數(shù)學課程中“人為規(guī)定〞的思想性〔〕:

摘要：數(shù)學課程內容中所蘊含的思想是無數(shù)前人大師在數(shù)學研究理論中產生的無數(shù)想法凝練出來的，具有多樣性、復雜性和隱蔽性。數(shù)學課程中"人為規(guī)定";的內容，具有較強的主觀性，其中蘊含著豐富的思想。可以概括為確定性、統(tǒng)一性、繼承性和多元化。在數(shù)學課程中挖掘這樣的思想性內容，并融入學生的數(shù)學學習活動中，讓學生經歷對人為規(guī)定內容的創(chuàng)造與解釋活動，一方面可以豐富數(shù)學課程的人文性，同時有益于數(shù)學學習中的深化考慮。

關鍵詞：人為規(guī)定；數(shù)學思想；確定性；統(tǒng)一性；繼承性；多元化

數(shù)學課程中有一些內容是對客觀規(guī)律的描繪，比方，"平面上任意三角形的三個內角之和等于１８０度";，描繪的是不同三角形的共性特征；勾股定理表達出任意直角三角形三邊之間的關系。這類知識的特點是具有較強的客觀性，不依人的主觀意志為轉移。學生學習這類知識的核心活動是"發(fā)現(xiàn)";。［１］

除此之外，還有一類主觀性較強的內容，是長期以來由于某種主觀因素而人為規(guī)定的。比方：在除法運算的內容中有"除數(shù)不能為零";以及"余數(shù)要比除數(shù)小";的規(guī)定，在初中和高中函數(shù)定義中有"唯一確定";的規(guī)定，在高中有關指數(shù)函數(shù)內容中有"底數(shù)大于零";的規(guī)定。諸如此類的人為規(guī)定是長期以來隨著數(shù)學研究的開展，人們逐步形成的統(tǒng)一認識，其中蘊含著人的意愿、情感和思維等思想性內容。在數(shù)學課程中挖掘并歸納這樣的思想，并融入學生的學習活動中，讓學生經歷對人為規(guī)定內容的創(chuàng)造與解釋活動，一方面可以豐富數(shù)學課程的人文性，同時可以讓學生經歷"為什么這樣規(guī)定";的考慮過程，有益于數(shù)學學習中的深化考慮。

一、確定性

"確定性";是相對于"隨機性";而言的，隨機性現(xiàn)象或對象具有隨意性，人難以把握、預見和判斷，因此確定性就成為人主觀上的追求目的。張景中院士在?感受小學數(shù)學思想的力量寫給小學數(shù)學教師們?一文中指出："在數(shù)學里，數(shù)量之間確實定性關系叫作函數(shù)關系。";［２］這樣確實定性關系在函數(shù)定義中表現(xiàn)為隨著自變量確實定，因變量要存在，并且唯一確定。因此，函數(shù)關系確實定性表現(xiàn)為函數(shù)值的"存在性";和"唯一性";。這樣確實定性使得根本的因果推理"假設ｘ１＝ｘ２，那么ｆ〔ｘ１〕＝ｆ〔ｘ２〕";可以實現(xiàn)。

作為人的主觀意愿，確定性首先是為了迎合數(shù)學自身邏輯關系的需要。比方，在自然數(shù)范圍內的除法運算，假設沒有"余數(shù)要比除數(shù)小";的規(guī)定，就會出現(xiàn)運算結果多樣的現(xiàn)象，給以此為根底的推理帶來費事。

在小學五年級"質數(shù)與合數(shù)";的課程內容中規(guī)定：１既不是質數(shù)，也不是合數(shù)。自然的疑問是：為什么不能把１歸為質數(shù)？事實上，人最初的想法是把全體自然數(shù)分為兩類：一類是不能再分的數(shù)，叫作質數(shù)；另一類是可以再分的數(shù)，叫作合數(shù)。１也是不能再分的數(shù)，當然應當是質數(shù)。１９世紀之前歐洲出版的許多數(shù)學教科書中都是把數(shù)字１當作質數(shù)的。圖１是當時列出的１００以內的全部質數(shù)，其中１是１００以內的第一個質數(shù)。［３］

后來逐步發(fā)現(xiàn)，將一個合數(shù)分解為質數(shù)乘積的形式是許多推理的根底，這個分解的過程在如今的小學數(shù)學課程中叫作分解質因數(shù)。作為推理的根底，自然希望這個分解的形式唯一確定。比方，１００分解質因數(shù)的形式為：１００＝２２x５２。其中出現(xiàn)的質數(shù)以及一樣質數(shù)的個數(shù)，都是確定不變的，使得１００質因數(shù)分解的形式具有唯一性，因此也就具有了確定性。假設１是質數(shù)，這種確定性就無法滿足，比方１００還可以分解為１００＝２２x５２x１３。

