1、 時間序列的定義 n按照時間的順序把事件變化發展的過程記錄下來就構成了一個時間序列。對時間序列進行觀察、研究，找尋它變化發展的規律，預測它將來的走勢就是時間序列分析。時間序列例1n德國業余天文學家施瓦爾發現太陽黑子的活動具有11年左右的周期時間序列例2上證指數相空間重構如果把一個時間序列看成是由一個確定性的非線性動力系統產生的,要考慮的是以下反問題:如何由時間序列來恢復并刻劃原動力系統?由時間序列恢復原系統最常用的方法利用Takens 的延遲嵌入定理對于一個非線性系統,通過觀測,可以得到一組測量值x ( n)，n=1,2,N利用此測量值可以構造一組m 維向量X( n) = ( x ( n) ,

2、 x ( n -) , ,x ( n -( m - 1) ) n= ( m - 1) +1,N如果參數, m 選擇恰當,則X( n) 可描述原系統。稱為延遲時間，m稱為嵌入維數。由x(n)構造X(n) 稱為相空間重構。 相空間重構法基本思想是:系統中任一分量的演化都是由與之相互作用著的其它分量所決定的,因此這些相關分量的信息就隱含在任一分量的發展過程中。為了重構一個等價的狀態空間,只需考察一個分量,并將它在某些固定的時間延遲點上的測量作為新維處理,它們確定了某個多維狀態空間中的一點. 重復這一過程并測量相對于不同時間的各延遲量,就可以產生出許多這樣的點,它可以將原系統的許多性質保存下來,即用系

3、統的一個觀察量可以重構出原動力系統模型,可以初步確定原系統的真實信息。 相空間重構例nHenon 映射nnnnnxyyxx3 . 04 . 11121該系統雖然有兩個狀態變量，但如果觀測到狀態變量Xn的信息，我們可以從Xn建立原系統的模型對狀態變量Xn進行相空間重構:Zn=(Xn,Xn-1) 由Zn 可以重構原來的系統Lorenz系統bzxydtdzyzrxdtdyxydtdx)()(91.37,68.13,34.1538,2810000zyxbr初值，取Lorenz系統的吸引子(x-y-z）-40-20020400204060-20-1001020Lorenz系統的吸引子(x,y相圖）-20

4、-15-10-505101520-30-20-100102030Lorenz系統的吸引子(y,z相圖）-30-20-10010203005101520253035404550-30-20-10010203005101520253035404550Lorenz系統的吸引子(x,z相圖）-20-15-10-50510152005101520253035404550n如果只觀測到變量x的值，利用x作相空間重構n取延遲時間為9，嵌入維數為3n即令(x(1),y(1),z(1)=(x(19),x(10),x(1) (x(2),y(2),z(2)=(x(20),x(11),x(2) (x(3),y(3),

5、z(3)=(x(21),x(12),x(3) -20-1001020-20-1001020-20-1001020-40-20020400204060-20-1001020重構后的相圖(x-y-z)原始系統相圖(x-y-z)-20-15-10-505101520-20-15-10-505101520-20-15-10-505101520-30-20-100102030重構后的相圖(x-y)原系統的相圖(x-y)-20-15-10-505101520-20-15-10-505101520重構后的相圖(y-z)-30-20-10010203005101520253035404550原系統的相圖(y-

6、z)-20-15-10-505101520-20-15-10-505101520重構后的相圖(x-z)-20-15-10-50510152005101520253035404550原系統的相圖(x-z)如何確定延遲時間和嵌入維數？延遲時間間隔延遲時間間隔的選取的選取主要方法n 線性自相關函數法n平均互信息法線性自相關函數法NnnNnnNnnnxNxxxNxxxxNC11211,)(1)(1)(其中定義自相關函數為 選擇使得自相關函數C()第一次為零時的的值為延遲時間平均互信息法為概率，其中定義平均互信息為對于時間序列),()(,)()(),(log),()(,21nnnnnnnnnNnnxxP

7、xPxPxPxxPxxPIx選擇使I() 為第一個局部極小的為延遲時間間隔。嵌入維數嵌入維數m的選取的選取主要方法虛假鄰點法關聯積分法奇異值分解法虛假鄰點法n虛假鄰點的定義 的虛假鄰點。為大很多，認為比如果距離為時當維數增加到距離為的最近鄰點，為設當前維數為nnnnnnnnnnnnXXXXXXXXmXXXXm)(m)(1m)(1m)(m)()(,1, 上面的距離差由于和時間序列數據的大小有關，不太容易確定虛假鄰點。實際采用相對度量法之間。和在值的虛假鄰點。，其中閾為稱若5010/ )()(m)(m)(1m)(RXXRXXXXXXnnnnnnnn2)(1/211m)(NnnnnxxNXX標準還需

