2017年天津數學高考試題文科數學Word版含答案

2017年普通高等學校招生全國統一考試（天津卷）數學（文史類）本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘。第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至5頁。注意事項：1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。2.本卷共8小題，每小題5分，共40分。一、選擇題：1.設集合$A=\{1,2,6\},B=\{2,4\},C=\{1,2,3,4\}$，則$(A\cupB)\capC=$(A)$\{2\}$(B)$\{1,2,4\}$(C)$\{1,2,4,6\}$(D)$\{1,2,3,4,6\}$2.設$x\inR$，則“$2-x\geq$”是“$|x-1|\leq1$”的(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件3.有5支彩筆（除顏色外無差別），顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫。從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為(A)$\frac{4}{10}$(B)$\frac{3}{10}$(C)$\frac{2}{5}$(D)$\frac{1}{2}$4.閱讀右面的程序框圖，運行相應的程序，若輸入$N$的值為19，則輸出$N$的值為1(A)1(B)1(C)2(D)35.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的左焦點為$F$，點$A$在雙曲線的漸近線上，$\triangleOAF$是邊長為$\frac{ab}{2}$的等邊三角形（$O$為原點），則雙曲線的方程為(A)$\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{3}=1$(B)$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{1}=1$(C)$y=\frac{1}{\sqrt{3}}x$(D)$x^2-y^2=1$6.已知奇函數$f(x)$在$R$上是增函數。若$a=-f(\log_24),b=f(\log_24.1),c=f(2)$，則$a,b,c$的大小關系為(A)$a<b<c$(B)$b<a<c$(C)$c<b<a$(D)$c<a<b$Part1:若$f(x)=2\sin(\omegax+\phi)$，其中$\omega>0,|\phi|$小正周期大于$2\pi$，則：（A）$\omega=\frac{5\pi}{11},\phi=0$；（B）$\omega=8\pi,\phi=-\frac{1}{2}$；（C）$\omega=8\pi,\phi=-\frac{1}{3}$；（D）$\omega=9\pi,\phi=\frac{1}{4}$。已知函數$f(x)=\begin{cases}|x|+2,&x<1\\2x,&x\geq1\end{cases}$，若關于$a\in\mathbb{R}$的不等式$f(x)\geq|2x+a|$在$\mathbb{R}$上恒成立，則$a$的取值范圍是：（A）$[-2,2]$；（B）$[-2/3,2]$；（C）$[-2,2/3]$；（D）$[-2/3,2/3]$。Part2:9.已知$a\in\mathbb{R}$，$i$為虛數單位，若$\frac{a-i}{2+i}$為實數，則$a$的值為$\frac{2}{5}$。10.已知$a\in\mathbb{R}$，設函數$f(x)=ax-\lnx$的圖像在點$(1,f(1))$處的切線為$l$，則$l$在$y$軸上的截距為$1$。11.設一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為$18$，則這個球的體積為$\frac{9}{2}\pi$。12.設拋物線$y^2=4x$的焦點為$F$，準線為$l$。已知點$C$在$l$上，以$C$為圓心的圓與$y$軸的正半軸相切于點$A$。若$\angleFAC=120^\circ$，則圓的方程為$\left(x-\frac{1}{4}\right)^2+y^2=\frac{1}{16}$。13.若$a,b\in\mathbb{R},ab>0$，則$\frac{1}{a}+\frac{4}\geq\frac{4}{\sqrt{ab}}$，且等號成立當且僅當$a=b=2$。14.在$\triangleABC$中，$\angleA=60^\circ$，$AB=3$，$AC=2$。若$BD=2DC$，$AE=\lambdaAC-AB$（$\lambda\in\mathbb{R}$），且$AD\cdotAE=-4$，則$\lambda=1$。Part3:15.（本小題滿分13分）在$\triangleABC$中，內角$A,B,C$所對的邊分別為$a,b,c$。已知$\sinA=\frac{4}{5}\sinB$，$ac=5(a^2-b^2-c^2)$。（I）求$\cosA$的值；（II）求$\sin(2B-A)$的值。16.（本小題滿分13分）電視臺播放甲、乙兩套連續劇，每次播放連續劇時，需要播放廣告。已知每次播放甲、乙兩套連續劇時，連續劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示：\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline&連續劇&廣告&收視人次（萬）\\\hline甲&70&5&60\\\hline乙&60&5&80\\\hline\end{tabular}（I）若每次播放時間相同，求甲、乙兩套連續劇的播放時長；（II）若播放時間相同，求甲、乙兩套連續劇的平均收視率。（11）已知$\frac{ab}{\sinA\sinB}=5-\frac{ac}{2b+c-a}$，求$\cosA\sinB-\sinA\cosB$的值。（解析）：根據已知式，可以得到$a=2b$。代入余弦定理，可以得到$\cosA=-\frac{5}{4}$。接著，根據$\sinA=\frac{ac}{2bc}$，可以得到$\sinA=\frac{5}{\sqrt{29}}$。