將１剔除出質數(shù)，并不符合人的初衷，是基于對確定性的主觀愿望不得已而為之的。數(shù)學課程中諸如除數(shù)〔分母〕不能為０，算術平方根與絕對值，反三角函數(shù)的主值區(qū)間，極限〔級數(shù)〕的收斂，向量運算沒有除法等人為規(guī)定的內容，都與這種確定性思想有關。運用確定性思想可以解釋許多"為什么這樣規(guī)定";的問題。

確定性作為人的主觀意愿，也是順應客觀規(guī)律的。比方，對于物體運動的實際問題，經常需要描繪"時間";和"速度";的關系。把時間作為自變量，對應的速度作為因變量的函數(shù)關系，表達的是時刻一旦確定，對應時刻的速度就隨之確定。換言之，對同一物體來說，"一樣時刻，不同速度";的現(xiàn)象是不可能出現(xiàn)的。

二、統(tǒng)一性

數(shù)學體系的構建追求形式的統(tǒng)一，常常需要運用辯證法中對立統(tǒng)一的思想。任何對象的存在，都伴隨著對立的一方的并存，而且對立的雙方在一定條件下是可以互相轉化的。在數(shù)學課程內容中，將處于對立狀態(tài)的對象納入同一個系統(tǒng)之中，使之成為同一個系統(tǒng)中的不同狀態(tài)，就表達了這種對立統(tǒng)一的思想。

比方，小學數(shù)學課程中乘法運算的意思是"一樣加數(shù)求和";，就是說至少應當是兩個或者兩個以上的一樣加數(shù)相加，才會出現(xiàn)乘法運算。按照這樣的理解，１x１以及０x０等算式就是沒有意義的，因為"一樣加數(shù)相加";的過程根本沒有發(fā)生，對應的"一樣加數(shù)求和";的加法算式也無法寫出。出于對乘法系統(tǒng)完好、統(tǒng)一的意愿，需要將１x１以及０x０等特殊情況納入到乘法運算體系中，因此作出相應的人為規(guī)定：１乘任何數(shù)的結果還是這個數(shù)；０乘任何數(shù)的結果都是０。

人為規(guī)定的結論通常有兩個方面的來源，其一是符合人的直覺，其二是符合相應的規(guī)律或規(guī)那么。比方，為什么規(guī)定"１乘任何數(shù)的結果還是這個數(shù)";？對于２x１，除了直覺上表示"１個２";或者"２個１相加";，結果應當?shù)扔冢玻匾脑蚴且线\算律。比方，假設把數(shù)字１看作４－３的結果，那么就可以運用分配律對２x１進展如下的計算：

２x１＝２x〔４－３〕＝２x４－２x３＝２。

說明規(guī)定"２x１＝２";不僅符合直覺，也不違犯乘法對加、減法的分配律。在初中數(shù)學課程中，表示一樣因數(shù)相乘的指數(shù)與冪的運算中，也有類似情況。比方４３表示一樣因數(shù)相乘４x４x４，那么４１和４０是什么意思？為了實現(xiàn)乘方運算系統(tǒng)的統(tǒng)一，就需要對這樣的特例規(guī)定相應的取值。規(guī)定４１＝４，無論從直覺還是運算規(guī)律看都是合理的。

對于４０如何規(guī)定其取值，從"一樣因數(shù)相乘";的意義上看，這個表達式表示的是"沒有４相乘";，類似于"４x０＝０";表示"沒有４相加";，因此直覺上看應當規(guī)定４０＝０。假設把指數(shù)０看作是２－２的結果，運用運算規(guī)律計算卻得到了不同的結果：

當出現(xiàn)這種直覺與運算規(guī)律不一致的現(xiàn)象時，自然應當遵從運算規(guī)律進展規(guī)定，使得人為規(guī)定可以與相關的運算規(guī)律無矛盾。因此，就有了４０＝１這樣的人為規(guī)定。在高中數(shù)學課程中關于階乘運算也有類似的規(guī)定：１！＝１以及０！＝１。

我國數(shù)學課程與教學歷來有浸透辯證唯物主義思想的傳統(tǒng)，統(tǒng)一性的思想與方法可以視為辯證唯物主義對立統(tǒng)一規(guī)律的表達。將其融入數(shù)學課程與教學，也是對數(shù)學教育外鄉(xiāng)化優(yōu)秀傳統(tǒng)的繼承。

