1、會計學1圓中的計算問題華東師大圓中的計算問題華東師大問題情景問題情景：如圖是圓弧形狀的鐵軌示意圖，其中鐵軌的半徑為100米，圓心角為90你能求出這段鐵軌的長度嗎?（取3.14 ）圖 23.3.1 分析分析：我們容易看出這段鐵軌是圓周長的四分之一，所以鐵軌的長度 =157.0（米）. 410032第1頁/共39頁問題探究問題探究上面求的是的圓心角900所對的弧長，若圓心角為n0，如何計算它所對的弧長呢？ 思考：思考：請同學們計算半徑為 r，圓心角分別為1800、900、450、10、n0所對的弧長。23.3.2 O B A第2頁/共39頁探索：（1）圓心角是180，占整個周角的 ，因此它所對的弧

2、長_；（2）圓心角是90，占整個周角的 ，因此它所對的弧長_；（3）圓心角是45，占整個周角的_，因此它所對的弧長_；（4）圓心角是1，占整個周角的_，因此它所對的弧長_；（5）圓心角是n，占整個周角的_，因此它所對的弧長_ 360180rr236018036090rrr211809023609036045rrr41180452360453601rr180123601360nrnrn1802360第3頁/共39頁結論：結論：如果弧長為l，圓心角度數為n，圓的半徑為r，那么，弧長的計算公式為：1802360rnrnl練一練：練一練：已知圓弧的半徑為50厘米，圓心角為60，求此圓弧的長度。1802

3、360rnrnl=350cm答：此圓弧的長度為350cm第4頁/共39頁扇形：扇形：定義：如圖，由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形扇形 1.將組成扇形的一條半徑繞著圓心旋轉，可以發現，扇形的面積與組成扇形的弧所對的圓心角的大小有關圓心角越大，扇形的面積也越大怎樣計算圓心角為n的扇形面積呢？ 2.我們知道，如果設圓的面積為S，圓的半徑為r，那么圓面積的計算公式為Sr2，半徑為r的扇形的面積與半徑為r的圓的面積有沒有關系呢？圓心角為1的扇形面積以及圓心角為n的扇形面積分別是圓面積的幾分之幾？第5頁/共39頁探探 索索 23.3.4 （1） 如圖，圓心角是180，占整個周角的

4、 ，因此圓心角是180的扇形面積是圓面積的_；（2） 圓心角是90，占整個周角的_，因此圓心角是90的扇形面積是圓面積的_； （3） 圓心角是45，占整個周角的_，因此圓心角是45的扇形面積是圓面積的_； （4） 圓心角是1，占整個周角的_，因此圓心角是1的扇形面積是圓面積的_； （5） 圓心角是n，占整個周角的_，因此圓心角是n的扇形面積是圓面積的_ 360180第6頁/共39頁結論：結論：如果設圓心角是n的扇形面積為S，圓的半徑為r，那么扇形的面積為：因此扇形面積的計算公式為 lrrrnrnS21218036023602rnS或lrS21第7頁/共39頁小試牛刀：小試牛刀：1、如果扇形的圓

5、心角是20，那么這個扇形的面積等于這個扇形所在圓的面積的_；2、扇形的面積是它所在圓的面積的 ，這個扇形的圓心角的度數是_.3、扇形的面積是S，它的半徑是r，這個扇形的弧長是_32答案：3623；240，rs2第8頁/共39頁例題講解例題講解例1如圖，圓心角為60的扇形的半徑為10厘米，求這個扇形的面積和周長（3.14） 3601014. 36036022rnS=52.33(平方厘米)；扇形的周長為201801014. 3602180rrnl30.47（厘米）。 23.3.5 解：因為n60，r10厘米，所以扇形面積為第9頁/共39頁27.3 27.3 圓中的計算問題圓中的計算問題第10頁/共

6、39頁回顧回顧180Rnl3602RnS扇形lR21R第11頁/共39頁圓柱第12頁/共39頁一圓柱的直觀特征一圓柱的直觀特征圓柱是由兩個圓柱是由兩個 和一個和一個 圍成的圍成的兩個底之間的距離兩個底之間的距離是圓柱體的是圓柱體的高高側面側面是一個曲面是一個曲面, ,可以展開鋪在平面上。可以展開鋪在平面上。底面底面是兩個等圓是兩個等圓; ;底面底面 側面側面第13頁/共39頁圓柱的圓柱的表面積表面積是是_._.圓柱的圓柱的側面積側面積應等于應等于_._.二、圓柱的側面展開圖二、圓柱的側面展開圖側面展開圖是側面展開圖是_._.矩形矩形矩形的兩邊與圓柱體矩形的兩邊與圓柱體有何關系？有何關系？底面圓

