信號與系統SignalsandSystems

參考教材：北京市精品立項教材《信號與系統》.

主編：陳后金,胡健,薛健,清華大學出版社,2003年.陳后金，胡健，薛健北京交通大學國家電工電子教學基地hjchen@/jingpinke/xhyxt/dianzijiaoan/navigation.htm信號與系統分析導論信號的描述及分類系統的描述及分類信號與系統分析概述信號的描述與分類信號的基本概念信號的分類 確定信號與隨機信號

連續信號和離散信號

周期信號與非周期信號

能量信號與功率信號一、信號的基本概念1.定義廣義:信號是隨時間變化的某種物理量。嚴格:信號是消息的表現形式與傳送載體。電信號通常是隨時間變化的電壓或電流。2.表示

數學解析式或圖形語音信號：空氣壓力隨時間變化的函數語音信號“你好”的波形靜止的單色圖象：

亮度隨空間位置變化的信號f(x,y)。靜止的彩色圖象：三基色紅(R)、綠(G)、藍(B)隨空間位置變化的信號。二、信號的分類1確定信號與隨機信號確定信號是指能夠以確定的時間函數表示的信號。隨機信號也稱為不確定信號，不是時間的確定函數。連續信號：

在觀測過程的連續時間范圍內信號有確定的值。允許在其時間定義域上存在有限個間斷點。通常以f(t)表示。2.連續信號和離散信號模擬信號：取值是連續的連續信號。離散信號：信號僅在規定的離散時刻有定義。通常以f[k]表示。數字信號：取值為離散的離散信號。連續時間信號與離散時間信號波形連續時間信號離散時間信號離散信號的產生1)對連續信號抽樣f[k]=f(kT)2)信號本身是離散的3)計算機產生3周期信號與非周期信號*連續時間周期信號定義:,存在非零T，使得

*周期信號每一周期內信號完全一樣故只需研究信號在一個周期內的狀況。成立，則f(t)為周期信號。*離散時間周期信號定義:kI,存在非零N，使得成立，則f[k]為周期信號。滿足上述條件的最小的正T、正N稱為信號的基本周期。*不滿足周期信號定義的信號稱為非周期信號。4能量信號與功率信號能量信號:0<E<，P=0。功率信號:E，0<P<。直流信號與周期信號都是功率信號。歸一化能量E與歸一化功率P的計算

注意:

一個信號，不可能既是能量信號又是功率信號。連續信號離散信號系統的描述及其分類系統的描述

系統的數學模型

系統的方框圖表示系統的分類

連續時間系統與離散時間系統 線性系統與非線性系統 時不變系統與時變系統 因果系統與非因果系統 穩定系統與不穩定系統系統是指由相互作用和依賴的若干事物組

成的、具有特定功能的整體。一、系統的描述輸入輸出描述：N階微分方程或N階差分方程狀態空間描述：N個一階微分方程組或N個一階差分方程組RL串聯電路1.數學模型2.方框圖表示描述系統的基本單元方框圖連續時間系統離散時間系統二、系統的分類連續時間系統：系統的輸入激勵與輸出響應都必須為連續時間信號離散時間系統：系統的輸入激勵與輸出響應都必須為離散時間信號連續時間系統的數學模型是微分方程式。離散時間系統的數學模型是差分方程式。1．連續時間系統與離散時間系統2．線性系統與非線性系統

線性系統：具有線性特性的系統。線性特性包括均勻特性與疊加特性。(1)均勻特性：(2)疊加特性：同時具有均勻特性與疊加特性方為線性特性，線性特性可表示為其中，為任意常數具有線性特性的離散時間系統可表示為其中，為任意常數非線性系統：不具有線性特性的系統。

線性系統的數學模型是線性微分方程式或線性差分方程式。含有初始狀態線性系統的定義連續時間系統若則若則離散時間系統結論:

具有初始狀態的線性系統，輸出響應等于零輸入響應

與零狀態響應之和。3．時不變系統與時變系統系統的輸出響應與輸入激勵的關系不隨輸入激勵作用于系統的時間起點而改變，就稱為時不變系統。否則，就稱為時變系統。時不變特性時不變的離散時間系統表示為線性時不變系統可由定常系數的線性微分方程式或差分方程式描述。時不變的連續系統表示為4．因果系統與非因果系統

因果系統：當且僅當輸入信號激勵系統時才產生系統輸出響應的系統。5.穩定系統與不穩定系統穩定系統：指有界輸入產生有界輸出的系統不穩定系統：系統輸入有界而輸出無界非因果系統：不具有因果特性的系統稱為非因果系統。[例1]判斷下列輸出響應所對應的系統是否為線性系統？（其中y(0)為系統的初始狀態，f(t)為系統的輸入激勵，y(t)為系統的輸出響應）。線性系統非線性系統非線性系統線性系統分析注意2、零輸入線性，系統的零輸入響應必須對

所有的初始狀態呈現線性特性。[解]：分析任意線性系統的輸出響應都可分解為零輸入響應與零狀態響應兩部分之和,即。因此，判斷一個系統是否為線性系統，應從三個方面來判斷：1、具有可分解性3、零狀態線性，系統的零狀態響應必須對

所有的輸入信號呈現線性特性。判斷系統是否線性注意問題1．在判斷可分解性時，應考察系統的完全響應y(t)是否可以表示為兩部分之和，其中一部分只與系統的初始狀態有關，而另一部分只與系統的輸入激勵有關。2．在判斷系統的零輸入響應yx(t)是否具有線性時，應以系統的初始狀態為自變量（如上述例題中y(0))，而不能以其它的變量（如t等）作為自變量。3．在判斷系統的零狀態響應yf(t)是否具有線性時，應以系統的輸入激勵為自變量（如上述例題中f(t)），而不能以其它的變量（如t等）作為自變量。(1)y(t)=sin[f(t)]

(2)y(t)=cost·f(t)

(3)y(t)=4f2(t)+3f(t)

