1、自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論2.1 古代的數(shù)學(xué)古代的數(shù)學(xué)2.2 近代數(shù)學(xué)的成就近代數(shù)學(xué)的成就2.3 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展2.4 應(yīng)用數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)2.5 數(shù)學(xué)的三次危機(jī)與革命數(shù)學(xué)的三次危機(jī)與革命Chap. 2 數(shù)學(xué)的發(fā)展數(shù)學(xué)的發(fā)展自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 數(shù)學(xué)是研究事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)是研究事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。現(xiàn)代數(shù)學(xué)已經(jīng)發(fā)展成為一個多層次的結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)凝嫭F(xiàn)代數(shù)學(xué)已經(jīng)發(fā)展成為一個多層次的結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)凝嫶篌w系。大體系。從數(shù)學(xué)和科學(xué)技術(shù)的聯(lián)系來講，通常可以從數(shù)學(xué)和科學(xué)技術(shù)的聯(lián)系來講，通常可以分為分為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)（純數(shù)學(xué)）和（純數(shù)學(xué)）和應(yīng)用數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)兩大類。兩大類。

2、基礎(chǔ)數(shù)學(xué)是研究基礎(chǔ)數(shù)學(xué)是研究數(shù)學(xué)規(guī)律數(shù)學(xué)規(guī)律的內(nèi)在聯(lián)系，也就是的內(nèi)在聯(lián)系，也就是研究數(shù)學(xué)自身的規(guī)律。它包含三類學(xué)科：研究數(shù)學(xué)自身的規(guī)律。它包含三類學(xué)科：幾何類學(xué)幾何類學(xué)科、代數(shù)類學(xué)科和分析類學(xué)科科、代數(shù)類學(xué)科和分析類學(xué)科。以上各類中的分支。以上各類中的分支學(xué)科又都包含了若干個次級分支學(xué)科。學(xué)科又都包含了若干個次級分支學(xué)科。 自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 （1）幾何類學(xué)科幾何類學(xué)科它研究事物的空間形式，包括它研究事物的空間形式，包括解析幾何、微分幾何、非歐幾何、拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)幾何解析幾何、微分幾何、非歐幾何、拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)幾何等分支。等分支。 （2）代數(shù)類學(xué)科代數(shù)類學(xué)科它研究它研究離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)

3、性質(zhì)，的數(shù)學(xué)性質(zhì)，包括包括數(shù)論、近世代數(shù)數(shù)論、近世代數(shù)等。等。 （3）分析類學(xué)科分析類學(xué)科它研究連續(xù)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)性質(zhì)，它研究連續(xù)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)性質(zhì)，主要包括主要包括微積分、微分方程、函數(shù)論微積分、微分方程、函數(shù)論等。等。 應(yīng)用數(shù)學(xué)是研究如何從現(xiàn)實中抽象出數(shù)學(xué)規(guī)律，應(yīng)用數(shù)學(xué)是研究如何從現(xiàn)實中抽象出數(shù)學(xué)規(guī)律，以及如何把已知的數(shù)學(xué)規(guī)律用于處理實際的問題。它以及如何把已知的數(shù)學(xué)規(guī)律用于處理實際的問題。它包含有包含有計算數(shù)學(xué)、運籌學(xué)、概率論、模糊數(shù)學(xué)計算數(shù)學(xué)、運籌學(xué)、概率論、模糊數(shù)學(xué)等分支等分支科學(xué)。科學(xué)。自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 最初的最初的數(shù)與形數(shù)與形的概念的形成是在大約兩萬的概念的形成是在大約兩萬多年前

4、的舊石器時代晚期。多年前的舊石器時代晚期。 人類先是產(chǎn)生了人類先是產(chǎn)生了“數(shù)數(shù)”的朦朧概念。他們的朦朧概念。他們狩獵而歸，獵物或有或無，于是有了狩獵而歸，獵物或有或無，于是有了“有有”與與“無無”兩個概念。連續(xù)幾天兩個概念。連續(xù)幾天“無無”獸可捕，就獸可捕，就沒有肉吃了，沒有肉吃了，“有有”、“無無”的概念便逐漸加的概念便逐漸加深。深。 2.1 2.1 古代的數(shù)學(xué)古代的數(shù)學(xué)一、四大文明古國的數(shù)學(xué)一、四大文明古國的數(shù)學(xué)自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 后來，群居發(fā)展為部落。部落由一些成員很少的后來，群居發(fā)展為部落。部落由一些成員很少的家庭組成。所謂家庭組成。所謂“有有”，就分為，就分為“一一”、“二二”

5、、“三三”、“多多”等等四種（有的部落甚至連四種（有的部落甚至連“三三”也沒也沒有）。有）。 古代西亞的底格里斯河和幼發(fā)拉底河（古代西亞的底格里斯河和幼發(fā)拉底河（古巴比古巴比倫倫）、非洲的尼羅河（）、非洲的尼羅河（古埃及古埃及）、中南亞的印度河和）、中南亞的印度河和恒河（恒河（古印度古印度）以及東亞的黃河和長江（）以及東亞的黃河和長江（中國中國），是），是數(shù)學(xué)的發(fā)源地數(shù)學(xué)的發(fā)源地自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 泥板書中記述了兩河流域的數(shù)學(xué)成就。首泥板書中記述了兩河流域的數(shù)學(xué)成就。首先是先是巴比倫人采用了十進(jìn)制和六十進(jìn)制的記數(shù)巴比倫人采用了十進(jìn)制和六十進(jìn)制的記數(shù)法。法。其次他們能求解一次和二次代數(shù)方程

6、，甚其次他們能求解一次和二次代數(shù)方程，甚至可以求解一些特殊的高次方程和指數(shù)方程。至可以求解一些特殊的高次方程和指數(shù)方程。在漢莫拉比時代的泥板上刻有在漢莫拉比時代的泥板上刻有1、4、9、16、25等等一串?dāng)?shù)字。這說明巴比倫人已經(jīng)知道了自一串?dāng)?shù)字。這說明巴比倫人已經(jīng)知道了自然數(shù)的平方。把周角定為然數(shù)的平方。把周角定為360度，角度采用度，角度采用60進(jìn)制也是巴比倫人首創(chuàng)的。進(jìn)制也是巴比倫人首創(chuàng)的。1. 古巴比倫的數(shù)學(xué)古巴比倫的數(shù)學(xué)自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 1 10古巴比倫計數(shù)表古巴比倫計數(shù)表自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 巴比倫人不但熟悉幾何級數(shù)而且還編纂了一些很實巴比倫人不但熟

7、悉幾何級數(shù)而且還編纂了一些很實用的數(shù)學(xué)表，例如乘法表、平方根表、倒數(shù)表等。在用的數(shù)學(xué)表，例如乘法表、平方根表、倒數(shù)表等。在君士坦丁堡的奧陶曼博物館中保存著一塊君士坦丁堡的奧陶曼博物館中保存著一塊公元前公元前2200年時的泥板年時的泥板。它上面刻了一幅被分為。它上面刻了一幅被分為15塊的土地圖，塊的土地圖，其中其中有有7塊是直角三角形，有塊是直角三角形，有4塊是矩形，還有塊是矩形，還有4塊是菱塊是菱形形。每一個圖形的面積都被正確地計算出來了每一個圖形的面積都被正確地計算出來了。巴比。巴比倫人把圓的面積取為周長平方的倫人把圓的面積取為周長平方的1/12。由此可見，他。由此可見，他們認(rèn)為圓周是直徑的

8、們認(rèn)為圓周是直徑的3倍倍。巴比倫人還能正確地計算。巴比倫人還能正確地計算圓圓柱體、平行六面體柱體、平行六面體等許多立體圖形的體積。等許多立體圖形的體積。自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 古埃及人對數(shù)學(xué)的主要貢獻(xiàn)有以下幾個方面：其古埃及人對數(shù)學(xué)的主要貢獻(xiàn)有以下幾個方面：其一，他們掌握了一，他們掌握了算術(shù)的算術(shù)的四則運算四則運算和求近似平方根的和求近似平方根的方法。其二，他們已經(jīng)具有方法。其二，他們已經(jīng)具有算術(shù)級數(shù)和幾何級數(shù)算術(shù)級數(shù)和幾何級數(shù)的的知識。其三，他們會知識。其三，他們會求解一次方程和某些二次方程求解一次方程和某些二次方程。第四，他們會計算一些平面圖形的第四，他們會計算一些平面圖形的面積面積和一

