課題：2.1.1曲線與方程（第1課時）

（人教A版普通高中課程標準實驗教科書數學選修2—1第二章第一節）

一、內容和內容解析

1.教學內容

《曲線與方程》共分兩小節，第一小節主要內容是曲線的方程、方程的曲線

的概念；第二小節內容是如何求曲線的方程.本課時為第一小節內容.

2.地位與作用

本小節內容揭示了幾何中的“形”與代數中的“數”相統一的關系，體現了

解析幾何這門課的基本思想一一數形結合思想，對解析幾何教學有著指導性的意

義.其中，對曲線的方程和方程的曲線從概念上進行明確界定，是解析幾何中數

與形互化的理論基礎和操作依據.《曲線與方程》作為《圓錐曲線與方程》的第

一節，一方面，該部分內容是建立在學生學習了直線的方程和圓的方程的基礎上

對曲線與方程關系認識的一次飛躍；另一方面，它也為下一步學習圓錐曲線方程

奠定了模型的基礎.因此，它在高中解析幾何學習中起著承前啟后的關鍵作用.

二、目標和目標解析

本課時的教學目標是結合已學曲線及其方程的實例，了解曲線與方程的對應

關系，進一步理解數形結合的基本思想.具體目標如下：

1.通過探究“以方程的解為坐標的點”匯集的圖形，感知并歸納概括曲線與

方程的對應關系；

2.初步理解方程的曲線與曲線的方程的含義；

3.通過經歷曲線與方程的對應關系的探究過程，發展抽象概括的能力；

4.能使用曲線的方程（方程的曲線）的概念判斷曲線與方程的對應關系，

繼續理解數形結合思想.

三、教學問題診斷分析

1.問題診斷

學生已經對“用方程表示直線、圓”有著感性的認知基礎，能夠根據直線的

方程、圓的方程作對應的圖形，并對數形結合思想有初步的了解.但是從直線與

方程、圓與方程到曲線與方程的對應關系是一次從感性認識到理性認識的“飛

躍”，由于大多數學生對“生活中其他的曲線是否能用、如何使用方程表示”這

些問題還未曾有過思考，加之曲線的方程（方程的曲線）這一組概念有著較高的

抽象性，所以預計在本課的學習中，學生可能出現以下困難：

（1）作圖探究結束后，學生獨立地歸納概括并寫出曲線的方程（方程的曲線）

的概念時不規范，不全面；

（2）難以理解“曲線上的點的坐標都是方程的解”和“以方程的解為坐標的

點都在曲線上”這兩句話在揭示“曲線與方程”的關系時各自所起的作用.

2.重難點

重點：曲線的方程（方程的曲線）的概念

難點：曲線的方程（方程的曲線）概念的生成和理解

3.突出重點、突破難點的策略

本節課的教學，根據“問題引導，任務驅動”的設計思路，遵循概念學習的

規律，使學生在過程中感受數形結合，從特殊到一般，化歸與轉化的數學思想.具

體表現在：

（1）用蘊含數學文化的廣告創設情境，并將“章頭圖”、“章導言”融入其

中，產生認知沖突，感悟學習曲線與方程的必要性；

（2）讓學生經歷“作圖一存異一質疑一尋因”的探究過程，感知方程的變

化帶來曲線的變化，曲線的差異導致方程的差異，再通過“獨立書寫一交流討論

一互動修正”生成概念；

（3）學生自主舉例，辨析概念，聯系已學知識，完成對概念的“結構化”.

四、教學支持條件分析

1.學情分析

本課授課對象是成都石室中學高二理科實驗班的學生，數學基礎扎實，思維

較活躍，具有較為豐富的探究活動經驗，但在抽象概括能力和語言的規范表達上

還有待進一步提升.

2.教學策略與教法、學法

本課采取“探究一發現”教學模式.

教師的教法注重活動的安排和問題的引導，通過問題引導學生從特殊到一般

進行探索發現，并歸納概括.

學生的學法注重獨立探究、合作交流、歸納建構.