8、補充以下虛假鄰點對于實際的時間序列，虛假鄰點法確定嵌入維數n對實測時間序列, m 從2 開始,取R = 30 ,計算虛假最近鄰點的比例,然后增加m ,直到虛假最近鄰點的比例小于5 % 或虛假最近鄰點不再隨著m 的增加而減少時,可以認為此時的m 為合適的嵌入維數。非線性時間序列預測基本思想設時間序列來自確定性系統X(n)=F(X(n-1),F(.)為連續函數。若 X(n)和X(j)距離很小，則F(X(n)和F(X(j)距離也應很小，即X(n+1)和X(j+1)間的距離很小，從而 可以用X(j+1)作為X(n+1)的預測值。基本方法局域預測法 局部平均預測法 局部線性預測法 局部多項式預測法全域預

9、測法 神經網絡 小波網絡 遺傳算法 局部平均預測法設時刻T的狀態向量為X(T)=(X(T)=(x(T),x(T-x(T),x(T-),),x(T-(m-1)x(T-(m-1)找找X(T)的最近鄰點X(T1),X(TK),以X(T1+1),X(TK+1)的平均值作為X(T+1)的預測值) 1(1) 1(1KkkTXKTX這是向量表達式，取第一個分量得) 1(1) 1(1KkkTxKTx局部線性預測法 局部線性預測模型為為待定系數。為隨機誤差，其中i210c) 1(.)()()() 1(eemTxcTxcTxccTXgTxm仍設X(T1),X(TK)為X(T)的K個鄰近點，確定Ci的方法：最小二乘

10、法即 求Ci使得最小21k21k)1()()1()1(KkkKkkTxTXgTxTxyAAACmTxmTxmTxTxTxTxTxTxTxAcccCTxTxTxyTTKKKTmTK12122111021)() 1() 1() 1()()(1)()(1)()(1,)1(,),1(),1(則記局部多項式預測法 為待定系數。為隨機誤差，其中ij112110201000c) 1() 1() 1()(.)()()()() 1(.)()()() 1(eemTxmTxcmTxTxcTxTxcTxTxcmTxcTxcTxccTXhTxmmmm局部多項式預測模型為（以二次多項式為例）仍以最小二乘法確定系數yAAA

11、CmTxmTxmTxTxTxTxmTxmTxmTxTxTxTxTxTxTxAcccCTxTxTxyTTKKKKKTmmTK1) 11(1) 1() 1() 1() 1() 1() 1() 1() 1() 1()()(1)()(1)()(11,1)1(,),1(),1(12222122221212211100021則記預測效果評價為了檢驗預測的精確性，可以比較預測值與實際觀測值之間的差。一次預測可能較好或較差，偶然性較大。為了克服這種偶然性，可以取多個點的預測誤差的平均。piiTiTpTTTpTTTyxRMSEyyxxx122121)(p1,y,定義均方根誤差為的預測值為設如果RMSE比較大，則

12、說明預測效果不好。但是RMSE和觀測序列的數值大小有關，為克服這一問題，我們定義正規化均方根誤差NRMSEpiTpiTxpxxxRMSENRMSE1i21i21,)(p1,/其中，若NRMSE接近于1，則預測效果不好若NRMSE接近于0，則預測效果較好n預測效果的另一個評價標準是相關系數piiTpiiTpipiiTpiiTiTiTyyxxyxyxr1212111)()(相關系數若r接近于1，則預測效果較好上證指數預測n數據文件000001.day 1990.12.19-2008.06.19 共4292個記錄每一條記錄的長度為40字節:1-4字節為日期 5-8字節=開盤指數*10009-12字節

13、=最高指數*100013-16字節=最低指數*100017-20字節=收盤指數*100021-24字節=成交金額(元)/100025-28字節=成交量(手)其余12字節未使用讀取數據matlab文件為readdata.m n上證指數預測文件為shangzhen1.mn相關文件為readdata.m juli.m dataconstruct1.m reconstruct1.m多變量時間序列以兩個變量為例說明多變量情形設給定時間序列x(n),y(n)x(n)的嵌入維數為m1,延遲時間為1 y(n)的嵌入維數為m2,延遲時間為2 多變量時間序列的相空間重構nX(n)=(x(n),x(n-1 ),x(

14、n-(m1-1)1, ,y(n),y(n-2 ),y(n-(m2-1)2)重構后時間序列的維數為m1+m2 多變量時間序列預測設時刻T的狀態向量為X(T)=(x(T),x(T-1 ),x(T-(m1-1)1, ,y(T),y(T-2 ),y(T-(m2-1)2) 預測x(T+1)的值以局部多項式（二次）預測為例預測模型為222212221122021021111221111101100)2) 1()2()()()2) 1()() 1) 1() 1()()() 1) 1()()() 1(222111mTycTyTycTycmTycTycmTxcTxTxcTxcmTxcTxccTXgTxmmmmmm設X(T)的K個最近鄰點為X(T1),X(TK)如果系統是確定的，則當X(T)靠近X(Ti)時，X(T+1)應靠近X(Ti+1)以最小二乘估計參數211002