通州區(qū)2019-2020學年第一學期高一年級期末考試數(shù)學試卷一、選擇題1?函數(shù)f（x）=log2x是（）A.（0,*8）上的增函數(shù)B.（0,*8）上的減函數(shù)C.R上的增函數(shù)D.R上的減函數(shù)【答案】A【解析】【分析】對數(shù)函數(shù)y=logx（a>0且a豐1）,定義域為（0,+8），當a>1時函數(shù)在（0,+8）上為增函數(shù).a【詳解】y二log2x的定義域為（0,+8）,又2>1,故y二log2x在（0,+8）上為增函數(shù)，故選:A【點睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的定義域以及單調(diào)性,屬于基礎題.下列函數(shù)中，既是周期函數(shù)又是偶函數(shù)的是（）A.y二logxB.y=sinxC.y=cosxD.0.5y=tanx【答案】C【解析】【分析】直接利用函數(shù)性質(zhì)判斷即可.【詳解】選項a中y=log05x不是周期函數(shù)，故排除A;選項B,D中的函數(shù)均為奇函數(shù)，故排除B,D;故選:C.【點睛】本題考查基本初等函數(shù)的周期性和奇偶性,屬于基礎題.函數(shù)f（x）=lnx+3x-4的零點所在的區(qū)間為（）

A.(0,1)A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(2,4)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)零點的判定定理可得函數(shù)f（x）的零點所在的區(qū)間.【詳解】解：；函數(shù)/（x）二lnx+3x-4在其定義域上單調(diào)遞增，/?f（2）=ln2+2x3—4=ln2+2>0，f（1）=3—4=—1<0,???f（2）f（1）<0.根據(jù)函數(shù)零點的判定定理可得函數(shù)f（x）的零點所在的區(qū)間是（1，2）,故選B.【點睛】本題考查求函數(shù)的值及函數(shù)零點的判定定理，屬于基礎題.4?在0。?360。范圍內(nèi)，與—80。角終邊相同的角是（）A.80。B.100°C.240。D.280?！敬鸢浮緿解析】分析】與—80°角終邊相同的角的集合是:QIa=k-360°—80°,keZ}，再代k=1計算即可.【詳解】與—80°角終邊相同的角的集合是:UIa=k-360°—80°,keZ},當k=1時,a=280,???在0°?360°范圍內(nèi)，與—80°角終邊相同的角是280°,故選:D.點睛】本題考查終邊相同的角的求法,考查運算求解能力,屬于基礎題.5?若角a的終邊經(jīng)過點P（—3,4），則sina等于（）A.4B.—A.4B.—34C.5D.答案】C解析】分析】

直接利用任意角的三角函數(shù)定義求解.【詳解】打角a的終邊經(jīng)過點P(-3,4),??」OP?(-3)2+42=5,?y4sina==—|OP|5故選:C.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的定義,屬于基礎題.6?將函數(shù)f(x)=sin2x的圖象向右平移嚴個單位長度得到g(x)圖象，則函數(shù)的解析式是6A.g(x)B.g(x)A.g(x)B.g(x)C.g(x)=sinf2x￡I3丿D.g(x)=sinf2xJI6丿【答案】C解析】分析】由題意利用三角函數(shù)的圖象變換原則，即可得出結(jié)論．【詳解】由題意，將函數(shù)f(x)=sin2x的圖象向右平移夕個單位長度,6兀兀可得g(x)=sin2(x一)=sin(2x一)63故選C．點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換，熟記圖像變換原則即可，屬于?？碱}型.兀.17“v=”是“sin0=”的()62B.必要不充分條件D.B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件C.充要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)0=罟和sin0=2之間能否推出的關系，得到答案.【詳解】由°=可得sin9=7；,62由sin6=—，得到0=+2￡?；?=+2￡兀,kgZ，不能得到9=,2666所以“0=1”是“sin0=1”的充分不必要條件，62故選A.【點睛】本題考查充分不必要條件的判斷，屬于簡單題.(、fsin兀x，0WxW1,/\/\/\8?已知函數(shù)f/x)=\若a，b，c互不相等，且fQ)=f(b)=f(c)，貝ylogx,x>1.L2019a+b+c的取值范圍是()A.(1,2019)B.(1,2020)C.(2,2020)d.[2,2020〕【答案】C【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，根據(jù)f(a)=f(b)=f(c)，結(jié)合函數(shù)的圖象可得a+b=1,1<c<2019,從而求出結(jié)論.