教具：多媒體PPT課件，平板電腦，三角板，彩色粉筆

學具：教材、草稿本、三角板、圓規、鉛筆

五、教學過程設計

結合教材知識內容和教學目標，本課的教學環節及時間分配如下:

堂

檢

課

渴

創設情境作圖探究正反實例

伸

延一

課

外O

引入概念生成概念應用概念

I中X

I/I

（5分鐘）（20分鐘）（10分鐘）/

教學內容師生活動（預設）設計說明

一、創設情景，引入概念師：不知大家有沒有看過下面

這則廣告？

生（齊）：（觀看視頻）

播放一段和笛卡爾的傳師：其實，這則廣告的創意源優美的畫面和音樂吸引

說有關的廣告視頻.自于一位偉大數學家的愛情學生注意力，富于文化的廣告

傳說，大家知道他是誰嗎？創意調動學生的積極性，暗藏

生（齊）：笛卡爾.其中的故事情節激發學生的

師：是的.那你了解笛卡爾思考和好奇心，情景創設為引

對數學的貢獻嗎？入概念鋪墊了良好的氛圍.

生1:他發明了直角坐標系，

通過層層設問，將學生從創立了解析幾何.

視頻逐步轉移到對解析幾何師：解析幾何研究幾何圖形的

用代數方法研究直線、圓的回方法有何特點呢？你能結合

顧.所學知識談一談嗎？

生2：我們在《必修2》中曾

經學習了直線、圓與方程，在通過“問題引導”將學生

直角坐標系中用方程表示直從視頻，轉到解析幾何研究問

線、圓，然后使用代數的方法題的方法上來，再延伸到其他

對他們進行研究.曲線（如圓錐曲線）的研究方

師：大千世界，千奇百態！直法上來，形成認知沖突，讓曲

線，圓都只是其中的一種曲線線與方程的學習滿足合理性

（直線也可稱之為特殊的曲和必要性.

線），生活中我們還會遇到很

多其他的曲線，比如下面動畫

中的截口曲線.

（教師通過PPT展示截口曲線

生成動畫）

師：在這個動畫中，你觀察到

哪些曲線？

問題1:諸如圓錐曲線這生（齊）：橢圓，拋物線，雙

類曲線能否像直線、圓一樣用曲線.通過情景創設浸潤數學

代數的方法進行研究呢？師：是的，它們統稱為圓錐曲文化教育，同時回顧了學生已

線.公元前，古希臘數學家有相關知識和方法，鏈接了本

阿波羅尼在他的《圓錐曲線》章章導言和章頭圖，形成了學

一書中便記載了他對圓錐曲生學習上的認知沖突，自然引

線的幾何性質的研究，后來一出本課主題.

千多年里人類對其的認識止

步于此.當時，這些研究都

是用的純幾何的方法，那么諸

研究清楚曲線與方程之如圓錐曲線之類的曲線能否

間的關系，將為我們用代數方像直線、圓一樣用代數的方法

法研究幾何圖形提供可能.來研究呢？

生（齊）：可以.

師：怎樣展開對圓錐曲線的研

究呢？

生（齊）：在坐標系中找到圓

錐曲線的方程.

師：那就讓我們先來研究曲線

與方程之間的關系吧！

二、作圖探究，形成概念師：請大家按照要求作圖.

才桀空8王云力?師：請你說說你的作圖過程.探究活動的素材較好地

請分,作出以下列方程的

生3:先化簡為y=2x,它表起到了“先行組織者”的作用.

解為坐標的點構成的圖形：示直線，取出直線上兩點

y-2

1.2----2=0；（0,0）,（1,2）,連線作出這

X-1條直線.

師：有不同意見嗎？

生4：應該去掉直線上的點

（1,2）才對.

師：為什么呢？

問題2：兩位同學作出的圖生4：因為點（1,2）的坐標不滿

形之間的差異是什么原因引

足方程士^-2=0.

起的？X—1

師：好！你關注到了點的坐標，

那么點（1,2）的坐標和方程

y=2x是什么關系？這個坐

標和方程匕^-2=0是什么

x-l

關系呢？

生4：點（1,2）的坐標是方程

y=2x的解；不是方程學生已具有識別直線方

程、圓的方程的知識基礎.在

匕2—2=0的行簞.

此認知基礎上，通過引導學生

X-1

作圖、觀察、分析已有兩個事

（學生回答，教師板書）

師：剛才兩位同學的圖形不一例，感受和體會從特殊到一

般，數形結合的思想方法.

樣是什么原因造成的？

生（齊）：方程.

師：方程的區別在哪里？

生（齊）：方程的解.

問題3：改變圖形，圖形上師：那么如果我將這支曲線擦

點的坐標滿足的關系會發生

除部分，新得到的曲線上的點

變化嗎？

又滿足怎樣的關系式呢？

請你對剛才的曲線與方程之

（教師在黑板上將點（1,2）

間的關系做一個總結.

