第二十四章相似三角形50題（5類壓軸題專練）壓軸題型一相似三角形的判定與性質綜合1．（2023春·山東濰坊·八年級統考期末）如圖，在中，，，E、F為線段AB上兩動點，且，過點E、F分別作BC、AC的垂線相交于點M，垂足分別為H、G．以下結論錯誤的是（

）

A． B．當點E與點B重合時，C． D．2．（2023春·四川德陽·八年級統考期末）如圖，已知F是內的一點，，，若四邊形的面積為2，，，則的面積是（）．A．6 B．8 C．10 D．123．（2023·福建·九年級專題練習）如圖，在矩形中，，，將沿的方向平移至，使得，其中E是與的交點，F是與的交點，則的長為（

）

A． B． C． D．4．（2023春·山東泰安·八年級統考期末）如圖，在中，，點是的中點，延長至點，使得，過點作于點，為的中點，給出結論：①；②；③；④．其中正確的有（

）個．

A．4 B．3 C．2 D．15．（2023·山西忻州·校聯考模擬預測）如圖，為矩形的對角線，平分交于點，為邊的中點，連接分別交，于點，．若，，則線段的長為．6．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱風華中學校考開學考試）如圖，在中，，點為上一點，過點作的垂線交的延長線于點，若，則線段的長為．

7．（2023春·遼寧沈陽·八年級統考期中）如圖，中，，為邊的中點，點在直線上（點不與點、重合），連接，過點作交直線于點．若，，，則線段的長為．

8．（2023春·重慶南岸·九年級重慶市珊瑚初級中學校校考期中）如圖，矩形中，，，點為的中點，點為上一點，連接、交于點，連接，當時，線段的長度是．9．（2023春·山東日照·九年級校考期中）已知等邊三角形的邊長為4．(1)如圖，在邊上有一個動點，在邊上有一個動點，滿足，求證：；

(2)如圖，若點在射線上運動，點在直線上，滿足，當時，求的長；

(3)在（2）的條件下，將點繞點逆時針旋轉到點，求的面積．10．（2023春·安徽·九年級專題練習）如圖1，點O為矩形ABCD對角線BD的中點，直線EF過點O，分別交AD，BC于點E，F，．將矩形沿折疊，點A的對應點為點H，點B的對應點為點G，交于點N，交于點P，連接．

(1)求證：；(2)求證：；(3)如圖2，連接交于點M，連接．判斷，和的數量關系，并說明理由．壓軸題型二函數中的相似三角形問題1．（2023·遼寧錦州·統考一模）如圖，在四邊形中，，，，，，是線段上一動點，，交于點，將沿折疊得到，與四邊形重疊部分的面積為，則下列圖像能大致反映與之間函數關系的是（

）．

A．

B．

C．

D．

2．（2023·安徽·九年級專題練習）如圖，在四邊形中，，，，點是上的一個動點，交四邊形另一邊于點．設，的面積為，則與之間的函數關系圖象可能是（）

A．

B．

C．

D．

3．（2023春·江蘇·八年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，點，點．若將線段繞點O逆時針旋轉得到線段，當點恰好落在y軸正半軸上時，點的坐標為（）

A．（，） B．（，） C．（2，） D．（3，5）4．（2023春·河南南陽·九年級淅川縣第一初級中學校聯考期中）如圖，在菱形中，對角線，交于點，，，點沿從點勻速運動到點．設點的運動時間為，，圖是點運動時隨變化的函數關系圖象，則圖中最低點的縱坐標的值為（）A． B． C． D．5．（2023春·山東威海·八年級統考期末）如圖，一次函數與反比例函數相交于點，點，軸于點，軸于點，是線段上的一點，連接，，若，則點的坐標為．

6．（2023·遼寧鞍山·統考中考真題）如圖，在中，，頂點C，B分別在x軸的正、負半軸上，點A在第一象限，經過點A的反比例函數的圖象交AC于點E，過點E作軸，垂足為點F．若點E為的中點，，，則k的值為．

7．（2023·廣東深圳·校考一模）如圖，已知中，，，，將的頂點O與平面直角坐標系的原點重合，頂點B落在x軸上，另一頂點A在反比例函數在第一象限的圖象上．將通過旋轉和平移變換得到，若斜邊在x軸上，且直角頂點也在反比例函數的第一象限的圖象上，則．8．（2023春·山東淄博·九年級統考期中）如圖，點坐標為，點是線段上的一個動點（不運動至，兩點）過點作軸，垂足為，以為邊在右側作正方形，連接并延長交軸的正半軸于點，連接，若以，，為頂點的三角形與相似，則的坐標是．

9．（2023春·山東青島·九年級統考開學考試）如圖1，在中，，動點從點出發，沿折線勻速運動至點停止．若點的運動速度為，設點的運動時間為．的長度為，與的函數圖象如圖2所示．

(1)當恰好平分時，求的值；(2)滿足（1）的條件下，求證：．10．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱風華中學校考開學考試）在平面直角坐標系中，直線分別交x軸、y軸于點A、點，，過點作交于點，連結．(1)如圖1，求的度數．(2)如圖2，點在射線上（點不與點重合），過點作，垂足為點，若，求出與的函數關系式，并直接寫出的取值范圍．(3)如圖3，在（2）的條件下，當時，連接，在射線上是否存在點，連結，使為等腰三角形．若存在，求出的長．壓軸題型三動點關系的相似三角形問題1．（2023秋·安徽滁州·九年級校聯考期末）如圖，在中，，，點從點出發以1個單位長度/秒的速度向點運動，同時點從點出發以2個單位長度/秒的速度向點運動，其中一點到達另一點即停．當以，，為頂點的三角形與相似時，運動時間為（

）A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．以上均不對2．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，AB＝4，射線BM和AB互相垂直，點D是AB上的一個動點，點E在射線BM上，2BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，連接AF并延長交射線BM于點C．設BE＝x，BC＝y，則y關于x的函數解析式是（）A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣3．（2023春·重慶渝中·八年級統考期末）如圖，中，，，，D為的中點，若動點E以的速度從A點出發，沿著A→B的方向運動，設E點的運動時間為t秒（），連接，當以B、D、E為頂點的三角形與相似時，t的值為（

）A．2 B．2.5或3.5 C．2或3.5 D．2或2.54．（2023·江蘇無錫·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC的頂點坐標分別為，，，．動點P從點O出發，以每秒3個單位長度的速度沿邊OA向終點A運動；動點Q從點B同時出發，以每秒2個單位長度的速度沿邊BC向終點C運動．作于點G，則運動過程中，AG的最大值為（

）A． B． C． D．85．（2023春·江蘇揚州·九年級儀征市第三中學校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形的頂點坐標分別為，，，．動點P從點O出發，以每秒3個單位長度的速度沿邊向終點A運動；動點Q從點B同時出發，以每秒2個單位長度的速度沿邊向終點C運動，作于點G，設運動的時間為t秒，則AG的最大值是．6．（2023·江蘇·模擬預測）如圖，矩形中，，，點E在邊上，且，動點P從點A出發，沿運動到點B停止，過點E作交射線于點Q，設O是線段的中點，則在點P運動的整個過程中，點O運動路線的長為．7．（2023秋·河北保定·九年級校考期末）如圖，已知在中，，，點在邊上（點與點，不重合），，射線與邊交于點，過點作的平行線，交射線于點．（1）若，則的長為；（2）當是等腰三角形時，的長為．8．（2023春·湖北襄陽·九年級統考階段練習）如圖，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點M，N分別在邊AD，BC上，沿著MN折疊矩形ABCD，使點A，B分別落在E，F處，且點F在線段CD上（不與兩端點重合），若，則折疊后重疊部分的面積為．9．（2023春·吉林長春·八年級長春外國語學校校考階段練習）如圖，在中，，，，點D、E分別為邊、的中點．動點P從點A出發，沿折線以每秒1個單位長度的速度向點A運動，連結．作點A關于直線的對稱點，連接，．設點P運動時間為t秒．