結(jié)合函數(shù)圖象可知0<a<1,0<b<1,1<c<2019,且兀a+兀b=1即a+b=1,a+b+c=1+cg(2,2020),故選:C.【點睛】本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應用,解題的關鍵是作出函數(shù)圖象,利用數(shù)形結(jié)合思想答題.二、填空題9.函數(shù)f(x)二sin2x的最小正周期為【答案】兀解析】試題分析：f(x)=Asin(?x+屮)的周期為T=二T==?？键c：三角函數(shù)周期10.函數(shù)y=sinx+J3cosx的最小值是.【答案】-2【解析】【分析】運用三角函數(shù)的輔助角公式將函數(shù)解析式化簡即可得到答案.【詳解】y=sinx+\：3cosx=2sin(x+寸)，???y的最小值是-2,故答案為:-2.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)輔助角公式的應用,屬于基礎題.11.三個數(shù)1.70.3,log1.1,sinl按由小到大的順序排列0.5【答案】log1.1<sinl<1.7o.30.5【解析】【分析】利用三角函數(shù)?指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.【詳解】1.7o.3〉1.7o=1,log1.1<log1=0,sin1g(0,1),0.50.5?三個數(shù)1..7o.3,log1.1,sin1按由小到大的順序排列為:log1.1<sin1<1.7o.3,0.50.5故答案為：log1.1<sin1<1.7o.3.0.5【點睛】本題考查了運用三角函數(shù)?指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬于基礎題.12.已知函數(shù)f(x)=logx(a〉0,a豐1)在h，］上的最大值與最小值的和是2,則a的值為a【答案】2【解析】【分析】在a>1和0<a<1兩種情況下，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別確定函數(shù)y-logx的最大值和最a小值，再依據(jù)題意列式求解即可.【詳解】①當a>1時,y二Sg兀在(0,+8)上為增函數(shù)，a所以y二logx在［1,4］上最大值為log4,最小值為log1；TOC\o"1-5"\h\zaaa②當0<a<1,時,y二logx在(0,+8)上為減函數(shù)，a所以y二logx在［1,4］上最大值為】og1,最小值為log4.aaa故有l(wèi)og1+log4=2,即log4二2,解得a=±2,aaa又a>0,所以a=2,故答案為:2.【點睛】本題考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及指數(shù)對數(shù)運算,難度不大.解決此類問題時,注意對底數(shù)a進行分情況討論.13.能說明“若f(X)是奇函數(shù)，則f(x)的圖象一定過原點”是假命題的函數(shù)是f(x)=1【答案】x【解析】【分析】找出一個不過原點的奇函數(shù)即可.【詳解】依題意,所求函數(shù)只需滿足是奇函數(shù),同時不過原點即可,1顯然，函數(shù)f(X)=—滿足條件.x1故答案為:一?x【點睛】本題考查命題及函數(shù)的奇偶性,熟悉常見函數(shù)的性質(zhì)是解題關鍵,屬于基礎題.14.已知函數(shù)y=a+COS?x，xw［—兀,兀］(其中，a，①為常數(shù)，且?>0)有且僅有3個零點，則a的值為，①的取值范圍是?【答案】(1).-1(2).［2,4)【解析】【分析】函數(shù)y=a+cos?x在［-冗,兀］上為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知x=0必為函數(shù)的一個零點,由此求得a=-1,再根據(jù)三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，求得?的取值范圍.【詳解】函數(shù)y=a+cos°x在［-冗,兀］上為偶函數(shù)，且函數(shù)有且僅有3個零點，故必有一個零點為x=0,/.a+cos0=0,a=—1;所以函數(shù)y=cos°X-1,xG［一兀,兀］的零點個數(shù)，等價于函數(shù)y=cos°x與直線y=1的圖象在［-冗,兀］上交點的個數(shù)，1而函數(shù)y=cos°x相當于函數(shù)y=cosx縱坐標不變，橫坐標擴大(或縮小)為原來的一(°>0)°倍,當°=1時，函數(shù)y=cosx與直線y=1在［-冗,兀］上僅有一個交點，則°>1；當°=2時，函數(shù)y=cos2x與直線y=1在［-兀,兀］上恰有3個零點，如下圖所示，故°2；當°=4時，函數(shù)y=cos2%與直線y=1在［-兀,兀］上恰有5個零點，如下圖所示，故°<4；綜上所述,°的取值范圍是［2,4).