(4)y(t)=2t·f(t)[例2]試判斷下列系統是否為時不變系統時不變系統時變系統時不變系統時變系統分析：判斷系統是否為時不變系統，只需判斷當輸入激勵f(t)變為f(t-t0)時，相應的輸出響應y(t)是否變為

y(t-t0)。注意：時不變特性只考慮系統的零狀態響應，因此在判斷系統的時不變特性時，不涉及系統的初始狀態。信號與系統分析概述信號分析的主要內容系統分析的主要內容信號與系統之間的關系系統與電路之間的關系信號與系統的應用領域信號與系統課程的學習方法參考書信號分析連續信號離散信號取樣時域：信號分解為沖擊信號的線性組合頻域：信號分解為不同頻率正弦信號的線性組合復頻域：信號分解為不同頻率復指數的線性組合時域：信號分解為沖擊序列的線性組合頻域：信號分解為不同頻率正弦序列的線性組合復頻域：信號分解為不同頻率復指數的線性組合系統分析連續系統離散系統系統的描述輸入輸出描述法：N階微分方程系統響應的求解系統的描述系統響應的求解狀態空間描述：N個一階微分方程組時域：頻域：復頻域：輸入輸出描述法：N階差分方程狀態空間描述：N個一階差分方程組時域：頻域：Z域：信號與系統是相互依存的整體。信號與系統之間的關系1.信號必定是由系統產生、發送、傳輸與接收，離開系統沒有孤立存在的信號；2.系統的重要功能就是對信號進行加工、變換與處理，沒有信號的系統就沒有存在的意義。信號與系統的應用領域通信控制計算機等信號處理信號檢測非電類:社科領域：電類機械、熱力、光學等股市分析、人口統計等系統與電路的關系1.通常把系統看成比電路更為復雜、規模更大的組合2.處理問題的觀點不同：電路：著重在電路中各支路或回路的電流

及各節點的電壓上系統：著重在輸入輸出之間的關系上，

即系統能實現何種功能。信號與系統課程的學習方法3.加強實踐環節(學會用MATLAB進行信號分析)，通過實驗加深對理論與概念的理解。1.著重掌握信號與系統分析的物理含義，將數學概念、物理概念及其工程概念相結合。2.注意提出問題，分析問題與解決問題的方法。4.通過多練，復習和加深所學的基本概念，掌握解決問題的方法。主要參考書[1]EdwardW.K.,BonnieS.H.FundamentalsofSignalsandSystemsUsingMATLAB,Prentice-HallInternational,Inc.1997.[2]SimonH.,BarryV.V.SignalsandSystems,JohnWiley&Sons,Inc.1999.[3]A.V.Oppenheim.SignalsandSystems或中譯本（第二版）,西安交通大學出版社.[4]劉樹棠譯，信號與系統計算機練習—利用MATLAB，西安交通大學出版社，2000.主要參考書[5]鄭君里，應啟珩等.信號與系統,第二版.高等教育出版社，2000.[6]吳大正.信號與線性系統分析,第三版，高等教育出版社，2000.[7]朱鐘霖等.信號與系統.中國鐵道出版社,1996.[8]吳湘淇.信號、系統與信號處理,(上).電子工業出版社，1999.[9]駱麗,胡健等譯.全美經典學習指導系列《信號與系統》，科學出版社，2002.信號的時域分析連續時間信號的時域描述連續時間信號的基本運算離散時間信號時域描述離散時間信號的基本運算確定信號的時域分解連續時間信號的時域描述典型普通信號 正弦信號 實指數信號 虛指數信號 復指數信號 抽樣函數奇異信號 單位階躍信號 沖激信號 斜坡信號 沖激偶信號1正弦信號A:振幅w0:角頻率弧度/秒j:初始相位一、典型普通信號2指數信號——實指數信號

2指數信號——虛指數信號復指數信號的周期：復指數信號的基波周期：Euler公式：2指數信號——復指數信號tt3.抽樣函數抽樣函數具有以下性質：與Sa(t)函數類似的是sinc(t)函數，其定義為1單位階躍信號定義:二、奇異信號階躍信號的作用：1．表示任意的方波脈沖信號f(t)=u(t-T)-u(t-2T)

2．利用階躍信號的單邊性表示信號的時間范圍階躍信號的作用：2.沖激信號單位階躍信號加在電容兩端，流過電容的電流i(t)=Cdu(t)/dt可用沖激信號表示。狄拉克定義式：(t)=0,t02)沖激信號的定義1)沖激信號的引出3)沖激信號的圖形表示說明：(1)沖激信號可以延時至任意時刻t0，以符號(t-t0)表示，其波形如圖所示。(t-t0)的定義式為：(3)沖激信號的物理意義：表征作用時間極短，作用值很大的物理現象的數學模型(4)沖激信號的作用：(2)沖激信號具有強度，其強度就是沖激信號對時間的定積分值。在圖中用括號注明，以區分信號的幅值。A.表示其他任意信號；B.表示信號間斷點的導數。4)沖激信號的極限模型5)沖激信號的性質(1)篩選特性(2)取樣特性(3)展縮特性推論：沖激信號是偶函數。5)沖激信號的性質證明：取a=-1即可得d(t)=d(-t)(4)沖激信號與階躍信號的關系5)沖激信號的性質3.斜坡信號

與階躍信號之間的關系：定義：4.沖激偶信號沖激偶信號圖形表示定義：性質：四種奇異信號具有微積分關系[例題]計算下列各式的值[解]注意：2.對于(at+b)形式的沖激信號，要先利用沖激信號的展縮特性將其化為1/|a|(t+b/a)形式后，方可利用沖激信號的取樣特性與篩選特性。1.在沖激信號的取樣特性中，其積分區間不一定都是(-，+)，但只要積分區間不包括沖激信號(t-t0)的t=t0時刻，則積分結果必為零。連續時間信號的基本運算信號的尺度變換信號的翻轉信號的平移信號相加信號相乘信號的微分信號的積分1.尺度變換f(t)

f(at)a>0若0<a<1，則f(at)是f(t)的擴展。若a>1，則f(at)是f(t)的壓縮。例：尺度變換變換后語音信號的變化f(t)f(1.5t)f(0.5t)00.050.10.150.20.250.30.350.4-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5一段語音信號(“對了”)。抽樣頻率=22050Hzf(t)f(t/2)f(2t)2.信號的翻轉 f(t)

f(-t)將f(t)以縱軸為中心作180翻轉3.時移（平移）f(t)

f(t-t0)f(t-t0)，則表示信號右移t0單位；f(t+t0)，則表示信號左移t0單位。

4.信號的相加f(t)=f1(t)+f2(t)+……fn(t)5.信號的相乘f(t)=f1(t)·

f2(t)·……·fn(t)6.信號的微分y(t)=df(t)/dt=f'(t)注意：對不連續點的微分7.信號的積分[例題]已知f(t)的波形如圖所示，試畫出f(6-2t)的波形。0<a<1，擴展a倍a>1，壓縮1/a倍-：右移b/a單位+：左移b/a單位先翻轉 再展縮 后平移離散時間信號的時域描述離散時間信號的表示基本離散時間序列

