金融數學期望效用理論第一頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日第1章期望效用函數理論1.效用函數理論2.投資者的風險偏好和風險度量本章內容概覽3.隨機占優2第二頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日引言理性個人的決策行為幾乎是所有微觀經濟分析的起點。經濟學的傳統是把個人、家庭的存在，以及他們所具有的偏好形式和資源稟賦，視為獨立于經濟體系的外生因素；而經濟組織的行為和作用則在經濟體系中內生決定，因而一開始往往會去考察個人的選擇行為進而演繹出經濟組織的功能和市場的均衡，微觀金融學也不例外。要解構整個金融體系，要理解金融產品、資本市場、金融中介在跨期資源配置中的所具有的功能作用及其實現形式，投資者行為就是一個自然的起點。3第三頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日個人生存過程中，必須反復面對以下3個選擇問題：（1）選擇消費品種類和數量，在現有消費基金預算約束下，當期效用（utility）最大化；（2）選擇積累的財富在消費基金和投資基金之間進行分割的比例；（3）選擇投資品種類和數量，在現有投資基金預算約束下，未來（期望）效用最大化。不斷進行選擇的總過程的目的就在于：個人終生效用極大化。考慮第一個選擇問題時，我們稱個人為消費者（consumer）；考慮第三個問題時為投資者（investor），一起考慮時為面臨抉擇的個人（individual）或者決策者（decisionmaker）。4第四頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日我們對投資者行為的研究就從第三個選擇問題開始，金融學的重點就是考察在理性個人特定要求和現有投資基金預算約束下，如何通過選擇投資品種類和數量（資產組合），來最大限度的優化個人未來的消費或者財富。同時我們也研究這種個體的投資行為的匯總是否會產生市場均衡和相應的均衡價格體系。5第五頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日第1節確定性條件下的偏好與效用

日常生活中，我們時常要比較不同商品或者服務給我們生理、心理上帶來的感受或者說效用（utility）。例如，看一場電影還是吃一塊雞腿，是需要經過激烈思想斗爭的，尤其是當荷包里所剩無幾的時候。這便涉及到效用大小比較的問題。6第六頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日在18世紀的古典經濟學家眼中，效用和黃油、大炮一樣是看得見、摸得著的，他們把效用視為快樂的代名詞，看做是一個人的整個福利的指數。但是，古典經濟學家實際上從來沒有闡述過如何去度量效用；以及除了人們要實現效用最大化外，效用的概念是否還有別的獨立意義。正如我們即將看到的那樣，現代效用理論來源于偏好，并僅僅認為是描述偏好的方法之一。7第七頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日效用是一種純主觀的心理感受，因人因地因時而異。偏好是建立在消費者可以觀察的選擇行為之上的。偏好關系（preferencerelation)是指消費者對不同商品或商品組合偏好的順序。它可以用一種兩維（或二元）關系（binaryrelation）表述出來。1.1偏好關系8第八頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日偏好雜談（1）偏好是指消費者按照自己的意愿對可供選擇的商品組合進行的排列。偏好是微觀經濟學價值理論中的一個基礎概念。偏好是主觀的，也是相對的概念。偏好實際是潛藏在人們內心的一種情感和傾向，它是非直觀的，引起偏好的感性因素多于理性因素。偏好有明顯的個體差異，也呈現出群體特征。

9第九頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日偏好雜談（2）終日奔波只為饑，方才一飽便思衣。衣食兩般皆俱足，又想嬌容美貌妻。取得美妻生下子，恨無天地少根基。買到田園多廣闊，出入無船少馬騎。槽頭扣了騾和馬，嘆無官職被人欺。縣丞主簿還嫌小，又要朝中掛紫衣。作了皇帝求仙術，更想登天跨鶴飛。若要世人心里足，除是南柯一夢西。10第十頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日令Ｂ為商品（或者消費）集合，B中有n種可供選擇的商品。它是n維實數空間中的一個非負子集，它總是被假定為閉集和凸集。x、y、z……是它的子集，或者稱之為商品束（commoditybundle）或者消費束（consumeboundle）。我們可以在消費束的集合Ｂ上建立下面的偏好關系（preferencerelation）或者偏好順序（preferenceordering）：