(1)線段的長為；(2)當點P在折線上時，用含t的代數式表示線段的長；(3)當點在內部時，求t的取值范圍；(4)當與相等時，直接寫出t的值．10．（2023·湖南衡陽·統考一模）如圖，矩形中，，，為上一點，，動點從點出發沿射線方向以每秒個單位的速度運動，連，，，過作的平行線交射線于點，設點的運動時間為，（不考慮，，在同一直線的情況）

(1)當時，試求出的長；(2)當與相似時，求的值；(3)當在線段上時，設面積為，周長為，①求與的函數關系式；②直接寫出的最小值．壓軸題型四相似三角形中最值問題1．（2023秋·黑龍江大慶·九年級校考開學考試）如圖，在中，，點D，E分別是邊上的動點，則的最小值為（）A． B． C． D．2．（2023春·江蘇宿遷·九年級沭陽縣懷文中學校聯考階段練習）如圖，矩形中，點在邊上，，，，點是矩形內一動點，滿足，連接繞點逆時針旋轉90°至，連接，則的最小值為（

）A． B． C． D．13．（2023春·山東泰安·八年級統考期末）如圖，在矩形中，，，若點是邊上的一個動點．過點作且分別交對角線，直線于點O、F，則在點移動的過程中，的最小值為（

）

A． B． C．17 D．184．（2023·江蘇連云港·連云港市新海實驗中學校考二模）如圖，在平面直角坐標系中，點，點B是線段上任意一點，在射線上取一點C，使，在射線上取一點D，使．所在直線的關系式為，點F、G分別為線段的中點，則的最小值是（

）

A． B． C． D．4．85．（2023·河南信陽·校考三模）如圖，在中，，，點分別在邊上，且，連接，相交于點，則面積最大值為．

6．（2023·江蘇泰州·校考三模）如圖，在矩形中，，，點在直線上，從點出發向右運動，速度為每秒，點在直線上，從點出發向右運動，速度為每秒，相交于點，則的最小值為．7．（2023·陜西寶雞·統考二模）如圖，在菱形中，對角線相交于點O，點E、F分別是上的兩個動點，且，P是的中點，連接，若，則的最小值為．

8．（2023·廣東廣州·校考模擬預測）如圖，在矩形中，，E，F分別為，邊的中點．動點P從點E出發沿向點A運動，同時，動點Q從點F出發沿向點C運動，連接，過點B作于點H，連接．若點P的速度是點Q的速度的2倍，在點P從點E運動至點A的過程中，線段長度的最小值為．

9．（2023·江蘇泰州·校考三模）(一)感知：如圖，是的中位線，，、分別是、的中點，則；用字母表示與間有怎樣的相等關系：．二探索：如圖，在四邊形中，，其中，，是的中點，交于點，則．用字母，表示在上，在上，，且使四邊形四邊形，則用字母，表示在上，在上，，且平分四邊形的面積，求的長用字母，表示三猜想：、、間的大小關系：，用、的表達式表示并對與間的關系進行證明；四應用：如圖，在中，，，，點、分別在、上，平分的面積，求周長的最小值．10．（2023春·江蘇蘇州·八年級統考期末）（1）如圖1，四邊形是正方形，點E是邊上的一個動點，以為邊在的右側作正方形，連接，，則與的數量關系是______．（2）如圖2，四邊形是矩形，，，點E是邊上的一個動點，以為邊在的右側作矩形，且，連接，．判斷線段與，有怎樣的數量關系和位置關系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，點E是從點A運動D點，則點G的運動路徑長度為______；（4）如圖3，在（2）的條件下，連接BG，則的最小值為______．

壓軸題型五相似三角形中的綜合題型1．（2023春·山東煙臺·八年級統考期末）如圖，在正方形中，對角線交于點O，E是邊的中點，連接，分別交于點P，Q，過點P作交的延長線于點F．以下結論：①；②；③若四邊形的面積為2，則正方形的面積為24；④．其中結論正確的序號有（

）

A．①②③④ B．①②③ C．③④ D．①②④2．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，是等腰三角形，．以點B為圓心，任意長為半徑作弧，交AB于點F，交BC于點G，分別以點F和點G為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點H，作射線BH交AC于點D；分別以點B和點D為圓心，大于的長為半徑作弧，兩孤相交于M、N兩點，作直線MN交AB于點E，連接DE．下列四個結論：①；②；③；④當時，．其中正確結論的個數是（

）

A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·黑龍江綏化·校聯考三模）如圖，已知正方形，為的中點，是邊上的一個動點，連接將沿折疊得，延長交于點，現在有如下五個結論：①一定是直角三角形；②；③當與重合時，有；④平分正方形的面積；⑤，則正確的有（

）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個4．（2023·黑龍江佳木斯·撫遠市第三中學校聯考三模）如圖，在正方形中，點在邊上，點在邊上，，交于點，交于點，連接．下列結論：①；②；③；④當是的中點時，；⑤當時，．其中正確結論的序號是（

）

A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤5．（2023春·浙江嘉興·八年級統考期末）如圖，在邊長為4的正方形中，點E在邊上運動，連接，在的左側作等腰直角三角形，，連接．

（1）當的長為時，的長為；（2）當的長為時，的長最短．6．（2023春·江蘇蘇州·八年級統考期末）數學興趣小組的同學拿出如圖所示的矩形紙片，其中，他們將紙片對折使、重合，展開后得折痕，又沿折疊使點C落在處，展開后又得到折痕，再沿折疊使點A落在上的處，大家發現了很多有趣的結論．就這個圖形，請你探究的值為．

7．（2023春·山東泰安·八年級統考期末）如圖，在中，，，分別是，的中點，動點在射線上，交于點，的平分線交于點，當時，的值為．

8．（2023春·山西長治·八年級統考期末）如圖所示，邊長為8的正方形中，為邊的中點，將正方形沿折疊，使得點與點重合，點與點重合，連接交于點交于點，則的長為．

9．（2023·湖北襄陽·統考模擬預測）在矩形中，點E是射線上一動點，連接，過點B作BF⊥AC于點G，交直線于點F．

(1)當矩形是正方形時，以點F為直角頂點在正方形的外部作等腰直角三角形，連接．如圖1，則線段與之間的數量關系是，位置關系是；(2)如圖2，若點E在線段上，以點F為直角頂點在矩形的外部作直角三角形，且，連接．判斷線段與之間的數量關系與位置關系，并證明；(3)如圖3，若點E在線段的延長線上，F在線段的延長線上，且，，M是中點，連接，，求的值．10．（2023·全國·九年級專題練習）數學興趣小組探究了以下幾何圖形．如圖①，把一個含有角的三角尺放在正方形中，使角的頂點始終與正方形的頂點C重合，繞點C旋轉三角尺時，角的兩邊，始終與正方形的邊，所在直線分別相交于點M，N，連接，可得．探究一：如圖②，把繞點C逆時針旋轉得到，同時得到點H在直線上．求證：；探究二：在圖②中，連接，分別交，于點E，F．求證：；探究三：把三角尺旋轉到如圖③所示位置，直線與三角尺角兩邊，分別交于點E，F，連接交于點O，求的值．

第二十四章相似三角形50題（5類壓軸題專練）壓軸題型一相似三角形的判定與性質綜合1．（2023春·山東濰坊·八年級統考期末）如圖，在中，，，E、F為線段AB上兩動點，且，過點E、F分別作BC、AC的垂線相交于點M，垂足分別為H、G．以下結論錯誤的是（