故答案為:-1；［2，4).【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想及邏輯推理能力，屬于中檔題.三、解答題15.已知函數(shù)f(x)=x2-2x-3.設集合A={xIf(x)>0},B={x1/(x)=0},C={xI/(x)<0},分別指出2,3,4是A,B,C中哪個集合的元素；若3aeR,*x、xwk,+a),當x<x時，都有f(x)vf(x)，求實數(shù)a的取值范圍.121212【答案(I)2C,3eB,4eA；(II)^a\a>1}【解析】G【分析】(I)根據(jù)題意，求出x2-2x-3>0的解集，即可得集合A、B、C,據(jù)此分析可得答案；(II)根據(jù)題意可知函數(shù)f(x)在［a+8)上單調(diào)遞增,再結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案.【詳解】(I)函數(shù)f(x)=x2-2x-3,若x2-2x-3>0,解得x>3或x<-1,則A二{xIx>3或x<-1},B={xIx=-1或3},C={xI-1<x<3}；所以2C,3eB,4eA；(II)因為二次函數(shù)f(x)=x2-2x—3的圖象是開口朝上的拋物線，且對稱軸是x=1,所以f(x)在(-8,1)上單調(diào)遞減，在［1，+X)上單調(diào)遞增，因為3aeR,Vx,xe［a,+x),當x<x時，都有f(x)<f(x),121212所以函數(shù)f(x)在［a，+8)上單調(diào)遞增，【點睛】本題考查集合,考查二次函數(shù)的性質(zhì)應用,涉及一元二次不等式的解法,難度不大.16.已知函數(shù)f(x)=log(1+x)+log(1-x)(a>0,a土1),aa求函數(shù)f(x)的定義域；若f(0?5)~0?42，求f(—0.5)的值(精確到0.01).【答案(I)(-1,1)；(I)0.42

【解析】【分析】(I)由函數(shù)f(x)的解析式，列出使解析式有意義的不等式組，求出解集即可;(II)利用定義法判斷出f(x)為偶函數(shù)，進而求出/(-0.5)的值.【詳解】(I)函數(shù)f(x)=log(1+x)+log(1—x)(a>0,a豐1),aafl+x>0則有1懈得—1<x<1,[1—x>0即函數(shù)f(x)的定義域是(-1,1);(H)因為f(x)的定義域是(-1,1)，關于原點對稱，且f(一x)=log「1+(—x)]+log「1—(—x)]=log(1—x)+log(1+x)=f(x),aaaa所以f(x)是偶函數(shù)，所以f(—0.5)=f(0.5)u0.42.【點睛】本題考查了求函數(shù)的定義域和計算函數(shù)值的問題,屬于基礎題..317?已知a是第二象限角，且sma=5,(I)求tana的值；兀(H)求cos2a+cos(a+―)值.厶38【答案(I)一4；(H)一25的解析】分析】(I)由題意利用同角三角函數(shù)的基本關系，求得tana的值;冗(I)由題意利用二倍角公式誘導公式，求出cos2a+cos(a+-)的值..3【詳解】(I)因為a是第二象限角，且sma=5,所以cosa=所以cosa=—甘1—sin2a=——5所以tana=所以tana=sinacosa34；TOC\o"1-5"\h\z兀1838(II)cos2a+cos(a+—)=1-2sm2a-sma=1-一一=一-25525點睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系以及二倍角公式?誘導公式的應用,屬于基礎題.兀兀18?已知函數(shù)f(x)=2sin(?x+申)(w>0,--<^<-)的部分圖象如圖所示.求3求3,9的值；求函數(shù)f(x)在［o,兀］上的單調(diào)區(qū)間；若對任意x，xw［o，兀］都有1f(x)―f(x)|<m，求實數(shù)m的取值范圍.1212答案(I)3=2，兀答案(I)3=2，兀9=-氏；5)單調(diào)遞增區(qū)間為C兀0,3，單調(diào)遞減區(qū)間(兀5兀為匕日；(I"{m|m>4}?9【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的部分圖象求出T、3和申的值；由(I)寫出函數(shù)f(x)的解析式，再求函數(shù)在xe［0,兀］上的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間；由(II)求出函數(shù)f(x)在［0,兀］的最大值和最小值，得出1f(xi)-f(x2)|的最大值，從而求得m的取值范圍.