1.偏好關系的表述11第十一頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日12第十二頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日

自返性保證了消費者對同一商品的偏好具有明顯的一貫性；

可比較性假定保證了消費者具備選別判斷的能力；傳遞性保證了消費者在不同商品之間選擇的首尾一貫性。13第十三頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日通常認為這三條并沒有給消費者施加過分嚴格的限制條件，只要是消費者是理性的都可以做到這一點。但是僅在前面三個理性偏好的假定下，這樣的效用函數是不一定存在的，例如字典序偏好就是一個反例。14第十四頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日字典序定義例如：設選擇集15第十五頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日2.偏好關系的三條重要性質性質1（序保持性）16第十六頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日性質2（中值性）17第十七頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日性質3（有界性）18第十八頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日1.2確定性環境下的效用函數

1.效用函數定義如果對于有和成立，則函數關系是一個代表了偏好關系的效用函數。

19第十九頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日解釋效用函數是表示個體偏好關系的一種可行的方法。效用函數是一個連續的實函數。效用函數可以說是唯一的，除了對它作嚴格正的仿射變換。一般的效用函數依賴于兩個因素：未來狀態的概率分布以及在各狀態下對消費的偏好。但講解到目前為止，我們并沒有給出效用函數的具體形式。20第二十頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日

2.基數效用與序數效用基數效用：19世紀的一些經濟學家如英國的杰文斯、奧地利的門格爾等認為，人的福利或滿意可以用他從享用或消費過程中所獲得的效用來度量。對滿意程度的這種度量叫做基數效用.21第二十一頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日序數效用：20世紀意大利的經濟學家帕累托等發現，效用的基數性是多余的，消費理論完全可以建立在序數效用的基礎上。所謂序數效用是以效用值的大小次序來建立滿意程度的高低，而效用值的大小本身并沒有任何意義.22第二十二頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日3序數效用函數存在定理定理1.123第二十三頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日序數效用函數存在定理證明由性質3，此時定理顯然成立。因為B存在偏好關系，只有3種情況：24第二十四頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日序數效用函數定理證明25第二十五頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日必要性26第二十六頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日27第二十七頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日由性質1（序保持性），28第二十八頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日充分性由保序性，29第二十九頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日充分性此時由U的定義，由性質130第三十頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日必要性若不然，由結論1，31第三十一頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日充分性32第三十二頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日說明

一個效用函數可以通過正單調變換而獲得另一個效用函數與原來的效用函數具有同樣的偏好關系：且

是嚴格單調遞增函數，則有：

33第三十三頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日說明注1序數效用函數不是唯一的，但是都具有如下性質：34第三十四頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日注2在字典序上不存在與字典序相一致的效用函數。注335第三十五頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日第2節不確定條件下的偏好關系與效用不確定性環境下的行為選擇不確定性下理性決策的兩種原則期望效用函數期望效用準則矛盾36第三十六頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日引言在第1節中，我們討論了當選擇對象是確定的，且滿足偏好關系的三條性質（序保持性、中值性和有界性）的條件下，序數效用函數的存在性定理。本節將把效用概念推廣到選擇對象包含不確定（風險）的情形。37第三十七頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日2.1不確定性環境下的行為選擇經濟分析中的不確定性是與風險相聯系的。兩個概念的密切關系導致大家對其認識的不一致。很多文獻認為，不確定性是指經濟行為結果雖然是不確定的，但是各種結果出現的概率是確定的。也有一些經濟學家認為各種可能出現的結果存在一個確定概率的經濟行為是具有風險性的；可能出現結果的概率是未知的才能稱為具有不確定性，例如奈特(F·Knight）。目前大多數經濟學文獻沒有嚴格區分不確定性與風險性。

