1、蘇教版高中數學課件兩條直線垂直過山車是一項富有刺激性的娛樂項目.實際上，過山車的運動包含了許多數學和物理學原理.過山車的兩條鐵軌是相互平行的軌道，它們靠著一根根巨大的柱形鋼筋支撐著，為了使設備安全，柱子之間還有一些小的鋼筋連接，這些鋼筋有的互相平行，有的互相垂直，你能感受到過山車中的平行和垂直嗎？兩條直線的平行與垂直用什么來刻畫呢？導語一、兩條直線垂直關系的判定知識梳理對應關系l1與l2的斜率都存在，分別為k1，k2，則l1l2k1k21l1與l2中的一條斜率 ，另一條斜率為零，則l1與l2的位置關系是l1l2圖示不存在注意點：(1)l1l2k1k21成立的條件是兩條直線的斜率都存在.(2)當

2、直線l1l2時，有k1k21或其中一條直線垂直于x軸，另一條直線垂直于y軸；而若k1k21，則一定有l1l2.(3)當兩條直線的斜率都存在時，若有兩條直線的垂直關系，則可以用一條直線的斜率表示另一條直線的斜率.例1(1)l1經過點A(3,2)，B(3，1)，l2經過點M(1,1)，N(2,1)，判斷l1與l2是否垂直；解直線l1的斜率不存在，直線l2的斜率為0，所以l1l2.(2)已知直線l1經過點A(3，a)，B(a2,3)，直線l2經過點C(2,3)，D(1，a2)，若l1l2，求a的值.解由題意，知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在.當l1的斜率不存在時，3a2，即a5，此時k

3、20，則l1l2，滿足題意.當l1的斜率k1存在時，a5，由l1l2，知k1k21，綜上所述，a的值為0或5.反思感悟利用斜率公式來判定兩直線垂直的方法(1)一看：就是看所給兩點的橫坐標是否相等，若相等，則直線的斜率不存在；再看另一條直線的兩點的縱坐標是否相等，若相等，則垂直；若不相等，則進行第二步.(2)二代：就是將點的坐標代入斜率公式.(3)求值：計算斜率的值，進行判斷.尤其是點的坐標中含有參數時，應用斜率公式要對參數進行討論.提醒：若已知點的坐標含有參數，利用兩直線的垂直關系求參數值時，要注意討論斜率不存在的情況.跟蹤訓練1分別判斷下列兩直線是否垂直.(1)直線l1的斜率為10，直線l2

4、經過點A(10,2)，B(20,3).所以直線l1與l2垂直.(2)直線l1經過A(3,4)，B(3,7)，直線l2經過點P(2,4)，Q(2,4).解直線l1的斜率不存在，故l1與x軸垂直，直線l2的斜率為0，故直線l2與x軸平行，所以l1與l2垂直.所以直線l1與l2不垂直.二、求與已知直線垂直的直線方程例2求經過點A(2,1)，且與直線2xy100垂直的直線l的方程.解方法一設直線l的斜率為k，直線l與直線2xy100垂直，k(2)1，又直線l經過點A(2,1)，方法二設與直線2xy100垂直的直線方程為x2ym0.直線l經過點A(2,1)，221m0，m0.所求直線l的方程為x2y0.

5、反思感悟求與已知直線垂直的直線方程時，要看原直線斜率是否存在，若存在，利用斜率乘積等于1求斜率，若不存在，則所求斜率為0，然后點斜式求直線方程.跟蹤訓練2(1)與直線y2x1垂直，且在y軸上的截距為4的直線的斜截式方程是解析直線y2x1的斜率k2，(2)已知ABC的三個頂點分別是A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，則BC邊上的高所在直線的斜截式方程為_.解析設BC邊上的高為AD，則BCAD，所以kADkBC1，三、 直線平行與垂直的綜合應用問題1已知ABC的三個頂點坐標A(5，1)，B(1,1)，C(2,3)，你能判斷ABC的形狀嗎？BC邊所在直線的斜率kBC2.由kABkBC1，得AB

