1、適合：人教版七年級第五章相交線與平行線側“M”型問題的結論及其廣泛應用武漢市光谷實驗中學（430223） 沈占立 曾海燕M側“M”型問題的基本圖形一般有開口向左和向右兩種，即“ ”或“ ” . 與它們相關的問題很多，構造此基本圖形解決有關問題非常方便，快捷，茲采擷一束，予以說明.一、側“M”型問題結論問題：如圖1，ABCD,P為線段AB、CD之間的一點，則B、C、BPC之間有何關系？分析：此圖不是我們所學過的“三線八角”的基本圖形，需添加一些線（輔助線），把它化成我們所熟悉知的基本圖形.解答：過P作PFAB（如圖1）.ABCD, PFCD, BPF=B, CPF=C. BPC=BPF+CPF=

2、B +C.結論：側“M”型圖中同向角度和與其反向角相等.二、側“M”型結論應用圖2-1圖2-2熟悉上述側“M”型基本圖形，運用上述結論解答有關問題非常方便.1. 直接運用側“M”型例1（2014黃岡市）如圖2-1，若ADBE，且ACB=90，CBE=30，則CAD=_度解析：由ADBE易找出側“M” 型基本圖形“ ”，即“DACBE”由上述結論，則有C=CAD +CBE，故CAD=C-CBE =90-30=60.無獨有偶，請讀者觸類旁通：(2014四川省綿陽市)如圖2-2，lm，等邊ABC的頂點A在直線m上，則=_2. 抽象挖掘側“M”型例2 如圖3是我們生活中經常接觸的小刀，刀柄外形是一個直

3、角梯形（下底挖去一小半圓），刀片上、下是平行的，轉動刀片時會形成1 、2，請你求出1 +2的度數.解析：將這個問題轉化為數學問題，可以抽象出如圖4所示的幾何圖形，進一步觀察可得到“變形”了的側“M”型基本圖形“BAOCD”，由題意結合上述結論易得1 +2=O=90.3. 巧用側“M”型證明例3 如圖5，ABCD, 1=B, 2=D,試說明BEDE. 解析：仔細觀察圖5，不難發現從中可以抽象出“ ”型基本圖形ABEDC.故由上述結論可得BED=B+D=1+2,又因為BED+1+2=180（平角定義），BED=90,故BEDE.4. 雙管齊下側“M”型例4 如圖6，ABCD,E是兩直線內部一點，A

4、BE與CDE的平分線交于F點，探究BED與BFD之間的數量關系.解析：由已知條件不難看出圖6隱含著兩個側“M”型基本圖形ABEDC和ABFDC，故有BED=ABE+CDE及BFD=ABF+CDF.又BF、DF分別平分ABE與CDE，ABE+CDE=2（ABF+CDF），故有BED=2BFD.5. 綜合運用側“M”型例5 在平面直角坐標系中，D(0，-3),M(4，-3),直角三角形ABC的邊與x軸分別交于O、G兩點，與直線DM分別交于E、F兩點.(1)將直角三角形ABC如圖7位置擺放，求證：CEF-AOG=90.(2)將直角三角形ABC如圖8位置擺放，N為AC上一點，NEF+CEF=180,請

5、寫NEF與AOG之間的等量關系，并說明理由. (1)證明：由D、M兩點的縱坐標相同可知：DMx軸，從圖7易看出側“M”型基本圖形“KOCED”可得COK+CED=C,又COK=AOG，CED=180-CEF，即AOG+180-CEF=90，整理得CEF-AOG=90.(2)解：NEF+AOG=90，理由如下：圖8中CEH+CEF=180,又已知NEF+CEF=180，CEH=NEF.又COK=AOG，由側“M”型基本圖形“KOCEH”得CEH+COK=C，即NEF+AOG=90.6. 靈活構造側“M”型例6 在平面直角坐標系中，A(a,b)，B(2,2)，且如圖9，過點A作ACx軸于C,連接BC,求ABC的面積;如圖10，延長AB交x軸于D,將AD繞點A順時針旋轉30，它的延長線交y軸負半軸于點E.在第四象限的點F，使得x軸、Y軸分別平分ADF、AEF,試求DFE的值.解析：（1）略.(2)根據已知易求得A(-2，6),B(2，2), 由面積法不難求出D(4，0),G(0，4), OD=OG，DOG等腰直角三角形，ODG=OGD=45,又x軸平分ADF, ADF=2ODG=90.過E作ERAD(構造“M”型基本圖形“ADFER”)，REA=A=30, REG=OGD=45, OEA=REG-REA =15=OEF, REF=60.于是由“M”