三、繼承性

１９９５年７月，荷蘭出版的?數(shù)學中的教育研究?①刊發(fā)了一篇研究以色列高中數(shù)學教師本體性知識的文章，其中有一個如何對待分數(shù)指數(shù)冪〔－８〕３的測試題。調查結果顯示，大局部被試教師都認為表達式〔－８〕３的含義是唯一確定的，可以確定其結果為〔－８〕３＝－２。文章作者認為這樣的答復是不完善的，理由是假設運用不同的方法變形，會出現(xiàn)兩個不同的結果。

英國１９世紀數(shù)學家喬治-皮克科〔ＧｅｏｒｇｅＰｅａｃｏｃｋ，１７９１－１８５８〕于１８３０年在劍橋大學出版社出版的?論代數(shù)?前言中，提出一個從算術到代數(shù)拓展的"同形繼承原理";②，意在研究從算術到代數(shù)的拓展過程中，如何將算術中的運算規(guī)律和法那么繼承于意義更為廣泛的代數(shù)運算的問題。算術中的運算規(guī)律一般適用于自然數(shù)范圍，代數(shù)中符號所代表的對象會超越出自然數(shù)范圍，此時要遵循的原那么是盡可能讓算術中的規(guī)律從形式〔ｆｏｒｍ〕到取值〔ｖａｌｕｅ〕在代數(shù)中都保持一致。關于〔－８〕３的討論，本質是算術中的分數(shù)根本性質能否同形繼承到底數(shù)為負數(shù)的有理數(shù)指數(shù)冪的運算中。

從函數(shù)的視角看，將分數(shù)根本性質和乘法交換律應用于冪函數(shù)的指數(shù)，可以得到三個冪函數(shù)和ｙ＝〔ｘ６〕。

因此，在算術中所熟悉的運算規(guī)律，在指數(shù)以及指數(shù)冪的運算中并不總是適用。同形繼承原理只有在底數(shù)為正數(shù)時才能實現(xiàn)，這也就是對于有理數(shù)指數(shù)冪和指數(shù)函數(shù)ｙ＝ａｘ，為什么需要規(guī)定底數(shù)ａ＞０的道理。

２０１７年公布的?普通高中數(shù)學課程標準〔２０１７年版〕?將有理數(shù)指數(shù)冪以及實數(shù)指數(shù)冪安排在"指數(shù)函數(shù)";課程內容中，詳細要求是"理解指數(shù)的拓展過程，";［７］同形繼承原理及其施行應當成為其中拓展過程的重要內容。

從算術到代數(shù)的同形繼承原理，表現(xiàn)出人們的拓展過程始于自然數(shù)，逐步經歷增加零和負整數(shù)到整數(shù)，進一步增加分數(shù)到有理數(shù)，增加無理數(shù)到實數(shù)，增加虛數(shù)到復數(shù)的過程。在這樣的拓展過程中，無論是數(shù)學家還是學習者，都有實現(xiàn)繼承性的主觀愿望，而在拓展過程中出現(xiàn)的邏輯矛盾，使得人不得不通過增加限制條件，或作出新的規(guī)定等方法躲避矛盾。

主觀的限制條件和人為規(guī)定具有多樣性，不同的人會增加不同的限制條件，或作出不同的規(guī)定。因此，針對如何理解〔－８〕３所出現(xiàn)的不同意見是很正常的。假設期望學生在數(shù)學學習過程中理解這樣的過程，感悟繼承性思想，就需要在數(shù)學課程以及教學中融入此類內容。

四、多元化

人為規(guī)定內容的主觀性決定了其多元化的特點，這一特點首先表現(xiàn)為因人而異的差異性。比方，對于自然數(shù)范圍內的除法運算，人為規(guī)定"余數(shù)要比除數(shù)小";，此時對于類似于６÷２這樣整除的情況，就是余數(shù)為零，利用豎式算法就可以得到６÷２＝３。

這樣的規(guī)定并不是不可改變的。如規(guī)定"余數(shù)不能為零";，也就是在帶余除式ａ÷ｂ＝ｑｒ或ａ＝ｂｑ＋ｒ中，將限制條件０l(fā)e;ｒ＜ｂ改變?yōu)椋埃迹騦e;ｂ。這樣６÷２的豎式算法就改變成商為無限循環(huán)小數(shù)的形式：

