數學篇——數列講解數學篇——數列講解26/26數學篇——數列講解標準文檔第五章數列學習要求：認識數列和其通項公式、前n項和的看法理解等差數列、等差中項的看法，會用等差數列的通項公式、前n項和公式解決有關問題.理解等比數列、等比中項的看法，會用等比數列的通項公式、前n項和公式解決有關問題.一、數列的看法定義依照必然序次排列的一列數，數列里的每一個數叫做這個數列的項，各項依次叫做這個數列的第一項，第二項，，第n項，，第一項也叫首項.一般地，常用a1，a2，a3，an來表示數列，其中an是數列的第n項，又合用文案標準文檔叫做數列的通項.數列記為an比方,數列1,3,5,7,2n1,第1項是1，第2項是3，第3項是5，，第n項是2n1，數列記作2n1數列的通項公式數列an的第n項an與項數n之間的關系，若是可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的通項公式.比方，數列1,3,5,7,2n1,通項公式是an2n1.數列的前n項和對于數列a1,a2,a3,,an稱a1a2a3an合用文案標準文檔為這個數列的前n項和，記作Sn.即Sna1a2a3an數列an的an與Sn的關系a1S1,anSnSn1(n2)例1已知數列an的前n項和Sn3n22n，求數列an的通項公式an剖析:由Sn3n22n得Sn13(n1)22(n1)3n28n5因此，當n2時anSS3n22n(3n28n5)6n5nn1當n1,a1S1312211,滿足公式an6n5因此數列的通項公式為an6n5歷年試題2014年試題）2.已知數列a的前n項和Sn22n，求nn（I）a的前三項；n合用文案標準文檔II）數列an的通項公式剖析：（I）a1S112211a2S2S12222(1)1a3S3S23223(2222)3（II）當n2,anSnSn1n22n[(n1)22(n1)]2n3當n1時a11,滿足an2n3因此數列的通項公式為an23n2007年試題）已知數列an前n項和Snn(2n1)I）求該數列的通項公式；II）判斷39是該數列的第幾項.解:（I）當n2,anSnSn12n2n2(n1)2(n1)4n1當n1時a13,滿足an4n1因此數列的通項公式為an4n1設39是該數列的第n項，則394n1,n10，即39是該數列的第10合用文案標準文檔項二、等差數列等差數列的定義若是一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于一個常數，這個數列就叫等差數列，這個常數叫做公差，記為d，即anan1等差數列的一般形式為a1,a1d,a12d,,a1(n1)d,等差數列的通項公式設an是首項為a1，公差為d的等差數列，則這個數列的通項公式為ana1(n1)d合用文案標準文檔等差數列的前n項和公式設an是首項為a1，公差為d的等差數列，Sn為其前n項和，則S(a1an)nn2或Snna11n(n1)d2等差中項若是A,B,C稱等差數列，B就稱為A與C的等差中項，則B

AC2注：一般證明一個數列是等差數列時，經常是按它們的定義證明an1and為常量等差數列的性質合用文案標準文檔1）在等差數列中，間隔相同抽出的項來依照原來的序次組成新的數列仍是等差數列.對于等差數列a1,a2,a3,,an數列a1,a3,a5,,a2n1也是等差數列，數列a2,a4,a6,,a2n也是等差數列數列a1,a5,a9,a13也是等差數列例2如在等差數列an中，已知a24,a79，求a12分析：a2,a7,a12組成等差數列，因為a7a2945，因此a12a759514（2）同等差數列an，若m,n,s,t均為正整數，且mnst，則amanasat如合用文案標準文檔a1a9a2a8a3a7a4a62a5例3在等差數列an中，已知a2a810，求a5剖析：因為a2a8a5a5，即2a5a2a8,(a2a8)10因此，a5522例4設an為等差數列,其中a59,a1539，則a10A）24（B）127（C）30（D）33剖析:解法一由等差數列an的通項公式ana1a14d9(n1)d知14d39a1得a139d24d因此a10a13解法二an為等差數列，因此a5,a10,a15也是等差數列，因此，a10是a5與a15的等差中項，合用文案標準文檔a5a15939a102242例5在等差數列an中，若是a22,a35，則S10_________剖析：da3a2523，由a2a1d,得a1a2d231S10a110(101)d101210(1)110(101)31252例6等差數列an中，若a4a5a690則其前9項的和S9（）A.300B.C.540D.

