1、PAGE PAGE 16高三數學教學情況調查（一）詳解與鞏固【試題部分】一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分請把答案填寫在答題卡相應的位置上1若集合，則 ；2在平面直角坐標系中，雙曲線的漸近線方程為 ；3函數的最小正周期為 ；4已知是虛數單位，計算的結果是 ；開始輸出S結束5已知奇函數的圖像關于直線對稱，當時，則 ；6已知常數是負實數，則函數的定義域是 ；7某所學校有小學部、初中部和高中部，在校小學生、初中生和高中生人數之比為：，且已知初中生有人，現采用分層抽樣的方法從這所學校抽取一個容量為的學生樣本以了解學生對學校文體活動方面的評價，則每個高中生被抽到的概率是 ；8右圖給出的是

2、計算的值的一個程序框圖，其中判斷框內應填入的條件是 ；9已知圓的方程為，圓的方程為，過圓上任一點作圓的切線，若直線與圓的另一個交點為，則當弦的長度最大時，直線的斜率是 ；10已知結論：“在三邊長都相等的中，若是的中點，是外接圓的圓心，則”若把該結論推廣到空間，則有結論：“在六條棱長都相等的四面體中，若是的三邊中線的交點，為四面體外接球的球心，則 ”11設等差數列的前項和為,若，則的取值范圍是 ；12已知過點的直線與函數的圖象交于、兩點，點在線段上，過作軸的平行線交函數的圖象于點，當軸，點的橫坐標是 ；13如圖，在正方形中，為的中點，為以為圓心、為半徑的圓弧上的任意一點，設向量，則的最小值為 ；

3、14設，若函數存在整數零點，則的取值集合為 二、解答題：本大題共6小題，共90分，請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15（14分）設平面向量，若，求的值；若，證明:和不可能平行；若，求函數的最大值，并求出相應的值16（14分）在菱形中，線段的中點是，現將沿折起到的位置，使平面和平面垂直，線段的中點是證明：直線平面；判斷平面和平面是否垂直，并證明你的結論17（14分）如圖，為一個等腰三角形形狀的空地，腰的長為（百米），底的長為（百米）現決定在空地內筑一條筆直的小路（寬度不計），將該空地分成一個四邊形和一個三角形，設分成的四邊形和三角形的周長相等、面積分別為和若小路

4、一端為的中點，求此時小路的長度；求的最小值.18（16分）已知橢圓：的離心率為，且過點，設橢圓的右準線與軸的交點為，橢圓的上頂點為，直線被以原點為圓心的圓所截得的弦長為求橢圓的方程及圓的方程；若是準線上縱坐標為的點，求證：存在一個異于的點，對于圓上任意一點，有為定值；且當在直線上運動時，點在一個定圓上19（16分）設函數，求：求的極值；設，記在上的最大值為，求函數的最小值；設函數（為常數），若使在上恒成立的實數有且只有一個，求實數和的值20（16分）設數列是一個無窮數列，記，若是等差數列，證明：對于任意的，；對任意的，若，證明：是等差數列；若，且，數列滿足，由構成一個新數列，設這個新數列的前項

5、和為，若可以寫成，則稱為“好和”問，中是否存在“好和”，若存在，求出所有“好和”；若不存在，說明理由附加題2121【選做題】本題包括A，B，C，D共4小題，請從這4題中選做2小題。每小題10分，共20分請在答題卡上準確填涂題目標記，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟平面幾何選講（10分）過圓外一點作圓的兩條切線、，切點分別為、，過點作圓的割線，證明：矩陣與變換（10分）已知直角坐標平面上的一個變換是先繞原點逆時針旋轉，再作關于軸反射變換，求這個變換的逆變換的矩陣坐標系與參數方程（10分）已知是曲線上的動點，是曲線上的動點，試求線段長的最大值不等式選講（10分）已知是正數，證明：22. （