）

A． B．當點E與點B重合時，C． D．【答案】C【分析】A由題意知，是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形即可作出判斷；B如圖1，當點E與點B重合時，點H與點B重合，可得，四邊形是矩形，進一步得到FG是的中位線，從而作出判斷；C如圖2所示，根據可證，根據全等三角形的性質和勾股定理即可作出判斷；D易證，根據相似三角形的性質可得，由題意知四邊形是矩形，再根據平行線的性質和等量代換得到，依此即可作出判斷.【詳解】解：由題意知，是等腰直角三角形，∴，故A正確；如圖1，當點E與點B重合時，點H與點B重合，

∴，∵，∴，∴，四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴FG是的中位線，∴，故B正確；如圖2所示，

∵，∴．將繞點C順時針旋轉至，則；∵，∴，∴．在和中，∴（），∴．∵，∴，∴，即，故C錯誤；∵，∵，∴，∴，∴，由題意知四邊形是矩形，∴，∴，即，∴，∴，故D正確．故選C．【點睛】此題是三角形綜合題，涉及的知識點有：等腰直角三角形的判定和性質，平行線的判定和性質，矩形的判定和性質，三角形中位線的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質，綜合性較強，有一定的難度．2．（2023春·四川德陽·八年級統考期末）如圖，已知F是內的一點，，，若四邊形的面積為2，，，則的面積是（）．A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】延長、分別交于點M、N，可以得到相似三角形并利用相似三角形分別求出之間的關系，從而得到三角形的面積關系即可求解．【詳解】解：如圖所示：延長、分別交于點M、N，∵，∴．∵，∴，，∴令，則，∴，∴，∴，∴，．∵,∴,,∴，．∴設，則，∴，∴．∵,∴,∴，解得，∴．故選D．【點睛】本題考查相似三角形，平行線分線段成比例．一定的難度，利用相似三角形的性質：對應線段成比例進行求解線段的長度；利用相似三角形的面積之比等于相似比的平方是解題的關鍵．3．（2023·福建·九年級專題練習）如圖，在矩形中，，，將沿的方向平移至，使得，其中E是與的交點，F是與的交點，則的長為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由平移的性質結合矩形的性質易證四邊形為菱形，即得出．根據勾股定理可求出，又易證，即得出．設，則，代入，即可求出x的值，從而可求出，最后再次利用勾股定理即可求解．【詳解】解：由平移的性質可知，，，．∵四邊形為矩形，∴，，∴，，∴四邊形為平行四邊形．∵，∴平行四邊形為菱形，∴．∵，，∴．∵，∴，∴．設，則，∴，解得：，∴，∴，∴．故選：C．【點睛】本題考查平移的性質，矩形的性質，菱形的判定和性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質等知識．熟練掌握上述知識并利用數形結合的思想是解題關鍵．4．（2023春·山東泰安·八年級統考期末）如圖，在中，，點是的中點，延長至點，使得，過點作于點，為的中點，給出結論：①；②；③；④．其中正確的有（

）個．

A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】延長交于M，作于N，由，可得，從而判斷①；由，，得出，從而判斷②；先證，可得，從而判斷③，由結合等角的轉化，得出，從而判斷④．【詳解】解：延長交于M，作于N，則，

∵，∴，故①不符合題意；∵，，∴，∴，∵，∴，故②符合題意；∵，∴，∴，∵，∴，故③符合題意；∵，∴，∵，∴，∵，∴，故④符合題意，故選：B．【點睛】本題考查三角形全等的判定與性質，三角形中位線定理的含義，平行線分線段成比例的應用，關鍵是靈活應用這些知識點．5．（2023·山西忻州·校聯考模擬預測）如圖，為矩形的對角線，平分交于點，為邊的中點，連接分別交，于點，．若，，則線段的長為．【答案】【分析】根據矩形的性質由勾股定理求出，的長，證明，求出，，過點作，于點，，根據角平分線的性質可得，然后利用三角形的面積即可解決問題．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，，為邊的中點，，，，，，，，，，，，如圖，過點作，于點，，平分，，，，，，，，線段的長為．故答案為：．【點睛】本題考查矩形的性質，角平分線的性質，相似三角形的判定與性質，解決本題的關鍵是得到．6．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱風華中學校考開學考試）如圖，在中，，點為上一點，過點作的垂線交的延長線于點，若，則線段的長為．

【答案】【分析】通過導角證明，過點D作于點F，根據角平分線的性質可得，，證明，得出，設，，依次證明，，利用相似三角形對應邊成比例即可求解．【詳解】解：，，又，，，，，，如圖，過點D作于點F，

，，，在和中，，，．，，．，，，，，設，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查角平分線性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質等，解題的關鍵是通過導角證明．7．（2023春·遼寧沈陽·八年級統考期中）如圖，中，，為邊的中點，點在直線上（點不與點、重合），連接，過點作交直線于點．若，，，則線段的長為．

【答案】或【分析】①當在邊上時，取的中點為，的中點，連接，，可證四邊形是矩形，可得，可證，可得，即可求解；②當點在的延長線上時，同理可求：，即可求解．【詳解】解：①當在邊上時，如圖，取的中點為，的中點，連接，，

，，，為的中點，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，，，，，，，，，；②如圖，當點在的延長線上時，

同理可求：，，．故答案：或．【點睛】本題考查了三角形性中位線定理，相似三角形的判定及性質等，找到點的不同位置，掌握相關的判定方法及性質是解題的關鍵．8．（2023春·重慶南岸·九年級重慶市珊瑚初級中學校校考期中）如圖，矩形中，，，點為的中點，點為上一點，連接、交于點，連接，當時，線段的長度是．【答案】/【分析】根據矩形的性質和中點的定義可得、、，再運用勾股定理可得，，再由平行線等分線段定理可得，可求得，再運用勾股定理求得再證，最后根據相似三角形的性質求解即可．【詳解】解：∵矩形中，，，點為的中點，∴、，、∴，∴∵，∴,即，解得：,∴，∵，∴，∵，∴，∴，即,解得：．故選：A．【點睛】本題主要考查矩形的性質、直角三角形斜邊中線的性質、相似三角形的判定和性質、平行線等分線段定理鞥知識點，理解題意、綜合運用這些知識點是解題關鍵．9．（2023春·山東日照·九年級校考期中）已知等邊三角形的邊長為4．(1)如圖，在邊上有一個動點，在邊上有一個動點，滿足，求證：；

(2)如圖，若點在射線上運動，點在直線上，滿足，當時，求的長；

(3)在（2）的條件下，將點繞點逆時針旋轉到點，求的面積．【答案】(1)見詳解(2)7(3)【分析】（1）先利用三角形的內角和得出，再用平角得出，進而得出，即可得出結論；（2）過點作于，構造出含角的直角三角形，求出的長度，再用勾股定理求出，進而求出的值，再判斷出，得出比例式即可得出結論；（3）先求出的值，進而得出的值，再構造出直角三角形求出的長度，進而得出的值，再求出的長度，最后用面積差即可得出結論．【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，∴，∴在中，，∴，∵，∴，∴；（2）如下圖，過點作于，

∴，∵是等邊三角形，邊長為4，∴，，∴，在中，，，∴，根據勾股定理得，，在中，，根據勾股定理得，，∵，∴，又∵，∴，∴，∴；（3）如下圖，

由（2）知，，∵，∴，由旋轉知，，，∵，∴，，過點作于，在中，，根據勾股定理得，，過點作于，∵，∴，∴，過點作于，∵，∴，在中，根據勾股定理得，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質、旋轉的性質、勾股定理及相似三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握相關知識并靈活運用．10．（2023春·安徽·九年級專題練習）如圖1，點O為矩形ABCD對角線BD的中點，直線EF過點O，分別交AD，BC于點E，F，．將矩形沿折疊，點A的對應點為點H，點B的對應點為點G，交于點N，交于點P，連接．