38第三十八頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日注意在金融數學中，我們所說的不確定性就是指風險。在不確定性經濟中，偏好關系式建立在不同的概率分布之間。39第三十九頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日2.2不確定性下理性決策的兩種原則數學期望最大化原則期望效用最大原則40第四十頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日1.數學期望最大化原則

數學期望收益最大化準則是指使用不確定性下各種可能行為結果的預期值比較各種行動方案優劣。這一準則有其合理性，它可以對各種行為方案進行準確的優劣比較，同時這一準則還是收益最大準則在不確定情形下的推廣。

問題：是否數學期望最大化準則是一最優的不確定性下的行為決策準則？

41第四十一頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日圣彼德堡悖論

DanielBernoulli（1700-1782）是出生于瑞士名門著名數學家。其在1738年發表《對機遇性賭博的分析》提出解決“圣彼德堡悖論”的“風險度量新理論”。指出：人們在投資決策時不是用“錢的數學期望”來作為決策準則，而是用“道德期望”來行動的。而道德期望并不與得利多少成正比，而與初始財富有關。窮人與富人對于財富增加的邊際效用是不一樣的。DanielBernoulli（1700-1782)42第四十二頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日

典型案例：圣彼德堡悖論（SaintPetersburyParadox）考慮一個投幣游戲，如果第一次出現正面的結果，可以得到1元，第一次反面，第二次正面得2元，前兩次反面，第三次正面得4元，……如果前n-1次都是反面，第n次出現正面得元。問：游戲的參加應先付多少錢，才能使這場賭博是“公平”的？43第四十三頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日

該游戲的數學期望值：但實驗的結果表明一般理性的投資者參加該游戲愿意支付的成本（門票）僅為2-3元。

圣彼德堡悖論：面對無窮的數學期望收益的賭博，為何人們只愿意支付有限的價格？

44第四十四頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日2.期望效用原則

DanielBernoulli（1700-1782）是出生于瑞士名門著名數學家，1725-1733年期間一直在圣彼德堡科學院研究投幣游戲。其在1738年發表《對機遇性賭博的分析》提出解決“圣彼德堡悖論”的“風險度量新理論”。指出人們在投資決策時不是用“錢的數學期望”來作為決策準則，而是用“道德期望”來行動的。而道德期望并不與得利多少成正比，而與初始財富有關。窮人與富人對于財富增加的邊際效用是不一樣的。45第四十五頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日即人們關心的是最終財富的效用，而不是財富的價值量，而且，財富增加所帶來的邊際效用（貨幣的邊際效用）是遞減的。

伯努利選擇的道德期望函數為對數函數，即對投幣游戲的期望值的計算應為對其對數函數期望值的計算：

其中，為一個確定值。

46第四十六頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日另外，Crammer（1728）采用冪函數的形式的效用函數對這一問題進行了分析。假定：

則

47第四十七頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日

因此，期望收益最大化準則在不確定情形下可能導致不可接受的結果。而貝努利提出的用期望效用取代期望收益的方案，可能為我們的不確定情形下的投資選擇問題提供最終的解決方案。根據期望效用，20%的收益不一定和2倍的10%的收益一樣好；20%的損失也不一定與2倍的10%損失一樣糟。48第四十八頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日2.3期望效用函數期望效用函數理論是20世紀50年代，馮·諾一曼和摩根斯坦(VonNeumannandMorgenstern)在公理化假設的基礎上，運用邏輯和數學工具，建立了不確定條件下對理性人(rationalactor)選擇進行分析的框架。不過，該理論是將個體和群體合而為一的。后來，阿羅和德布魯（ArrowandDebreu）將其吸收進瓦爾拉斯均衡的框架中，成為處理不確定性決策問題的分析范式，進而構筑起現代微觀經濟學并由此展開的包括宏觀、金融、計量等在內的宏偉而又優美的理論大廈。

