及在實際丿司題中的一些應用。第8章圖的基本概念8.1圖的定義及相關術語設A,B為兩集合，稱a,b I aeAAbGB為A與B的無序積，記作A & B 將無序對a，b記作（a，b）.的定義及相關術語8.3的矩陣表示無向G = ,其中,(1)稱KG的 頂點耗V中夭素稱為頂點或結點；(2) E是夭序積V&V的一個多重子 集， 稱E為G的邊集，E中元素稱為無向 邊或

3、簡稱邊.有向圖，個有向B3D是一個二元組, BPD =,其中，(2) )E是卡氏積的多魚子3,其元素個無向G是一個二元組,即V同夭向中的頂點集；稱為孚T向邊，也簡稱邊.3.57.8給每條邊賦與權的圖G=稱為加權圖, 記為G=vV,E,W,其中W表示各邊權的集合。設ek= （Vi，Vj）為夭向B9G=V, E中的一條邊， 禰VpVj為e*的靖孔ekyi（或Vj）帔此關聯 白. ek= ,除稱Vp VjAk的端點外,夭邊關聯的頂點稱為環立點若一條邊所關聯 的兩個頂點逼合，則稱此邊為環.設G=vV,E為一無向圖或有向圖(1)若V,E都是有窮集合，則稱G是有限圖.若丨V丨=n，則稱G為n階圖.(3)若

4、E=0,則稱G為零圖.特別是，若此 時又有丨V丨=1，則稱G為平凡圖.鄰接點鄰扌妾邊鄰接點：同一條邊的兩個端點。鄰接邊：關聯同一個頂點的兩條邊。d多魚圖含有平行邊簡單EB不含平行邊和環的K一正則BB毎個頂點的度數坦為k的夭向平冇邊.重數、多重圖.簡單圖平行邊關聯一對頂點的m條邊（m 2,稱直數，注意： *向平行邊必須右向相 同）。（夭環）的頂點的度出度入度 頂點的度數頂點所關聯的 邊數。頂點v的度數記作：d (v)稱度數為的頂點為懸掛頂點,它所對應的 邊為越掛邊.v2 vl(v4)=d+(v4)=d-(v4)=0；d (v5)=l, d+(v5)=0, d-(v5)=l；其中，是懸掛結點，V,

5、 V5為懸掛邊。以頂點vK越點 e 邊救禰頂記作：d+(v):稱頂點v的入ddd(V) =3,(v2) =3,(v3) =5,d+(vj=2,d+(v2)=2, d+(v3) =2,d(V) =1；d - (v2) =1；d 一 (v3)=3；在*向點v的出 以頂點vK終點的邊2圖 的最大度和最小度 8 (G)=mind(v) I vEV，分別稱為G的 最大度和最小度.若。=V,E是有向圖，除了A (D) , 8 (D)夕卜，還有最大出度、最大入度、最小出度、最小入度，分 別定義為+ (D) = maxd4(v)jv e Vf= maxd (t/) V；5+ (D) = min() v VD)

6、 = minrf (v) v V0對于圖G=vV,E，記 A(G)=maxd(v) Ivev,b/基本定理（握手定理）設圖G=vV，E 為無向圖或有向圖，V =vpv2,.,vn,IEI=m（ m為邊數），貝U遠/(2 =2m,1=1推論任何圖（無向的或有向的）中，度為奇數的 頂點個數為偶數.定理設有向圖D=,V=vbv2,.,vn, I E I =m，則尹（匕）=乞曠（K）= e度數序列設V = vpV2,vn為為圖G的頂點集,稱(d(vj, d(v2),d(vn) )序列.例1 :求解下列各題 1.無向完全圖Kn有36條邊，則它的頂點數n為幾? 2.圖G的度數列為2, 2, 3, 5, 6

7、,則頂點數n =?邊 3 圖G有12條邊，度數為3的頂點有6個，余者度數均 小于3,問G至少有幾個頂點？4. (3,3,2,3),(5,2,3,1，4)能成為圖的度數序列嗎？為什么？例2證明在n (n2)個人的團體中，總有 兩個人在此團體中恰好有相同個數的朋友。分析：理立數學棋型。以頂點代農人，二人如果Jt朋 友，貝u在代農他們的頂點間連上一條邊，這樣可傅夭 向簡單09G,毎個人的朋友數即禺中代農他的頂點的度 數，于J&J訶題來rf匕為闔中的弗題：n階夭向簡單B9G中 必 k 兩個頂點的度數相同o解：用反證法，設G中各頂點的度數均不相同，則度數 列為0, 1, 2,，n-1,說明圖中有