【詳解】(I)設函數(shù)f(x)最小正周期為T,12丿12丿3兀=丁，所以T=兀,”匸、2兀2兀又T=U,3>°,所以3=—=2;(兀、(兀、因為當xg[o,^]時,2x6兀11兀3丿又f—=2,所以sin—+3丿丿TOC\o"1-5"\h\z兀兀兀2兀7兀因為—77<*<牙，所以三<—廠+申<,226362兀兀兀所以~+申即申=—；326(II)由([)知,f(x)兀兀,,,,,即xe0,—L62」L3」時,f(x)單調(diào)遞增;c兀所以當2x-6G當2x--G當6(兀3兀(兀5當2x--G當6(兀3兀(兀5?！?36時,f(x)單調(diào)遞減;當2x—-G當6，即xG所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為c兀(5兀(兀5兀和，冗V6」，單調(diào)遞減區(qū)間為［*」兀時,f(x)單調(diào)遞增.9(III)由(II)可知，函數(shù)f(x)在［°，兀］的最大值為f［vV3丿=2，最小值為f=—2所以對任意x1,x2e[o,n],都有If(x1)—f(x?)l<l2—(—2)1=4,且當x=,x=時」f(叫)—f(x2)1取到最大值4,132612又因為對任意x,xe[0,兀],都有If(x)—f(x)l<m成立,1212所以m>4,即m的取值范圍是^m\m>4》【點睛】本題考查了三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的應用問題,也考查了運算求解能力,屬于中檔題.19.下表為北京市居民用水階梯水價表(單位：元/立方米).階梯戶年用水量(立方米)水價其中自來水費水資源費污水處理費

第一階梯0-180第一階梯0-180(含)5.00第二階梯181-260(含)7.00第三階梯260以上9.002.071.571.364.076.07（I）試寫出水費y（元）與用水量x（立方米）之間的函數(shù)關系式；（II）若某戶居民年交水費1040元，求其中自來水費、水資源費及污水處理費各是多少?5x,0<x<180【答案】(I)y=<7(x-180)+900,180<x<260；(II)自來水費為454(元)，水資源9(x-260)+1460,x>260費為314（元），污水處理費272（元）【解析】【分析】（I）根據(jù)北京市居民用水階梯水價表（單位:元/立方米）,直接求出水費y（元）與用水量x（立方米）之間的函數(shù)關系式即可;（II）因為函數(shù)y二f（x）在各區(qū)間段為單調(diào)遞增函數(shù)，因此可得180<x260,再令1040=7（x-180）+900,即可解出x，從而求出對應的自來水費水資源費及污水處理費.【詳解】（I）由北京市居民用水階梯水價表（單位:元/立方米）得到水費y（元）與用水量x（立方米）之間的函數(shù)關系式為:y=］7(x-180)+900,180<y=］7(x-180)+900,180<x<260;9(x-260)+1460,x>260(I)由于函數(shù)y=/(x)在各區(qū)間段為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當xe(0,180］時,y<f(180)=900<1040,當xe(180,260］時,900<y<f(260)=1460>1040,所以180<x<260,令1040=7(x-180)+900，解得x=200,即該用戶當年用水量為200立方米,自來水費為2.07x180+4.07x20=454(元)，水資源費為1.57x200=314(元)，污水處理費1.36x200=272(元).【點睛】本題考查分段函數(shù)表達式的求法及其實際應用，考查運算求解能力和應用意識，難度不大.20?如圖，半圓的直徑AB=2,O為圓心，C,D為半圓上的點.請你為C點確定位置，使AABC的周長最大，并說明理由；已知AD=DC，設ZABD=9，當0為何值時，四邊形ABCD的周長最大，最大值是多少？四邊形ABCD的面積最大，最大值是多少？兀?！敬鸢?I)點C是半圓的中點，理由見解析；(II)(i)0=時，最大值5(u)0=-663爲時，最大面積是-4【解析】【分析】設BC=a,AC=b,AB=c,法一：依題意有a2+b2=c2,再利用基本不等式求得a+bGc,從而得出結(jié)論;法二：由點C在半圓上，AB是直徑,利用三角函數(shù)求出a=殳cosa,b=c-sina,再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)論；(i)利用三角函數(shù)值表示四邊形ABCD的周長P，再求P的最大值;(ii)利用三角函數(shù)值表示出四邊形ABCD的面積s，再結(jié)合基本不等式求s的最大值.【詳解】(I)點C在半圓中點位置時,^ABC周長最大?理由如下：法一:因為點C在半圓上，且AB是圓的直徑，兀所以ZACB=-，即AABC是直角三角形，設BC=a,AC=b,AB=c,顯然a,b,c均為正數(shù)，則a2+b2=c2,因為a2+b2>2ab，當且僅當a=b時等號成立,所以2(a2+b2)>a2+b2+2ab=(a+b')2,所以AABC的周長為a+b+c<所以a+b^.'2(a2+b2)=\2c,C2+1)c=2所以AABC的周長為a+b+c<即AABC為等腰直角三角形時，周長取得最大值,此時點C是半圓的中點.法二:因為點C在半圓上，且AB是圓的直徑，兀所以ZACB=-，即AABC是直角三角形，AOAOB兀1設BC=a，AC=b，AB=c，ZABC=a0<a<—，k2/r/