9、些立體和一些立體圖形的圖形的體積體積。第五，他們會正確計算。第五，他們會正確計算圓的面積圓的面積。第。第六，他們已經(jīng)知道了六，他們已經(jīng)知道了比例比例的基本原理，而且有了初的基本原理，而且有了初步的步的三角函數(shù)三角函數(shù)知識。知識。2. 古埃及的數(shù)學(xué)古埃及的數(shù)學(xué)古埃及文明古埃及文明-數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 他們采用了十進(jìn)制記數(shù)法，以后流傳到阿他們采用了十進(jìn)制記數(shù)法，以后流傳到阿拉伯，形成了阿拉伯記數(shù)法。拉伯，形成了阿拉伯記數(shù)法。這是印度人的一這是印度人的一大貢獻(xiàn)。古印度的數(shù)學(xué)在公元大貢獻(xiàn)。古印度的數(shù)學(xué)在公元7世紀(jì)之后興盛世紀(jì)之后興盛了幾百年，著作十分豐富。他們有了了幾百年，著作十分豐富。

10、他們有了負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)的運的運算方法，導(dǎo)出了二次方程的求根公式，給出了算方法，導(dǎo)出了二次方程的求根公式，給出了等差數(shù)列等差數(shù)列的求和公式，提出了零除一個數(shù)便得的求和公式，提出了零除一個數(shù)便得到到無窮大無窮大，確定了一個數(shù)的平方根是一正一負(fù)，確定了一個數(shù)的平方根是一正一負(fù)的兩個數(shù)等等。成果頗為豐富。的兩個數(shù)等等。成果頗為豐富。3. 古印度的數(shù)學(xué)古印度的數(shù)學(xué)自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 中國古代的數(shù)學(xué)成就也很高。中國古代的數(shù)學(xué)成就也很高。九章算術(shù)九章算術(shù)是中國第一部數(shù)學(xué)專著，書成于公元一世紀(jì)左是中國第一部數(shù)學(xué)專著，書成于公元一世紀(jì)左右，編著者是右，編著者是劉徽劉徽。它開創(chuàng)了中國的實用數(shù)學(xué)。它開創(chuàng)了中國的實用

11、數(shù)學(xué)體系，有很多的領(lǐng)先成果。例如體系，有很多的領(lǐng)先成果。例如分?jǐn)?shù)和比例分?jǐn)?shù)和比例的的算法，聯(lián)立一次方程和二次方程的解法，引入算法，聯(lián)立一次方程和二次方程的解法，引入正、負(fù)數(shù)正、負(fù)數(shù)概念，概念，開平方開立方開平方開立方的方法等。的方法等。 4. 古代中國的數(shù)學(xué)古代中國的數(shù)學(xué)自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論九章算術(shù)九章算術(shù)劉徽（魏晉）劉徽（魏晉）自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 九章算術(shù)九章算術(shù)是一部非常杰出的數(shù)學(xué)專著，它對是一部非常杰出的數(shù)學(xué)專著，它對我國數(shù)學(xué)的發(fā)展影響深遠(yuǎn)。我國數(shù)學(xué)的發(fā)展影響深遠(yuǎn)。 九章算術(shù)九章算術(shù)不只在中國數(shù)學(xué)史上占有十分重要不只在中國數(shù)學(xué)史上占有十分重要的地位，而且

12、影響遠(yuǎn)及國外。的地位，而且影響遠(yuǎn)及國外。朝鮮和日本朝鮮和日本都曾用它作都曾用它作為教科書，歐洲在中世紀(jì)的一些算法，比如為教科書，歐洲在中世紀(jì)的一些算法，比如分?jǐn)?shù)和比分?jǐn)?shù)和比例例，就可能是從中國傳入印度，再經(jīng)阿拉伯傳入歐洲，就可能是從中國傳入印度，再經(jīng)阿拉伯傳入歐洲的。在阿拉伯和歐洲的早期數(shù)學(xué)著作中，把的。在阿拉伯和歐洲的早期數(shù)學(xué)著作中，把“盈不足盈不足”稱為稱為“中國算法中國算法”就是一個證明。就是一個證明。 劉徽國際論壇劉徽國際論壇自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 從三國到五代期間中國有許多數(shù)學(xué)名著，從三國到五代期間中國有許多數(shù)學(xué)名著，其中其中海島算經(jīng)海島算經(jīng)、孫子算經(jīng)孫子算經(jīng)等十大算經(jīng)等十大算經(jīng)顯

13、示了漢唐千余年中國數(shù)學(xué)發(fā)展的水平。宋元顯示了漢唐千余年中國數(shù)學(xué)發(fā)展的水平。宋元時期產(chǎn)生了時期產(chǎn)生了秦九韶、李治、楊輝、朱世杰秦九韶、李治、楊輝、朱世杰四大四大數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)家，在計算數(shù)學(xué)、解高次方程、天元術(shù)、計算數(shù)學(xué)、解高次方程、天元術(shù)、四元術(shù)、招差術(shù)四元術(shù)、招差術(shù)等方面取得了輝煌的成就。等方面取得了輝煌的成就。 楊輝三角形給出了二項式展開的系數(shù)表。楊輝三角形給出了二項式展開的系數(shù)表。 中國是中國是十進(jìn)制十進(jìn)制的故鄉(xiāng)。的故鄉(xiāng)。自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 古希臘人古希臘人創(chuàng)造了古代的科學(xué)，也創(chuàng)造了古代的科學(xué)，也創(chuàng)造了光創(chuàng)造了光輝的古代數(shù)學(xué)。輝的古代數(shù)學(xué)。他們在數(shù)學(xué)方面的成就遠(yuǎn)遠(yuǎn)地他們在數(shù)學(xué)方面的成

14、就遠(yuǎn)遠(yuǎn)地超過了幾個文明古國。古希臘人不僅是在數(shù)學(xué)超過了幾個文明古國。古希臘人不僅是在數(shù)學(xué)的各個部分作出了不朽的貢獻(xiàn)，而且還為數(shù)學(xué)的各個部分作出了不朽的貢獻(xiàn)，而且還為數(shù)學(xué)的發(fā)展奠定了永久的基礎(chǔ)。他們創(chuàng)造了嚴(yán)格的的發(fā)展奠定了永久的基礎(chǔ)。他們創(chuàng)造了嚴(yán)格的演繹數(shù)學(xué)演繹數(shù)學(xué)方法，在定義和公理的基礎(chǔ)上通過一方法，在定義和公理的基礎(chǔ)上通過一系列的定理來發(fā)展數(shù)學(xué)。他們不斷地推廣，不系列的定理來發(fā)展數(shù)學(xué)。他們不斷地推廣，不斷地抽象，發(fā)展了極其可貴的數(shù)學(xué)方法。斷地抽象，發(fā)展了極其可貴的數(shù)學(xué)方法。二、古希臘的數(shù)學(xué)二、古希臘的數(shù)學(xué)自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 古希臘人的數(shù)學(xué)大體上可以分為三個時期，古希臘人的數(shù)學(xué)大體上可以

15、分為三個時期，即即畢達(dá)哥拉斯學(xué)派畢達(dá)哥拉斯學(xué)派時期、時期、柏拉圖柏拉圖學(xué)園時期和學(xué)園時期和亞亞歷山大歷山大學(xué)派時期。學(xué)派時期。 在公元前在公元前6世紀(jì)時，世紀(jì)時，米利都學(xué)派的泰利斯米利都學(xué)派的泰利斯等等人就熱衷于數(shù)學(xué)。泰利斯到過埃及，帶回了埃人就熱衷于數(shù)學(xué)。泰利斯到過埃及，帶回了埃及的幾何學(xué)。他還發(fā)現(xiàn)了一些幾何命題，例如及的幾何學(xué)。他還發(fā)現(xiàn)了一些幾何命題，例如等腰三角形等腰三角形的底角相等，已知一邊和兩個鄰角的底角相等，已知一邊和兩個鄰角便可以確定一個三角形等。便可以確定一個三角形等。 1. 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派時期畢達(dá)哥拉斯學(xué)派時期自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 畢達(dá)哥拉斯在意大利的南部建立了一個學(xué)派，