7、的周長乘以圓柱的高底面圓的周長乘以圓柱的高矩形的一邊長等于矩形的一邊長等于_;_;( (即圓柱的母線長即圓柱的母線長) )圓柱的高圓柱的高另一邊是另一邊是_._.底面圓的周長底面圓的周長上下兩底面圓的面積與側面面積之和上下兩底面圓的面積與側面面積之和 圓柱圓柱第14頁/共39頁 圓柱側面展開圖圓柱側面展開圖1.1.圓圓柱柱的的側面展開圖側面展開圖是一個是一個矩形矩形, ,它的一它的一邊長是圓邊長是圓柱柱的的母線長母線長; ;它的另一邊長是圓它的另一邊長是圓柱柱的底面的底面圓周長圓周長。2.2.圓圓柱柱的側面積的側面積是母線與圓是母線與圓柱柱的底面圓周的底面圓周長圍成的矩形面積。長圍成的矩形面積

8、。3.3.圓圓柱柱的全面積的全面積= =側面積側面積+ +底面積底面積回顧回顧第15頁/共39頁設圓柱底面半徑為設圓柱底面半徑為r r， 則有則有60602r2r10101.1.如果圓柱側面積如果圓柱側面積60cm2，母線長為，母線長為10cm， 則圓柱底面半徑為則圓柱底面半徑為_._.r r3cm3cmS2 rl側面積三、三、 練習練習圓柱的母線長圓柱的母線長與高是相等的與高是相等的第16頁/共39頁2 2、用一張面積為、用一張面積為900平方厘米的正方形硬紙平方厘米的正方形硬紙 片圍成一個圓柱的側面片圍成一個圓柱的側面, ,則這個圓柱的底則這個圓柱的底 面直徑約為面直徑約為_。(精確到精確

9、到0.1厘米厘米) 圓圓柱柱的的高高圓柱底面的周長圓柱底面的周長9.6cm四、四、 練習練習第17頁/共39頁第18頁/共39頁如圖，一只如圖，一只螞蟻螞蟻從底面圓周上一點從底面圓周上一點B B出發沿圓錐出發沿圓錐的側面爬行一周后回到點的側面爬行一周后回到點B B，請你幫助它找到最，請你幫助它找到最短的路線。短的路線。設置情境設置情境B.ABCB第19頁/共39頁arh圓錐的底面半徑、高、母線長三者圓錐的底面半徑、高、母線長三者之間的關系之間的關系: :222rha( (母線有無數條母線有無數條, ,母線都是相等的母線都是相等的 ) )圓錐的再認識圓錐的再認識圓錐圓錐是由是由一個底面一個底面和

10、和一個側面一個側面圍成的圍成的, ,它它的的底面是一個圓底面是一個圓, ,側面是一個曲面側面是一個曲面. .第20頁/共39頁填空、填空、根據下列條件求值（其中根據下列條件求值（其中r r、h h、a a分別是圓錐的底面半徑、高線、母線長）分別是圓錐的底面半徑、高線、母線長）（1 1）a a = 2= 2，r=1 r=1 則則 h=_h=_ (2) h =3, r=4 (2) h =3, r=4 則則 a=_a=_ (3) (3) a a = 10, h = 8 = 10, h = 8 則則r=_r=_23.3.6 356第21頁/共39頁圓錐與側面展開圖之間的主要關系圓錐與側面展開圖之間的主

11、要關系 沿著圓錐的母線，把一個圓錐的側面展開，得到沿著圓錐的母線，把一個圓錐的側面展開，得到一個一個扇形扇形。1 1、這個扇形的半徑與圓錐中的哪一條線段相等？、這個扇形的半徑與圓錐中的哪一條線段相等？2 2、這個扇形的弧長與底面的周長有什么關系？、這個扇形的弧長與底面的周長有什么關系？3 3、圓錐的側面積和這個扇形的面積有什么關系圓錐的側面積和這個扇形的面積有什么關系? 探求新知探求新知第22頁/共39頁1.1.圓錐的圓錐的側面展開圖側面展開圖是一個是一個扇形扇形 2.2.圓錐的圓錐的底面圓周長底面圓周長就是其就是其側面展開圖側面展開圖扇形的弧長扇形的弧長3.3.圓錐的圓錐的母線母線就是其側面

12、展開圖就是其側面展開圖扇形的半徑扇形的半徑。a ah hr r圓錐的側面展開圖圓錐的側面展開圖4.4.圓錐的側面積圓錐的側面積就是弧長為圓錐底面的周就是弧長為圓錐底面的周長、半徑為圓錐的一條母線的長的長、半徑為圓錐的一條母線的長的扇形面扇形面積積. . 5.5.圓錐的全面積圓錐的全面積= =側面積側面積+ +底面積底面積. .第23頁/共39頁扇形的扇形的半徑半徑扇形的扇形的弧長弧長圓錐與側面展開圖之間的主要關系圓錐與側面展開圖之間的主要關系：nRa = RC = l扇形的面積扇形的面積S側=S扇形1.圓錐的圓錐的母線長母線長=2.圓錐的底面圓錐的底面周長周長=3.圓錐的側面積圓錐的側面積=第