實指數序列 虛指數序列和正弦序列 復指數序列 單位脈沖序列 單位階躍序列一、離散時間信號的表示序列的列表表示表示k=0的位置序列的圖形表示二、基本離散時間序列1．實指數序列2.虛指數序列和正弦序列利用Euler公式可以將正弦序列和虛指數序列聯系起來，即兩者的區別:的振蕩頻率不隨角頻率0的增加而增加。周期性： 如果W0/2p=m/N，N、m是不可約的整數，則信號的周期為N。即0N=m2

，m=正整數時，信號是周期信號。離散信號周期判斷舉例：1)f1[k]=sin(kp/6)W0/2p=1/12,由于1/12是不可約的有理數，故離散序列的周期N=12。

W0/2p=1/12p,由于1/12p不是有理數，故離散序列是非周期的。

W0/2p=3/8由于3/8是不可約的有理數，故f3[k]的周期為N=8。2)f2[k]=sin(k/6)3)對f3(t)=sin6pt,以fs=8Hz抽樣所得序列3．復指數序列衰減正弦信號增幅正弦信號4.單位脈沖序列定義：單位脈沖序列作用表示任意離散時間信號5.單位階躍序列定義：d[k]與u[k]關系:6.矩形序列7.斜坡序列r[k]離散時間信號的基本運算翻轉(f[k]

f[-k])位移(f[k]

f[kn])內插與抽取序列相加序列相乘差分與求和1.翻轉f[k]f[-k]將f[k]以縱軸為中心作180度翻轉2.位移f[k]

f[kn]f[k+n]表示將f[k]左移n個單位。f[k-n]表示將f[k]右移n個單位。3.尺度變換抽取(decimation)M在原序列中每隔M-1點抽取一點f[k]f[Mk]M為正整數3.尺度變換內插(interpolation)M在序列兩點之間插入M-1個點4．序列相加指將若干離散序列序號相同的數值相加5.序列相乘指若干離散序列序號相同的數值相乘6.差分一階后向差分二階后向差分一階前向差分二階前向差分N階后向差分N階前向差分單位脈沖序列可用單位階躍序列的差分表示7.求和單位階躍序列可用單位脈沖序列的求和表示信號的分解1．信號分解為直流分量與交流分量2．信號分解為奇分量與偶分量之和3．信號分解為實部分量與虛部分量4．連續信號分解為沖激函數的線性組合5．離散序列分解為脈沖序列的線性組合連續時間信號離散時間信號直流交流2.信號分解為交流分量與直流分量之和2.信號分解為奇分量與偶分量之和連續時間信號離散時間信號偶分量奇分量[例1]畫出f(t)的奇、偶兩個分量3．信號分解為實部分量與虛部分量連續時間信號離散時間信號實部分量虛部分量4.連續信號分解為沖激函數的線性組合當0時，k，d，且物理意義：不同的信號都可以分解為沖激序列，信號不同只是它們的系數不同。實際應用：當求解信號f(t)通過LTI系統產生的響應時，只需求解沖激信號通過該系統產生的響應，然后利用線性時不變系統的特性，進行迭加和延時即可求得信號f(t)產生的響應。信號分解(t)為物理意義與實際應用任意序列可以分解為單位脈沖序列及其位移的加權和5.離散序列分解為脈沖序列的線性組合系統的時域分析線性時不變系統的描述及特點連續時間LTI系統的響應連續時間系統的單位沖激響應卷積積分及其性質離散時間LTI系統的響應離散時間系統的單位脈沖響應卷積和及其性質單位沖激響應表示的系統特性線性時不變系統的描述及特點連續時間系統用N階常系數微分方程描述ai、

bi為常數。離散時間系統用N階常系數差分方程描述ai、

bi為常數。線性時不變系統的特點LTI系統除具有線性特性和時不變特性外，還具有:1）微分特性與差分特性：若T{f(t)}=y(t)則若T{f[k]}=y[k]則T{f[k]

-f[k-1]}=y[k]

-y[k-1]2）積分特性與求和特性：若T{f(t)}=y(t)則若T{f[k]}=y[k]則連續時間LTI系統的響應經典時域分析方法卷積法

零輸入響應求解 零狀態響應求解系統響應求解方法1.經典時域分析方法:求解微分方程2.卷積法:系統完全響應=零輸入響應+零狀態響應求解齊次微分方程得到零輸入響應利用卷積積分可求出零狀態響應一、經典時域分析方法 微分方程的全解即系統的完全響應,由齊次解yh(t)和特解yp(t)組成齊次解yh(t)的形式由齊次方程的特征根確定特解yp(t)的形式由方程右邊激勵信號的形式確定齊次解yh(t)的形式(1)特征根是不等實根s1,s2,,sn(2)特征根是相等實根s1=s2==sn(3)特征根是成對共軛復根常用激勵信號對應的特解形式例1已知某二階線性時不變連續時間系統的動態方程

初始條件y(0)=1,y’(0)=2,輸入信號f(t)=e-t

u(t)，求系統的完全響應y(t)。特征根為齊次解yh(t)解(1)求齊次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=0的齊次解yh(t)特征方程為2)求非齊次方程y‘’(t)+6y‘(t)+8y(t)=f(t)的特解yp(t)解得A=5/2，B=-11/6由輸入f(t)的形式，設方程的特解為yp(t)=Ce-t將特解帶入原微分方程即可求得常數C=1/3。3)求方程的全解討論1)若初始條件不變，輸入信號f(t)=sint

u(t)，則系統的完全響應y(t)=？2)若輸入信號不變，初始條件y(0)=0,y’(0)=1,則系統的完全響應y(t)=？經典法不足之處若微分方程右邊激勵項較復雜，則難以處理。若激勵信號發生變化，則須全部重新求解。若初始條件發生變化，則須全部重新求解。這種方法是一種純數學方法，無法突出系統響應的物理概念。二卷積法系統完全響應=零輸入響應+零狀態響應1.系統的零輸入響應是輸入信號為零，僅由系統的初始狀態單獨作用而產生的輸出響應。數學模型:求解方法：根據微分方程的特征根確定零輸入響應的形式，再由初始條件確定待定系數。[解]系統的特征方程為例2已知某線性時不變系統的動態方程式為:系統的初始狀態為y(0-)=1，y'(0-)=3，求系統的零輸入響應yx(t)。系統的特征根為y(0-)=yx(0-)=K1+K2=1y'(0-)=y'x(0-)=-2K1-3K2=3解得K1=6，K2=-5例3已知某線性時不變系統的動態方程式為