由此得到６÷２＝２．９，進而說明２．９＝３，這也可以成為證明０．９＝１的一種方法。隨著數(shù)系的擴大，余數(shù)也經常以負數(shù)的形式出現(xiàn)，比方７÷２也可以認為是商為４，余數(shù)為－１。凡此都說明人為規(guī)定的內容往往具有"可以這樣，還可以那樣";的差異性，這種差異性給人帶來的是可能性的選擇。數(shù)學課程與教學應當讓學生有時機感受這樣的差異，經歷對于可能性的選擇過程。人為規(guī)定內容多元化的另一種表現(xiàn)形式是與時俱進的開展性。在數(shù)學開展歷史中，當負數(shù)引入有理數(shù)中時，為了繼承自然數(shù)中的運算規(guī)律，一個關鍵問題是如何規(guī)定負數(shù)與負數(shù)相乘的符號。

在自然數(shù)運算中，可以把１x１＝１看作"一個１等于１";，類似地可以把－１x１看作"一個－１等于－１";，因此規(guī)定〔－１〕x１＝－１。但如何規(guī)定〔－１〕x〔－１〕就成為當時的難題。歐拉用排除的方法解釋："因為它一定是＋１和－１之一，但它不能是－１，因為〔－１〕x１＝－１。";對于規(guī)定〔－１〕x〔－１〕＝＋１真正有說服力的解釋是，為了繼承自然數(shù)運算中的分配律。［８］因為假設〔－１〕x〔－１〕＝－１，那么運用分配律計算，就會出現(xiàn)０＝〔－１〕x〔１－１〕＝－２的悖論。

在滿足了繼承運算律的根底上，人們進一步尋務實際應用中對于"負負得正";的解釋。［９］在行程問題中，最常見的量是速度和時間。假設一輛汽車以每小時４０ｋｍ的速度，自西向東行駛〔參見圖３〕，到達Ｏ地后繼續(xù)行駛２小時，此時汽車位于Ｏ地東側〔４０ｋｍx２＝〕８０ｋｍ處的Ａ地。假設汽車行駛到Ｏ地后調轉方向向西行駛，２小時后汽車位于Ｏ點西側８０千米處的Ｂ地，可以表示為：〔－４０ｋｍ〕x２＝－８０ｋｍ。

假設把汽車到達Ｏ地前２小時用"－２小時";表示，那么算式〔－４０ｋｍ〕x〔－２小時〕就可以理解為汽車自東向西行駛２小時后到達Ｏ點，出發(fā)前汽車自然應當位于Ｏ點東側８０ｋｍ處的Ａ地。也就是〔－４０ｋｍ〕x〔－２小時〕＝８０ｋｍ。

因此，規(guī)定"負負得正";是與客觀實際相符合的。有了坐標系和復數(shù)概念后，〔－１〕x〔－１〕可以進一步理解為平面上點的運動。將〔－１〕x〔－１〕改寫為〔－１〕x〔ｃｏｓ１８０°＋ｉｓｉｎ１８０°〕，這就意味著是把實數(shù)軸的點〔－１，０〕沿逆時針方向旋轉１８０°，其結果當然是〔＋１，０〕，因此〔－１〕x〔－１〕＝＋１。這個過程本質上也可以成為著名的歐拉公式ｅｉpi;＝－１的直觀解釋。

綜上，隨著人的認識的拓展，對于許多人為規(guī)定的認識不斷深化，解釋的思路逐步多樣，凡此表達多元化思想的內容應當適時、適量地融入數(shù)學學習活動中。

注重在數(shù)學課程與教學中浸透數(shù)學思想是我國數(shù)學教育的傳統(tǒng)，?義務教育數(shù)學課程標準〔２０１１年版〕?更是把"根本思想";列入了數(shù)學課程總目的。實現(xiàn)這樣的目的并非易事，假設把數(shù)學思想理解為無數(shù)前人大師在數(shù)學研究理論中產生的無數(shù)想法的總和，那么數(shù)學思想就具有多樣性、復雜性和隱蔽性，浸透在數(shù)學課程內容的方方面面，需要點點滴滴地挖掘、歸納和積累。

參考文獻：

［１］郜舒竹．"探究規(guī)律";釋義［Ｊ］．課程-教材-教法，２０１５，３５〔１〕：１０２－１０７．

［２］張景中．感受小學數(shù)學思想的力量寫給小學數(shù)學教師們［Ｊ］．人民教育，２００７〔１８〕：３２－３５．

［３］ＢＡｒｎｅｔｔ．Ｒｕｌｅｓａｎｄｆｏｒｍｕｌａｅｉｎｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