(1)求證：；(2)求證：；(3)如圖2，連接交于點M，連接．判斷，和的數量關系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)，理由見解析【分析】（1）利用證明，推出，即可證明．（2）由對稱的性質可得，，等量代換可得，進而可得，．根據，，可得，進而可得，，推出，即可證明；（3）首先證明，推出，進而可得．再依次證，，，根據相似三角形的性質可得，，進而可得，變形可得，即．【詳解】（1）證明∵四邊形是矩形，∴，，∴，．∵點O為的中點，∴．∴，∴，∴．（2）證明：由對稱可得，．∵，∴．∴．∴．由（1）得，∴．∴．∴．∵，∴．∴．（3）解：數量關系是：．∵，∴．由對稱可得，∵，∴，由（2）知，即，在和中，，∴，∴．∵，∴．∴．∵，∴，∴，∴，∴，．∴，∴．∵，∴．同理可證，∴．∴．∴．即．∵，∴．

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，矩形的性質，軸對稱的性質等，解題的關鍵是綜合運用上述知識點，逐步進行推導論證是解題的關鍵．壓軸題型二函數中的相似三角形問題1．（2023·遼寧錦州·統考一模）如圖，在四邊形中，，，，，，是線段上一動點，，交于點，將沿折疊得到，與四邊形重疊部分的面積為，則下列圖像能大致反映與之間函數關系的是（

）．

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】如圖：當G在上時，可求得函數關系式為可排除B、D；當G在的延長線上時，可求得函數關系式為，可排除A選項即可解答．【詳解】解：①當G在上時，作于H，則四邊形為矩形，

，，,∵，，∴，即，解得：，∴，即，即以y軸為對稱軸開口向上，可排除B、D；②當G在的延長線上時，作于H，則四邊形為矩形，作于H，

，，，∵∵，，∴，即，解得：，同理：；∴，，∴，即開口方向向下，可排除A選項．故選B．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、二次函數圖像的性質等知識點，掌握分類討論思想以及二次函數的性質是解答本題的關鍵．2．（2023·安徽·九年級專題練習）如圖，在四邊形中，，，，點是上的一個動點，交四邊形另一邊于點．設，的面積為，則與之間的函數關系圖象可能是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】過點作于點，過點作于點，由平行四邊形的判定推出四邊形是平行四邊形，從而得到，通過證明，得到，由勾股定理得出，再分，，三種情況討論即可．【詳解】解：過點作于點，過點作于點，則，

，四邊形是平行四邊形，，在和中，，，，，，，①當時，

，，，，，即，，；②當，此時，

，；③當時，

，，，，，，，，綜上，第一段為開口向上的二次函數，第二段為一次函數，第三段為開口向下的二次函數，故選：C．【點睛】本題考查動點問題的函數圖象，相似三角形的判定與性質等，全的三角形的判定與性質，勾股定理，明確題意，熟練掌握相似三角形的判定與性質等，全的三角形的判定與性質，采用數形結合與分類討論的思想解題，是解此題的關鍵．3．（2023春·江蘇·八年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，點，點．若將線段繞點O逆時針旋轉得到線段，當點恰好落在y軸正半軸上時，點的坐標為（）

A．（，） B．（，） C．（2，） D．（3，5）【答案】A【分析】連接,過點作軸，過點作于，過點作軸，先求出，再證明得出，，，再證明，推出，，從而求出點的坐標．【詳解】解：過點作軸，過點作于，過點作軸，，，點到軸的距離為4，，，，，，，，，即，，，將繞點逆時針旋轉得到，，，，，，，，，故選：A．\

【點睛】本題考查了坐標與圖形變化旋轉、等腰三角形的性質、勾股定理，掌握這幾個知識點的綜合應用，其中作出輔助線證明三角形全等是解題關鍵．4．（2023春·河南南陽·九年級淅川縣第一初級中學校聯考期中）如圖，在菱形中，對角線，交于點，，，點沿從點勻速運動到點．設點的運動時間為，，圖是點運動時隨變化的函數關系圖象，則圖中最低點的縱坐標的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】作點關于的對稱點，連接交于點，連接，，，由菱形的性質可知，點與點關于對稱，根據兩點之間線段最短可知，當、、三點共線時，的最小值為，在中，解直角三角形可得，，于是，，易證，，由相似三角形的性質分別求出和，易知，則為直角三角形．再根據勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，作點關于的對稱點，連接交于點，連接，，，四邊形為菱形，點在上，，垂直平分，，，當、、三點共線時，的最小值為在中，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，在中，，的最小值為，即．故選：C．【點睛】本題主要考查動點函數問題、兩點之間線段最短、解直角三角形、菱形的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理，正確理解題意，學會利用模型思想解決問題是解題關鍵．5．（2023春·山東威海·八年級統考期末）如圖，一次函數與反比例函數相交于點，點，軸于點，軸于點，是線段上的一點，連接，，若，則點的坐標為．

【答案】【分析】聯立方程求得點與點的坐標，根據相似三角形的性質即可求得，，利用兩點間距離公式建立方程求解即可．【詳解】解：∵一次函數與反比例函數相交于點，點，令，整理得：解得：，，當時，，當時，，故，，∴，，∵，∴，設，則，，故，解得：，（不符合題意，舍去）∴點．故答案為：．【點睛】本題考查了一次函數與反比例函數的應用，相似三角形的性質，兩點間距離公式等，熟練掌握相似三角形的性質是解題的關鍵．6．（2023·遼寧鞍山·統考中考真題）如圖，在中，，頂點C，B分別在x軸的正、負半軸上，點A在第一象限，經過點A的反比例函數的圖象交AC于點E，過點E作軸，垂足為點F．若點E為的中點，，，則k的值為．

【答案】4【分析】過點作軸于點，證明，得，再根據，可得，再證明，得到的長，設，，得到的坐標，根據兩點在同一反比例函數上，可解得的值，從而可得，再利用勾股定理解得，從而求得的值．【詳解】解：如圖，過點作軸于點，

軸，

，，，是的中點，，，，，即，同理可得，，，，設，則，，，都在反比例函數上，，解得，，在中，，，，故答案為：4．【點睛】本題考查了反比例函數的圖像，相似三角形的判定及性質，勾股定理，理解反比例函數圖像上的點橫坐標與縱坐標的乘積相同，是解題的關鍵．7．（2023·廣東深圳·校考一模）如圖，已知中，，，，將的頂點O與平面直角坐標系的原點重合，頂點B落在x軸上，另一頂點A在反比例函數在第一象限的圖象上．將通過旋轉和平移變換得到，若斜邊在x軸上，且直角頂點也在反比例函數的第一象限的圖象上，則．【答案】【分析】利用勾股定理可得，即，即可得反比例函數為，根據旋轉、平移的性質可得，，，，作軸于D，證明，即有，進而可得，，可得點的縱坐標為4.8，進而有，問題隨之得解．【詳解】解：中，，，，∴，∴，∵點A在反比例函數在第一象限的圖象上，∴，∴反比例函數為，由題意可知，，，，，作軸于D，∴，∵，∴，∴，即，∴，，∴點的縱坐標為4.8，代入，得，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了反比例函數的圖象與性質，勾股定理，平移的性質，旋轉的性質，相似三角形的判定與性質等知識，掌握相似三角形的判定與性質是解答本題的關鍵．8．（2023春·山東淄博·九年級統考期中）如圖，點坐標為，點是線段上的一個動點（不運動至，兩點）過點作軸，垂足為，以為邊在右側作正方形，連接并延長交軸的正半軸于點，連接，若以，，為頂點的三角形與相似，則的坐標是．

【答案】或或【分析】根據點坐標是可以確定，又四邊形是正方形，所以，即可證明的邊，再根據“以，，為頂點的三角形與相似”分：①，②兩種情況討論，根據與相似，相似三角形對應高的比等于對應邊的比列出比例式計算即可求出正方形的邊長，從而的長即可求出．【詳解】解：如圖當點在點的右邊時，如圖，過點作于點，∵點坐標是，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，，，∴，∴，設，∴，∴，∵以，，為頂點的三角形與相似，①當時，可得：，即，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴，∴點的坐標為；②當時，可得：，即，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴，∴點的坐標為；