系統的初始狀態為y(0-)=2，y'(0-)=-1，求系統的零輸入響應yx(t)。[解]系統的特征方程為系統的特征根為（兩相等實根）y(0-)=yx(0-)=K1=1;y'(0-)=y'x(0-)=-2K1+K2=3解得K1=1,K2=5例4已知某線性時不變系統的動態方程式為

系統的初始狀態為y(0-)=1，y'(0-)=3，求系統的零輸入響應yx(t)。[解]系統的特征方程為系統的特征根為y(0-)=yx(0-)=K1=1y'(0-)=y'x(0-)=-K1+2K2=3解得K1=1，K2=22、系統的零狀態響應求解系統的零狀態響應yf(t)方法：

1)直接求解初始狀態為零的微分方程。2)卷積法：利用信號分解和線性時不變系統的特性求解。當系統的初始狀態為零時，由系統的外部激勵f(t)產生的響應稱為系統的零狀態響應，用yf(t)表示。卷積法求解系統零狀態響應yf(t)的思路1)將任意信號分解為單位沖激信號的線性組合。2)求出單位沖激信號作用在系統上的零狀態響應—單位沖激響應h(t)。3)利用線性時不變系統的特性，求出單位沖激信號線性組合作用在系統上的響應，即系統在任意信號f(t)激勵下的零狀態響應yf(t)。卷積法求解系統零狀態響應yf(t)推導由時不變特性由均勻特性由積分特性例5已知某LTI系統的動態方程式為y′(t)+3y(t)=2f(t)，系統的沖激響應h(t)=2e-3t

u(t),f(t)=3u(t),試求系統的零狀態響應yf(t)。[解]連續時間系統的單位沖激響應連續時間系統單位沖激響應的定義沖激平衡法求系統的單位沖激響應連續時間系統的單位階躍響應連續時間系統單位沖激響應的定義 在系統初始狀態為零的條件下，以單位沖激信號激勵系統所產生的輸出響應，稱為系統的單位沖激響應，以符號h(t)表示。N階連續時間LTI系統的沖激響應h(t)滿足沖激平衡法求系統的單位沖激響應由于t>0+后,方程右端為零,故n>m時nm時,為使方程兩邊平衡,h(t)應含有沖激及其高階導數,即將h(t)代入微分方程，使方程兩邊平衡,確定系數Ki，

Ai例1已知某線性時不變系統的動態方程式為

試求系統的單位沖激響應。解：當f(t)=d(t)時,y(t)=h(t),即動態方程式的特征根s=-3,且n>m,故h(t)的形式為解得A=2例2已知某線性時不變系統的動態方程式為

試求系統的沖激響應。解：當f(t)=d(t)時,y(t)=h(t),即動態方程式的特征根s=-6,且n=m,故h(t)的形式為解得A=-16,B=3沖激平衡法小結1)由系統的特征根來確定u(t)前的指數形式.2)由動態方程右邊d(t)的最高階導數與方程左邊h(t)的最高階導數確定d(j)(t)項.連續系統的階躍響應求解方法:1)求解微分方程2)利用單位沖激響應與單位階躍響應的關系例3求例1所述系統的單位階躍響應g(t)。例1系統的單位沖激響應為解：利用單位沖激響應與單位階躍響應的關系，可得h(t)=2e-3t

u(t)卷積積分的計算和性質卷積積分的計算卷積積分的性質

交換律、分配律、結合律、位移特性、展縮特性

延遲特性、微分特性、積分特性、等效特性奇異信號的卷積積分一卷積積分的計算卷積的定義：1）將f(t)和h(t)中的自變量由t改為，成為函數的自變量；卷積的計算步驟：2）把其中一個信號翻轉、平移；3）將f(t)與h(t-t)相乘；對乘積后的圖形積分。例1例2：計算y(t)=p1(t)*p1(t)。a)-<t

-1b)-1

t<0y(t)=0c)0

t<1d)1

t<y(t)=0練習1：u(t)*u(t)練習2：計算y(t)=f(t)*h(t)。=r(t)二卷積的性質1)交換律f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)2)分配律[

f1(t)+f2(t)]*f3(t)=f1(t)*f3(t)+f2(t)*f3(t)3)結合律[f1(t)*f2(t)]*f3(t)=f1(t)*[f2(t)*f3(t)]4)位移特性

已知f1(t)*f2(t)=y(t)則:f1(t-t1)*f2(t-t2)=y(t-t1

-t2)5)展縮位移特性證明：展縮特性證明：例：利用位移特性及u(t)*u(t)=r(t)，計算y(t)=f(t)*h(t)。y(t)=f(t)*h(t)=[u(t)-

u(t-1)]*[u(t)-

u(t-2)]=u(t)*u(t)-

u(t-1)*u(t)-

u(t)*u(t-2)-

u(t-1)*u(t-2)=r(t)-

r(t-2)–r(t-1)+r(t-3)三奇異信號的卷積1)延遲特性f(t)*(t-T)=f(t-T)

2)微分特性f(t)*

'(t)=f'(t)

3)積分特性4)等效特性例1：已知y(t)=f1(t)*

f2(t)，求y'(t)。解：y'(t)=y(t)*d'(t)=[f1(t)*

f2(t)]*d'(t)例2：已知y(t)=f1(t)*

f2(t)，求y(-1)(t)。解：y(-1)(t)=y(t)*u(t)=[f1(t)*

f2(t)]*u(t)=

f1'(t)*

f2(t)=f1(t)*

f2'(t)=

f1(-1)(t)*

f2(t)=f1(t)*

f2(-1)(t)例3：利用等效特性，計算y(t)=f(t)*h(t)。f'(t)=d(t)-d(t-1)f'(t)*

h(t)=h(t)-

h(t-1)離散時間LTI系統的響應迭代法求系統響應經典時域法求系統響應卷積法求系統響應

零輸入響應求解 零狀態響應求解離散時間LTI系統的數學模型為2.經典時域分析方法:求解差分方程3.卷積法:系統完全響應=零輸入響應+零狀態響應求解齊次差分方程得到零輸入響應yx[k]利用卷積和可求出零狀態響應yf[k]系統響應求解方法:1.迭代法:一、迭代法已知n個初始條件{y[-1],y[-2],y[-3],????,y[-n]}和輸入f[k]，由差分方程迭代出系統的輸出。迭代法舉例例1一階線性常系數差分方程y[k]-0.5y[k-1]=u[k],y[-1]=1，用遞推法求解差分方程。解：將差分方程寫成：代入初始條件，可求得依此類推:缺點：很難得到閉合形式的解。二、經典時域分析方法 差分方程的全解即系統的完全響應,由齊次解yh[k]和特解yp[k]組成:齊次解yh[k]的形式由齊次方程的特征根確定特解yp[k]的形式由方程右邊激勵信號的形式確定齊次解的形式(1)特征根是不等實根r1,r2,,rn(2)特征根是相等實根r1=r2==rn(3)特征根是成對共軛復根常用激勵信號對應的特解形式ak(a不是特征根)ak(a是特征根)例2已知某二階線性時不變連續時間系統的動態方程