左下方下方抹去）

生（齊）：y-2x（x>1）通過教師的引導讓學生

感知方程的不同導致曲線的

師：改變圖形，方程發生了怎

不同，教師再適時地改編曲

樣的變化.

線，導致方程的不同.讓學

生（齊）：范圍改變.

師：你根據剛才的探究進行總生多角度體驗曲線與方程之

間的關系.

結.

生5:方程改變，曲線也在改

變.

師：大家做得非常好！接下來

請完成第二個方程.

請分而作出以下列方程的

（學生獨立完成，時間2分鐘

解為坐標的點構成的圖形：左右）

y-2師：請看這位同學的圖形，正圓的方程的學習使得學

1.2----2=0；

x-1確嗎？為什么？生在獨立完成作圖有了基礎，

生6：不正確，因為圓的左半但是對于方程的變化沒有保

2.x—^i—y2=0.

部分不符合要求證同解導致的曲線差異這一

師：什么原因導致產生了兩個現象的本質，學生上不太明

不同的圖形呢？白，教師引導學生繼續感知曲

生6：x的取值范圍，方程的線與方程之間的關系.

問題4：為什么你作出來的解.

圖形是一個半圓？引起作出師：方程的解的不同直接導致

圖形有差異的原因是什么？曲線的不同.

師：（指著黑板說）如果曲線

與方程滿足類似的對應關系，概念屬性的歸納一一在

我們就稱曲線是方程的曲線，兩則事例的基礎上進行屬性

教師適當小結，請學生根據這個方程就是曲線的方的分析、比較、綜合，歸納不

自己感受書寫曲線與方程（方程.你能歸納出曲線的方程同例證的共同特征.引導學

程與曲線）的概念.（方程的曲線）這一概念的要生通過剛才對具體事例觀察、

點嗎？請把它寫在草稿本上.分析，抽象概括共同的本質屬

生：（先獨立書寫，再小組討性，歸納得出數學概念.

論歸納2-3分鐘.）

曲線的方程（方程的曲線）師：請說一說你對曲線的方程

的概念：（方程的曲線）下的定義.

一般地，在直角坐標系中，生7：我認為要滿足曲線的方用代數、幾何的語言刻畫

如果某曲線C上的點與一個程（方程的曲線），必須滿足和表達一種數學現象，是數學

以下兩條：1.曲線上的點的學習的基本任務.

二元方程/（x,y）=O的實數解

坐標都是方程的解；2.以方概念的明確與表示一一

建立了如下的關系：程的解為坐標的點都在曲線下定義，給出準確的數學語言

（1）曲線上的點的坐標都上.描述；

是這個方程的解；師：很準確！

（2）以這個方程的解為坐（板書學生所述內容，并作適

標的點都是曲線上的點，當規范）對概念的辨析，通過學生

那么，這個方程叫做曲線的師：你能舉例說明為什么要用舉反例來達成對概念的深入

方程；這條曲線叫做方程的曲兩個限制條件呢？可以缺某理解.

線（圖形）一個嗎？

生8：（預設學生會在剛剛的例

子中選擇）

問題5：結合今天所學知師：能舉一個不滿足第二個限

識，你是如何認識直線的方制條件的例子嗎？

程，圓的方程這兩個已學概生9：（預設學生會在剛剛的例

念？子中選擇）概念的“結構化”，對概

念生成并做了適當辨析和理

師：直線的方程，圓的方程這解后，需要將概念與以前的學

些概念用今天所學知識該如習進行聯系.

何理解？

生10:我認為直線的方程，圓

的方程的概念和曲線的方程

這一概念是一致的，直線也算

特殊的曲線，圓也算曲線的一

種.

師：是的.你能舉例說明嗎？

生10:比如說“直線

x-2y+l=0”表示方程

x-2y+l=0的直線.

三、正反實例，應用概念師：請你說一下第1題的結果

例1曲線C:到工軸距離等是什么？要求學生根據簡單的曲

于1的點形成的軌跡，寫出C線寫出方程.應用概念并鞏

生11：y=1

的方程.固對其的理解.

生12:不對.應該是|y|=l

師：能說說理由嗎？能用今天

所學加以說明嗎？

生12:縱坐標y=-l的點是曲

線上的點，但這種點的坐標不

例2下列說法是否正確？是方程的解.例2的設計讓學生學會

并說明理由：師：請看練習2,獨立完成分別從曲線和方程出發，判斷

(1)點A(0,l),8(-l,0),(學生作圖，應用定義分析)曲線與方程之間的關系，初步

C(l,0)分別為AABC的三個頂師：請你來分析(1)是否正學會應用概念.