49第四十九頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日（上）JohnvonNeumann(1903-1957)（下）OskarMorgenstern(1902-1977)1944年在巨著《對策論與經濟行為》中用數學公理化方法提出期望效用函數。這是經濟學中首次嚴格定義風險50第五十頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日所謂期望效用函數是定義在一個隨機變量集合上的函數，它在一個隨機變量上的取值等于它作為數值函數在該隨機變量上取值的數學期望。用它來判斷有風險的利益就是比較“錢的函數的數學期望”（“而不是錢的數學期望”）。51第五十一頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日1彩票以及彩票集合上的偏好關系不確定性下的選擇問題是其效用最大化的決定不僅對自己行動的選擇，也取決于自然狀態本身的選擇或隨機變化。第一步的任務是要明確：什么是在不確定情況下，我們要討論的“商品”和“商品空間。不確定下的選擇對象被人們稱為彩票（Lottery）或未定商品（contingentcommodity）。52第五十二頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日彩票概念：隨機變量的概率分布可用向量表示為設想消費者參加一次抽獎（lottery），所有可能產生如，A為中獎，中獎的概率為P，C為不中獎，L=(P,A,C)描述了一種彩票情況53第五十三頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日若彩票選擇的結果又構成一個彩票時，稱為復合彩票。比如，有兩個彩票,則簡單彩票與復合彩票的關系為：

就構成一個復合彩票復合彩票概念：54第五十四頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日一般情況的復合（復雜）彩票（compoundlottery），其抽獎結果是眾多的簡單彩票。復合彩票記為：其中，是一個簡單彩票。對于每一個復合彩票，我們可以計算出它與簡單彩票的關系：55第五十五頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日所有類似的彩票商，就構成了不確定情況下的商品空間，我們記彩票空間為不同的彩票之間也應當存在著與普通商品之間類似的偏好順序和關系。56第五十六頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日公理1二元關系是一個定義在上的偏好關系，滿足：自返性傳遞性完備性57第五十七頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日公理2（獨立性公理或替代公理，IndependentorSubstituteAxiom）含義:引入一個額外的不確定性的消費計劃不會改變原有的偏好。58第五十八頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日獨立性公理假設是不確定環境下決策理論的核心，它提供了把不確定性嵌入決策模型的基本結構。通過獨立性假設，消費者希望把復雜的概率決策行為分為相同和不同的兩個獨立部分，整個決策行為僅由其中不同的部分來決定。59第五十九頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日公理3（阿基米德公理，ArchimedeanAxion）含義:沒有哪一個消費計劃L1好到使得對任意滿足L2>L3的消費計劃L2,L3，無論概率β多么小，復合彩票βＬ1+(1-β)L3不會比L2差。同樣，沒有哪一個消費計劃L3，差到使得對任意滿足L1>L2的消費計劃L1,L2,，無論概率α多么大，復合彩票αL1+(1-α)L3不會比L2好。即不存在無限好或無限差的消費計劃。(數學上有類似的阿基米德公理)60第六十頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日公理3（阿基米德公理，ArchimedeanAxion）含義:沒有哪一個消費計劃L1好到使得對任意滿足L2>L3的消費計劃L2,L3，無論概率b多么小，復合彩票bp+(1-b)r不會比q差。同樣，沒有哪一個消費計劃r，差到使得對任意滿足p>q的消費計劃p,q，無論概率a多么大，復合彩票ap+(1-a)r不會比q好。即不存在無限好或無限差的消費計劃。(數學上有類似的阿基米德公理)61第六十一頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日數學中的阿基米德法則不管一個數字a多么的小，另外一個數字b多么的大，總存在一個整數k，使得ka>b62第六十二頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日期望效用表述（expectedutilityrepresenting)對一件彩票的期望效用表示為對抽獎結果的效用函數的數學期望:

其中，是VNM效用函數。

更一般地，我們可以表述為：63第六十三頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日

其中，是一個隨機變量。其含義為：不確定狀態下的消費得到的效用是每一可能狀態下消費路徑得到的效用的加權平均值，權重是相應狀態發生的概率。64第六十四頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日如果抽獎結果是無限的，附加一些不太重要的技術性條件，我們就有期望效用函數的連續形式：其中，為分布函數。65第六十五頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日期望效用函數的公理化陳述定理定義在上的偏好關系，若它滿足公理１，２，３，則該偏好關系可以用vonNeumannandMorgensern期望效用函數表示，并且期望效用函數是唯一的。66第六十六頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日一個定義在上的二元關系，當且僅當它滿足上面的三個公理時才存在著期望效用表示：67第六十七頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日在一些附加簡化假設下，如狀態獨立和時間可加性假設，期望效用函數的形式可以進一步簡化：68第六十八頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日四、期望效用準則矛盾