16、積畢達(dá)哥拉斯在意大利的南部建立了一個學(xué)派，積極地研究各種學(xué)問。極地研究各種學(xué)問。 這個學(xué)派的數(shù)學(xué)修養(yǎng)極高，把這個學(xué)派的數(shù)學(xué)修養(yǎng)極高，把數(shù)學(xué)不斷地抽象，使其盡量地脫離現(xiàn)實生活。畢達(dá)哥數(shù)學(xué)不斷地抽象，使其盡量地脫離現(xiàn)實生活。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道長度與拉斯學(xué)派已經(jīng)知道長度與4、3、2成比例的振動弦能成比例的振動弦能產(chǎn)生一個主音以及第五音和第八音。他們還由此產(chǎn)生產(chǎn)生一個主音以及第五音和第八音。他們還由此產(chǎn)生一個信念：在數(shù)字中可以找到終極的實在。他們把數(shù)一個信念：在數(shù)字中可以找到終極的實在。他們把數(shù)看成本質(zhì)，看成萬物的本源。看成本質(zhì)，看成萬物的本源。 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派不但得出了關(guān)于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派不但得出

17、了關(guān)于直角三角形直角三角形的著的著名定理，而且利用平行線的性質(zhì)證明了三角形的名定理，而且利用平行線的性質(zhì)證明了三角形的內(nèi)角內(nèi)角之和等于兩直角之和等于兩直角。他們還進(jìn)一步導(dǎo)出了。他們還進(jìn)一步導(dǎo)出了多邊形內(nèi)角之多邊形內(nèi)角之和和的定理。的定理。畢達(dá)哥拉斯畢達(dá)哥拉斯自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 人類對數(shù)的認(rèn)識不斷地發(fā)展，因而數(shù)的外延是逐人類對數(shù)的認(rèn)識不斷地發(fā)展，因而數(shù)的外延是逐漸擴(kuò)充的。漸擴(kuò)充的。無理數(shù)無理數(shù)的引入在數(shù)學(xué)史上是一個重大的事的引入在數(shù)學(xué)史上是一個重大的事件，常常被稱為件，常常被稱為第一次數(shù)學(xué)危機(jī)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。在公元前。在公元前6世紀(jì)的世紀(jì)的古希臘，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在數(shù)學(xué)界占有統(tǒng)治地位。畢古希

18、臘，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在數(shù)學(xué)界占有統(tǒng)治地位。畢氏提出萬物皆數(shù)，宇宙就是數(shù)的和諧。他說的氏提出萬物皆數(shù)，宇宙就是數(shù)的和諧。他說的數(shù)是指數(shù)是指整數(shù)整數(shù)。他所說的和諧是指一切事物都可以歸結(jié)為。他所說的和諧是指一切事物都可以歸結(jié)為整數(shù)整數(shù)和整數(shù)的比和整數(shù)的比。畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為任意的兩條線段都是可。畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為任意的兩條線段都是可以通約的，也就是可以表示成整數(shù)的比。這個結(jié)論是以通約的，也就是可以表示成整數(shù)的比。這個結(jié)論是當(dāng)時的金科玉律，被世人深信不疑。當(dāng)時的金科玉律，被世人深信不疑。自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 但是畢氏的一個學(xué)生希伯索斯卻提出了異但是畢氏的一個學(xué)生希伯索斯卻提出了異議。他指出正方形的邊長與對角

19、線是議。他指出正方形的邊長與對角線是不可通約不可通約的，二者的比值不是有理數(shù)，而是一個全新的的，二者的比值不是有理數(shù)，而是一個全新的無理數(shù)。希伯索斯的發(fā)現(xiàn)引起了轟動。傳說畢無理數(shù)。希伯索斯的發(fā)現(xiàn)引起了轟動。傳說畢達(dá)哥拉斯學(xué)派不能容忍他離經(jīng)叛道，把他扔進(jìn)達(dá)哥拉斯學(xué)派不能容忍他離經(jīng)叛道，把他扔進(jìn)了大海。了大海。自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 無理數(shù)的提出不但是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的無理數(shù)的提出不但是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一塊心病，而且也是對世人一塊心病，而且也是對世人既成觀念既成觀念的一個重的一個重大沖擊。當(dāng)時人們根據(jù)生活的經(jīng)驗深信一切量大沖擊。當(dāng)時人們根據(jù)生活的經(jīng)驗深信一切量都可以用有理數(shù)表示。然而這一完全符合常

20、識都可以用有理數(shù)表示。然而這一完全符合常識的論斷卻被無情地推翻了。無理數(shù)的提出造成的論斷卻被無情地推翻了。無理數(shù)的提出造成了人們的迷茫和恐慌，產(chǎn)生了數(shù)學(xué)上的第一次了人們的迷茫和恐慌，產(chǎn)生了數(shù)學(xué)上的第一次危機(jī)。直到二百年之后，數(shù)學(xué)家才建立了一套危機(jī)。直到二百年之后，數(shù)學(xué)家才建立了一套完整的比例理論，解決了不可通約問題，完整的比例理論，解決了不可通約問題，最終最終認(rèn)可了無理數(shù)認(rèn)可了無理數(shù)。自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 這次數(shù)學(xué)危機(jī)使古希臘人的收益很大。首先，他這次數(shù)學(xué)危機(jī)使古希臘人的收益很大。首先，他們認(rèn)識到們認(rèn)識到直覺和經(jīng)驗直覺和經(jīng)驗都不是可靠的，必須進(jìn)行都不是可靠的，必須進(jìn)行推理和推理和證明證明。

21、從此以后，希臘人便很重視邏輯推理，并導(dǎo)致。從此以后，希臘人便很重視邏輯推理，并導(dǎo)致亞里士多德創(chuàng)立了亞里士多德創(chuàng)立了邏輯學(xué)邏輯學(xué)。其次，由于整數(shù)的比不能。其次，由于整數(shù)的比不能包括一切幾何量，但幾何量卻可以表示一切數(shù)，這使包括一切幾何量，但幾何量卻可以表示一切數(shù)，這使希臘人認(rèn)為幾何比算術(shù)更為重要，從而導(dǎo)致公理幾何希臘人認(rèn)為幾何比算術(shù)更為重要，從而導(dǎo)致公理幾何學(xué)的誕生。學(xué)的誕生。 在無理數(shù)危機(jī)之后，數(shù)學(xué)史上還發(fā)生過在無理數(shù)危機(jī)之后，數(shù)學(xué)史上還發(fā)生過微積分危微積分危機(jī)和集合論危機(jī)機(jī)和集合論危機(jī)。這兩次危機(jī)也都使數(shù)學(xué)理論得到了。這兩次危機(jī)也都使數(shù)學(xué)理論得到了重大的發(fā)展。重大的發(fā)展。自然科學(xué)概論自然科學(xué)

22、概論 柏拉圖是古希臘著名的學(xué)者，生活在公元前柏拉圖是古希臘著名的學(xué)者，生活在公元前4、5世紀(jì)。他游歷過埃及和意大利，回到雅典之后便在城世紀(jì)。他游歷過埃及和意大利，回到雅典之后便在城郊創(chuàng)建了一個學(xué)園，積極地傳授知識，發(fā)展科學(xué)。為郊創(chuàng)建了一個學(xué)園，積極地傳授知識，發(fā)展科學(xué)。為了表示對幾何學(xué)的重視和推崇，學(xué)園的門口掛了一塊了表示對幾何學(xué)的重視和推崇，學(xué)園的門口掛了一塊公告牌，上面寫著公告牌，上面寫著“不懂幾何學(xué)的人不得入內(nèi)不懂幾何學(xué)的人不得入內(nèi)”。柏。柏拉圖很崇拜幾何學(xué)，認(rèn)為神在不斷地從事幾何作圖，拉圖很崇拜幾何學(xué)，認(rèn)為神在不斷地從事幾何作圖，所以人們在研究哲學(xué)之前必須先研究幾何學(xué)。柏拉圖所以人們在