點，邊A3的中線的方程是確.

x=0;生13:中線是線段，而方程表

(2)曲線C:過點(4,1)的示的是直線，所以不正確.

師：判斷很快捷準確.能否

反比例函數圖象，方程F:

進一步分析它是不滿足定義

丁=二，那么曲線是方程廠

C的那一條？

生13:應該是不滿足“以方程

的曲線.

的解為坐標的點都是曲線上

的點”這一條.

師：請你來分析(2),請到講

臺上給大家講解.

生14：錯誤.兩條都不滿足.

師：進一步分析不符合要求的

點或者是方程的解，請你舉例

說明.

生14：通過圖象我們發現曲線

是分布在第一■、三象限，而方

程的曲線在第一、二象限.

師：能否用定義加以說明？

生14:如點（-4,7）在曲線

上，但不是方程F的解；（-4,1）

的坐標是方程的解，以它為坐

標的點不在曲線上.通過對概念的應用，將學

師：其實，要解決曲線與方程生對曲線的方程（方程的曲

的關系的判斷，除了教材上定線）這一概念的多角度理解進

【階段小結】教師引導下，學義之外，還有其他的一些表行梳理，引導學生在說出自己

生交流自己對定義的認識.述，請你在學習定義的基礎上對曲線與方程關系的理解的

談談自己對曲線與方程關系基礎上對概念再認識.

的判斷方法.

生15:（預設）檢查曲線上的

點和方程的解之間的關系.

師：不錯，但注意準確性.應

該是曲線上的每一個點和方

程的每一個解的關系.

生16:（預設）看曲線上是否

有不是方程的解為坐標的點，

看曲線是否包括了方程的所

有解為坐標的點.

師：很好，這種判斷方法相當

于是看曲線是否純粹地列出

了方程的解為坐標的點，無多

余的點，而方程的解是否完備

她通過曲線體現了，沒有漏掉

解.

四、課堂檢測，課外延伸師：接下來請看課堂檢測.請

【課堂檢測】將以下四個方程和四個曲線

請將以下四個方程和右邊配對，并簡要說明理由.

的圖形用連段連接起來：生17：觀察方程中解的正負和

曲線上點的坐標的正負，可以

篩選答案.課堂檢測的作用是檢測

3-》=0

師：不錯.如果我們要用概學生在對定義的理解是否深

念檢驗曲線和方程之間的關入，應用是否靈活.

系，該如何分析呢？比如第一

個方程和第一幅圖.

*一|y|=0-------生17：第一支曲線上的部分點

的坐標不是第一個方程的解，學生根據范圍直接進行配

所以方程不是曲線的方程.對，體現了其對曲線與方程關

系掌握的靈活性.

《曲線與方程》銜接了直

線、圓與圓錐曲線，了解圓錐

師：大家想知道本課之初視頻曲線的發展歷史，更有利于激

【課外延伸】背后的故事嗎？發學生使用方程研究圓錐曲

1.查閱資料了解數學家對圓生(齊)：想.線的興趣，更加積極地學習解

錐曲線的研究歷史，并了解笛(播放視頻)析幾何一眼就問題的方法.

卡爾在其中所做出的貢獻.師：廣告創意使用到的笛卡爾對于笛卡爾的愛情傳說，

2.廣告創意使用到的笛卡爾的愛情傳說中，關于學生一定是很有興趣的，其中

的愛情傳說中，關于涉及到的極坐標系作為本課

r=?(l-sinO')與心形曲線的

最后的一個說明即拓展了學

r=a(l-sin6)與心形曲線的

關系涉及到了極坐標系，我們生視野，也將高中解析幾何的

關系涉及到了極坐標系，我們將會在《選修4-4》中學習.直線與方程、圓與方程、圓錐

將會在《選修4-4》中學習.曲線與方程、坐標系與參數方

程四個部分都出現在了本課

中.

附：板書設計

§2.1.1曲線與方程(第1課時)

一、情景創設

1.曲線上的點的坐標滿足方程；

二、作圖探究

2.以方程的解為坐標的點在曲線

.^^-2=0y-2=2(x-l)y=2x(x>1)上.

x-1

三、正反實例

PPT展示區

例1

例2(1)

(2)

曲線的方程(方程的曲線)

方程的解<>曲線上的點