1、第 12章 20 世紀數學概觀課時： 4 課時教學目標：理解20 世紀純粹數學（核心數學）、應用數學、數學與計算機等發展的重要特征及其主要成果。教學方式：閱讀史料、討論思考、感悟總結主題：20 世紀數學的發展概述：在 16 世紀之前形成了以代數和幾何的初等數學體系，主要對象是現實世界的靜態描述，表現為解釋性和工具性功能。17 世紀伴隨解析幾何和微積分的創立和18 世紀分析的開拓，數學的發展進入近代數學，其處理對象進入變量，形成了以函數概念為主體的分析領域，數學表現為科學的工具。19 世紀，傳統領域的崛起和開拓，極大突破了分析一統天下的局面，形成了現代數學經典三大學科：代數、幾何和分析。這一世紀

2、，人才輩出，經過眾多數學家的努力極大拓展了數學的疆域和數學信念，數學本位特征加強。20 世紀，數學急劇膨脹，純粹數學的擴張、應用數學的發展和計算機的應用為數學點綴了一個絢麗的天空，讓人應接不暇。我們不僅驚異于數學的偉大成就，而且也受益于數學創造帶來的力量。I 20世紀純粹數學的發展線索問題：1 20 世紀純粹數學發展的主要特征或趨勢是什么？2 希爾伯特23 個問題的重要意義是什么？3 公理化方法和集合論在20 世紀數學發展中的意義是什么？4 20 世紀有哪些重要的學科的發展及其基本思想是什么？5 20 世紀數學統一化的主要數學成果有哪些？6 三大學派的代表人物及其主要思想有哪些？主要內容：19

3、 世紀數學的變革與積累使數學建立了分支眾多、知識龐大的體系，已經初步體現出了參天大樹的雛形，20 世紀的數學在此基礎上急劇擴展，并廣泛應用，為數學的發展展現了廣闊的前景和提供了強大的動力。20 世紀的數學發展表現出了如下主要特征和趨勢：1）更高的抽象性；（ 2）更強的統一性（同時，數學也表現出了更大的分化性，呈現多元化發展）； （ 3）更深入的基礎探討。一、新世紀數學序幕1900 年 8 月，在巴黎舉行的第二屆國際數學家大會（1897 年在瑞士舉行第一次大會）上，德國數學家希爾伯特在大會上發表了題為數學問題的演說，高瞻遠矚地提出了著名的23 個問題。這些問題涉及到現代數學的許多重要領域，這些問

4、題成了新世紀科學前進的杠杠，激發著數學家的激情。一個世紀以來，伴隨希爾伯特問題的解決與研究，大大推動了數理邏輯、幾何基礎、李群論、數學物理、概率論、數論、函數論、代數幾何、微分方程、黎曼曲面論、變分法等一系列學科的發展，有些問題的研究還促進了現代計算理論的成長。當然， 20 世紀的數學發展遠遠超出了希爾伯特問題的范圍。二、更高的抽象1 抽象方法的建立高度抽象化是20 世紀純粹數學的主要趨勢與特征之一，這種趨勢與特征主要在兩大因素的推動下形成的，即集合論的觀點和公理化的觀點。集合論由康托爾創立，主要對象是超限數理論。這一理論發展成了20 世紀數學的基礎。集合概念本身被抽象化，建立了公理化集合論。

5、同時，集合論作為一種普遍的語言深入到數學的每一個角落，初等數學的一些基本概念也集合化了。公理化方法：現代公理化方法的奠基人是希爾伯特。他發展了歐氏幾何的公理體系，形成了現代公理化方法?，F代公理方法有兩個本質的飛躍?，F代公理化方法重在公理結構而不是對象概念。這樣現代公理系統就表現了更大的一般性。當賦予公理關系中以具體對象時，那么公理系統就形成了各種各種特殊的理論。希爾伯特建立了現代公理方法的基本邏輯要求，即相容性；獨立性和完備性。這樣的體系就為公理系統結構建立嚴密的邏輯基礎。因此，公理化方法成了現代科學組織理論知識的工具。集合論和公理化方法在20 世紀組建成為數學抽象和科學抽象的范式，它們的相互