23、研究哲學(xué)之前必須先研究幾何學(xué)。柏拉圖提出的許多提出的許多定義和定理定義和定理后來都被歐幾里德收進(jìn)了他的后來都被歐幾里德收進(jìn)了他的幾何原本幾何原本中。中。2.柏拉圖學(xué)園時期柏拉圖學(xué)園時期自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 在柏拉圖學(xué)園里有一大批數(shù)學(xué)家，對數(shù)學(xué)做出了在柏拉圖學(xué)園里有一大批數(shù)學(xué)家，對數(shù)學(xué)做出了很多的貢獻(xiàn)。例如給出了解決倍立方問題的巧妙方法，很多的貢獻(xiàn)。例如給出了解決倍立方問題的巧妙方法，發(fā)展了比例理論使其包括了新型的無理數(shù)，發(fā)展了窮發(fā)展了比例理論使其包括了新型的無理數(shù)，發(fā)展了窮竭法，并且用這種方法證明了圓錐和棱錐的體積是同竭法，并且用這種方法證明了圓錐和棱錐的體積是同高同底的圓柱和棱柱體積的三

24、分之一。高同底的圓柱和棱柱體積的三分之一。亞里士多德亞里士多德曾曾是柏拉圖學(xué)園的學(xué)生是柏拉圖學(xué)園的學(xué)生，知識極為淵博，對數(shù)學(xué)也頗有，知識極為淵博，對數(shù)學(xué)也頗有研究。他指出了公理、公設(shè)和定義的區(qū)別，對無限大研究。他指出了公理、公設(shè)和定義的區(qū)別，對無限大和連續(xù)性也有獨到的見解。在他的著作中有許多幾何和連續(xù)性也有獨到的見解。在他的著作中有許多幾何學(xué)的定理。例如，在包圍學(xué)的定理。例如，在包圍相同面積相同面積的平面圖形中以的平面圖形中以圓圓的周長的周長為最小等。為最小等。自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 柏拉圖學(xué)園是歐洲歷史上第一所綜合性的學(xué)校。柏拉圖學(xué)園是歐洲歷史上第一所綜合性的學(xué)校。它不但講授哲學(xué)、自然科學(xué)

25、和人文科學(xué)的知識，甚至它不但講授哲學(xué)、自然科學(xué)和人文科學(xué)的知識，甚至還討論優(yōu)生學(xué)、戀愛婚姻、道德、財產(chǎn)、公有制等社還討論優(yōu)生學(xué)、戀愛婚姻、道德、財產(chǎn)、公有制等社會問題。柏拉圖學(xué)園也是一個會問題。柏拉圖學(xué)園也是一個研究機(jī)構(gòu)研究機(jī)構(gòu)，不但給學(xué)生，不但給學(xué)生授課，而且在園中研究學(xué)術(shù)、著書立說。此外，學(xué)園授課，而且在園中研究學(xué)術(shù)、著書立說。此外，學(xué)園還給周邊的城邦提供各種還給周邊的城邦提供各種政治咨詢政治咨詢，在建國、立法、，在建國、立法、行政等各個方面出謀劃策，充當(dāng)智囊。行政等各個方面出謀劃策，充當(dāng)智囊。 柏拉圖學(xué)園的生命力很強(qiáng)，持續(xù)了柏拉圖學(xué)園的生命力很強(qiáng)，持續(xù)了900年年之久，之久，在歐洲的文化

26、教育史上具有重大而獨特的影響。在歐洲的文化教育史上具有重大而獨特的影響。自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 公元前公元前332年，亞歷山大大帝侵吞了埃及，在尼年，亞歷山大大帝侵吞了埃及，在尼羅河畔建立了亞歷山大城。后來托勒密把亞歷山大城羅河畔建立了亞歷山大城。后來托勒密把亞歷山大城定為國都，大力發(fā)展科學(xué)和文化。于是定為國都，大力發(fā)展科學(xué)和文化。于是亞歷山大城很亞歷山大城很快就成了古代世界的文化中心和商業(yè)中心，活躍了將快就成了古代世界的文化中心和商業(yè)中心，活躍了將近近一千年一千年。當(dāng)時大批的學(xué)者云集到亞歷山大城。在眾當(dāng)時大批的學(xué)者云集到亞歷山大城。在眾多的學(xué)者中多的學(xué)者中歐幾里得、阿基米德和阿波羅尼烏斯歐

27、幾里得、阿基米德和阿波羅尼烏斯對數(shù)對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)最大。歐幾里得的偉大貢獻(xiàn)是把一大堆散亂學(xué)的貢獻(xiàn)最大。歐幾里得的偉大貢獻(xiàn)是把一大堆散亂的、沒有嚴(yán)格證明的幾何定理變成了一座建立在鞏固的、沒有嚴(yán)格證明的幾何定理變成了一座建立在鞏固基礎(chǔ)上的幾何大廈。基礎(chǔ)上的幾何大廈。3. 亞歷山大時期亞歷山大時期自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 幾十年之后，阿基米德和阿波羅尼烏斯又幾十年之后，阿基米德和阿波羅尼烏斯又把幾何學(xué)提高到了無可超越的水平，一直保持把幾何學(xué)提高到了無可超越的水平，一直保持到到17世紀(jì)。世紀(jì)。 歐幾里得所著的歐幾里得所著的幾何原本幾何原本大約成書于大約成書于公元前公元前320年。年。在書中歐幾里得根據(jù)少數(shù)

28、的定在書中歐幾里得根據(jù)少數(shù)的定義、公理和公設(shè)，以絕對嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆绞接写涡虻亓x、公理和公設(shè)，以絕對嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆绞接写涡虻赝茖?dǎo)出了幾百個幾何定理，建立了一個精妙的推導(dǎo)出了幾百個幾何定理，建立了一個精妙的幾何學(xué)系統(tǒng)。幾何學(xué)系統(tǒng)。幾何原本幾何原本共有十三卷，不但共有十三卷，不但包括了平面幾何和立體幾何，而且論述了比例包括了平面幾何和立體幾何，而且論述了比例理論、數(shù)的理論、窮竭法等。理論、數(shù)的理論、窮竭法等。自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 阿基米德是古代最偉大的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)阿基米德是古代最偉大的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家。他補(bǔ)充了許多關(guān)于家。他補(bǔ)充了許多關(guān)于平面曲線圖形平面曲線圖形的求積法的求積法和和確定曲面所圍體積確定曲面

29、所圍體積的方法。他雖然還沒有極的方法。他雖然還沒有極限思想，但是已經(jīng)有了限思想，但是已經(jīng)有了極微分割的概念極微分割的概念。這實。這實際上就是際上就是微積分的先聲微積分的先聲，對，對17世紀(jì)的數(shù)學(xué)起了世紀(jì)的數(shù)學(xué)起了很重要的啟發(fā)作用。阿基米德研究過平面的平很重要的啟發(fā)作用。阿基米德研究過平面的平衡、拋物線求積法、求和圓柱、圓的度量、螺衡、拋物線求積法、求和圓柱、圓的度量、螺線、劈錐曲面和橢球、浮體、砂計算法等許多線、劈錐曲面和橢球、浮體、砂計算法等許多問題，樣樣都有很精彩的創(chuàng)造。阿基米德的許問題，樣樣都有很精彩的創(chuàng)造。阿基米德的許多見解和方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了他的時代。多見解和方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了他的時代。自然

30、科學(xué)概論自然科學(xué)概論 所以有人評說，他的見解不屬于亞歷山大學(xué)派，所以有人評說，他的見解不屬于亞歷山大學(xué)派，而應(yīng)該屬于牛頓甚至于高斯學(xué)派。而應(yīng)該屬于牛頓甚至于高斯學(xué)派。 阿波羅尼烏斯阿波羅尼烏斯比阿基米德年輕一些，很擅長幾何比阿基米德年輕一些，很擅長幾何學(xué)中的綜合法。他的學(xué)中的綜合法。他的名著是名著是圓錐曲線圓錐曲線。在這本書。在這本書中他否定了前人對圓錐曲線的定義，提出了中他否定了前人對圓錐曲線的定義，提出了橢圓、拋橢圓、拋物線、雙曲線物線、雙曲線等名稱，認(rèn)為圓錐曲線是平面與錐面的等名稱，認(rèn)為圓錐曲線是平面與錐面的截線。他證明了圓錐曲線的主要性質(zhì)，給出了求這些截線。他證明了圓錐曲線的主要性質(zhì)，