反對期望效用準則的最有趣和最相關的論證，通常包括幾個這樣的特例：受試者經過深思熟慮之后，反而會選擇不符合該準則的行動方案。這種情況簡單合理，人們的選擇相當明確，因而選擇與準則之間的矛盾似乎不可避免。我們的結論只能是，或者期望效用準則不是理性行為，或者人們有一種非理性的天生偏好，即使是在他思考最多的時候。

69第六十九頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日“

Allais悖論”

(1953)期望效用函數似乎是相當人為、相當主觀的概念。一開始就受到許多批評。其中最著名的是“Allais悖論”(1953)。由此引起許多非期望效用函數的研究，涉及許多古怪的數學。但都不很成功。（法）MauriceAllais(1911-)1986年諾貝爾經濟獎獲得者。70第七十頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日兩個非常有趣的例子

投資者可能偏好一個不符合期望效用準則的方案。在每個例子中，“錯誤”方案都有一個似是而非的外表，并被許多受試者選中。

71第七十一頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日例1.投資者可以選擇以下3種彩票：彩票A贏得1000美元的機會是1/1000；彩票B贏得100美元的機會是1/100；彩票C贏得1000的機會是1/2000，贏得100美元的機會是1/200。

你會選擇哪一種彩票？A,B,orC?72第七十二頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日要求受試者在方案A,B,C之間進行選擇，他們經常會表示出對C的明確偏好。對那些顯示偏好C的受試者，我們可以繼續提問，問他們在A和B之間是否更偏好A或者相反。爭論仍然存在。

73第七十三頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日為具體起見，我們假定A偏好B。我們再來詢問他是否愿意要確定性的A或者要得到A或B的機會各半的方案。換言之，我們是直接選中A還是通過拋硬幣來決定選A或B?實驗證明，那些表示A偏好B的投資者一致認為，他們愿意選擇A，而不是A或B的機會各半。

74第七十四頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日不難發現，拋硬幣選擇A或B的結果的概率分布于彩票C的分布完全相同。因此我們可以將投資者的偏好概括如下：C偏好A；A偏好A或B各50%；但是A和B各50%又恰好與C一樣好。因此C明確偏好A,A明確偏好C—矛盾。

75第七十五頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日例

2阿萊悖論方案A：確定得到100萬美元；

方案B:得到500萬美元的概率是0.1

得到100萬美元的概率是0.89

得到0美元的概率是0.0176第七十六頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日他發現，在A和B中，他的受試者偏好于A。于是，他進一步要求受試者考慮一下情形：方案C：以0.11的概率得到100萬美元以0.89的概率得到0美元方案D:以0.10的概率得到500萬美元以0.90的概率得到0美元實驗結果：絕大多數人選擇D而非C