再根據$\sinA\sinB=\frac{ab}{4b^2}$，可以得到$\sinB=\frac{3\sqrt{29}}{58}$。因此，$\cosA\sinB-\sinA\cosB=-\frac{5}{4}\cdot\frac{3\sqrt{29}}{58}-\frac{5}{\sqrt{29}}\cdot\frac{4}{\sqrt{29}}=-\frac{5}{29}$。（15）已知$7x+6y\leq60$，$5x+5y\geq30$，$x+y\geq6$，$x\geq0$，$y\geq0$，求$z=60x+25y$的最大值。（解析）：將不等式組化為圖形，可以得到如下的可行域：將$z=60x+25y$改寫為$y=-\frac{12}{5}x+\frac{z}{25}$，可以得到如下的關系圖：可以看出，當直線$z=60x+25y$經過可行域上的點$(6,3)$時，截距最大，即最大值為$z=315$。因此，當電視臺每周播出甲連續劇$6$次、乙連續劇$3$次時，總收視人次最多，為$315$萬。（17）已知$\triangleABC$中，$AB=3$，$AC=4$，$BC=5$，$AD$為$\triangleABC$所在平面外一點$D$到$\triangleABC$所在平面的垂線，$P$為線段$AD$上一點，$PB$和$PC$分別交$\triangleABC$的邊$AC$和$AB$于點$E$和$F$。求證：$PE$與$PF$所成的角等于$\angleDAP$或其補角。（解析）：首先，可以通過勾股定理得到$\cosA=\frac{3}{5}$，$\sinA=\frac{4}{5}$，$\cosB=\frac{4}{5}$，$\sinB=\frac{3}{5}$。接著，可以得到$AP=\sqrt{AD^2+PD^2}=5$。因為$AD\perp$平面$PDC$，所以$AD\perpPD$。在$\trianglePDA$中，可以得到$\cos\angleDAP=\frac{AD}{AP}=\frac{3}{5}$。因為$BC\parallelAD$，所以$PD\perpBC$。又因為$PD\perpPB$，所以$PD\perp$平面$PBC$。因此，$PE$和$PF$都是平面$PBC$上的直線，且$PE\perpPD$，$PF\perpPD$。因此，$\angleEPF=\angleDPC$。又因為$AD\parallelEF$，所以$\angleDAP=\angleDPC$或$\angleDAP$的補角。因此，$\angleEPF=\angleDAP$或其補角。證畢。（Ⅲ）解：在三角形ABC中，過點D作AB的平行線交BC于點F，連接PF，則有DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角。因為PD垂直于平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的投影，所以角DFP為直線DF和平面PBC所成的角。由于AD平行于BC，DF平行于AB，故BF=AD=1。由已知，得CF=BC-BF=2。又因為AD垂直于DC，故BC垂直于DC，在直角三角形DCF中，可得DF=CD+CF=25。在直角三角形DPF中，可得sin角DFP=PD/DF=5/25=1/5。所以，直線AB與平面PBC所成角的正弦值為1/5。18.（Ⅰ）解：設等差數列{an}的公差為d，等比數列{bn}的公比為q。由已知b2+b3=12，得2q+4q=12，即q=2。所以，bn=2n。由bn=an+2-an，可得3d-a1=8①。由S11=11b4，可得a1+5d=16②。聯立①②，解得a1=1，d=3。由此可得an=3n-2。所以，{an}的通項公式為an=3n-2，{bn}的通項公式為bn=2n。（Ⅱ）解：設數列{a2nbn}的前n項和為Tn。由a2n=6n-2，有6Tn=4×2+10×22+16×23+…+(6n-2)×2n。2Tn=4×22+10×23+16×24+…+(6n-8)×2n+(6n-2)×2n+1。上述兩式相減，得-Tn=4+6×22+6×23+…+6×2n-(6n-2)×2n+1=-(3n-4)2n+2-16(1-2n)。解得Tn=(3n-4)2n+2+16。所以，數列{a2nbn}的前n項和為(3n-4)2n+2+16。19.【解析】（I）由f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b，可得f'(x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)(x-(4-a))。令f'(x)=0，解得x=a，或x=4-a。由|a|≤1，得a<4-a。當變化時，f'(x)和f(x)的變化情況如下表：x區間f'(x)f(x)(-∞,a)+上凸(a,4-a)+下凸(4-a,+∞)-上凸由此可知，在區間(a,4-a)上，f(x)取得極小值，故f(x)的最小值為f(a)=a3-6a2-3a(a-4)a+b=-8a2+4a+b。又因為f(0)=b，所以-8a2+4a+b≥b，即-8a2+4a≥0，解得a≤0或a≥1/2。綜上所述，a的取值范圍為a≤0或a≥1/2。首先，f(x)的單調遞增區間為(-∞,a)，(4-a,+∞)，單調遞減區間為(a,4-a)。接著，根據題意可以得到g(x)=e^(f(x))，因此g'(x)=e^(f(x)+f'(x))。因此，我們可以得到f'(x)=e^(f(x))/(e^(f(x)+f'(x)))。由此可以得到f(x)在x=x處的導數等于0。又因為g(x)≤e，x∈[x-1,x+1]，由e>1，可得f(x)≤1。又因為f(x)=1，f'(x)=0，因此x為f(x)的極大值點，由單調性可知x=a。另一方面，由于|a|≤1，a+1<4-a，因此f(x)在(a-1,a)內單調遞增，在(a,a+1)內單調遞減，因此當x=a時，f(x)≤f(a)=1在[a-1,a+1]上恒成立，從而g(x)≤e在[x-1,x+1]上恒成立。接下來，由f(a)=a-6a^3(a-4)+b=1，可以得到b=2a-6a^2+1，-1≤a≤1。令t(x)=2x-6x^2+1，x∈[-1,1]，因此t'(x)=6x-12x^2，令t'(x)=0，解得x=1/2（舍去），或x=0。因為t(-1)=-7，t(1)=-3，t(0)=1，因此t(x)的值域為[-7,1]。因此，g(x)的取值范圍是[-7,1]。在第二部分中，首先設橢圓的離心率為e，由已知可