如圖，當點在點的左邊時，設正方形的邊長為，過點作于點，延長交于點，∴，∵點坐標是，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，，，∴，∴，∴，，在四邊形中，，∴四邊形是矩形，∴，∴，∵以，，為頂點的三角形與相似，①當，∴，則點，點與點重合，不符合題意；②當，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴，∴點的坐標為；綜上所述，點的坐標是或或．故答案為：或或．

【點睛】本題考查相似三角形的性質：對應高的比等于對應邊的比的性質，解題的關鍵是根據點坐標確定出，注意要分情況討論，避免漏解．也考查了正方形的性質，矩形的判定和性質．9．（2023春·山東青島·九年級統考開學考試）如圖1，在中，，動點從點出發，沿折線勻速運動至點停止．若點的運動速度為，設點的運動時間為．的長度為，與的函數圖象如圖2所示．

(1)當恰好平分時，求的值；(2)滿足（1）的條件下，求證：．【答案】(1)(2)見詳解【分析】（1）由圖象可得，通過證明，可求的長，即可求解；（2）根據（1）中，，，可得結論．【詳解】（1）解：如圖，連接，由圖2可得，，，，平分，，，，，，，，，，，（負值舍去），；（2）證明：由（1）知，，，，．

【點睛】本題是動點問題的函數圖象，考查了等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，證明三角形相似是解題的關鍵．10．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱風華中學校考開學考試）在平面直角坐標系中，直線分別交x軸、y軸于點A、點，，過點作交于點，連結．(1)如圖1，求的度數．(2)如圖2，點在射線上（點不與點重合），過點作，垂足為點，若，求出與的函數關系式，并直接寫出的取值范圍．(3)如圖3，在（2）的條件下，當時，連接，在射線上是否存在點，連結，使為等腰三角形．若存在，求出的長．【答案】(1)(2)(3)的長為1或或【分析】（1）當，，則，當，，則，由，可知當，，則，根據勾股定理的逆定理進行求解即可；（2）當在線段上，，如圖1，由題意知，，，，證明，則，即，整理得，，當在點左側，，如圖2，同理求解即可；（3）由題意知，，如圖3，由題意知，為等腰三角形，分，，，三種情況求解求解即可．【詳解】（1）解：當，，則，當，，則，∵，∴當，，則，∴，，，∵，∴是直角三角形，；（2）解：當在線段上，，如圖1，由題意知，，，，又∵，∴，∴，即，整理得，，當在點左側，，如圖2，同理，，∴，即，整理得，，綜上所述，與的函數關系式為；（3）解：由題意知，，如圖3，由題意知，為等腰三角形，分，，，三種情況求解：①當，則為底邊的高，∴，∴；②當，由勾股定理得，，∴，∴；③當，設，如圖3，過作于，設，則，由勾股定理得，，即，解得，當，，則，∴，解得，，∴，∴；綜上所述，的長為1或或．【點睛】本題考查了勾股定理逆定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質，一次函數解析式，等腰三角形的判定與性質等知識．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．壓軸題型三動點關系的相似三角形問題1．（2023秋·安徽滁州·九年級校聯考期末）如圖，在中，，，點從點出發以1個單位長度/秒的速度向點運動，同時點從點出發以2個單位長度/秒的速度向點運動，其中一點到達另一點即停．當以，，為頂點的三角形與相似時，運動時間為（

）A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．以上均不對【答案】C【分析】首先設秒鐘與以、、為頂點的三角形相似，則，，，然后分兩種情況當和當討論．【詳解】解：設運動時間為秒．，，，當，，即，解得；當，，即，解得，綜上所述，當以，，為頂點的三角形與相似時，運動時間為或，故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，注意數形結合思想與分類討論思想．2．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，AB＝4，射線BM和AB互相垂直，點D是AB上的一個動點，點E在射線BM上，2BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，連接AF并延長交射線BM于點C．設BE＝x，BC＝y，則y關于x的函數解析式是（）A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣【答案】A【分析】作點F作FG⊥BC于G，依據已知條件求得△DBE≌△EGF，得出FG＝BE＝x，EG＝DB＝2x，然后證得△FGC∽△ABC，再根據相似三角形的性質即可求解．【詳解】作點F作FG⊥BC于G，∵∠DEB+∠FEG＝90°，∠DEB+∠BDE＝90°；∴∠BDE＝∠FEG，在△DBE與△EGF中，，∴△DBE≌△EGF（AAS），∴EG＝DB，FG＝BE＝x，∴EG＝DB＝2BE＝2x，∴GC＝y﹣3x，∵FG⊥BC，AB⊥BC，∴FG∥AB，∴△FGC∽△ABC，∴CG：BC＝FG：AB，即＝，∴y＝﹣．故選A．【點睛】本題考查了三角形全等的判定和性質及相似三角形的判定與性質，正確作出輔助線是解決問題的關鍵．3．（2023春·重慶渝中·八年級統考期末）如圖，中，，，，D為的中點，若動點E以的速度從A點出發，沿著A→B的方向運動，設E點的運動時間為t秒（），連接，當以B、D、E為頂點的三角形與相似時，t的值為（

）A．2 B．2.5或3.5 C．2或3.5 D．2或2.5【答案】C【分析】求出，分兩種情況：①當時，，，得出，即可得出；②當時，證出，得出，因此，得出，；即可得出結果．【詳解】解：∵，，∴，∴，分兩種情況：①當時，，，∵D為的中點，∴，E為的中點，，∴；②當時，∵，∴，∴，∴，∴，∴；綜上所述：當以B、D、E為頂點的三角形與相似時，t的值為2或3.5；故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的判定、平行線的性質、含30度角的直角三角形的性質等知識；熟記相似三角形的判定方法是解決問題的關鍵，注意分類討論．4．（2023·江蘇無錫·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC的頂點坐標分別為，，，．動點P從點O出發，以每秒3個單位長度的速度沿邊OA向終點A運動；動點Q從點B同時出發，以每秒2個單位長度的速度沿邊BC向終點C運動．作于點G，則運動過程中，AG的最大值為（