初始條件y[0]=0,y[1]=-1,輸入信號f[k]=2k

u[k]，求系統的完全響應y[k]。特征根為齊次解yh[k]解(1)求齊次方程y[k]-5y[k-1]+6y[k-2]=0的齊次解yh[k]特征方程為2)求非齊次方程y[k]-5y[k-1]+6y[k-2]=f[k]的特解yp[k]解得C1=-3，C2=3由輸入f[k]=2k

u[k]，設方程的特解形式為將特解帶入原微分方程即可求得常數A=-2。3)求方程的全解討論1)若初始條件不變，輸入信號f[k]=sin0

k

u[k]，則系統的完全響應y[k]=？2)若輸入信號不變，初始條件y[0]=1,y[1]=1,則系統的完全響應y[k]=？經典法不足之處若微分方程右邊激勵項較復雜，則難以處理。若激勵信號發生變化，則須全部重新求解。若初始條件發生變化，則須全部重新求解。這種方法是一種純數學方法，無法突出系統響應的物理概念。三、卷積法系統完全響應=零輸入響應+零狀態響應1.系統的零輸入響應是輸入信號為零，僅由系統的初始狀態單獨作用而產生的輸出響應。數學模型:求解方法：根據差分方程的特征根確定零輸入響應的形式，再由初始條件確定待定系數。[解]系統的特征方程為例3已知某線性時不變系統的動態方程式為:系統的初始狀態為y[-1]=0，y[-2]=1/2，求系統的零輸入響應yx[k]。系統的特征根為解得C1=1，C2=-2例4已知某線性時不變系統的動態方程式為

系統的初始狀態為y[-1]=0，y[-2]=-1，求系統的零輸入響應yx[k]。[解]系統的特征方程為系統的特征根為（兩相等實根）解得C1=4,C2=4例5已知某線性時不變系統的動態方程式為

系統的初始狀態為y[-1]=2，y[-2]=-1，y[-3]=8，求系統的零輸入響應yx[k]。[解]系統的特征方程為系統的特征根為解得C1=1，C2=0，C3=52.系統的零狀態響應求解系統零狀態響應yf[k]的方法：

1)直接求解初始狀態為零的差分方程。2)卷積法：利用信號分解和線性時不變系統的特性求解。 當系統的初始狀態為零時，由系統的外部激勵f[k]產生的響應稱為零狀態響應，用yf[k]表示。卷積法求解系統零狀態響應yf[k]的思路1)將任意信號分解為單位脈沖序列的線性組合2)求出單位脈沖序列作用在系統上的零狀態響應單位脈沖響應。3)利用線性時不變系統的特性，求出單位脈沖序列線性組合作用在系統上的響應，即系統在任意信號f[k]激勵下的零狀態響應yf[k]。卷積和求解系統零狀態響應yf[k]推導由時不變特性由均勻特性由疊加特性例6若描述某離散系統的差分方程為已知激勵求系統的零狀態響應yf

[k]。解：離散系統的單位脈沖響應單位脈沖響應h[k]定義h[k]的求解

迭代法 等效初始條件法單位階躍響應g[k]的求解1.單位脈沖響應h[k]定義 單位脈沖序列[k]作用于離散時間LTI系統所產生的零狀態響應稱為單位脈沖響應,用符號h[k]表示。對N階LTI離散時間系統，h[k]滿足方程2.h[k]的求解求解方法:2)等效初始條件法 將d[k-j]對系統的瞬時作用，轉化為系統的等效初始條件。

等效初始條件由差分方程和h[-1]=h[-2]==h[-n]=0遞推求出。1)迭代法例1若描述某離散時間LTI系統的差分方程為

求系統的單位脈沖響應h[k]。解：h[k]滿足方程1)求等效初始條件對于因果系統有h[-1]=h[-2]=0，代入上面方程可推出注意：選擇初始條件的基本原則是必須將d[k]的作用體現在初始條件中可以選擇h[0]和h[1]或h[-1]和h[0]作為初始條件2)求差分方程的齊次解特征方程為特征根為齊次解的表達式為代入初始條件，有解得C1=-1，C2=23.單位階躍響應單位階躍序列u[k]作用在離散時間LTI系統上產生的零狀態響應稱為單位階躍響應，用符號g[k]表示。求解方法：1)迭代法2)經典法3)利用單位階躍響應與單位脈沖響應的關系h[k]=g[k]-g[k-1]例2求例1所述系統的單位階躍響應g[k]。解:例1所述系統的單位脈沖響應為利用h[k]與g[k]的關系，可得h[k]=[-(-1)k+2(-2)k]u[k]卷積和的計算與性質圖解法計算卷積和列表法計算卷積和卷積和的性質

交換律結合律分配律位移特性 差分與求和特性一.圖解法計算卷積和計算步驟:1)將f[k]、h[k]中的自變量由k改為n；2)把其中一個信號翻轉，如將h[n]翻轉得h[-n]；3)把h[-n]平移k，k是參變量。k>0圖形右移，k<0圖形左移。4)將f[n]與h[k-n]重疊部分相乘；5)對乘積后的圖形求和。卷積和定義為例1已知f[k]=u[k],h[k]=aku[k],0<a<1,計算y[k]=f[k]*h[k]k