6、結合把數學甚至科學引向了高度抽象的道路。數學高度抽象的發展，形成了20 世紀上半葉實變函數論、泛函分析、拓撲學和抽象代數這四大標志性的學科的形成。這些學科所創造了抽象語言，結構和方法，又滲透到數論、微分方程論、微分幾何、代數幾何、復變函數及概率論等經典學科，推動它們在更抽象的基礎上革新演化。2 抽象學科的形成：（ 1）實變函數論積分學變革是從“病態函數”的積分問題研究開始，創立了勒貝格積分，在此基礎上，推廣了導數等微積分等基本概念，重建了微積分的基本定理等，逐步形成了實變函數論。實變函數論是普通微積分的推廣，它使微積分使用的范圍大大擴展，引起數學分析的深刻變化。勒貝格積分看成是現代分析的開端，

7、人們把柯西和黎曼積分稱作是經典分析，而前者稱為現代分析。3 2） 泛函分析在變分法求積分問題一解涉及到“泛函”，即關于函數的函數。泛函的抽象理論在 19 世紀末 20 世紀初首先由意大利數學家伏爾泰拉（稱“線函數”）和法國數學家阿達馬（ “泛函”名稱即由此得來）在變分法研究中開創。積分方程也是泛函的一個來源。19 世紀末瑞典數學家弗雷德霍姆將積分方程看成是線性代數方程組的極限情形。其后，希爾伯特通過嚴密的極限過程將有限線性代數方程組的結果有效地類比推廣到積分方程。這一過程，他創立了希爾伯特空間，是第一個具體的無窮維空間。其后，他的學生施密特和馮.諾伊曼等進一步研究無窮數組集合，并經過幾何類比，

8、由內積概念建立了高維空間。后來，匈牙利數學家里斯和德國數學家費舍爾建立了這些空間平方勒貝格可積函數與平方可積數組的等價關系，于是一個平方可積函數就可以看成無窮維空間L2（a,b）上的一個點。簡單地說，泛函分析就是這種抽象函數空間上的微 積分。從觀念上看，空間和函數兩個基本概念有了變革： “空間”被理解為某類元素的集合，這些元素的關系被稱作空間結構； “函數”概念則被推廣為兩個空間之間的元素的映射關系。其中，將函數映為實數（或復數）的映射稱為泛函。對此明確闡述的是法國數學家弗雷歇，他是抽象泛函分析的奠基人。抽象空間理論與泛函分析在20 世紀上半葉就有了巨大發展。1922 年，波蘭數學家巴拿赫提出

9、了更一般的賦范空間概念，極大拓廣了泛函分析的疆域。巴拿赫也是現代泛函分析的奠基人。廣義函數論也是20 世紀泛函分析發展中的重大事件。法國數學家施瓦茨、原蘇聯數學家索伯列夫和蓋爾范德等對此作了貢獻。泛函分析有力推動了其他分析分支的發展，使整個分析領域的面貌發生了巨大變化，其觀點和方法還滲透到其他科學與工程技術領域。（ 3）抽象代數在 20 世紀公理化方向向各個領域滲透的過程中，抽象代數的形成與發展占有特殊的地位。19 世紀，關于群的概念的確立，代數學的對象突破了數的范疇，在群的概念對象發展中，人們構造了各種各樣的群，發展了與相關的各種代數系統。后來人們注意到這些代數系統中的具體對象并不重要，重要

10、的是這些元素的運算和所服從的規律。數學家們開始舍棄對象的具體性質，開始從具體的代數系統向抽象代數系統的過渡。凱萊首先 （ 1849 1854） 引進了 （有限） 抽象群概念；弗羅貝尼烏斯（ 1849 1917）發展（1895）了群表示論，韋伯（1842 1913）提出（1893）域的抽象理論。20世紀初，享廷頓域狄克森給出了抽象群的公理系統（1902， 1905） ；斯坦尼茲對抽象域的綜合研究（1911） ，韋德波恩發展了線性結合代數（1907） 。20 年代后，在希爾伯特直接影響下的諾特（1882 1935）及其學派最終確立了公理化方法在代數領域的統治地位。1921 年諾特發表環中的理想論揭

11、開了現代抽象代數的開端。她用公理化泛函發展了一般理想論，奠定了抽象交換環理論的基礎。其后逐步建立非交換代數及其表示理論，1932 年與人合作證明的“代數主定理”稱為代數發展史上的重大轉折。由于她的工作，吸引了世界各地的學者，形成了哥廷根抽象代數學派。因此，哥廷根大學成了20 世紀 20 年代和 30 年代前期世界抽象代數中心。抽象代數使代數結構成為代數學研究的中心，代數結構由集合以及集合元素之間的二元運算組成。代數結構對現代數學的發展產生了深遠影響，在此基礎上，法國布爾巴基學派提出了一般的數學結構觀點，明確了另外兩類結構 “拓撲結構”和 “序結構” ，并將它們結合代數結構稱為“母結構”。結構觀

