第四章數列4.3等比數列4.3.1等比數列的概念第1課時等比數列的概念必備知識·探新知關鍵能力·攻重難課堂檢測·固雙基素養目標·定方向素養目標·定方向學習目標核心素養借助教材實例理解等比數列、等比中項的概念數學抽象邏輯推理借助教材掌握等比數列的通項公式數學抽象邏輯推理會求等比數列的通項公式，并能利用等比數列的通項公式解決相關的問題數學運算邏輯推理必備知識·探新知一般地，如果一個數列從________起，每一項與它的前一項的比都等于_____________，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的_______，公比通常用字母____表示(顯然q≠0)．知識點1等比數列的定義第2項同一個常數公比q

想一想：關于等比數列定義的理解有哪些注意事項？提示：(1)由于等比數列每一項都可能作分母，因此每一項均不為0，且q也不能是0；(2)“從第2項起”是因為首項沒有“前一項”；(4)如果一個數列不是從第2項起而是從第3項或第4項起每一項與它前一項的比都是同一個常數，此數列不是等比數列．這時可以說此數列從第2項起或第3項起是一個等比數列；(5)如果一個數列從第2項起，每一項與它前一項的比雖是一個與n無關的常數，但卻是不同的常數，這時此數列也不是等比數列；(6)常數列都是等差數列，但卻不一定是等比數列．若常數列是各項都為0的數列，它就不是等比數列．當常數列各項不為0時，是等比數列；練一練：等比數列x，3x＋3，6x＋6，…的第四項等于 (

)A．－24

B．0

C．12

D．24A

如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成___________，那么G叫做a與b的等比中項．由等比中項的定義可知：＝?G2＝ab?G＝_______．知識點2等比中項等比數列a，G，b

想一想：“a，G，b成等比數列”與“G2＝ab”等價嗎？提示：“a，G，b成等比數列”與“G2＝ab”是不等價的．前者可以推出后者，但后者不能推出前者．如G＝a＝0，b＝1，滿足G2＝ab，而0，0，1不成等比數列．因此“a，G，b成等比數列”是“G2＝ab”的充分不必要條件．1

等比數列的通項公式設等比數列{an}的首項為a1，公比為q，則這個等比數列的通項公式是an＝__________(a1，q≠0)．知識點3等比數列的通項公式a1qn－1

想一想：關于等比數列通項公式的推導，除了教材方法外還有哪些方法？提示：方法一(迭代法)根據等比數列的定義，得an＝an－1q＝(an－2q)q＝an－2q2＝(an－3q)q2＝an－3q3＝…＝a2qn－2＝(a1q)qn－2＝a1qn－1(n≥2)；當n＝1時，上面等式也成立．故當n∈N*時，an＝a1qn－1.練一練：已知{an}是首項為2，公比為3的等比數列，則這個數列的通項公式為

(

)A．an＝2·3n＋1

B．an＝3·2n＋1C．an＝2·3n－1

D．an＝3·2n－1[解析]

由已知可得a1＝2，公比q＝3，則數列{an}的通項公式為an＝a1·qn－1＝2·3n－1.C

關鍵能力·攻重難題型探究題型一等比數列的概念運用典例10

D

在等比數列{an}中，(1)a1＝3，a3＝27，求an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.[分析]

(1)已知等比數列的通項公式an＝a1qn－1代入a1，a3，求出q，最后求出an.(2)已知項的和，代入等比數列的通項公式，求出a1，q，由an＝1求n.題型二等比數列通項公式及應用典例2[解析]

(1)a3＝a1·q2，所以27＝3q2，所以q＝±3，an＝3n或an＝－(－3)n.(2)設公比為q，由題意，得[規律方法]

等比數列通項公式的求法(1)根據已知條件，建立關于a1，q的方程組，求出a1，q后再求an，這是常規方法．(2)充分利用各項之間的關系，直接求出q后，再求a1，最后求an，這種方法帶有一定的技巧性，能簡化運算．C

題型三等比中項的應用典例3C

B

[解析]

(1)三個實數a，b，c成等比數列，所以[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)或k＝4.【對點訓練】?(1)等差數列{an}的公差不為零，首項a1＝1，a2是a1和a5的等比中項，則數列{an}的前10項之和是 (

)A．90

B．100

C．145

D．190(2)互不相等的實數a，b，c成等差數列，c，a，b成等比數列，且a＋3b＋c＝10，則a＝______．B

－4

已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*)．(1)求證：{bn}是等比數列；(2)求{an}的通項公式．題型四等比數列的判定與證明典例4易錯警示忽視等比中項的符號致錯

等比數列{an}的前三項的和為168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中項．典例5[誤區警示]

錯誤的原因在于認為a5，a7的等比中項是a6，忽略了同號兩數的等比中項有兩個且互為相反數．課堂檢測·固雙基1．已知等比數列{an}滿足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，則a7等于

(

)A．64

B．81C．128

D．243[解析]

設等比數列的公比為q，∵a1＋a2＝3，a2＋a3＝q(a1＋a2)＝6，∴q＝2.又a1＋a2＝a1＋a1q＝3，∴3a1＝3.∴a1＝1，∴a7