<0,f[n]與h[k-n]圖形沒有相遇k

>0,f[n]與h[k-n]圖形相遇y[k]=0例2計算y[k]=RN[k]*RN[k]。k

<0時,RN

[n]與RN

[k-n]圖形沒有相遇y[k]=00

k

N-1時,重合區間為[0，k]N-1

k2N-2時,重合區間為[-(N-1)+k，N-1]k>2N-2時,RN

[n]與RN

[k-n]圖形不再相遇y[k]=0二.列表法計算序列卷積和設f[k]和h[k]都是因果序列，則有當k=0時，當k=1時，當k=2時，當k=3時，以上求解過程可以歸納成列表法。列表法將h[k]的值順序排成一行，將f[k]的值順序排成一列，行與列的交叉點記入相應f[k]與h[k]的乘積，對角斜線上各數值就是f[n]h[k-n]的值。對角斜線上各數值的和就是y[k]各項的值。例3計算與的卷積和。三.卷積和的性質交換律:f[k]*h[k]=h[k]*f[k]f[k]*{h1[k]*

h2[k]}={f[k]*h1[k]}*

h2[k]f[k]*{h1[k]+h2[k]}=f[k]*h1[k]+f[k]*

h2[k]結合律:分配律:卷積和的性質（續）位移特性：f[k]*d[k-n]=f[k-n]推論：若f[k]*h[k]=y[k]，則f[k-n]*h[k-l]=y[k-(n+l)]差分與求和特：若f[k]*h[k]=y[k]例4計算與的卷積和解：利用位移特性單位沖激響應表示的系統特性級聯系統的單位沖激響應并聯系統的單位沖激響應因果系統穩定系統1.級聯系統的單位沖激響應根據卷積積分的結合律性質，有h(t)結論:1)級聯系統的沖激響應等于兩個子系統沖激響應的卷積。2)交換兩個級聯系統的先后連接次序不影響系統總的沖激響應。兩個離散時間系統的級聯也有同樣的結論。2.并聯系統的單位沖激響應應用卷積積分的分配律性質，有h(t)結論并聯系統的沖激響應等于兩個子系統沖激響應之和。兩個離散時間系統的并聯也有同樣的結論。例1求圖示系統的沖激響應。其中h1(t)=e-3t

u(t)，

h2(t)=d(t-1)，h3(t)=u(t)。解：

子系統h1(t)與h2(t)級聯，h3(t)支路與h1(t)h2(t)級聯支路并聯。例2求圖示系統的單位脈沖響應。其中h1[k]=2k

u[k]，

h2[k]=d[k-1]，h3[k]=3k

u[k]，h4[k]=u[k]。解：

子系統h2[k]與h3[k]級聯，h1[k]支路、全通支路與h2[k]h3[k]級聯支路并聯，再與h4[k]級聯。全通支路滿足全通離散系統的單位脈沖響應為單位脈沖序列d[k]3.因果系統定義：因果系統是指系統t0時刻的輸出只和t0時刻及以前的輸入信號有關。因果系統的充分必要條件因果連續時間LTI系統的單位沖激響應必須滿足因果離散時間LTI系統的單位脈沖響應必須滿足一個因果系統的沖激響應在沖激出現之前必須為零。例3判斷M1+M2+1點滑動平均系統是否是因果系統。解：M1+M2+1點滑動平均系統的輸入輸出關系為系統的單位脈沖響應為即顯然，只有當M2=0時，才滿足h[k]=0,k<0的充要條件。即當M2=0時，系統是因果的。4.穩定系統定義：若連續系統對任意的有界輸入其輸出也有界，則稱該系統是穩定系統。穩定系統的充分必要條件連續時間LTI系統穩定的充分必要條件是離散時間LTI系統穩定的充分必要條件是例4判斷M1+M2+1點滑動平均系統是否穩定。解：由例3可知，系統的單位脈沖響應為由離散時間LTI系統穩定的充分必要條件可以判斷出該系統穩定。對h[k]求和，可得例5已知一因果LTI系統的單位沖激響應為h(t)=eatu(t)，判斷該系統是否穩定。解：由于當a<0時，系統穩定當a0時，系統不穩定信號的頻域分析連續周期信號的頻域分析連續非周期信號的頻譜常見連續時間信號的頻譜連續時間Fourier變換的性質離散周期信號的頻域分析離散非周期信號的頻域分析連續周期信號的頻域分析周期信號的傅立葉級數展開周期信號的頻譜及其特點傅里葉級數的基本性質周期信號的功率譜

將信號表示為不同頻率正弦分量的線性組合

(1)從信號分析的角度，將信號表示為不同頻率正弦分量的線性組合，為不同信號之間進行比較提供了途徑。

(2)從系統分析角度，已知單頻正弦信號激勵下的響應，利用迭加特性可求得多個不同頻率正弦信號同時激勵下的總響應而且每個正弦分量通過系統后，是衰減還是增強一目了然。連續周期信號的頻域分析意義：一、周期信號的傅立葉級數展開1.周期信號展開為傅立葉級數條件周期信號fT(t)應滿足Dirichlet條件，即：(1)絕對可積，即滿足 (2)在一個周期內只有有限個不連續點；(3)在一個周期內只有有限個極大值和極小值。注意：條件（1）為充分條件但不是必要條件； 條件（2）（3）是必要條件但不是充分條件。2.指數形式傅立葉級數連續時間周期信號可以用指數形式傅立葉級數表示為其中兩項的基波頻率為f0，兩項合起來稱為信號的基波分量的基波頻率為2f0，兩項合起來稱為信號的2次諧波分量的基波頻率為Nf0，兩項合起來稱為信號的N次諧波分量物理含義：周期信號f(t)可以分解為不同頻率虛指數信號之和。3.三角形式傅立葉級數若f(t)為實函數，則有利用這個性質可以將指數Fourier級數表示寫為令由于C0是實的，所以b0=0，故三角形式傅立葉級數純余弦形式傅立葉級數

稱為信號的直流分量，

Ancos(n0+n)稱為信號的n次諧波分量。例題1試計算圖示周期矩形脈沖信號的傅立葉級數展開式。解:該周期信號f

(t)顯然滿足狄里赫勒的三個條件，必然存在傅立葉級數展開式。可得，周期方波信號的三角形式傅立葉級數展開式為若=T/2，則有由因此，周期方波信號的指數形式傅立葉級數展開式為例2試計算圖示周期三角脈沖信號的傅立葉級數展開式。解:該周期信號f

(t)顯然滿足狄里赫勒的三個條件，Cn存在周期三角脈沖信號的三角形式傅立葉級數展開式為由周期三角脈沖信號的指數形式傅立葉級數展開式為二、周期信號的頻譜及其特點周期信號f(t)可以分解為不同頻率虛指數信號之和