31、給出了求這些曲線的直徑、軸、中心以及切線的方法。他還研究了曲線的直徑、軸、中心以及切線的方法。他還研究了軌跡問題、圓錐曲線的相交問題、法線問題等，都非軌跡問題、圓錐曲線的相交問題、法線問題等，都非常的嚴(yán)密精準(zhǔn)。常的嚴(yán)密精準(zhǔn)。阿基米德阿基米德自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 古代各國雖然都有豐富的數(shù)學(xué)成果，但是它們的古代各國雖然都有豐富的數(shù)學(xué)成果，但是它們的數(shù)學(xué)全是實用數(shù)學(xué)，都是為了解決實際問題而發(fā)明的數(shù)學(xué)全是實用數(shù)學(xué)，都是為了解決實際問題而發(fā)明的各種計算技術(shù)。各種計算技術(shù)。唯獨古希臘的幾何學(xué)不是這樣。它是唯獨古希臘的幾何學(xué)不是這樣。它是理論數(shù)學(xué)理論數(shù)學(xué)。它是研究數(shù)學(xué)自身的性質(zhì)和規(guī)律，而不是它是研究數(shù)學(xué)

32、自身的性質(zhì)和規(guī)律，而不是為了解決具體領(lǐng)域中的實際問題。歐氏幾何學(xué)開創(chuàng)了為了解決具體領(lǐng)域中的實際問題。歐氏幾何學(xué)開創(chuàng)了數(shù)學(xué)和科學(xué)的公理化體系，不但對近代數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)數(shù)學(xué)和科學(xué)的公理化體系，不但對近代數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了重大的影響，而且對近代自然科學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展生了重大的影響，而且對近代自然科學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展也起到了不可估量的作用。也起到了不可估量的作用。三、古希臘代數(shù)學(xué)的特點三、古希臘代數(shù)學(xué)的特點自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 古希臘的數(shù)學(xué)雖然成就極高，但是也有明古希臘的數(shù)學(xué)雖然成就極高，但是也有明顯的缺點。顯的缺點。古希臘的學(xué)者普遍地崇尚幾何學(xué)而古希臘的學(xué)者普遍地崇尚幾何學(xué)而輕視算術(shù)和代數(shù)。輕視算術(shù)和代數(shù)

33、。他們認(rèn)為計算技術(shù)是市井俗他們認(rèn)為計算技術(shù)是市井俗人所需要的，不值得學(xué)者去研究。在他們的心人所需要的，不值得學(xué)者去研究。在他們的心目中幾何學(xué)包含了知識、藝術(shù)和哲理，才是學(xué)目中幾何學(xué)包含了知識、藝術(shù)和哲理，才是學(xué)者們研究的高雅的學(xué)問。由于這種偏見的流行，者們研究的高雅的學(xué)問。由于這種偏見的流行，代數(shù)學(xué)被人輕視，沒有得到顯著的發(fā)展，不像代數(shù)學(xué)被人輕視，沒有得到顯著的發(fā)展，不像幾何學(xué)那樣碩果累累。幾何學(xué)那樣碩果累累。希臘化時代希臘化時代自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 在托勒密逝世以后，希臘科學(xué)的黃金在托勒密逝世以后，希臘科學(xué)的黃金時代就結(jié)束了，時代就結(jié)束了，歐洲的文化也從此進(jìn)入了歐洲的文化也從此進(jìn)入了長達(dá)

34、一千年的停滯時期長達(dá)一千年的停滯時期。在羅馬時代，藝。在羅馬時代，藝術(shù)、文學(xué)和法律方面還有些創(chuàng)造，但是科術(shù)、文學(xué)和法律方面還有些創(chuàng)造，但是科學(xué)和數(shù)學(xué)則是衰落貧乏的。古羅馬人的意學(xué)和數(shù)學(xué)則是衰落貧乏的。古羅馬人的意識非常實際，只需要食物和娛樂，對學(xué)術(shù)識非常實際，只需要食物和娛樂，對學(xué)術(shù)和智慧則毫無興趣。和智慧則毫無興趣。自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 羅馬之后的羅馬之后的中世紀(jì)中世紀(jì)是基督教神學(xué)統(tǒng)治是基督教神學(xué)統(tǒng)治一切的黑暗時期。數(shù)學(xué)和科學(xué)都沒有像樣一切的黑暗時期。數(shù)學(xué)和科學(xué)都沒有像樣的成就。所幸的是古希臘的文化并沒有泯的成就。所幸的是古希臘的文化并沒有泯滅。先是在滅。先是在8世紀(jì)時被翻譯成阿拉伯文世

35、紀(jì)時被翻譯成阿拉伯文, 12世紀(jì)時又被歐洲人翻譯成了拉丁文。世紀(jì)時又被歐洲人翻譯成了拉丁文。這為這為后來的文藝復(fù)興運動和近代科學(xué)的誕生準(zhǔn)后來的文藝復(fù)興運動和近代科學(xué)的誕生準(zhǔn)備了條件。備了條件。自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 近代幾何的主要成就是在歐氏幾何學(xué)的基近代幾何的主要成就是在歐氏幾何學(xué)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的礎(chǔ)上發(fā)展起來的解析幾何、非歐幾何和公理幾解析幾何、非歐幾何和公理幾何學(xué)。何學(xué)。 笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何;高斯、羅巴切夫高斯、羅巴切夫斯基、小鮑耶、黎曼創(chuàng)立了非歐幾何斯基、小鮑耶、黎曼創(chuàng)立了非歐幾何;希爾伯希爾伯特創(chuàng)立了公理幾何學(xué)。特創(chuàng)立了公理幾何學(xué)。 2.2 2.2 近代的數(shù)學(xué)

36、成就近代的數(shù)學(xué)成就一、幾何學(xué)一、幾何學(xué)自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 16至至18世紀(jì)自然科學(xué)得到迅速的發(fā)展，出世紀(jì)自然科學(xué)得到迅速的發(fā)展，出于生產(chǎn)技術(shù)的需要，數(shù)學(xué)也為科學(xué)提供了新的于生產(chǎn)技術(shù)的需要，數(shù)學(xué)也為科學(xué)提供了新的方法和表述手段。進(jìn)入了方法和表述手段。進(jìn)入了16世紀(jì)以后，力學(xué)需世紀(jì)以后，力學(xué)需要描述物體的機(jī)械運動，處理各種隨時間變化要描述物體的機(jī)械運動，處理各種隨時間變化的力學(xué)量。這樣，的力學(xué)量。這樣，數(shù)學(xué)便被迫從研究常量擴(kuò)展數(shù)學(xué)便被迫從研究常量擴(kuò)展到對到對變量變量的研究，進(jìn)入變量數(shù)學(xué)時期。的研究，進(jìn)入變量數(shù)學(xué)時期。變量數(shù)變量數(shù)學(xué)的第一個突出的成就便是笛卡爾創(chuàng)立的解析學(xué)的第一個突出的成就便是

37、笛卡爾創(chuàng)立的解析幾何。幾何。1. 解析幾何的產(chǎn)生解析幾何的產(chǎn)生自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 1637年，笛卡爾出版了年，笛卡爾出版了幾何學(xué)幾何學(xué)一書，把一書，把“數(shù)數(shù)”與與“形形”緊密的結(jié)合起來，確立了解析幾何的中心思緊密的結(jié)合起來，確立了解析幾何的中心思想。他引入了坐標(biāo)系，使得代數(shù)方程可以表示幾何曲想。他引入了坐標(biāo)系，使得代數(shù)方程可以表示幾何曲線。他還線。他還引入了引入了變量和函數(shù)變量和函數(shù)的概念，把幾何曲線和質(zhì)的概念，把幾何曲線和質(zhì)點的運動軌跡聯(lián)系起來。點的運動軌跡聯(lián)系起來。對于一個運動物體來講，只對于一個運動物體來講，只要知道它的位置坐標(biāo)對于時間的函數(shù)，便可以求出坐要知道它的位置坐標(biāo)對于時間