6、BC，即ABC90.ABC是以點B為直角頂點的直角三角形.問題2若已知RtABC的頂點A(5，1)，B(1,1)，C(2，m)，你能求出m的值嗎？提示若A為直角，則ACAB，若B為直角，則ABBC，所以kABkBC1，若C為直角，則ACBC，所以kACkBC1，綜上可知，m7或m3或m2.例3如圖所示，在平面直角坐標系中，四邊形OPQR的頂點坐標按逆時針順序依次為O(0,0)，P(1，t)，Q(12t,2t)，R(2t,2)，其中t0.試判斷四邊形OPQR的形狀.所以kOPkQR，kORkPQ，從而OPQR，ORPQ.所以四邊形OPQR為平行四邊形.又kOPkOR1，所以OPOR，故四邊形OP

7、QR為矩形.延伸探究1.將本例中的四個點，改為“A(4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(3,0)，順次連接A，B，C，D四點，試判斷四邊形ABCD的形狀.”解由題意得A，B，C，D四點在平面直角坐標系內的位置如圖，所以kABkCD，由圖可知AB與CD不重合，所以ABCD，由kADkBC，所以AD與BC不平行.所以ABAD，故四邊形ABCD為直角梯形.2.將本例改為“已知矩形OPQR中按逆時針順序依次為O(0,0)，P(1，t)，Q(12t,2t)，試求頂點R的坐標.”解因為四邊形OPQR為矩形，所以OQ的中點也是PR的中點，設R(x，y)，反思感悟(1)利用兩條直線平行或垂直判定幾何圖形

8、的形狀的步驟(2)判定幾何圖形形狀的注意點在頂點確定的前提下，判定幾何圖形的形狀時，要先畫圖，猜測其形狀，以明確證明的目標.證明兩直線平行時，僅僅有k1k2是不夠的，還要注意排除兩直線重合的情況.判斷四邊形形狀，要依據四邊形的特點，并且不會產生其他的情況.跟蹤訓練3已知點A(0,3)，B(1,0)，C(3,0)，求點D的坐標，使四邊形ABCD為直角梯形(A，B，C，D按逆時針方向排列).解設所求點D的坐標為(x，y)，如圖所示，由于kAB3，kBC0，kABkBC01，即AB與BC不垂直，故AB，BC都不可作為直角梯形的直角腰.(1)若CD是直角梯形的直角腰，則BCCD，ADCD，kBC0，直

9、線CD的斜率不存在，從而有x3.又kADkBC，故所求點D的坐標為(3,3).(2)若AD是直角梯形的直角腰，則ADAB，ADCD，1.知識清單：(1)兩直線垂直的條件.(2)求垂直直線方程.(3)直線平行與垂直的綜合應用.2.方法歸納：分類討論、數形結合.3.常見誤區：研究兩直線垂直關系時忽略直線斜率為0或斜率不存在的情況.課堂小結隨堂演練12341.若直線ax2y10與直線x2y20互相垂直，則實數a的值是A.1 B.1 C.4 D.412342.(多選)已知直線l1的斜率為a，l1l2，則l2的斜率可以為當a0時，l2的斜率不存在.12343.已知A(2,3)，B(1，1)，C(1，2)

10、，點D在x軸上，則當點D坐標為_時，ABCD.(9,0)所以直線CD的斜率存在.則由ABCD知，kABkCD1，4.已知ABC的三個頂點分別是A(2,2)，B(0,1)，C(4,3)，點D(m,1)在邊BC的高所在的直線上，則實數m_. 1234解析設直線AD，BC的斜率分別為kAD，kBC，由題意，得ADBC，則有kADkBC1，課時對點練基礎鞏固123456789101112131415161.直線l1的傾斜角130，直線l1l2，則直線l2的斜率為解析如圖，直線l1的傾斜角130，直線l1l2，則l2的傾斜角等于3090120，2.已知兩條直線l1，l2的斜率是方程3x2mx30(mR)