Cn是頻率的函數，它反映了組成信號各正弦諧波的幅度和相位隨頻率變化的規律，稱頻譜函數。不同的時域信號，只是傅里葉級數的系數Cn不同，因此通過研究傅里葉級數的系數來研究信號的特性。1、頻譜的概念2、頻譜的表示 直接畫出信號各次諧波對應的An、

Cn線狀分布圖形，這種圖形稱為信號的頻譜圖。幅頻特性相頻特性例1周期矩形脈沖信號的頻譜圖3．頻譜的特性(1)離散頻譜特性周期信號的頻譜是由間隔為ω0的譜線組成信號周期T越大，ω0就越小，則譜線越密。反之，T越小，ω0越大，譜線則越疏。3．頻譜的特性

(2)幅度衰減特性當周期信號的幅度頻譜隨著諧波nw0增大時，幅度頻譜|Cn|不斷衰減，并最終趨于零。若信號時域波形變化越平緩，高次諧波成分就越少，幅度頻譜衰減越快；若信號時域波形變化跳變越多，高次諧波成分就越多，幅度頻譜衰減越慢。

f(t)不連續時，Cn按1/n的速度衰減f’(t)不連續時，Cn按1/n2的速度衰減(3)信號的有效帶寬0~2

/這段頻率范圍稱為周期矩形脈沖信號的有效頻帶寬度,即

信號的有效帶寬與信號時域的持續時間成反比。即

越大，其ωB越小；反之，

越小，其ωB越大。物理意義：若信號丟失有效帶寬以外的諧波成分，不會對信號產生明顯影響。說明：當信號通過系統時，信號與系統的有效帶寬必須“匹配”。4相位譜的作用幅頻不變，零相位幅頻為常數，相位不變1.線性特性

2.時移特性

三、傅里葉級數的基本性質3.卷積性質(1)若f(t)為實信號 若f1(t)和f2(t)均是周期為T0的周期信號，且4.微分特性5.對稱特性5.對稱特性(2)縱軸對稱信號 fT(t)=fT(-t)

縱軸對稱周期信號其傅立葉級數展開式中只含有直流項與余弦項。(3)原點對稱信號 fT(t)=-fT(-t)

原點對稱周期信號其傅立葉級數展開式中只含有正弦項。(4)半波重迭信號

fT(t)=f(t±T/2)

半波重疊周期信號只含有正弦與余弦的偶次諧波分量，而無奇次諧波分量。(5)半波鏡像信號 fT(t)=-f(t±T/2)半波鏡像周期信號只含有正弦與余弦的奇次諧波分量，而無直流分量與偶次諧波分量。去掉直流分量后，信號呈奇對稱，只含有正弦各次諧波分量。因此該信號含有正弦各次諧波分量，直流分量。說明：某些信號波形經上下或左右平移后，才呈現出某種對稱特性[例題3]四、周期信號的功率譜物理意義：任意周期信號的平均功率等于信號所包含的直流、基波以及各次諧波的平均功率之和。 周期信號的功率頻譜：|Cn|2

隨nw0分布情況稱為周期信號的功率頻譜，簡稱功率譜。帕什瓦爾(Parseval)功率守恒定理[例題4]試求周期矩形脈沖信號在其有效帶寬(0~2p/t)內諧波分量所具有的平均功率占整個信號平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。[解]周期矩形脈沖的傅立葉系數為將A=1，T=1/4，=1/20，w0=2p/T=8p代入上式功率譜信號的平均功率為包含在有效帶寬(0~2p/t)內的各諧波平均功率為周期矩形脈沖信號包含在有效帶寬內的各諧波平均功率之和占整個信號平均功率的90%。吉伯斯現象 用有限次諧波分量來近似原信號，在不連續點出現過沖，過沖峰值不隨諧波分量增加而減少，且為跳變值的9%。吉伯斯現象產生原因 時間信號存在跳變破壞了信號的收斂性，使得在間斷點傅里葉級數出現非一致收斂。N=5N=15N=50N=500周期信號的頻域分析小結分析問題使用的數學工具為傅里葉級數最重要概念：頻譜函數要點 1.頻譜的定義、物理意義 2.頻譜的特點 3.頻譜的性質，應用性質分析復雜信號的頻譜 4.功率譜的概念及在工程中的應用連續非周期信號的頻譜從傅立葉級數到傅立葉變換頻譜函數與頻譜密度函數的區別傅里葉反變換非周期矩形脈沖信號的頻譜分析1．從傅立葉級數到傅立葉變換討論周期T增加對離散譜的影響：周期為T寬度為t的周期矩形脈沖的Fourier系數為物理意義:F(jw)是單位頻率所具有的信號頻譜，稱之為非周期信號的頻譜密度函數，簡稱頻譜函數。2.頻譜函數與頻譜密度函數的區別(1)周期信號的頻譜為離散頻譜，

非周期信號的頻譜為連續頻譜。(2)周期信號的頻譜為Cn的分布，表示每個諧波分量的復振幅；非周期信號的頻譜為TCn的分布，表示每單位帶寬內所有諧波分量合成的復振幅，即頻譜密度函數。兩者關系：物理意義：非周期信號可以分解為無數個頻率為，復振幅為[F()/2p]d的復指數信號ejwt的線性組合。T

,記nw0=w,w0=2p/T=dw,3.傅里葉反變換傅立葉正變換：傅立葉反變換：符號表示：狄里赫萊條件狄里赫萊條件是充分不必要條件（1）非周期信號在無限區間上絕對可積（2）在任意有限區間內，信號只有有限個最大值和最小值。（3）在任意有限區間內，信號僅有有限個不連續點，且這些點必須是有限值。[例題]試求圖示非周期矩形脈沖信號的頻譜函數[解]非周期矩形脈沖信號f(t)的時域表示式為由傅立葉正變換定義式，可得分析：2.周期信號的離散頻譜可以通過對非周期信號的連續頻譜等間隔取樣求得3.信號在時域有限，則在頻域將無限延續。4.信號的頻譜分量主要集中在零頻到第一個過零點之間，工程中往往將此寬度作為有效帶寬。5.脈沖寬度越窄，有限帶寬越寬，高頻分量越多。即信號信息量大、傳輸速度快，傳送信號所占用的頻帶越寬。1.非周期矩形脈沖信號的頻譜是連續頻譜，其形狀與周期矩形脈沖信號離散頻譜的包絡線相似。常見連續時間信號的頻譜常見非周期信號的頻譜(頻譜密度)單邊指數信號雙邊指數信號e-|t|單位沖激信號(t)直流信號符號函數信號單位階躍信號u(t)常見周期信號的頻譜密度虛指數信號正弦型信號單位沖激序列1.常見非周期信號的頻譜(1)單邊指數信號幅度頻譜為相位頻譜為單邊指數信號及其幅度頻譜與相位頻譜(2)雙邊指數信號e-|t|幅度頻譜為

