1、全國初中數學競賽題及參考答案請將正確、選擇題共5小題，每題7分，共35分.其中有且只有一個選項是正確的選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分1.假設112111QA二.BC二210D1ab_20+1_210由題設得代數式變形，同除b-tab+/二+2二02 .假設實數a則a的取值范圍是b滿足2Aa- 4D解.C11b-ab+a4-2：=0因為b是實數，所以關于 b的二次方程A = (-a)a -dxlxL + 2)的判別式0,解得 aw-2 或 a 4.方程思想，判別式定理；要解一元二次不等式3.如圖，在四邊形ABCW,/B=135,ZC=120,Ap抬，B(=4-則AD邊的長為

2、A： J解：D如圖，過點A,D分別作AEDF垂直于直線BG垂足分別為E,F.由已知可得BE=AE=7&,CF=2五，DF=2而,過點A作AGLDF垂足為G在RtAADG,根據勾股定理得AD國爐而二歷的=2+2灰勾股定理、涉及雙重二次根式的化簡，補全圖形法4.在一列數-中，已知修=1 ,且當k2 時,取整符號(A)3H表示不超過實數金的最大整數，例如(B)(D) 4，則/mo等于(C)解：B1凝=加i+1-4由為=1和-14k-2可得=1礴-2Kj-3O4)=1/二口礙=3%=4)因為2010=4X502+2,所以口=2.高斯函數；找規律。.如圖，在平面直角坐標系xOy中，等腰梯形ABCD勺頂點

3、坐標分別為A1,1，B2,1，C一2,一1，D一1,1.y軸上一點P0,2繞點A旋轉180得點Pi,點R繞點B旋轉180得點P2,點P2繞點C旋轉180得點P3,點P3繞點D旋轉180得點P4,重復操作依次得到點P,P2,，則點F2010的坐標是.A2010,2B2010,-2C2012,-2D0,2解：B由已知可以得到，點看，舄的坐標分別為2,0，2,一2.記乙（砒，%），其中叫二乙二一之.根據對稱關系，依次可以求得：月（一4一%2%）+出，4+4）日（一%.一?一3）凡（4+町，）令其囿，%）,同樣可以求得，點品的坐標為4+%也即月o4x2+叫也，由于2010=4區502+2,所以點舄的口

4、的坐標為2010,-2.、填空題.已知2=寫一1,則2a3+7a22a12的值等于解：0由已知得（a+1）2=5,所以a2+2a=4,于是2a3+7a2-2a-12=2a3+4a2+3a2-2a-12=3a2+6a-12=0.一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛.在某一時亥L客車在前，小轎車在后，貨車在客車與小轎車的正中間.過了10分鐘，小轎車追上了貨車；又過了5分鐘，小轎車追上了客車；再過t分鐘，貨車追上了客車，則t解：15設在某一時刻，貨車與客車、小轎車的距離均為S千米，小轎車、貨車、客車的速度分別為厘，h.c千米/分，并設貨車經x分鐘追上客車，由題意得15(

5、)=25,W一S.由，得3。&一。)二5,所以,x=30.故f=30-10-5二15分.如圖，在平面直角坐標系xOy中，多邊形OABCDE頂點坐標分別是O0,0，A0,6，B4,6，C4,4，D6,4，E6,0.假設直線l經過點M2,3，且將多邊形OABCDE割成面積相等的兩部分，則直線l的函數表達式是.I第&題v-XT解：-二如圖，延長BC交x軸于點F;連接OBAF連卷CEDF,且相交于點N.由已知得點M2,3是OBAF的中點，即點M為矩形ABFO勺中心，所以直線?把矩形ABFO面積相等的兩部分.又因為點N5,2是矩形CDEF勺中心，所以，過點N5,2的直線把矩形CDE的成面積相等的兩部分.

6、于是，直線良皿即為所求的直線L-3,設直線的函數表達式為k以+$,則9.如圖，射線AMBN都垂直于線段AB點E為AM上一點，過點A作BE的垂線AC分別交BE,BN于點F,C,過點C作AM的垂線CD,垂足為D.假設CD=CF,則而=.（第9題】2因為RtAAFBRtAB(C所以金月=AFAC又因為FC=DC=AB所以用=雙超+梆%即再1-1解得附2,或牌2舍去.ABAE力F理J5-1AE-又Rtn5sRt4?產巴所以鴕FCm之，即工。=210.對于i=2,3,，k,正整數n除以i所得的余數為i1.假設內的最小值！滿足200司口0與雙曲線耳相交于點A,B已知點A的坐標為1,4，點B在第三象限內，且

7、AOB勺面積為3O為坐標原點.1求實數a,b,k的值；2過拋物線上點A作直線AC/x軸，交拋物線于另一點C,求所有滿足EO。AOB的點E的坐標.解：1因為點A1, 4在雙曲線 亮上,y = 所以k=4.故雙曲線的函數表達式為支設點Bt,0, AB所在直線的函數表達式為爐二視+司，則有4=琳十耳!m解得4（什 1）于是，直線0 4AB與y軸的交點坐標為I 1 0上，日十七三小一 2; v所以一解得110分2如圖，因為AC/x軸，所以C-4,4，于是CO=4&.又BG2虛，所以.設拋物線尸uaYAEa0與x軸負半軸相交于點D,則點D的坐標為一3,0.因為/COD=/BOD=45c所以/COB9cl

8、e.i將4灰X繞點O順時針旋轉9臚,得到丁工】.這時，點歹（-2,2）是CO的中點，點的坐標為4,一1.延長到點圓，使得=2容，這時點*8,-2是符合條件的點.ii作夙加關于x軸的對稱圖形次%,得到點百1,一4；延長/到點三，使得為=2,這時點E22,一3是符合條件的點.所以，點5的坐標是8,一2，或2,一8.20分13.求滿足2尹口+產+*=那3陰的所有素數p和正整數m.解：由題設得加2尸+1）=（刑一4）8+2）所以3十2，由于是素數，故引-啰或小周+2）.5分1假設M,令加7=櫛,k是正整數，于是帆+2加，3p2/（2乃+1）=（那一4）（雁+2）故*3,從而上二1.fi4p=5,：所以

9、附+2=27+L解得期三9一10分2假設封（附十2），令網+2=個，k是正整數.當P,5時，有落-4=際6融一召=,3寸%p（2戶十0二（刑一4）（用+2）網上-1。?故左/T）3,從而1t=1,或2.由于一（2吊十1）二（附-4）（徵+2）是奇數所以1fcH2,從而尢二1.mA2p+L7旦煙42三尸，丁ZEL這不可能.當P二5時，潴飛-2播=63，制=9；當P=3/：=29,無正整數解；當口二?時，膜一2陽=18,無正整數解.綜上所述，所求素數p=5,正整數m=9.20分14.從1,2,，2010這2010個正整數中，最多可以取出多少個數，使得所取出的數中任意三個數之和都能被33整除？解：首先，如下61個數：11,11+33,11+2乂33,，11+50 x33即1991滿足題設條件.5分另一方面，設的二曲04.是從1,2,，2010中取出的滿足題設條件的數,對于這n個數中的任意4個數/隆口潴，因為先|也+/+&=）所以因此，所取