）A． B． C． D．8【答案】A【分析】連接OB交PQ于F，過點F作FH⊥OC于H，連接AF，設運動時間為t秒，則由已知易證明△BFQ∽△OFP，則可得PQ過定點F；再證明△OFH∽△OBC，則可求得點F的坐標，進而求得AF的長，則由垂線段最短可確定AG的最大值．【詳解】連接OB交PQ于F，過點F作FH⊥OC于H，連接AF，如圖．設運動時間為t秒，則BQ=2t，OP=3t，∵B、C的縱坐標相同，∴BC∥OA，∴△BFQ∽△OFP，∴，∴PQ恒過定點F．∵FH∥BC，∴△OFH∽△OBC，∴，即，∴，∴．∴由勾股定理得：．∵PQ恒過定點F，且AG⊥PQ，∴AG≤AF，∴AG的最大值為AF，即AG的最大值為．故選：A．【點睛】本題是動點問題，考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理，確定PQ過定點是問題的關鍵．5．（2023春·江蘇揚州·九年級儀征市第三中學校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形的頂點坐標分別為，，，．動點P從點O出發，以每秒3個單位長度的速度沿邊向終點A運動；動點Q從點B同時出發，以每秒2個單位長度的速度沿邊向終點C運動，作于點G，設運動的時間為t秒，則AG的最大值是．【答案】【分析】如圖，連接交于，由題意知，，證明，則，可得過定點，，，如圖，過作于，過作于，證明，則，即，解得，，，由，過定點，可知當與重合時，有最大值，為，在中，由勾股定理求的值，進而可得最大的值．【詳解】解：如圖，連接交于，由題意知，，∴，又∵，∴，∴，∴過定點，，，如圖，過作于，過作于，∴，，又∵，∴，∴，即，解得，，，∵，過定點，∴當與重合時，有最大值，為，在中，由勾股定理得，∴最大值為故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理等知識．解題的關鍵在于確定過定點．6．（2023·江蘇·模擬預測）如圖，矩形中，，，點E在邊上，且，動點P從點A出發，沿運動到點B停止，過點E作交射線于點Q，設O是線段的中點，則在點P運動的整個過程中，點O運動路線的長為．【答案】4【分析】由題意知，如圖，過作于，過作于，證明，則，即，解得，如圖，過作于，當運動到點，連接，作，交于，連接、中點、，由題意知在上運動，證明，則即，解得，由、分別為、中點，可知是的中位線，則，進而可得答案．【詳解】解：∵，，∴，如圖，過作于，過作于，∵，，∴，∴，即，解得，如圖，過作于，當運動到點，連接，作，交于，連接、中點、，∴由題意知，在上運動，∵，，∴，又∵，∴，∴即，解得，∵、分別為、中點，∴是的中位線，∴，故答案為：4．【點睛】本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定與性質，中位線等知識．解題的關鍵在于確定的運動軌跡．7．（2023秋·河北保定·九年級校考期末）如圖，已知在中，，，點在邊上（點與點，不重合），，射線與邊交于點，過點作的平行線，交射線于點．（1）若，則的長為；（2）當是等腰三角形時，的長為．【答案】/2.45或【分析】（1）根據等腰三角形的性質得出，利用外角的性質及得出，根據相似三角形的判定得出，最后利用相似三角形的性質建立等式求解可得．（2）設，分類討論，當，時的兩種情況．由（1）已知，利用相似三角形的判定與性質，結合是等腰三角形，得出時，根據相似三角形的性質建立等式關系求解；得出，利用等腰三角形的性質即可得出．【詳解】解：（1）在中，，，．，，．．，．，即，．故答案為：．（2）如圖所示，若，設，，，．．是等腰三角形，，，是等腰三角形．．，，．，即，．如圖所示，若，設，，，．．是等腰三角形，，，是等腰三角形．，是等腰三角形．，，即．故答案為：5或．【點睛】本題考查三角形動點問題的綜合應用能力．涉及平行線，等腰三角形的性質，相似三角形的判定與性質等知識點．兩直線平行，內錯角相等．等腰三角形的兩個底角度數相等（等邊對等角）．相似三角形對應角相等，對應邊成比例．兩角分別相等的兩個三角形相似．注重分類思想，掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．8．（2023春·湖北襄陽·九年級統考階段練習）如圖，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點M，N分別在邊AD，BC上，沿著MN折疊矩形ABCD，使點A，B分別落在E，F處，且點F在線段CD上（不與兩端點重合），若，則折疊后重疊部分的面積為．【答案】【分析】設BN=NF=x，則NC=（4-x），根據，AB=CD=3，確定DF=1，FC=2，在直角三角形NCF中，實施勾股定理確定x，利用△NCF∽△FDQ，計算DQ，FQ，得證△MEQ≌△FDQ，求得AM=ME，根據重疊面積等四邊形ABNM的面積與△MEQ面積的差計算即可．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=CD=3，AD=BC=4，∠A=∠ABC=∠C=∠D=90°，∵，∴DF=1，FC=2，∵沿著MN折疊矩形ABCD，使點A，B分別落在E，F處，∴設BN=NF=x，則NC=（4-x），∴在直角三角形NCF中，∴解得x=，4-x=，∵∠EFN=∠ABC=∠C=∠D=90°，∠NFC+∠FNC=90°，∴∠NFC+∠DFQ=90°，∴∠FNC=∠DFQ，∴△NCF∽△FDQ，∴FD：NC=FQ：NF=DQ：CF=1：，解得DQ=，FQ=，∴EQ=EF-FQ=AB-FQ=3-=，∴EQ=DQ，∵∠E=∠D=90°，∠EQM=∠DQF，∴△MEQ≌△FDQ，∴ME=FD=1，∴AM=ME=1，∴重疊面積=四邊形ABNM的面積-△MEQ面積==，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質，折疊的性質，三角形相似的判定和性質，三角形全等的判定和性質，勾股定理，熟練運用折疊的性質，會證三角形的全等，三角形相似，會用勾股定理是解題的關鍵．9．（2023春·吉林長春·八年級長春外國語學校校考階段練習）如圖，在中，，，，點D、E分別為邊、的中點．動點P從點A出發，沿折線以每秒1個單位長度的速度向點A運動，連結．作點A關于直線的對稱點，連接，．設點P運動時間為t秒．

(1)線段的長為；(2)當點P在折線上時，用含t的代數式表示線段的長；(3)當點在內部時，求t的取值范圍；(4)當與相等時，直接寫出t的值．【答案】(1)2(2)(3)，(4)或【分析】（1）利用勾股定理求出，可得結論；（2）分兩種情況：當時，當時，分別求解即可；（3）分三種情況求出特殊位置的值，①當P在A上，在線段上時，如圖1，延長交于點F，根據，，得，，在以為圓心，為直徑的圓上，證，根據平行線分線段成比例求得，從而得解；②當P在上時，點在外部；③當P在上，在線段上時，如圖2，DP交于點G，同①求得，從而得解（4）由，推得A，，E三點共線，過D作，得點P在上或點P在上，分兩種情況根據相似三角形的判定與性質求出的值，從而可得答案．【詳解】（1）解：，，，，為中點，．故答案為：2．（2）為的中點，，當時，；當時，綜上所述，（3）①當P在上，在線段上時，如圖1，延長交于點F，

與關于對稱，，，為的中點，又，，，，在以為圓心，為直徑的圓上，，即，，，，當時，點在內部；②當P在EB上時，點在外部；③當P在AB上，在線段上時，如圖2，交于點G，

與關于對稱，，，為的中點，又，，，，在以為圓心，為直徑的圓上，，即，，，，當時，點在內部；綜上所述，當或時，點在內部．（4）當時，，，與關于對稱，A，，E三點共線，過D作，點P在上或點P在上，如圖3，當點P在上時，

，，，即如圖4，當點P在上時，DP交于H點，

，，，，，在中，，，，，，，綜上所述，或．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質，軸對稱的性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會分類討論的思想解決問題．10．（2023·湖南衡陽·統考一模）如圖，矩形中，，，為上一點，，動點從點出發沿射線方向以每秒個單位的速度運動，連，，，過作的平行線交射線于點，設點的運動時間為，（不考慮，，在同一直線的情況）

(1)當時，試求出的長；(2)當與相似時，求的值；(3)當在線段上時，設面積為，周長為，①求與的函數關系式；②直接寫出的最小值．【答案】(1)(2)或或(3)①；②【分析】（1）證明，利用相似三角形的性質解決問題即可；（2）由，推出

即推出，分三種情形當點在點的左邊時，即時，，當時，當，當點在點的右邊時，即時，，時，分別構建方程求解即可；（3）利用三角形面積公式計算即可；當周長為最小時最小，作點關于的對稱點點，連接交于點，此時最小為，根據勾股定理求出長即可得出結論．【詳解】（1），，，，，，又，，，即：，解得：；當，此時；（2），，又，，，即，，當點在點的左邊時，即時，，當時：，即，解得：；當時：有，即，解得：；當點在點的右邊時，即時，，當時：，即，解得：，（不合題意，舍去）；綜上，或或；（3）連接，