38、的函數(shù)，便可以求出坐標(biāo)所滿足的代數(shù)方程，而這個方程所對應(yīng)的幾何曲線標(biāo)所滿足的代數(shù)方程，而這個方程所對應(yīng)的幾何曲線便是物體運動的軌跡。便是物體運動的軌跡。自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 由此可見，笛卡爾的坐標(biāo)法把代數(shù)、由此可見，笛卡爾的坐標(biāo)法把代數(shù)、幾何和運動緊緊地結(jié)合在一起了，不但幾何和運動緊緊地結(jié)合在一起了，不但創(chuàng)立了解析幾何，而且使變量進(jìn)入了數(shù)創(chuàng)立了解析幾何，而且使變量進(jìn)入了數(shù)學(xué)，學(xué)，變量數(shù)學(xué)變量數(shù)學(xué)也順利地進(jìn)入了力學(xué)。變也順利地進(jìn)入了力學(xué)。變量數(shù)學(xué)的第一成果是建立了微積分。量數(shù)學(xué)的第一成果是建立了微積分。所所以說解析幾何的創(chuàng)立促成了微積分的誕以說解析幾何的創(chuàng)立促成了微積分的誕生。生。自然科學(xué)概

39、論自然科學(xué)概論 19世紀(jì)是數(shù)學(xué)的大發(fā)展時期，取得了一系列的重世紀(jì)是數(shù)學(xué)的大發(fā)展時期，取得了一系列的重大成就。幾何中產(chǎn)生了大成就。幾何中產(chǎn)生了非歐幾何非歐幾何和和公理化方法公理化方法，代數(shù)，代數(shù)學(xué)中產(chǎn)生了學(xué)中產(chǎn)生了群論群論和和布爾代數(shù)布爾代數(shù)，分析學(xué)不但取得了長足，分析學(xué)不但取得了長足的發(fā)展，而且理論基礎(chǔ)也更加嚴(yán)格化。的發(fā)展，而且理論基礎(chǔ)也更加嚴(yán)格化。 幾千年來，歐氏幾何是人類唯一的、無可爭議的幾千年來，歐氏幾何是人類唯一的、無可爭議的幾何學(xué)。但是到了幾何學(xué)。但是到了19世紀(jì)，一場幾何學(xué)的革命風(fēng)暴到世紀(jì)，一場幾何學(xué)的革命風(fēng)暴到來了。來了。高斯、羅巴切夫斯基、小鮑耶、黎曼等人紛紛高斯、羅巴切夫斯基

40、、小鮑耶、黎曼等人紛紛向歐氏幾何提出了質(zhì)疑，創(chuàng)立了向歐氏幾何提出了質(zhì)疑，創(chuàng)立了新的幾何體系新的幾何體系。2. 非歐幾何非歐幾何自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 歐氏幾何中的第五公設(shè)是平行公理，其內(nèi)容是：歐氏幾何中的第五公設(shè)是平行公理，其內(nèi)容是：兩直線與第三直線相交，若兩個內(nèi)角和小于兩直線與第三直線相交，若兩個內(nèi)角和小于180時，時，則兩直線必是相交的。歷代的數(shù)學(xué)家都曾經(jīng)想改寫或則兩直線必是相交的。歷代的數(shù)學(xué)家都曾經(jīng)想改寫或撤銷這條公理，但是都以失敗告終。撤銷這條公理，但是都以失敗告終。 德國數(shù)學(xué)家高斯德國數(shù)學(xué)家高斯在很年輕的時候就有創(chuàng)立非歐幾在很年輕的時候就有創(chuàng)立非歐幾何的想法。他在何的想法。他在17

41、99年年12月的書信中曾說，平行公理月的書信中曾說，平行公理具有獨立性、不是其他公設(shè)的推論，并具有獨立性、不是其他公設(shè)的推論，并主張修改公設(shè)、主張修改公設(shè)、建立非歐幾何學(xué)建立非歐幾何學(xué)。（1 1）高斯的建議高斯的建議德國數(shù)學(xué)家高斯德國數(shù)學(xué)家高斯自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 俄國數(shù)學(xué)家俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基羅巴切夫斯基最初是想證明平行公理，最初是想證明平行公理，后來又轉(zhuǎn)向取消和撤換這條公理。最后終于提出了一后來又轉(zhuǎn)向取消和撤換這條公理。最后終于提出了一條新的公理來替換平行公理，建立了一種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆菤W條新的公理來替換平行公理，建立了一種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆菤W幾何。他用的新公理是：幾何。他用的新公理是：過線外一點可以

42、做出無數(shù)條過線外一點可以做出無數(shù)條直線不與給定的直線相交。直線不與給定的直線相交。羅氏是喀山大學(xué)的教授，羅氏是喀山大學(xué)的教授，于于1826年年2月月23日在該校的學(xué)術(shù)會議上公布了自己的成日在該校的學(xué)術(shù)會議上公布了自己的成果。因而這一天便成了非歐幾何的誕生日。與他同時，果。因而這一天便成了非歐幾何的誕生日。與他同時，小鮑耶也獨立地提出了非歐幾何。小鮑耶也獨立地提出了非歐幾何。后人常稱這種雙曲后人常稱這種雙曲幾何是鮑幾何是鮑羅幾何學(xué)。羅幾何學(xué)。 （2 2）鮑鮑羅幾何羅幾何自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 歐氏幾何中的第二公設(shè)講：歐氏幾何中的第二公設(shè)講：一條直線可以無限一條直線可以無限延長而不封閉延長而不封

43、閉。1854年，德國數(shù)學(xué)家黎曼仿效前人，年，德國數(shù)學(xué)家黎曼仿效前人，修改了這條公設(shè)。他提出了兩條新公理修改了這條公設(shè)。他提出了兩條新公理“凡直線都凡直線都相交；直線不能無限延長相交；直線不能無限延長”代替了第二公設(shè)，建立代替了第二公設(shè)，建立了另一種非歐幾何。了另一種非歐幾何。由于他把直線看成是橢圓上的由于他把直線看成是橢圓上的大圓弧，因而黎曼幾何也稱為橢圓幾何。大圓弧，因而黎曼幾何也稱為橢圓幾何。在黎曼幾在黎曼幾何中，過直線外一點不能做出該線的平行線，而且何中，過直線外一點不能做出該線的平行線，而且三角形內(nèi)角和是大于三角形內(nèi)角和是大于180的。的。（3 3）黎曼幾何黎曼幾何? ?非歐幾何非歐幾

44、何自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 非歐幾何不但是幾何學(xué)上的重大突破和發(fā)展。而非歐幾何不但是幾何學(xué)上的重大突破和發(fā)展。而且是人類空間觀念的重大變革。歐氏幾何是人類的日且是人類空間觀念的重大變革。歐氏幾何是人類的日常生活和直觀感覺的總結(jié)，在認(rèn)識和處理地球上的各常生活和直觀感覺的總結(jié)，在認(rèn)識和處理地球上的各種問題時，它是十分實用的。但是，如果要研究遙遠(yuǎn)種問題時，它是十分實用的。但是，如果要研究遙遠(yuǎn)的星球、認(rèn)識廣的宇宙，這種幾何就不夠用了。的星球、認(rèn)識廣的宇宙，這種幾何就不夠用了。 在愛因斯坦的廣義相對論中，不是使用歐氏幾何，在愛因斯坦的廣義相對論中，不是使用歐氏幾何，而是成功地使用了黎曼幾何。而是成功地使

