20094月自考線性代數（經管類）試題詳解考題在各章中的分—二三四五六說明：在本卷中，ATA的轉置矩陣，A*A的伴隨矩陣，E表示單位矩陣，|A|A的行列式，r（A）A的鐵。一、單項選擇題（10220分1.3階行列式中元素a21的代 式A21=（ 【答疑32060101 測試點:【答疑32060102解:方 是 經過兩次初等行變換得到的根據初等方陣的功能：用初等方陣左（右）AA做相應的初等行（列）變換.B=P1P2A，所以設n階可逆矩陣A,B,C滿足ABC=E，則B- 測試點:（1）關于nA,BnAB=EA,BA-1=B,B-（2）A為nnBAB=BA=EAB為A的【答疑32060103B（CA=E答案設3階矩陣，則A2的秩為（（2）（3）【答疑32060104答案設是一個4維向量組，若已知可以表為的線性組合，且表示法惟一，則向量組 （2）【答疑32060105設，由可以表為 于是有， 線性無關.又可以表 的線性組合，所 為向量的一個極大無關組，故向量組的秩為答案設向量組線性相關，則向量組中（測試點:向量組線性相關的充分必要條件是必有一個向量可以表為其余向量的線性組合【答疑32060106】擴展:設是齊次線性方程組Ax＝0的一個基礎解系，則下列解向量組中，可以作為該方程組基礎解系的 （1）:n－r（A（3）n－r（A（個線性無關的解都是該齊次方程組的基礎解系；2.齊次方程組解的性質3.由【答疑32060107解:因為是齊次線性方程組Ax=0的一個基礎解系，故齊次線性方程組Ax=0的基礎解系含3個解，所Ax=0Ax=0的基礎解系.Ax=0A,B,C,DAx=0Ax=0的基礎解系，只要看哪個線性無關.A,CD中三個向量之和=0，故DB.答案若2階矩陣A相似于矩陣，E為2階單位矩陣，則與矩陣E—A相似的矩陣是 測試點:相似矩陣的概念；相似矩陣的性質（若A與B相似，則 ；【答疑32060108解1:，故E—B的特征值 .因為A與B相似，故E—E—BE—A相似的矩陣的特征值都是-1,4A,B,C,D因為二階方陣E—A有兩個不同的特征值故E—A與對角陣相似同理也與對角陣相似，故E—A與相似.答案設實對稱矩陣，則3元二次 的規范形為（（1）【答 32060109答案故A的三個特征值為 ，故為二次型 3A=（aij）A的正慣性指數為（ 測試點:元二次型（）正定的充分必要條件是其正慣性指數=；各階順序主子式都大于零；矩陣【答疑32060201】擴展:二次型的正慣性指數n元二次型正（負）定它的正（負）慣性指數n元二次型半正（負）定它的負（正）慣性指數n元二次型不定它的正，負慣性指數都大于例1：若實對稱矩 為正定矩陣，則a的取值應滿足【答疑32060202答案：判斷該二次型的正定性【答疑32060203】二、填空題（10220分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無3階行列式【答疑32060204設3階行列式D3的第2列元素分別為1，-2，3對應的代數式分別為-3，2，1，則 測試點：行列式按一行（列）【答疑32060205解：例：設3階行列式D3的第2列元素分別為1,-2,3，而第一列元素的代數式為2,x,-6，則 【答疑32060206設3階行列式D3的第2列元素分別為1，-2，3，而第一列元素的式為2，x，-6，則 【答疑320602076，【答疑3206020814.設A為2階矩陣，將A的第2列的（-2）倍加到第1列得到矩陣B.若，則A＝【答疑32060209測試點:【答疑32060210測試點:【答疑32060211一個向量α線性相關兩個向量α，β線性相關它們的分量成比（3）n個n維向量α1,α2,…,αn線性相關它們構成的行列式已知是 齊次線性方程組Ax＝b的兩個解向量則對應齊次線性方程組＝0有一個非零解向量32060212設2階實對稱矩陣A的特征值為1,2，它們對應的特征向量分別 則數測試點：實對稱矩陣的性質:【答疑32060213A，PP-1AP為對角陣.3A0,-2,3BA相似，則n階方陣A的行列式與A的特征值的關系|A|＝λ1λ2…λn矩陣A的特征多項式： 矩陣A的特征值為特征多項式的根，設三階方陣A的三個特征值為λ1,λ2,λ3，則方陣A【答疑320602141:B與ABAB0,-2,3，B+E1,-1.4，故|B+E|＝1×（-1）×4＝-4解法2:因為矩陣B與A相似，故，又因為3階矩陣A的特征值為0,-2,3，故其特征多項式，所以B的特征多項式 的矩陣 測試點:【答疑32060215三、計算題（6954分已知3階行列式中元素a12的代數 式A12=8，求元素a12的代數 測試點:行列式中元素aij的代數式的概念【答疑32060216解:因為3階行列式中元素a12的代數式A12=8，即-4x＝8，故x＝-2，所以元素a21的代數測試點:【答疑32060217擴展:【答疑32060218求向量 的一個極大無關組，將向量組中的其余向量用該極大無關組線性表出測試點:【答疑32060219擴展:求向量組的秩的方法；構造矩陣，對A作初等變換，將A化成階梯形，其非零行構造矩陣，注意：這里必須是列向量AA化成行最簡形（當只要求一個極大無關組時，只化成階梯形即可）A化成行最簡形.3a測試點:【答疑32060301所 為該齊次方程組的基礎解系，其通解α，βAx＝0C1α＋C2βAx＝0的解（C1，C2為任意常數（1）設η1,η2都是Ax＝b的解，則當時，也是Ax＝0的解設η是Ax＝b的一個解，是它的導出組Ax＝0的解,則是Ax＝b的解Ax＝0r（A）＜特別，n個未知數，n個方程的齊次方程組有非零解的充分必要條件是它的系數行列式＝0；線性方程組的：線性方程組Ax＝0有解ó系數矩陣與增廣矩陣有相等的秩（線性方程組Ax＝b無解r（A,b）＞r（Ar（A,b）＝r（A）＝n（n為未知數的個數Ax＝b有惟一的解；r（A,b）＝r（A）＜n（n為未知數的個數Ax＝b有無窮多解.n－r（An－r（A）個線性無關的解都構成它的一個基礎解系.齊次方程組的通解：設是齊次方程組的基礎解系，則為其通解非齊次線性方程組的通解：設η是Ax＝b的一個解，是齊次方程組的基礎解系.則Ax＝b的通解.寫出Ax＝b的增廣矩陣確定未知數，求出Ax＝b的一個特解和它的導出組的通解從而寫出Ax＝b的通解1β1,β2Ax＝b的兩個不同的解，α1,α2Ax＝0C2Ax＝b的通解可以表為（【答疑32