的面積的面積，即；如圖，

，，根據勾股定理得，，是定值，所以當周長為最小時最小，作點關于的對稱點，連接交于點，此時最小為，在中，，，根據勾股定理得，，的最小值．【點睛】此題考查了相似三角形的判定和性質、勾股定理、軸對稱的性質、矩形的性質等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．壓軸題型四相似三角形中最值問題1．（2023秋·黑龍江大慶·九年級校考開學考試）如圖，在中，，點D，E分別是邊上的動點，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，作A關于的對稱點，連接，交于F，過作于E，交于D，則，此時的值最小，就是的長，根據相似三角形對應邊的比可得結論．【詳解】解：作A關于的對稱點，連接，交于F，過作于E，交于D，則，此時的值最小，就是的長，在中，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即的最小值是；故選：B．【點睛】本題考查軸對稱—最短問題、三角形相似的性質和判定、兩點之間線段最短、垂線段最短等知識，解題的關鍵是靈活運用軸對稱以及垂線段最短解決最短問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．2．（2023春·江蘇宿遷·九年級沭陽縣懷文中學校聯考階段練習）如圖，矩形中，點在邊上，，，，點是矩形內一動點，滿足，連接繞點逆時針旋轉90°至，連接，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】取的中點O，再把繞點逆時針旋轉至,連接，則有，即可求出，然后過點作于點G，連接，利用勾股定理可以得到再根據求出結果．【詳解】解：如圖，取的中點O，再把繞點逆時針旋轉至,連接，∵，∴，根據旋轉可得：，∴，，∴，∴，∴，∴，∴點在以為圓心，為半徑的圓上移動，

過點作于點G，連接，

則是矩形，∴，，∴，∴∴，故選C．【點睛】本題考查相似三角形，旋轉的性質，勾股定理等知識，作輔助線構造相似三角形確定點點的運動路線是解題的關鍵．3．（2023春·山東泰安·八年級統考期末）如圖，在矩形中，，，若點是邊上的一個動點．過點作且分別交對角線，直線于點O、F，則在點移動的過程中，的最小值為（

）

A． B． C．17 D．18【答案】B【分析】過C作，取，連接，根據勾股定理得到，易得，即可得到，根據兩點間線段最短得到當、、三點共線時最短即可得到答案；【詳解】解：如圖過C作，取，過點E作于點H，∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是矩形，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∴當、、三點共線時最短，∴，∴，故選B；

【點睛】本題考查軸對稱最短問題，相似三角形的判定和性質，矩形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，勾股定理等知識，解題關鍵是學會用轉化的思想思考問題．4．（2023·江蘇連云港·連云港市新海實驗中學校考二模）如圖，在平面直角坐標系中，點，點B是線段上任意一點，在射線上取一點C，使，在射線上取一點D，使．所在直線的關系式為，點F、G分別為線段的中點，則的最小值是（

）

A． B． C． D．4．8【答案】A【分析】如圖所示，連接，設射線交射線于H，過點H作于M，連接，先根據三線合一定理得到，，進而證明四邊形是矩形，得到，，故當點B與點M重合時，最小，即最小，最小值為，設，則，求出，證明，利用相似三角形的性質求出或（舍去），則的最小值為．【詳解】解：如圖所示，連接，設射線交射線于H，過點H作于M，連接，∵，，點F、G分別為線段的中點，∴，，∵，∴，即，∴四邊形是矩形，∴，，∴當最小時，最小，∴當點B與點M重合時，最小，即最小，最小值為，∵點H在直線上，∴可設，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴或（舍去），經檢驗，是原方程的解，∴的最小值為，故選A．

【點睛】本題主要考查了一次函數與幾何綜合，矩形的性質與判定，三線合一定理，相似三角形的性質與判定等等，證明四邊形是矩形是解題的關鍵．5．（2023·河南信陽·校考三模）如圖，在中，，，點分別在邊上，且，連接，相交于點，則面積最大值為．

【答案】【分析】過點作，根據平行線分線段成比例定理可得則，根據已知，可得，在以為直徑的圓上，設圓心為，當時，的面積最大為：，即可求出此時的最大面積．【詳解】解：，，，如圖，過點作，

則，，，，，，，，，在以為直徑的圓上，設圓心為，當時，的面積最大為：，此時的面積最大為：，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理和三角形面積公式的應用，解決本題的關鍵是掌握平行線分線段成比例定理．6．（2023·江蘇泰州·校考三模）如圖，在矩形中，，，點在直線上，從點出發向右運動，速度為每秒，點在直線上，從點出發向右運動，速度為每秒，相交于點，則的最小值為．【答案】10【分析】過點作直線，分別交、于點，過點作直線，分別交、于點，易知四邊形、、為矩形，證明，由相似三角形的性質可得；設兩點運動時間為，則，，易得，；作點關于直線的對稱點，由軸對稱的性質可得，故當三點共線時，的值最小，即取最小值，此時，在中，由勾股定理求得的值，即可獲得答案．【詳解】解：如下圖，過點作直線，分別交、于點，過點作直線，分別交、于點，易知四邊形、、為矩形，，∵四邊形為矩形，∴，∴，，∴，∴，設兩點運動時間為，則，，則有，即，∵，∴，，∵四邊形為矩形，∴，作點關于直線的對稱點，如圖，則，，由軸對稱的性質可得，當三點共線時，的值最小，即取最小值，此時，在中，，∴的最小值為．故答案為：10．【點睛】本題主要考查了矩形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、軸對稱的性質以及勾股定理等知識，正確作出輔助線是解題關鍵．7．（2023·陜西寶雞·統考二模）如圖，在菱形中，對角線相交于點O，點E、F分別是上的兩個動點，且，P是的中點，連接，若，則的最小值為．

【答案】/【分析】在上取一點G，使得連接．根據菱形的性質可知，則，結合，可得，利用相似三角形的性質證得根據可知的長即為的最小值，利用勾股定理求出便可解決問題．【詳解】解：如圖，在上取一點G，使得，連接．

∵四邊形為菱形，，∴，，∵，P是的中點，∴，∴，又∵，∴，∴，即，∵，∴當點G、P、C在同一直線上時，取得最小值，此時，故答案為：．【點睛】本題主要考查了菱形的性質，相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是掌握“胡不歸”問題模型，正確畫出輔助線，構造相似三角形，根據相似三角形的性質和勾股定理求解．8．（2023·廣東廣州·校考模擬預測）如圖，在矩形中，，E，F分別為，邊的中點．動點P從點E出發沿向點A運動，同時，動點Q從點F出發沿向點C運動，連接，過點B作于點H，連接．若點P的速度是點Q的速度的2倍，在點P從點E運動至點A的過程中，線段長度的最小值為．

【答案】【分析】連接交于M，連接，取的中點O，連接，過點O作于N，易得四邊形為矩形，，推出和的長，根據，得到當O，H，D共線時，最小，進行求解即可．【詳解】解：連接交于M，連接，取的中點O，連接，過點O作于N．