270135剖析：an是等差數列，因此a4a62a5，由a4a5a690得3a590，a530合用文案標準文檔由S(a1an)n得，S(a1a9)9，n292又a1a92a5，因此S9(a1a9)92a5930927022，選B歷年試題2013年試題）等差數列{an}中，若a12,a36，則a2D.12剖析：a2a1a3262242012年試題）已知一個等差數列的首項為1，公差為3，那么該數列的前5項和為（）A.35B.30C.20D.10合用文案標準文檔剖析：由Sna1n(n1)d得n12S5115(51)33552選A2011年試題）已知等差數列an的首項與公差相等，an的前n項的和記作S，且S840.n20（Ⅰ）求數列an的首項a1及通項公式；（Ⅱ）數列an的前多少項的和等于84?剖析:（Ⅰ）已知等差數列an的公差da1又S20a20(201)d20a190d210a201211即210a1840，因此，a14又da1，即d4，因此，ana1(n1)d4(n1)44n即數列a的通項公式為a4nnn合用文案標準文檔（Ⅱ）設Sn84，又S(a1an)n(44n)n2n22n，n222即2n2n84，解得n6,n7（舍去）因此數列a的前6項的和等于84.n2009年試題）面積為6的直角三角形三邊的長由小到大成等差數列，公差為d，⑴求d的值;⑵在以最短邊的長為首項，公差為d的等差數列中，102為第幾項？剖析:（I）由已知條件可設直角三角形的邊長分別為ad,a,ad,其中a0,d0,則(ad)2a2(ad)2，得a4d三邊長分別為3d,4d,5dS13d4d6,d12故三角形三邊長分別是3,4,5.公差d1合用文案標準文檔以3為首項，1為公差的等差數列通項公式為an3(n1),3(n1)102,n100故第100項為1022008年試題）已知等差數列an中,a19,a3a80.⑴求數列an的通項公式;⑵當n為何值時,數列an的前n項和Sn獲取最大值,并求該最大值.剖析:⑴設等差數列an的公差為d,由已知aa0,得2a9d0.又已知381a19,因此d2.數列an的通項公式為an92n1,即an112n.⑵解法一：數列an的前n項和Sn9112nn210nn5225.n2當n5時，Sn獲取最大值25.令解法二：由⑴知112,ann合用文案標準文檔an112n0n11,因此數列前5項2的和最大，最大值為S5a54d5954225.5122三、等比數列等比數列的定義若是一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比都等于一個常數，這個數列就叫等比數列，這個常數叫做公比，記為q，即anan1等比數列的一般形式為a,aq,aq2,,aqn1,1111等比數列的通項公式合用文案標準文檔設an是首項為a1，公比為q的等比數列，則這個數列的通項公式為anaqn11等比數列的前n項和公式設an是首項為a1，公比為q的等比數列，Sn為其前n項和，則a(1qn)1(q1)Sn1q或Sa1anq(q1)n1q4.等比中項若是A,B,C稱等比數列，B就稱為A與C的等比中項，則B2AC或BAC注：一般證明一個數列是等比數列時，經常合用文案標準文檔是按它們的定義證明an1q為常量an等比數列的性質1）在等比數列中，間隔相同抽出的項來依照原來的序次組成新的數列仍是等比數列.對于等比數列a1,a2,a3,,an數列a1,a3,a5,,a2n1也是等比數列，數列a2,a4,a6,,a2n也是等比數列數列a1,a5,a9,a13也是等比數列例7如在等比數列an中,a26,a424,則a6（）A.8B.24C.96D.384分析：a2,a4,a6是等比數列，因為合用文案標準文檔a6a424a4a24，6a64a442496，選C（2）同等比數列an，若m,n,s,t均為正整數，且mnst，則aaaamnst如a1a9a2a8a3a7a4a6a52比方在等比數列an中，已知a1a516，求a3剖析：a32a1a516，即a3164例8設等比數列an的各項都為正數，若a31,a59，則公比q=（A）3（B）2（C）-2D）-3分析:由等比數列an的通項公式ana1qn1知合用文案標準文檔2a1q1得q29又因列各都是正的，a1q49因此q3例9設等比數列an的公比q=2，且a2a48則a1a7（A）8（B）16（C）32（D）64分析:由等比數列an的通項公式ana1qn1知1aqaq38,a2q48a2aaa2q63211112171例10在等比數列an中，若a32S25,a42S35，則an的公比__________剖析：a4a32S35(2S25)2(S3S2)，又S3S2a3，因此a4a32a3，合用文案標準文檔即3a3,qa433a3，填例11已知等比數列an中，a210,a320，那么它的前5項和S5__________分析：由a10,a20，可求得公比23qa3202，從而a1a2105a210q2因此S5a1(1q5)5(125)155，填1q12155例12已知等比數列an的各項都為正數，a12,前3項的和為14（I）求該數列的通項公式；（II）設bnlog2an,求數列bn的前20項的和剖析:（I）設等比數列an的公比為q,則合用文案標準文檔22q2q214因此q2q60,q2,q231(舍去)因此數列的通項公式為an2n（II）blog2anlog22nn則ns20b1b2b3b2012320(120)202102例13設an為等差數列,且公差d為正數,已知a2a3a415,又a2,a31,a4成等比數列求a1和d剖析:由an為等差數列知a2a42a3a315a2a410351)2a2a4(5解得a22(a28舍去)由此得da3a2523a1a2d231合用文案標準文檔歷年試題2015年試題）若等比數列an的公比為3,a49,則a1A.1B.193C.3D.272014年試題）等比數列an中,若a28,公比為1,則4a5____________2015年試題）已知等差數列an的公差d0,a11，且2a1,a2,a5成等比數列合用文案標準文檔（I）求數列an的通項公式（II）若數列a的前項和S50，求n.nn2013年試題）已知公比為q的等比數列an中,a24,a532I）求q；II）求an的前6項和S6解:（I）由已知得aq3a，即4q332，解得q225（II）aaq12122[1(2)6]42S61(2)（2012年試題）已知等比數列an中,a1a2a327（I）求a2；合用文案標準文檔（II）若an的公比q1,且a1a2a313，求an的前5項和剖析:（I）因為an為等比數列，因此aaa22，又aaa27，可得a327，131232因此a23（II）由a1a2a313，a23得a1a310，由aaa27,a3得aa9，123213解方程組a1a3101或a9，得aa1a3911a11a19由a（舍去）3，得或12q3q3因此an的前5項和S51(135)112132010年試題）合用文案標準文檔已知數