45、用了黎曼幾何。非歐幾何的出現(xiàn)打破了非歐幾何的出現(xiàn)打破了歐氏幾何的壟斷地位，產(chǎn)生了各種新的幾何體系，促歐氏幾何的壟斷地位，產(chǎn)生了各種新的幾何體系，促成了拓?fù)鋵W(xué)的誕生。成了拓?fù)鋵W(xué)的誕生。拓?fù)鋵W(xué)拓?fù)鋵W(xué)-球面在球面在4維內(nèi)翻維內(nèi)翻自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 非歐幾何的建立使得很多數(shù)學(xué)家對幾何非歐幾何的建立使得很多數(shù)學(xué)家對幾何學(xué)的基礎(chǔ)十分關(guān)注，對研究公理系統(tǒng)十分感學(xué)的基礎(chǔ)十分關(guān)注，對研究公理系統(tǒng)十分感興趣。德國數(shù)學(xué)家希爾伯特在這一方面成就興趣。德國數(shù)學(xué)家希爾伯特在這一方面成就最大，創(chuàng)立了最大，創(chuàng)立了公理化方法公理化方法。1895年，他出版年，他出版了了幾何學(xué)的基礎(chǔ)幾何學(xué)的基礎(chǔ)，把公里化方法發(fā)展到，把公里化

46、方法發(fā)展到極致，成為幾何學(xué)的經(jīng)典名著。極致，成為幾何學(xué)的經(jīng)典名著。3. 希爾伯特的公理幾何希爾伯特的公理幾何自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 歐氏幾何雖然是歷代受人推崇的公理化系統(tǒng)，歐氏幾何雖然是歷代受人推崇的公理化系統(tǒng)，但是卻被希爾伯特找出了不少缺陷。例如它使用了但是卻被希爾伯特找出了不少缺陷。例如它使用了許多無定義的詞語許多無定義的詞語；就連點、線、面等原始概念也；就連點、線、面等原始概念也只是只是直觀描述直觀描述，夠不上嚴(yán)格的定義。另外，它的公，夠不上嚴(yán)格的定義。另外，它的公理系統(tǒng)的理系統(tǒng)的完備性、獨立性、協(xié)調(diào)性完備性、獨立性、協(xié)調(diào)性也并未得到證明。也并未得到證明。希爾伯特經(jīng)過縝密的研究，繼承了

47、歐氏幾何的合理希爾伯特經(jīng)過縝密的研究，繼承了歐氏幾何的合理部分，克服了它的缺點，提出了新的公理化系統(tǒng)。部分，克服了它的缺點，提出了新的公理化系統(tǒng)。希爾伯特系統(tǒng)首先取消了原始的定義，把定義包含希爾伯特系統(tǒng)首先取消了原始的定義，把定義包含在公理之中，由公理來刻畫。在公理之中，由公理來刻畫。自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 其次，他為公理系統(tǒng)規(guī)定了無矛盾性、獨立性、其次，他為公理系統(tǒng)規(guī)定了無矛盾性、獨立性、完備性等三條準(zhǔn)則。完備性等三條準(zhǔn)則。無矛盾性是指由這些公理不能推無矛盾性是指由這些公理不能推出互相矛盾的結(jié)果。獨立性是指各條公理都有價值，出互相矛盾的結(jié)果。獨立性是指各條公理都有價值，取消任何一條就會使一

48、些定理無法得證。完備性是指取消任何一條就會使一些定理無法得證。完備性是指一切定理均由公理系統(tǒng)推導(dǎo)出來。一切定理均由公理系統(tǒng)推導(dǎo)出來。依據(jù)上述方法，希依據(jù)上述方法，希爾伯特使用了爾伯特使用了20條公理條公理便成功地構(gòu)造了歐氏幾何。他便成功地構(gòu)造了歐氏幾何。他把把20條公理分為條公理分為5組，即聯(lián)系公理、順序公理、迭合組，即聯(lián)系公理、順序公理、迭合公理、平行公理和連續(xù)公理。希爾伯特證明了他的公公理、平行公理和連續(xù)公理。希爾伯特證明了他的公理系統(tǒng)能滿足上述的三條準(zhǔn)則；并且證明，如果增加理系統(tǒng)能滿足上述的三條準(zhǔn)則；并且證明，如果增加其中的一條公理便可得到一種新的幾何學(xué)。其中的一條公理便可得到一種新的幾

49、何學(xué)。 自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 希爾伯特的成功，使其大受推崇，形成希爾伯特的成功，使其大受推崇，形成了后來的了后來的布爾巴基布爾巴基學(xué)派。希氏本人也再接再學(xué)派。希氏本人也再接再厲，轉(zhuǎn)而研究整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，提出了著名厲，轉(zhuǎn)而研究整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，提出了著名的希爾伯特綱領(lǐng)，推動了數(shù)學(xué)中的公理化運的希爾伯特綱領(lǐng)，推動了數(shù)學(xué)中的公理化運動，影響了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和理論物理的研究。動，影響了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和理論物理的研究。 自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 在古代，代數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容是求解代數(shù)方程，在古代，代數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容是求解代數(shù)方程，取得了不少零散的成果。到了取得了不少零散的成果。到了19世紀(jì)的初葉，研究世紀(jì)的初葉，研究五

50、次和五次以上代數(shù)方程的根式解法是一個熱門課五次和五次以上代數(shù)方程的根式解法是一個熱門課題。使人振奮的是，求解五次方程的工作引出了群題。使人振奮的是，求解五次方程的工作引出了群的概念，開創(chuàng)了的概念，開創(chuàng)了群論和布爾代數(shù)兩個新的領(lǐng)域，群論和布爾代數(shù)兩個新的領(lǐng)域，促促進(jìn)了代數(shù)學(xué)的蓬勃發(fā)展。進(jìn)了代數(shù)學(xué)的蓬勃發(fā)展。 二、代數(shù)學(xué)的發(fā)展二、代數(shù)學(xué)的發(fā)展1. 代數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域代數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 群的思想在群的思想在18世紀(jì)時就已經(jīng)產(chǎn)生了。世紀(jì)時就已經(jīng)產(chǎn)生了。1770年拉格朗日在討論五次方程的解法時就曾經(jīng)提年拉格朗日在討論五次方程的解法時就曾經(jīng)提出過群的思想。出過群的思想。在他之后，魯菲尼和阿

51、貝爾繼在他之后，魯菲尼和阿貝爾繼續(xù)用群論方法研究五次方程的求解。前者提出續(xù)用群論方法研究五次方程的求解。前者提出了一般的五次方程不能用根式求解，后者于了一般的五次方程不能用根式求解，后者于1824年嚴(yán)格地證明了這一定理。這一定理和年嚴(yán)格地證明了這一定理。這一定理和1799年高斯證明的定理發(fā)生了瓜葛。高斯提出：年高斯證明的定理發(fā)生了瓜葛。高斯提出：高次方程有可能用根式求解。于是巴黎科學(xué)院高次方程有可能用根式求解。于是巴黎科學(xué)院便懸賞：誰能給出根式求解的判據(jù)。便懸賞：誰能給出根式求解的判據(jù)。自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 群論是法國傳奇式人物群論是法國傳奇式人物伽羅瓦伽羅瓦（ Galois，181118

52、32年）的發(fā)明。他用該理論，具體來年）的發(fā)明。他用該理論，具體來說是伽羅瓦群，解決了五次方程問題。說是伽羅瓦群，解決了五次方程問題。 1828年，年僅年，年僅17歲的法國學(xué)生伽羅瓦遞交了一篇論歲的法國學(xué)生伽羅瓦遞交了一篇論文，徹底解決了這一問題。他的方法是：文，徹底解決了這一問題。他的方法是：第一第一步證明每個代數(shù)方程必定有一個置換群與其對步證明每個代數(shù)方程必定有一個置換群與其對應(yīng)，第二步是利用群的性質(zhì)判定一個高次方程應(yīng)，第二步是利用群的性質(zhì)判定一個高次方程是否能用根式求解。是否能用根式求解。天才少年解決了一個數(shù)學(xué)天才少年解決了一個數(shù)學(xué)難題，創(chuàng)立了著名的伽羅瓦理論。但不幸的是，難題，創(chuàng)立了著名

