02十一月202211.5極限運算法則

第一章（TechniquesforFindingLimits）三、函數(shù)極限的四則運算法則一、數(shù)列極限的四則運算五、復(fù)合函數(shù)的極限運算法則二、數(shù)列極限的性質(zhì)四、函數(shù)極限的性質(zhì)02十一月20222一、數(shù)列極限的四則運算法則則有定理1若注意：

定理1中的（1）、（2）可推廣到有限個收斂數(shù)列的情形.例如，則有特別地，(4)

為偶數(shù)時，

02十一月20223應(yīng)用上面的定理1，我們可以從一些已知的簡單數(shù)列極限，求出一些較復(fù)雜的數(shù)列極限．例1

求數(shù)列當(dāng)趨于無窮大時的極限．解

由于故．

02十一月20225二、收斂數(shù)列的性質(zhì)1.收斂數(shù)列的極限唯一.(Uniqueness)定理2(唯一性)

2.收斂數(shù)列一定有界.

(Roundedness)定理3(有界性)

即若數(shù)列

收斂，則其極限是唯一的．即若數(shù)列

收斂，

則一定有界．則稱一定有界．例如,數(shù)列

等都是有界的，

推論

無界數(shù)列必定發(fā)散．02十一月20226說明:

定理3反過來不一定成立.例如,雖有界但不收斂.數(shù)列若且時,有定理4.收斂數(shù)列的保號性.(Sign-preservingProperty)02十一月20227*********************證:

設(shè)數(shù)列是數(shù)列的任一子數(shù)列.若則當(dāng)

時,有現(xiàn)取正整數(shù)K,使于是當(dāng)時,有從而有由此證明

*********************4.收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限.02十一月20228三、函數(shù)極限的四則運算法則定理5若（１）（２）（３）（４）說明:

定理2中的（1）、（2）可推廣到有限個函數(shù)相乘的情形.推論1(C

為常數(shù))推論2(n

為正整數(shù))02十一月202210對于有理整函數(shù)（多項式）我們指出，或有理分式函數(shù)其中都是多項式，且要求其當(dāng)時的極限，只要把代入函中即可；但對于有理分式函數(shù)，如果代入后，分母等

于零，則沒有意義，不能通過直接代入的方法求極限．事實上，設(shè)多項式則02十一月202212例4

求．

解

于是不能

采取分子、分母分別取極限的方法．

將函數(shù)的分子有理化，得由于

所以=02十一月202214解:時,分子分子分母同除以則分母“抓大頭”原式例6求02十一月202215解:時,分子分子分母同除以則分母“抓大頭”原式例7求02十一月202216例8解:

由例7相同的方法得，而函數(shù)

與函數(shù)互為倒數(shù)，所以，02十一月202217為非負(fù)常數(shù))一般有如下結(jié)果：02十一月202218四、函數(shù)極限的性質(zhì)定理6(函數(shù)極限的唯一性）定理7(函數(shù)極限的局部有界性)02十一月202220五、復(fù)合函數(shù)的極限運算法則定理9設(shè)且

x滿足時,又則有

說明:

若定理中則類似可得02十一月202221例9

求解

作變量代換則時，

于是原式化為02十一月202223解:方法1則令∴原式方法2（補(bǔ)充題）例11求02十一月202224內(nèi)容小結(jié)1.極限運算法則(1)數(shù)列和函數(shù)極限的四則運算法則(3)復(fù)合函數(shù)極限運算法則注意使用條件2.數(shù)列極限的性質(zhì)(唯一性,有界性,保號性)3.求函數(shù)極限的方法(1)分式函數(shù)極限求法時,用代入法(分母不為0)時,對型,約去公因子時,分子分母同除最高次冪“抓大頭”(2)復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量02十一月202226解法1原式=解法2令則原式=2.求02十一月202