相位頻譜為(3)單位沖激信號δ(t)單位沖激信號及其頻譜(4)直流信號 直流信號不滿足絕對可積條件,可采用極限的方法求出其傅里葉變換。

對照沖激、直流時頻曲線可看出:時域持續越寬的信號，其頻域的頻譜越窄；時域持續越窄的信號，其頻域的頻譜越寬。直流信號及其頻譜（5）符號函數信號符號函數定義為符號函數的幅度頻譜和相位頻譜(6)單位階躍信號u(t)單位階躍信號及其頻譜2常見周期信號的頻譜(1)虛指數信號同理:（2）正弦型信號余弦信號及其頻譜函數正弦信號及其頻譜函數（3）一般周期信號兩邊同取傅立葉變換

（4）單位沖激序列因為T(t)為周期信號，先將其展開為指數形式傅立葉級數：單位沖激序列及其頻譜函數1.線性特性 2.共軛對稱特性3.對稱互易特性 4.展縮特性 5.時移特性6.頻移特性7.時域卷積特性 8.頻域卷積特性9.時域微分特性10.積分特性 11.頻域微分特性12.能量定理傅里葉變換的基本性質1.線性特性其中a和b均為常數。2.共軛對稱特性當f(t)為是實函數時，有|F(jw)|=|F(-jw)|，f(w)=-f(-w)F(jw)為復數，可以表示為3．時移特性式中t0為任意實數證明：令x=t-t0，則dx=dt，代入上式可得信號在時域中的時移，對應頻譜函數在頻域中產生的附加相移，而幅度頻譜保持不變。[例1]試求圖示延時矩形脈沖信號f1(t)的頻譜函數F1(jw)。[解]無延時且寬度為的矩形脈沖信號f(t)如右圖，因為故，由延時特性可得其對應的頻譜函數為4.展縮特性證明:令x=at，則dx=adt，代入上式可得時域壓縮，則頻域展寬；時域展寬，則頻域壓縮。例：尺度變換變換后語音信號的變化f(t)f(1.5t)f(0.5t)00.050.10.150.20.250.30.350.4-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5一段語音信號(“對了”)。抽樣頻率=22050Hzf(t)f(t/2)f(2t)5.互易對稱特性6.頻移特性（調制定理）若 f(t)

F(jw)式中0為任意實數證明： 由傅立葉變換定義有則信號f(t)與余弦信號cosw0

t相乘后，其頻譜是將原來信號頻譜向左右搬移w0，幅度減半。同理

[例2]試求矩形脈沖信號f(t)與余弦信號cosw0t相乘后信號的頻譜函數。應用頻移特性可得[解]已知寬度為的矩形脈沖信號對應的頻譜函數為7.時域微分特性則若 f(t)

F(jw)

[例3]試利用微分特性求矩形脈沖信號的頻譜函數。[解]

由時域微分特性因此有8.積分特性若信號不存在直流分量，即F(0)=0則若 f(t)

F(jw)則9.頻域微分特性則若 f(t)

F(jw)將上式兩邊同乘以j得證明：[例4]試求單位斜坡信號tu(t)的傅立葉變換。 [解]已知單位階躍信號傅立葉變換為:利用頻域微分特性可得:10.時域卷積特性證明：11.頻域卷積特性(調制特性)證明：12.非周期信號的能量譜密度由于信號f(t)為實數，故F(-jw)=F*(jw)，因此上式為 信號的能量可以由|F(jw)|2在整個頻率范圍的積分乘以1/2

來計算。 物理意義：非周期能量信號的歸一化能量在時域中與在頻域中相等，保持能量守恒。能量頻譜密度函數(能量頻)：單位角頻率的信號能量帕什瓦爾能量守恒定理1.線性特性 2.對稱互易特性3.展縮特性 4.時移特性 5.頻移特性6.時域卷積特性 7.頻域卷積特性8.時域微分特性9.積分特性 10.頻域微分特性傅立葉變換性質一覽表非周期信號頻域分析小結重要概念:非周期信號的頻譜1)非周期信號的頻譜與周期信號的頻譜的區別2)非周期信號頻譜的物理意義3)非周期信號頻譜的分析方法:應用常用基本信號的頻譜與傅里葉變換的性質分析問題使用的數學工具:傅里葉變換工程應用:調制、解調，頻分復用離散Fourier級數（DFS）DFS的定義常用離散周期序列的頻譜分析 周期單位脈沖序列d

N[k] 正弦型序列 周期矩形波序列DFS的性質一、DFS的定義IDFSDFS0k不是N的整數倍Nk是N的整數倍DFS的物理含義1)周期為N的任意序列可分解為基本序列{exp(2pkm/N;m=0,1,,N-1}的線性組合。2)任意序列在的抽樣值，做DFS獲得可通過對二、常用離散周期序列的頻譜分析1.周期單位脈沖序列d

N[k]二、常用離散周期序列的頻譜分析2.正弦型序列周期序列f[k]=cos(pk/6)的頻譜二、常用離散周期序列的頻譜分析3.周期矩形波序列當m=0,N,2N,時有周期矩形波序列的頻譜N=30M=2N=30M=12三DFS的基本性質1.線性特性三DFS的基本性質2.位移特性k0123a)時域位移b)頻域位移三DFS的基本性質3.對稱性實序列偶對稱實序列奇對稱實序列實部為零，F[m]共軛偶對稱(虛部奇對稱)周期序列的對稱偶對稱奇對稱三DFS的基本性質4.周期卷積定理周期卷積定義離散時間Fourier變換(DTFT)DTFT的定義DTFT的性質一DTFT的定義DTFT 1)F(ejW)是連續的IDTFT 2)F(e

jW)是周期為2的周期函數F(ejW)特點：例2：解：例3：試求單位脈沖序列f[k]=d[k]的DTFT。解：二DTFT性質1.線性特性2.對稱特性當f[k]是實序列時:F(ejW)可表示為若f[k]實偶對稱，則F(e