12、點可以說是公理化方法更上一層樓，引起了對數學中更一般的抽象結構的研究。（ 4）拓撲學拓撲學是研究幾何圖形的連續性質，即在連續變形下保持不變的性質。早期的哥尼斯堡七橋問題、地圖四色問題都與拓撲學有關，高斯耶研究過與拓撲學有關的問題。“拓撲學”名稱則是高斯學生尼斯廷首先引用的。但是，拓撲學本質上是 20 世紀抽象學科。龐加萊在1895 1905 年間發表了一組論文，開創了現代拓撲學研究，他將幾何圖形剖分成有限個相互連接的基本片，并用代數組合的方法研究其性質，即形成了組合拓撲學。1926 年，諾特注意到群論在組合拓撲學中的重要意義。此后，一系列數學家將組合拓撲學發展成代數拓撲學。從點集概念出發，則建

13、立起的是“點集拓撲學”或“一般拓撲學”。（ 5）公理化概率論概率論的公理化，是20 世紀數學抽象的又一大成果。概率論起源于15 16世紀關于賭博問題的討論。到19世紀，在一系列數學家的努力下， 概率論積累了大量的概念和定理并系統化，開始從組合技巧向分析方法過渡。19 世紀后期，極限理論的發展成了概率論研究的中心課題。19 世紀末，人們開始追求概率論的基礎。20 世紀，在人們對概率論公理化的過程中，揭示了概率論的基本概念于測度論及度量函數基本概念之間的深刻相似性，使數學家們看到了一條建立概率論邏輯基礎的正確道路。20 年代開始，前蘇聯數學家科爾莫戈羅夫通過概率論和數學分析之間概念的類比，建立了公

14、理化概率論。從而賦予了概率論以演繹數學的特征。在公理化基礎上，現代概率論取得了一系列理論突破。三、數學統一化數學統一化的趨勢是20 世紀數學的又一大特征。數學不同領域和分支的方法和思想不斷交叉融合，形成了一系列的綜合性交叉學科。1 微分突破和代數拓撲以微分流行為基本對象的拓撲學就是微分拓撲學。2 整體微分幾何整體微分幾何以研究微分幾何性質于整體性質的聯系為目標。陳省身作了奠基性的貢獻。整體微分幾何表現了與現代分析學更深刻的聯系。3 代數幾何用抽象的代數方法在抽象域中建立代數幾何理論。4 多復變函數論多復變函數論是單復變函數論的自然推廣。20 世紀下半葉，綜合運用了拓撲學、微分幾何、偏微分方程以

15、及抽象代數領域的概念與方法，多復變函數論取得了長足的進步和突破。以華羅庚為首的中國數學家在此方向作出了自己的特色。5 動力系統動力系統的研究由于拓撲方法和分析方法的結合取得了重大進步，借助于計算機又拓展了混沌、分岔、分形理論的研究。6 偏微分方程與泛函分析偏微分方程以往主要以冪級數為主要工具。20 世紀， 借助了泛函分析的觀點和方法打開了全新的局面?，F代偏微分方程論與拓撲學、微分幾何、多復變函數論都有密切的聯系。7 隨機分析概率論與分析、幾何等結合。數學是統一的。數學理論越向前發展，就越顯示出數學結構的一致性。數學的這種統一性是數學發展的源泉，也是數學與其他學科廣泛聯系的生命力。四、深入的基礎

16、探討數學的嚴格性是數學家追求的目標，也是人們信服數學真理性的理由。數學基礎的嚴格化是在對數學悖論的探討中發展起來的。每一次探討都引起了數學發展的高峰，變革了人們的認識觀念。20 世紀的數學基礎的研究是在集合論悖論的討論中發展起來的。1 羅素悖論1901 年，羅素提出了一個被稱之為“理發師悖論”的集合問題。這一悖論引起了數學的第三次危機。羅素悖論的兩種表述：M 是其自身的集合，N 表示不是其自身的集合，那么N 是屬于哪個集合?！袄戆l師悖論”：一小島上的理發師有一個規定：他只給那些不給自己理發的人理發，那么他的發誰理呢。羅素悖論除了集合概念外不設計任何概念，從而明白無疑地揭示了集合論本身存在矛盾，