8、孤立頂點，這與 有口-1度頂點相矛盾(因為是簡單圖，其中的n-l度頂 點必與其它n-1個頂點均鄰接)，所以必有兩個頂點的 度數相同。無向完全圖.有向完全圖頂點都與其余的n _ 個頂點相鄰，貝U稱G 設D二 V, E為n階有向簡單E0,若對于任 意的頂點u, v V(u#=v),既有有向邊,叉有v, u,貝!階*向憲全在圖7. 2(1)中所示為島，(2)所示為心，(3)所示為3階有向完全圖.設G=V, E是n階夭向 簡單若G中任何為n階夭向完全,記作K” Kn均指夭向憲全 由完全圖的定義易知，無向完全圖K的 邊數IE (Kn) l = n (n-1) /2有向完全圖D“的邊數IE(Dn)l =

9、n (n-1)子圖.真子圖設G=vV,E，G，=VEf是兩個圖若VUV，且EUE，則稱G， 是G的子圖，G是G，的每圖，記廠GUG.若GU G且G VG(即V，uV或0 u E),則G，是G履子圖.G生成子圖.導出子圖若GV G且V-V則稱V，是V的生成子圖.設V&V，且V拱0,以V為頂點集,以兩端 點均在V中的全體邊為邊集的G的子圖，稱為V導出的導出子圖.設EiuE，且E#0，以E為邊集，以E中 關聯的頂點的全體為頂點集的G的子 圖稱為E導出的導出子圖.在如下圖中，給出了圖G以及它的真子圖 孑和生成子圖G， ，。G，是結點集vi，v2, v4, V5, V6）的導出子圖。V3V4V3

10、V4味卜圖設G=是n階無向簡單圖以V為頂點 集，%0(5)以所有能使G成為完全圖K.的添加邊 組成的集合為邊集的圖，稱為G相對于完 全圖心的補圖，簡稱G的補圖，記作5有向簡單圖的補圖可類似定義.(1)(3)對于補圖，顯然有以下結論：(1)G與召互為補圖。即：不二G(2)E (G) UE (S) =E(完全圖)且E (G) AE (G =0O(3)n階完全圖與n階零圖互為補圖。(4)G與召 均是完全圖的生成子圖。設兩個無向圖G|=VVI，E,G2=VV2，E2，如果存在雙射函 數f：vv2,使得對于任意的e=(vi,vj) G Ei當且僅當e，=( f (v), f(vj) e E2,并且e與e

11、，的重數相同，則稱Gi與G2是同構 的，記作GG2.例 如下圖Q)、( (b)、( (c)、( (d)所示，圖(a)、圖(b)、圖(c)和圖(d)所表示的圖 形實際上都是一樣的。(1)(2),頂點之間的對應關系為avl, b v2, c ov3, d呂v4, ev5.( (1) )(8)(d)(f(a)(b) (C). (a)所示圖稱為彼彳惠森圖.注意：兩圖同構nl、頂點個數相同2、邊的條數相同3、度數相同的結點數相同但是這是二圖同構的必要條件而非充分條件。例圖下中的Q）和（b）滿足上述三個條件，但因為對（a）個是鄰接點，所以它們不同構。同樣可以看出（C）與（d）例畫出4個頂點3條邊的所有可能

12、非 同構的無向簡單圖；畫出3個頂點2條邊的所有可能非 同構的有向簡單圖.(1)(2)(3)J J J0。C4)(5C6)(7)圖同構的概念-判斷兩個圖是否同構至今還是難題!-但要會根據定義判斷階數n較小的兩個圖是 否同構-會求4階無向完全圖和3階有向完全圖的非同 構的子圖第8章圖的基本概念通路給定圖G=vV,E設G中頂點和邊的交替 序列為r=v0e1v1e2.心力,若滿足如下條件: 5 和比是e：的端點（在G是有向圖時，要求1是引的始點理是引的終點則稱F為頂點到的通路.%和V分別稱為此通路的起點和終點，中 邊的數目1稱為的長度.當V。=V時,此通路稱為回路.的定義及相關術語8.3的矩陣表示跡路

13、徑閉跡圈簡單通路（跡）：頂點可重復但邊不可重 復的通路。初級通路（路軽）：頂點不可重復且邊也 不可重復的通路。簡單回 路（閉述）：起、終點重合的簡單 通路。初級回路（HB）:僅起、終點重合的初級 通路。初級通路若通路的所有頂點5理1弭互不相同（從 而所有邊互不相同），則稱此通路為初級通 路或一條路徑.若回路屮，除v0=V1外,其余頂點各不相同， 所有邊也各不相同，則稱此回路為初級回 路或圈.3復雜通路有邊重復出現的通路稱為復雜通路， 有邊 重復出現的回路稱為復雜回路.由定義可知， 初級通路 （回路） 是簡單通路（回路） ，但反之不真定理在一個n階圖中， 若從頂點Vi到VjCVj/Vj）存在 通路，則從比到耳存在長度小于等于n 1的通路.推論在一個II階圖中，若從頂點到VjCvj）存在通路，則從到V）存在長 度小于等于n -1的初級通路.定理及推論在一個n階圖中，如果存在勺到自身的回路, 則從比到自身存在長度小于等于n的回路.推論在一個n階圖中，如果Vj到自身存在一 條簡單回路，則從比