11、的兩個根，則l1與l2的位置關系是A.平行 B.垂直C.可能重合 D.無法確定12345678910111213141516解析由方程3x2mx30，知m243(3)m2360恒成立.故方程有兩相異實根，即l1與l2的斜率k1，k2均存在.設兩根為x1，x2，則k1k2x1x21，所以l1l2，故選B.3.若直線l1的斜率k1 ，直線l2經過點A(3a，2)，B(0，a21)，且l1l2，則實數a的值為A.1 B.3C.0或1 D.1或3解析因為l1l2，所以k1k21，解得a1或a3.123456789101112131415164.(多選)設平面內四點P(4,2)，Q(6，4)，R(12,

12、6)，S(2,12)，則下面四個結論正確的是A.PQSR B.PQPSC.PSQS D.PRQS12345678910111213141516解析由斜率公式知，12345678910111213141516PQSR，PQPS，PRQS.而kPSkQS，PS與QS不平行，故ABD正確.123456789101112131415165.已知A(1，1)，B(2,2)，C(3,0)三點，且有一點D滿足CDAB，CBAD，則D點的坐標為A.(1,0) B.(0，1)C.(1,0) D.(0,1)解析設D(x，y)，又CDAB，CBAD，123456789101112131415161234567891

13、01112131415166.若直線mx4y20與直線2x5yn0垂直，垂足為(1，p)，則實數n的值為A.12 B.2 C.0 D.10解析由2m200，得m10.由垂足(1，p)在直線mx4y20上，得p2，垂足坐標為(1，2).又垂足在直線2x5yn0上，代入得n12.7.已知直線l1：ax(a2)y10，l2：xay20，其中aR，若l1l2，則a_，若l1l2，則a_.12345678910111213141516解析因為l1l2，所以a1(a2)a0，解得a0或a3；當l1l2時，0或31或2解得a1或a2.8.若不同兩點P，Q的坐標分別為(a，b)，(3b,3a)，其中ab3，則

14、線段PQ的垂直平分線的斜率為_.123456789101112131415161所以線段PQ的垂直平分線的斜率為1.123456789101112131415169.當實數a為何值時，直線l1：(a2)x(1a)y10與直線l2：(a1)x(2a3)y20互相垂直？解由l1l2，得(a2)(a1)(1a)(2a3)0，解得a1.當a1或a1時，l1l2.10.已知在ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4).(1)求點D的坐標；12345678910111213141516解設D點坐標為(a，b)，因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以kABkCD，kADkBC，所以D(1,6).(2

15、)試判定ABCD是否為菱形？12345678910111213141516所以kACkBD1，所以ACBD，所以ABCD為菱形.11.已知直線l1：mxy40和直線l2：(m2)xny10(m0，n0)互相垂直，則 的取值范圍為_.綜合運用解析因為l1l2，所以m(m2)1(n)0，得nm22m，1234567891011121314151612.已知經過點A(2,0)和點B(1,3a)的直線l1與經過點P(0，1)和點Q(a，2a)的直線l2互相垂直，則實數a的值為_.123456789101112131415161或012345678910111213141516因為l1l2，所以k1k2

16、1，當a0時，P(0，1)，Q(0,0)，這時直線l2為y軸，A(2,0)，B(1,0)，直線l1為x軸，顯然l1l2.綜上可知，實數a的值為1或0.解析設A(x，y)，因為ACBH，ABCH，13.已知ABC的頂點B(2,1)，C(6,3)，其垂心為H(3，2)，則其頂點A的坐標為_.所以A(19，62).(19，62)1234567891011121314151614.已知點A(1,3)，B(4,2)，以AB為直徑作圓，與x軸有交點C，則交點C的坐標是_.(1,0)或(2,0)解析以線段AB為直徑的圓與x軸的交點為C，則ACBC.解得x1或x2，所以交點C的坐標是(1,0)或(2,0).12345678910111213141516拓廣探究15.直線l的傾斜角為30，點P(2,1)在直線l上，直線l繞點P(2,1)按逆時針方向旋轉30后到達直線l1的位置，此時直線l1與l2平行，且l2是線段AB的垂直平分線，其中A(1，m1)，B(m,2)，則m_.12345678910111213141516解析如