6、10分）如圖，正方體的棱長為，分別在棱和上（含線段端點）如果,試證明四點共面；在的條件下，是否存在一點，使得直線和平面所成角等于？如果存在，確定的位置；如果不存在，試說明理由23（10分）當時，求證：是正整數；試證明大于的最小整數能被整除（）.【解答部分】1【解析】由題知于是.2【解析】由題知即.3【解析】由題知周期.4【解析】.5【解析】函數周期為4，于是.6【解析】由題知由于為負數，于是可解得.7【解析】由題知.8【解析】由上表可知均不符合，但是符合，于是.9或【解析】有題可知，過點引圓的兩條切線，設切線方程為由可解得或.10【解析】等積法，連接球心與四面體各個頂點，得到四個相同的三棱錐，

7、于是可以得到即.11【解析】由題知則由不等式性質知或線性規劃知識可得，令同樣得.12【解析】設由題可知及解得.13【解析】分別沿方向分別建立軸，設正方體棱長為2，設，再由得求導數可得于是當時，取最小值.14【解析】由題中，若函數知，又因為當時,于是只能取0,6,1,10這四個數字，代入求的；當時，求的也符合題意，于是.15.解：若，則，所以.假設與平行，則即，而時，矛盾.若則所以.16證明延長、相交于,連,菱形,并且為中點，,為中點，為線段中點,面,面直線面; 垂直,理由如下由菱形,及角為，得三角形為正三角形，為中點，,平面和平面垂直，并且交線為，在面中，平面面,面面.17解：為中點時，則不在

8、上.若在上，則.,在三角形中，在三角形中，.即小路一端為中點時小路的長度為百米.若小路的端點、點都在兩腰上，如圖，設則 ，當時取等號.若小路的端點、分別在一腰（不妨設腰）上和底上，設則,當時取等號.答：最小值為.18解：，又過點,解得橢圓方程：直線的方程為，則圓心到直線的距離圓的半徑圓的方程：.右準線的方程為，由題可設定點與的比值是常數并且不同于，是正常數并且不等于1，即將代入有，有無數組，從而解得：（舍去）或于是定值為：，又代入得于是，故在圓心，半徑為的定圓上.19解：令，得，區間分別單調增，單調減，單調增，于是當時，有極大值極小值，由（1）知區間分別單調增，單調減，單調增，所以當時，特別當

9、時，有；當時，則，所以對任意的，由已知得在上恒成立，得時，時，故時，函數取到最小值.從而；同樣的，在上恒成立，由得時，時，故時，函數取到最小值.從而，由的唯一性知，.20解對于任意的正整數，將上面兩等式作差得:數列是等差數列，.對于任意的正整數， 將上面兩等式作差得:由即，于是，對一切正整數都是，所以數列是等差數列.由（2）知是等差數列，其公差是1，所以，當時，所以對一切正整數都有.由只能是不小于3的奇數.當為偶數時，因為和都是大于1的正整數，所以存在正整數使得，且相應的，即有為好和；當為奇數時，由于是個奇數之和，仍為奇數，又為正偶數，所以不成立，這時沒有好和.21證明：是圓的切線，,又,三角

10、形與三角形，同理兩等式相乘.解：這個變換的逆變換是作關于軸反射變換，再作繞原點順時針旋轉變換，其矩陣.解：曲線的直角坐標方程為，其圓心為，半徑為6；曲線的直角坐標方程為，其圓心為，半徑為6.的最大值.解： 又均為正整數，證明以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，則其中，則所以,所以四點共面；，可求平面的法向量，有已知所以23（1）的偶數次冪均為正整數，是正整數.因為由（1）知為正整數，所以大于最小整數為，由二項式定理可知是一偶數，所以大于的最小整數能被整除（）.【鞏固部分】1-4.已知復數滿足 【解析】由得.2-8.如果執行如圖所示的程序框圖，那么輸出的S= 【解析】3-9直線與圓相交