13、24頁/共39頁S側=S扇形圓錐的側面積圓錐的側面積rarala22121圓錐的側面積圓錐的側面積=扇形的面積扇形的面積n公式一公式一：raS側第25頁/共39頁例例1 1、一個圓錐形零件的母線長為一個圓錐形零件的母線長為a a，底面的半徑為底面的半徑為r r，求這個圓錐形零件的，求這個圓錐形零件的側面積和全面積側面積和全面積 圖 23.3.6 解解: :圓錐的側面展開后是一個扇形，該扇形圓錐的側面展開后是一個扇形，該扇形的半徑為的半徑為a a，扇形的弧長為，扇形的弧長為2 2rr，所以，所以S S側側 S S底底rr2 2； S S ra ra rr2 2答：這個圓錐形零件的側面積答：這個圓

14、錐形零件的側面積為為rara，全面積為，全面積為rararr2 2212 2rra arara 第26頁/共39頁OPABrha圓錐的側面積圓錐的側面積 S S 側側 = = raraa ah hr r22236013603602883605 . 22360rrasssrlllrlsslr底側全扇形圓錐側圓錐的全面積圓錐的全面積圓錐的側面積和全面圓錐的側面積和全面積積第27頁/共39頁根據圓錐的下面條件，求它的根據圓錐的下面條件，求它的側面積和全面積側面積和全面積（ 1 1 ） r=12cm, a=20cm r=12cm, a=20cm （ 2 2 ） h=12cm, r=5cmh=12cm,

15、 r=5cm 圖 23.3.6 （1）側：）側：240 全：全：384（2）側：）側：65 全：全：90第28頁/共39頁填空、填空、根據下列條件求圓錐側面積展開圖的根據下列條件求圓錐側面積展開圖的圓心角（圓心角（r r、h h、a a分別是圓錐的底面半徑、高分別是圓錐的底面半徑、高線、母線長）線、母線長）（1 1）a a = 2= 2，r = 1r = 1，則，則 =_ =_ (2) h=3 (2) h=3， r=4r=4，則，則 =_=_ rha180288第29頁/共39頁 1 1、一個圓柱形水池的底面半徑為、一個圓柱形水池的底面半徑為4 4米米，池深，池深1.21.2米米. .在池的內

16、壁與底面抹上在池的內壁與底面抹上水泥，抹水泥部分的面積是水泥，抹水泥部分的面積是_平平方米方米. . 2 2、已知一個圓錐與一個圓柱的底面半、已知一個圓錐與一個圓柱的底面半徑都為徑都為3 3米，高都為米，高都為4 4米米. .它們兩者的側面它們兩者的側面積相差為積相差為_ _ 側面積的比值為側面積的比值為_._.25.69平方米平方米5:8第30頁/共39頁2425(3(3）已知圓錐底面圓的半徑為）已知圓錐底面圓的半徑為2cm,2cm,高為高為 ，則這個，則這個圓錐的側面積為圓錐的側面積為_. cm526 cm (2) (2)已知圓錐的底面直徑為已知圓錐的底面直徑為20cm20cm，母線長為，

17、母線長為12cm12cm，則它，則它的側面積為的側面積為_._.2120 cm第31頁/共39頁nraan3602rna360rna360raS側3602anS扇形公式二公式二：rna360或公式二或公式二：360nar第32頁/共39頁n180120118第33頁/共39頁2 2、如圖，若圓錐的側面展、如圖，若圓錐的側面展開圖是半圓，那么這個展開開圖是半圓，那么這個展開圖的圓心角是圖的圓心角是_度；度；圓錐底半徑圓錐底半徑 r r與母線與母線a a的比的比r r ：a a = _ .= _ .1801:21 1、如果圓錐的底面周長是、如果圓錐的底面周長是20 20 , ,側面展側面展開后所得

18、的扇形的圓心角為開后所得的扇形的圓心角為120120度度, ,則該圓則該圓錐的側面積為錐的側面積為_,_,全面積為全面積為_300400圓錐的母線與高的夾角為圓錐的母線與高的夾角為3030，母線長，母線長為為6cm ,6cm ,它的全面積為它的全面積為 ，第34頁/共39頁如圖，圓錐的底面半徑為如圖，圓錐的底面半徑為1 1，母線長，母線長為為6 6，一只螞蟻要從底面圓周上一點，一只螞蟻要從底面圓周上一點B B出發，沿圓錐側面爬行一圈再回到點出發，沿圓錐側面爬行一圈再回到點B B，問它爬行的最短路線是多少？，問它爬行的最短路線是多少？ABC第35頁/共39頁. 323323. 3,60.6012

19、0360.它爬行的最短路線是答中在垂足為作過點的中點是則點展開成扇形將圓錐沿解：BDABBAD，ABCRtBADlrBBADAC，BDB，BBC，BABAB：. 323323. 3,60.60120360.它爬行的最短路線是答中在垂足為作過點的中點是則點展開成扇形將圓錐沿解：BDABBAD，ABCRtBADlrBBADAC，BDB，BBC，BABAB：. 323323. 3,60.60120360.它爬行的最短路線是答中在垂足為作過點的中點是則點展開成扇形將圓錐沿解：BDABBAD，ABCRtBADlrBBADAC，BDB，BBC，BABAB：. 323323. 3,60.60120360.它爬行的最短路線是答中在垂足為作過點的中點是則點展開成扇形將圓錐沿解：BDABBAD，ABCRtBADlrBBADAC，BDB，BBC，BABAB：. 3233