當A和B作為備選方案時選A，當C和D作為備選方案時選Ｄ，就違背了期望效用原則。

77第七十七頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日賭局A的期望值（100萬元）雖然小于賭局B的期望值（139萬元），但是A的效用值大于B的效用值，即1.00U(1m)>0.89U(1m)+0.01U(0)+0.1U(5m)【1】賭局C的期望值（11萬元）小于賭局D的期望值（50萬元），而且C的效用值也小于D的效用值，即0.89U(0)+0.11U(1m)<0.9U(0)+0.1U(5m)【2】而由【2】式得0.11U(1m)<0.01U(0)+0.1U(5m)1.00U(1m)-0.89U(1m)<0.01U(0)+0.1U(5m)1.00U(1m)<0.89U(1m)+0.01U(0)+0.1U(5m)【３】【３】與【1】式矛盾，即阿萊悖論。78第七十八頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日阿萊悖論的另一種表述是：按照期望效用理論，風險厭惡者應該選擇A和C；而風險喜好者應該選擇B和D。然而實驗中的大多數人選擇A和D。79第七十九頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日顯然，期望效用理論受到了“阿萊悖論”的嚴峻挑戰。“阿萊悖論”實質上是要解釋，許多建立在獨立性假設上的期望效用，尤其是建立在追求期望效用最大化基石上的模型，都忽略的人的心理因素對概率分布的影響。因此，在“阿萊悖論”提出后，許多學者包括經濟學家和心理學家均嘗試著對不確定性下的選擇行為進行進一步探索，力圖揭示其中的心理因素與心理機制。80第八十頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日總結本節為在不確定條件下進行選擇提出了基礎性的理論框架。本節還討論了期望效用準則，偏好關系的效用函數表示，以及期望效用函數存在的條件，并給出了幾個期望效用準則的反例。81第八十一頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日第3節投資者的風險類型及風險度量投資者的風險類型馬科維茨風險溢價及常用的風險厭惡函數阿羅-伯瑞特（Arrow-Pratt）絕對風險厭惡函數82第八十二頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日3.1.投資者的風險類型83第八十三頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日1.風險厭惡型84第八十四頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日2.風險愛好型85第八十五頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日3.風險中性型86第八十六頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日3.2馬科維茨風險溢價假定所有投資者都是風險厭惡者，但是不同投資者的風險厭惡程度不同，為度量投資者的風險厭惡程度，引入風險溢價的概念。87第八十七頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日88第八十八頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日89第八十九頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日90第九十頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日91第九十一頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日92第九十二頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日3.3.Arrow-Pratt絕對風險厭惡函數93第九十三頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日馬科維茨風險溢價和效用函數之間的關系94第九十四頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日絕對風險厭惡95第九十五頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日如果絕對風險厭惡系數A(x)<0,表示風險愛好的風險態度，因為效用函數為凸函數，即二階導函數為正；如果絕對風險厭惡系數A(x)〉0,表示風險厭惡的風險態度，因為效用函數為凹函數，即二階導函數為負；如果絕對風險厭惡系數A(x)=0,表示風險中性的風險態度，因為效用函數為線性函數，即二階導函數為零。

96第九十六頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日相對風險厭惡97第九十七頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日絕對風險厭惡和相對風險厭惡的區別兩者主要區別在于，絕對風險厭惡不考慮研究對象目前的財富程度。相對風險厭惡加入了財富w，也就是說，后者認為比爾蓋茨和街邊要飯的對于風險厭惡程度的看法是不同的。比如對于搶錢包這個有風險的回報，用絕對風險厭惡，兩者只要效益函數也就是偏好相同，那得出結論就相同。如果用相對風險厭惡看，即使兩者效用函數相同，但是如果一個人比較富裕，那他應該有更強烈的風險厭惡。98第九十八頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日3.4雙曲絕對風險厭惡函數（HARA）99第九十九頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日100第一百頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日常用的效用函數（1）線性效用函數

當r=1時，則是風險中性者的效用函數。(2)二次效用函數101第一百零一頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日它具有常相對風險厭惡和遞減絕對風險厭惡。(3)指數效用函數。102第一百零二頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日(5)對數效用函數103第一百零三頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日3.5均值方差效用函數104第一百零四頁，共一百二十二頁，2022年，8月28日第一章基礎知識

第4節隨機占優Rothschild-Stiglitz(1970,1971)提出了更一般的比較不同資產風險的分析框架—在效用理論的架構下，采用隨機占優（StochasticDominance）方法來判斷兩個投資機會的優劣。期望效用最大化投資決策的前提是先確定效用函數，然而效用函數“只可意會，不可言傳”，很難對效用進行精確的量化。

由于投資機會的收益率R是一個隨機變量，因此可以采用數學上專門研究各種條件下隨機變量優劣比較的方法—隨機序來討論投資決策問題，并根據效用函數的