則：，∵矩形，，E，F分別為，邊的中點，∴，，，，∴四邊形為矩形，，，∴，，，∴，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，由于M和B點都是定點，所以其中點O也是定點，當O，H，D共線時，此時最小，∴DH的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查矩形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，斜邊上的中線．解題的關鍵是條件輔助線，構造相似三角形和直角三角形，利用兩點之間線段最短得到線段的最小值．9．（2023·江蘇泰州·校考三模）(一)感知：如圖，是的中位線，，、分別是、的中點，則；用字母表示與間有怎樣的相等關系：．二探索：如圖，在四邊形中，，其中，，是的中點，交于點，則．用字母，表示在上，在上，，且使四邊形四邊形，則用字母，表示在上，在上，，且平分四邊形的面積，求的長用字母，表示三猜想：、、間的大小關系：，用、的表達式表示并對與間的關系進行證明；四應用：如圖，在中，，，，點、分別在、上，平分的面積，求周長的最小值．【答案】(一)；；(二)（1）；（2）；（3）；(三)，證明見解析；(四)【分析】(一)由三角形的中位線定理可得出結論；連接交于點，分別在和，利用三角形中位線定理可得出結論；(二)（1）由(一)中的結論可直接解答；（2）利用相似圖得出線段比例關系，進而可得出結論；（3）延長交的延長線于點，過點作于點，交于點，交于點，設，，；由平行可得出，得出比例式用表示和，再根據平分四邊形的面積列出等式，整理即可得出結論；三利用作差法可得出結論；四由的面積的面積的一半可得出的值，再根據三角形周長，結合不等式的性質可得出結論．【詳解】解：(一)是的中位線，，，，；、分別是、的中點，：：，，，如圖，連接交于點，則是的中位線，是的中位線，，；由上可得，，整理得；故答案為：；；二（1）由一中的結論可得，故答案為：．（2）四邊形四邊形，：：，，故答案為：；（3）如圖，延長交的延長線于點，過點作于點，交于點，交于點，由題意可知，，，：：；：：，設則，；平分四邊形的面積，，即，，，整理得，即；三由上可知，，，，，，，即，故答案為：；四平分的面積，，即，，，，的周長．【點睛】本題主要考查三角形的中位線定理，相似三角形的性質與判定，平行線分線段成比例，勾股定理等相關知識，根據面積相等建立合適的等式是解題關鍵．10．（2023春·江蘇蘇州·八年級統考期末）（1）如圖1，四邊形是正方形，點E是邊上的一個動點，以為邊在的右側作正方形，連接，，則與的數量關系是______．（2）如圖2，四邊形是矩形，，，點E是邊上的一個動點，以為邊在的右側作矩形，且，連接，．判斷線段與，有怎樣的數量關系和位置關系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，點E是從點A運動D點，則點G的運動路徑長度為______；（4）如圖3，在（2）的條件下，連接BG，則的最小值為______．

【答案】（1）；（2）．理由見解析；（3）2；（4）【分析】（1）通過證明全等，得到；（2）通過證明得到，，延長相交于點H．可以證明；（3）作于點N，交的延長線于點M，交的延長線于點J，證明，得出，求出，得出點G的運動軌跡是直線，當點E從點A運動到點D的過程中，點G從點J運動到點M，求出結果即可；（4）作點D關于直線的對稱點，連接交于G，根據兩點之間線段最短，得出此時的值最小，最小值為，根據，得出，即，從而得出的最小值就是的最小值．【詳解】（1）解：∵正方形，∴，∵正方形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；故答案為：；（2）解：．理由如下：延長相交于點H．

∵矩形、矩形，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∴，∵矩形，∴，∴，，∴，∴；（3）解：作于點N，交的延長線于點M，交的延長線于點J，如圖所示：

則，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴四邊形為矩形，∴，∴，∴點G的運動軌跡是直線，當點E從點A運動到點D的過程中，點G從點J運動到點M，∵，∴四邊形為矩形，∴，∴點G的運動路徑長度為2，故答案為：2．（4）解：作點D關于直線的對稱點，連接交于G，如圖所示：

根據解析（3）可知，點G的運動軌跡是直線，∵，∴，∵兩點之間線段最短，∴此時的值最小，最小值為，由（2）知，，∴，∴，∴的最小值就是的最小值，∵，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質、矩形的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質．在判斷全等和相似時出現“手拉手”模型證角相等．這里注意利用三邊關系來轉化線段的數量關系求出最小值．壓軸題型五相似三角形中的綜合題型1．（2023春·山東煙臺·八年級統考期末）如圖，在正方形中，對角線交于點O，E是邊的中點，連接，分別交于點P，Q，過點P作交的延長線于點F．以下結論：①；②；③若四邊形的面積為2，則正方形的面積為24；④．其中結論正確的序號有（

）

A．①②③④ B．①②③ C．③④ D．①②④【答案】A【分析】過點P作，根據條件證明即可證明①；設正方形邊長為1，結合E是邊的中點，即可證明②；連接，可得，根據條件證明和即可證明③；結合，即可證明④．【詳解】解：過點P作，如圖

∴，∵是正方形，∴，，∴是矩形，，∴是正方形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故①正確；設正方形邊長為1，∵E是邊的中點，∴，∴，，∴，∴，故②正確；連接，如圖，

∵E是邊的中點，∴，∵是正方形，∴，，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，，∴，∵四邊形的面積為2，∴，∵，且，∴，∴，∴，∴，故③正確；∵是正方形，∴，∵，∴，由③得：，∴，∴，∴，由③得：∴，∴，即，故④正確，故選：A．【點睛】本題考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握相關性質，并靈活運用所學知識解決問題．2．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，是等腰三角形，．以點B為圓心，任意長為半徑作弧，交AB于點F，交BC于點G，分別以點F和點G為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點H，作射線BH交AC于點D；分別以點B和點D為圓心，大于的長為半徑作弧，兩孤相交于M、N兩點，作直線MN交AB于點E，連接DE．下列四個結論：①；②；③；④當時，．其中正確結論的個數是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據等腰三角形兩底角相等與，得到，根據角平分線定義得到，根據線段垂直平分線性質得到，得到，推出，得到，推出，①正確；根據等角對等邊得到，，根據三角形外角性質得到，得到，推出，②正確；根據，得到，推出，③錯誤；根據時，，得到,推出，④正確．【詳解】∵中，，，∴，由作圖知，平分，垂直平分，∴，，∴，∴，∴，∴，①正確；，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，②正確；設，，則，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，即，③錯誤；當時，，∵，∴,∴，④正確∴正確的有①②④，共3個．故選：C．【點睛】本題主要考查了等腰三角形，相似三角形，解決問題的關鍵是熟練掌握等腰三角形判定和性質，相似三角形的判定和性質，角平分線的定義和線段垂直平分線的性質．3．（2023·黑龍江綏化·校聯考三模）如圖，已知正方形，為的中點，是邊上的一個動點，連接將沿折疊得，延長交于點，現在有如下五個結論：①一定是直角三角形；②；③當與重合時，有；④平分正方形的面積；⑤，則正確的有（

）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】如圖1中，證明，，可得，可得，，可得①②正確，如圖2中，當M與C重合時，設．則，證明，可得，即，可得，可得③正確，如圖3中，當點F與點D重合時，顯然直線不平分正方形的面積，可得④錯誤，如圖1中，于H，，同理可得：，可得，結合，可得⑤正確．【詳解】解：如圖1中，

∵四邊形是正方形，∴，∵E為的中點，∴，由翻折可知：，，，∵，，，∴，∴，∵，∴，故①②正確，如圖2中，當M與C重合時，設．則，

∵，∴，∴，∴，∴，即，可得，∴，∴，故③正確，如圖3中，當點F與點D重合時，顯然直線不平分正方形的面積，故④錯誤，

如圖1中，∵于H，，同理可得：，∴，∴，∵，∴．故⑤正確，故選：C．【點睛】本題考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．4．（2023·黑龍江佳木斯·撫遠市第三中學校聯考三模）如圖，在正方形中，點在邊上，點在邊上，，交于點，交于點，連接．下列結論：①；②；③；④當是的中點時，；⑤當時，．其中正確結論的序號是（

）

A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤【答案】A【分析】通過證明≌推出，即可判斷①；再證明，即可判斷②；利用角平分的性質可證中邊的高與中邊的高相等，通過“等底等高”證明，即可判斷③；證明∽，∽，求出相關線段長度，可知當E是的中點時，，即可判斷④；利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，兩個等高的三角形面積比等于底長的比，可證，即可判斷⑤．【詳解】解：四邊形是正方形，，．∵，≌，，故①正確；由①得，∵，∴，∴，∴，故②正確；

四邊形是正方形，，即是的角平分線，點G到邊與邊的距離相等，即中邊的高與中邊的高相等，又，，故③正確；設正方形的邊長為，當E是的中點時，，，由勾股定理得：，，，，∽，，．，，∽，，即，，，，，，當E是的中點時，，故④正確；當時，，，，∽，，中邊的高與中邊的高相等，，，設，則，，，，，，，，，，故⑤錯誤．故選A．【點睛】本題考查正方形的性質，全等三角形的判定與性質，角平分線的性質，三角形面積公式，勾股定理，相似三角形的判定與性質等，綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是