11、于M,N兩點，若，則k的取值范圍是 【解析】解法1：圓心的坐標為（3.，2），且圓與y軸相切.當，由點到直線距離公式，解得；解法2：數形結合，如圖由垂徑定理得夾在兩直線之間即可， 不取，排除B，考慮區間不對稱，排除C，利用斜率估值，選A 4-13. 將邊長為1m正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記,則S的最小值是 【解析】設剪成的小正三角形的邊長為，則：（方法一）利用導數求函數最小值。，當時，遞減；當時，遞增；故當時，S的最小值是。（方法二）利用函數的方法求最小值。令，則：故當時，S的最小值是。5-17如圖，某市準備在道路EF的一側修建一條運動比賽道，賽道的前一部分

12、為曲線段FBC，該曲線段是函數 ，時的圖象，且圖象的最高點為B（1，2）。賽道的中間部分為長千米的直線跑道CD，且CD/ EF。賽道的后一部分是以O為圓心的一段圓弧（1）求的值和的大小；（2）若要在圓弧賽道所對應的扇形ODE區域內建一個“矩形草坪”，矩形的一邊在道路EF上，一個頂點在半徑OD上，另外一個頂點P在圓弧上，且，求當“矩形草坪”的面積取最大值時的值解：（1）由條件，得， ， 曲線段FBC的解析式為 當x=0時，又CD=， （2）由（1），可知又易知當“矩形草坪”的面積最大時，點P在弧DE上，故設，“矩形草坪”的面積為 =，故取得最大值 6-18（第18題）如圖，已知橢圓的左、右頂點分

13、別為A、B，右焦點為F，直線l為橢圓的右準線，N為l上一動點，且在x軸上方，直線AN與橢圓交于點M（1）若AM=MN，求AMB的余弦值；（2）設過A，F，N三點的圓與y軸交于P，Q兩點，當線段PQ的中點坐標為（0，9）時，求這個圓的方程解：（1）由已知，直線設N（8，t）（t0），因為AM=MN，所以M（4，）由M在橢圓上，得t=6故所求的點M的坐標為M（4，3）所以， （用余弦定理也可求得）（2）設圓的方程為，將A，F，N三點坐標代入，得 圓方程為，令，得11分設，則由線段PQ的中點坐標為（0，9），得，此時所求圓的方程為 （本題用韋達定理也可解）（2）（法二）由圓過點A、F得圓心橫坐標為1

14、，由圓與y軸交點的縱坐標為（0，9），得圓心的縱坐標為9，故圓心坐標為（1，9）易求得圓的半徑為， 所以，所求圓的方程為 7-19設是定義在上的奇函數，函數與的圖象關于軸對稱，且當時，（1）求函數的解析式；（2）若對于區間上任意的，都有成立，求實數的取值范圍解：（1） 的圖象與的圖象關于y軸對稱， 的圖象上任意一點關于軸對稱的對稱點在的圖象上當時，則為上的奇函數，則當時， （1）由已知，若在恒成立，則此時，在上單調遞減， 的值域為與矛盾當時，令， 當時，單調遞減，當時，單調遞增， 由，得 綜上所述，實數的取值范圍為 8-20已知數列為各項均為正的等比數列，其公比為q（1）當q時，在數列中： 最多有幾項在1100之間？ 最多有幾項是1100之間的整數？（2）當q1時，在數列中，最多有幾項是1001000之間的整數？（參考數據：lg3=0.477，lg2=0.301）解：（1）不妨設1，設數列有n項在1和100之間，則100所以，100兩邊同取對數，得 （n1）（ lg3lg2）2解之，得 n12.37故n的最大值為12，即數列中，最多有12項在1和100之間 不妨設1100，其中， ， 均為整數，所以為2的倍數所以3100，所以n5 又因為16，24，36，54，81是滿足題設要求的5項所以，當q時，最多有5項是1和100之間