17、在數學界引起一片震驚。這類悖論產生的原因羅素認為是一個待定義的對象用了包含該對象在內的一類對象來定義。這樣集合論和整個經典分析都包含著悖論。為了消除悖論，人們對集合概念加以公理化，并建立了各種公理系統。三大學派：對集合論悖論的進一步的嘗試，形成了關于數學基礎的三大學派，即以羅素為代表的邏輯主義；以布勞威爾為代表的直覺主義和以希爾伯特為代表的形式主義?？涨鞍l展的應用數學線索問題：1 20 世紀應用數學有哪些特點？2 數學物理、生物數學、數理經濟學等學科有哪些成果？3 數理統計、運籌學和控制論等學科特點有哪些？4 計算數學、機器證明等有哪些主要成果？主要內容：應用數學的特點：20 世紀 40 年代

18、以后數學以空前的廣度與深度向其他科學技術和人類知識領域滲透，數學與計算機的結合，使應用數學發展成為當代數學的一股強大的潮流。表現為如下特點：（ 1）數學的應用突破了傳統的范圍而向人類幾乎所有的知識領域滲透。（ 2）純粹數學幾乎所有的分支都獲得了應用，其中最抽象的一些分支也參與了滲透。（ 3）現代數學對生產技術的應用變得越來越直接。（ 4）現代數學在向外滲透的過程中，產生了一些相對獨立的應用學科。這些主要有：數理統計、運籌學、控制論等。這些學科利用數學方法與數學理論為基礎，發展成為相當廣泛的領域。計算機發明，產生了許多相關的數學學科：如計算數學。四色定理的機器證明可以看成純粹數學研究與計算機結合

19、的典范。計算機科學中的數學：如組合數學和模糊數學。組合數下顎：早期的組合數學的趣味性和益智性激起了許多的人類探求欲望，當它逐漸與后來的數論/概率論等現代數學領域結合在一起，才顯示出了理論和應用上的價值。現代組合數學研究任意一組離散性事物如何按一定規則安排成各種集合，包括這種安排的存在性、記數、構造與優化等。模糊數學：1965 年，美國數學家扎德發表模糊集合，開辟新的數學分支模糊數學。模糊數學是對經典數學的基礎集合論的改造，因此它引起了數學的廣泛的變革，出現了多種模糊數學的分支。模糊數學和計算機結合在一起，發展了數學對日益復雜的系統的應用。模糊數學已被應用于專家系統、知識工程等方面，與新型計算機

20、的研制有密切的關系。機器證明：機器證明的發展是人工智能發展的一個方向。機器證明是指針對于一整類問題的一般的機械化證明，厄976 年以后，中國數學家吳文俊開辟了一條定理機器證明的代數化途徑。m現代數學成果十例線索問題：1 歌德爾不完全性定理的重大意義是什么？2 四色問題的內容是什么？3 20 世紀在幾何觀念在維度上有什么變化？8綜述數學五千年的歷史，后浪推前浪，浩浩蕩蕩，滾滾奔騰而來，又不停向前奔去。19 世紀的數學：18 世紀法國大革命也帶來了法國的數學繁榮。拉格朗日（1736 1813） 、拉普拉斯（1749 1827） 、勒讓德、蒙日都是一代數學權威。1794 年誕生的法國綜合工科學校，成

21、為19 世紀初世界數學中心。傅立葉（1768 1830）的調和分析，柯西（1789 1857 ）的分析學就是其中的代表。進入19 世紀中葉，德國的哥廷根大學崛起。數學王子高斯（1789-1857）稱雄世界，黎曼（1826 1866）給世人留下了眾多的數學珍品。法國和德國在數學上爭雄的局面貫穿了整個19 世紀。19 世紀是數學思想革命的世紀。伽羅瓦的群論，羅巴切夫斯基的非歐幾何學，柯西的復變函數論，為人們打開了全新的天地。數學完全獨立出來，進入了抽象的意境世界，揭開了充滿創造激情的數學文化新篇章。另一方面，數學的應用繼續前行。以英國為首的應用數學傳統大放異彩。英國亞當斯和法國的勒威耶用數學計算了海王星的軌道，傅立葉（法）分析推動了熱力學和振動理論，格林（英）的位勢理論推動了電磁學理論的發展，麥克斯韋（英）的電磁方程更是