53、的伽羅瓦理論。但不幸的是，他在他在21歲時便在決斗中去世了。歲時便在決斗中去世了。伽羅瓦決斗伽羅瓦決斗自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 在數(shù)學(xué)和抽象代數(shù)中，在數(shù)學(xué)和抽象代數(shù)中，群論研究名為群的代數(shù)結(jié)構(gòu)。群論研究名為群的代數(shù)結(jié)構(gòu)。群在抽象代數(shù)中具有基本的重要地位：許多代數(shù)結(jié)構(gòu)，群在抽象代數(shù)中具有基本的重要地位：許多代數(shù)結(jié)構(gòu)，包括環(huán)、域和模等可以看作是在群的基礎(chǔ)上添加新的運包括環(huán)、域和模等可以看作是在群的基礎(chǔ)上添加新的運算和公理而形成的。算和公理而形成的。群的概念在數(shù)學(xué)的許多分支都有出群的概念在數(shù)學(xué)的許多分支都有出現(xiàn)，而且群論的研究方法也對抽象代數(shù)的其它分支有重現(xiàn)，而且群論的研究方法也對抽象代數(shù)的其它分支

54、有重要影響。要影響。群論的重要性還體現(xiàn)在物理學(xué)和化學(xué)的研究中，群論的重要性還體現(xiàn)在物理學(xué)和化學(xué)的研究中，因為許多不同的物理結(jié)構(gòu)，如晶體結(jié)構(gòu)和氫原子結(jié)構(gòu)可因為許多不同的物理結(jié)構(gòu)，如晶體結(jié)構(gòu)和氫原子結(jié)構(gòu)可以用群論方法來進(jìn)行建模。于是群論和相關(guān)的群表示論以用群論方法來進(jìn)行建模。于是群論和相關(guān)的群表示論在物理學(xué)和化學(xué)中有大量的應(yīng)用。在物理學(xué)和化學(xué)中有大量的應(yīng)用。2. 群論及其應(yīng)用群論及其應(yīng)用自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 群論的創(chuàng)立使代數(shù)學(xué)發(fā)生了一個大的飛躍：群論的創(chuàng)立使代數(shù)學(xué)發(fā)生了一個大的飛躍：由研究由研究方程轉(zhuǎn)向研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，由研究數(shù)的運算轉(zhuǎn)向研究抽方程轉(zhuǎn)向研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，由研究數(shù)的運算轉(zhuǎn)向研究抽象元

55、素的運算關(guān)系。象元素的運算關(guān)系。 1841年，德國的雅克比建立了行列式理論，發(fā)展了年，德國的雅克比建立了行列式理論，發(fā)展了線性代數(shù)；線性代數(shù)；1848年英國的哈密頓提出了向量、發(fā)現(xiàn)了四年英國的哈密頓提出了向量、發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)、開始研究超復(fù)數(shù)系。元數(shù)、開始研究超復(fù)數(shù)系。1873年挪威人李創(chuàng)立了連續(xù)年挪威人李創(chuàng)立了連續(xù)群理論，稱為李群和李代數(shù)。群理論，稱為李群和李代數(shù)。德國的克朗尼格給出了群德國的克朗尼格給出了群的公理結(jié)構(gòu)，成為抽象群的出發(fā)點。到了的公理結(jié)構(gòu)，成為抽象群的出發(fā)點。到了19世紀(jì)的末葉，世紀(jì)的末葉，群論已經(jīng)發(fā)展得很成熟，并且成功地用于研究晶體的性群論已經(jīng)發(fā)展得很成熟，并且成功地用于研究晶

56、體的性質(zhì)。進(jìn)入質(zhì)。進(jìn)入20世紀(jì)以后，群論已成為理論物理中一種非常世紀(jì)以后，群論已成為理論物理中一種非常重要的數(shù)學(xué)工具了。重要的數(shù)學(xué)工具了。自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 19世紀(jì)的中葉，代數(shù)學(xué)中又產(chǎn)生了一個新的分世紀(jì)的中葉，代數(shù)學(xué)中又產(chǎn)生了一個新的分支支邏輯代數(shù)。邏輯代數(shù)。這門學(xué)科是英國的布爾首創(chuàng)的，常稱這門學(xué)科是英國的布爾首創(chuàng)的，常稱為布爾代數(shù)。為布爾代數(shù)。 在布爾代數(shù)上的運算被稱為在布爾代數(shù)上的運算被稱為AND(與與)、OR(或或)和和NOT(非非)。代數(shù)結(jié)構(gòu)要是布爾代數(shù)，這些運算的行為。代數(shù)結(jié)構(gòu)要是布爾代數(shù)，這些運算的行為就必須和兩元素的布爾代數(shù)一樣就必須和兩元素的布爾代數(shù)一樣(這兩個元素是這

57、兩個元素是TRUE(真真)和和FALSE(假假)。布爾。布爾(Boole，G.)為研究思維為研究思維規(guī)律規(guī)律(邏輯學(xué)邏輯學(xué))于于1847年提出的數(shù)學(xué)工具。年提出的數(shù)學(xué)工具。3. 邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 布爾在布爾在1847和和1854年先后出版了年先后出版了邏輯的邏輯的數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析、思維規(guī)律的研究思維規(guī)律的研究兩本書，把兩本書，把形式邏輯歸并為一套代數(shù)的演算。它包含集合形式邏輯歸并為一套代數(shù)的演算。它包含集合B連同在其上定義的兩個二元運算連同在其上定義的兩個二元運算+，和一個一和一個一元運算元運算，布爾代數(shù)具有下列性質(zhì)：對，布爾代數(shù)具有下列性質(zhì)：對B中任意中任意元素元素a

58、，b，c，有：，有： 1a+b=b+a，ab=ba. 2a(b+c)=ab+ac， a+(bc)=(a+b)(a+c). 3a+0=a，a1=a. 4a+a=1，aa=0.自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 布爾代數(shù)也可簡記為布爾代數(shù)也可簡記為B=B，+，。在不致混淆的情況下，也將集合在不致混淆的情況下，也將集合B稱作布爾代稱作布爾代數(shù)。布爾代數(shù)數(shù)。布爾代數(shù)B的集合的集合B稱為布爾集，亦稱布稱為布爾集，亦稱布爾代數(shù)的論域或定義域，它是代數(shù)爾代數(shù)的論域或定義域，它是代數(shù)B所研究對所研究對象的全體。象的全體。一般要求布爾集至少有兩個不同的一般要求布爾集至少有兩個不同的元素元素0和和1，而且其元素對三種運算，

59、而且其元素對三種運算+， 都都封閉，因此并非任何集合都能成為布爾集。布封閉，因此并非任何集合都能成為布爾集。布爾代數(shù)的運算符號也有別種記法，如爾代數(shù)的運算符號也有別種記法，如，- ;，? 等。等。 自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 兩元素的布爾代數(shù)被用于電路設(shè)計中，兩元素的布爾代數(shù)被用于電路設(shè)計中，這里的這里的 0 和和 1 代表數(shù)字電路中一個位的兩種不同狀態(tài)，代表數(shù)字電路中一個位的兩種不同狀態(tài)，典型的典型的是高電壓和低電壓。是高電壓和低電壓。電路通過包含變量的表達(dá)式來描電路通過包含變量的表達(dá)式來描述，兩個這種表達(dá)式對這些變量的所有的值是等價的，述，兩個這種表達(dá)式對這些變量的所有的值是等價的，當(dāng)且僅當(dāng)

60、對應(yīng)的電路有相同的輸入當(dāng)且僅當(dāng)對應(yīng)的電路有相同的輸入-輸出行為。此外，輸出行為。此外，所有可能的輸入所有可能的輸入-輸出行為都可以使用合適的布爾表達(dá)輸出行為都可以使用合適的布爾表達(dá)式來建模。因此，式來建模。因此，布爾代數(shù)是電子計算機(jī)和自動化理布爾代數(shù)是電子計算機(jī)和自動化理論的有力工具，有重要的應(yīng)用價值。論的有力工具，有重要的應(yīng)用價值。在理論方面，布在理論方面，布爾代數(shù)與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相結(jié)合，完善了命題演算和謂詞演爾代數(shù)與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相結(jié)合，完善了命題演算和謂詞演算，發(fā)展成了數(shù)理邏輯。算，發(fā)展成了數(shù)理邏輯。自然科學(xué)概論自然科學(xué)概論 17世紀(jì)時，牛頓和萊布尼茲發(fā)明了微積分，世紀(jì)時，牛頓和萊布尼茲發(fā)明了微積分