1、 專題研究 平面向量的綜合應用 1 設a, b是非零向量，若函數 f(x) = (xa+ b) ( a-xb)的圖像是一條直線，則必有 ( ) A. a 丄 b B. a / b C. |a| = |b| D. | a| 豐 |b| 答案 A 解析 f(x) = (xa+ b)- (a xb)的圖像疋條直線，即 f(x)的表達式是關于 x 的一次函數或常函數.而 (xa 2 + b) ( a xb) = x a -b + (a2 b2)x + a - b，故 a - b= 0,即 a丄b,故應選 A. 2. 在平行四邊形 ABCD 中, AB= a, AD= b,則當(a+ b)2= (a-b

2、)2時，該平行四邊形為( ) A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.以上都不正確 答案 B 解析 在平行四邊形中，a+ b= AB+ AD= AC, a- b=AB- AD= DB T|a+ b| = | a-b| , A |AC| = |DB|，對角線相等的平行四邊形為矩形，故選 B. 3. 已知向量 a = (1 , sin 0 ) , b = (1 , cos 0)，則 | a-b| 的最大值為( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 答案 B 解析 / a= (1 , sin 0 ), b= (1 , cos 0 )，二 a- b = (0 , sin 0 cos 0 ). A |

3、 a b| = 02+( sin 0 cos 0 ) 2= 1 sin2 0 . |a b|最大值為.2.故選 B. 4. 已知 A , B 是圓心為 C 半徑為 5 的圓上兩點，且|AB| = . 5 ,則AC- CB 等于( ) 答案 A 解析 由于弦長 |AB| = .5 與半徑相同，則/ AC B= 60 ? AC- CB=- CA- CB=- |CA| |CB| cos / ACB=- 5 寸 5 cos60 = |. 5. (2017 保定模擬)若 0 是厶 AB(所在平面內一點， 且滿足|OB-OC = |OB+ OC lOA，則 ABC 的形狀是( ) A. 等腰三角形 B.直

4、角三角形 C.等腰直角三角形 D.等邊三角形 答案 B 解析 OB+ OC- 2OA= OB- O 陽 OC- OA= AB+ AC, OB- OC= CB= AB AC,C. 0 D. 5 .3 2- 2017 年高考“最后三十天”專題透析 好教育云平臺教育因你我而變 2 2 2 - |AB + Aq = |AB AC| ? |AB + AC| = |AB AC| ? AB - AC= 0, 三角形為直角三角形，故選 B. 6. (2015 山東，理)已知菱形 ABCD 勺邊長為 a,/ ABO 60,則CE ( ) 3 D.a 答案 D 解析 在菱形 ABCD 中, E3A= CD, E3

5、A+ BC,所以 BD-C1D= (BA + BC) - CD= BA-CD BC-C1D= a2 + aX aX cos60 2 1 2 3 2 =a + 2a = 2a . 7. (2017 課標全國n,理)已知 ABC 是邊長為 2 的等邊三角形，P 為平面 ABC 內一點，則 PA- (PB + PC 的最 小值是( ) 3 A. 2 B.- 2 4 C. 3 D. 1 答案 B 解析 如圖，以等邊三角形 ABC 的底邊 BC 所在直線為 x 軸，以 BC 的垂直平分線為 y 軸 建立平面直角坐標系，則 A(0 , 3) , B( 1, 0) , C(1 , 0)，設 P(x , y)

6、，則 PA= ( x, 寸 3 y) , PB= ( 1 x, y)，心(1 x, y),所以 PA-(PB +PCC = ( x，衍y)-( 2x, 2y) = 2x2+ 2(y 一f)2 |,當 x= 0, y = # 時，PA- (PB+ PC)取得最小值，為一|, 選 B. &在 ABC 中，BC a, CA= b, AB= c,且 a -b = b -c= c - a ,則厶 ABC 的形狀是( ) A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等邊三角形 答案 D 解析 因a, b, c均為非零向量，且 a -b = b -c ,得b - (a c) = 0? b丄(

7、a c). 又 a + b+ c= 0? b= (a+ c), (a+ c) - (a c) = 0? a = c ,得 |a| = |c| . 同理 |b| = |a| , |a| = |b| = |c| . 故厶 ABC 為等邊三角形. 9. (2018 天津模擬)已知 ABC 是邊長為 1 的等邊三角形，點 D, E 分別是邊 AB, BC 的中點，連接 DE 并延長 到點 F,使得 DE= 2EF,則AF - BC 的值為( ) 1 A. 3 2 2a B. 3a2 4 3 C. a 4 A. V 2017 年高考“最后三十天”專題透析 好教育云平臺教育因你我而變 2 B. 83 答案

8、 B 解析 / A(x, y)，向量 OA 與關于 y 軸對稱，二 B( x, y) , AB= ( 2x, 0) . v oA+ a AB 0, A x2+ y2- 2x = (x 1)2 + y21. BC= 1 3 = 1 選 B. 10. (2018 安徽師大附中月考)在平面直角坐標系 xOy 中，已知向量 OA 與 OB 關于 y 軸對稱，向量a = (1 , 0), 則滿足不等式oA+ a AB 0 的點 A(x, y)的集合用陰影表示為( ) I C.4 11 D.-8- 答案 解析 A(0, 0), C(1, 0), B(2, ，F(1， 2017 年高考“最后三十天”專題透析

9、 好教育云平臺 教育因你我而變 12. （2015 山東，文）過點 P（1 , 3）作圓 X2+ y2= 1 的兩條切線，切點分別為 A, B,則 PA- PB= 3 答案 解析 在平面直角坐標系 xOy 中作出圓 x2+ y2= 1 及其切線 OP 由圖可得 |OA| = |OB| = 1 , |OP| = 2, |PA| = |PB| = 3 3 的夾角為 n，所以 PA- PB= |PA| |PB| cos 才= 13. 在平行四邊形 ABCD 中, AD= 1，/ BAD= 60, E 為 CD 的中點.若 AC- BE= 1, 1 答案 解析 如圖所示，在平行四邊形 ABCD 中,

10、AC= AB+死 f f f 1f f BE= BO C& -AB+ AD 所以 XC BE=(AB+ ADD ( 1AB+ ADD = -2|AB| 2+ |ADI 2+ 2AB- AD=- 2|AB|2+AB| +1 = 1,解方程得 IABI 1 _歩 1 =2（舍去|AB| = 0），所以線段 AB 的長為 2. 2017 年高考“最后三十天”專題透析 好教育云平臺 教育因你我而變 14. _ 設F 為拋物線 y2= 4x的焦點，A、BC 為該拋物線上三點，若 FA+ FB+ FC= 0,則|FA| + |FB| + |FC| =_ 答案 6 解析 設 A(X1, y1), B

11、(X2, y2), C(x3, y3)，又 F(1 , 0)，所以 FA+ FB+ FC= (x 1+ X2+ X3- 3, y1 + y2+ y3)= 0, 得 X1 + X2+ X3= 3.又由拋物線定義可得 |FX| + |FB| + |FC| =(X1+ 1) + (X2+ 1) + (x 3+ 1) = 6. 15. 如圖，AB 是半圓 O 的直徑，C, D 是 AB 的三等分點，M N 是線段 AB 的三等分點，若 OA= 6fC- ND）= _ . 答案 26 解析 連接 OC OD MC ND 貝U fC- ND)= (M+ 6C ( NC+ OD) = fO NC+ fO O

12、D+ NO- OC+ OC- OD=- 4 + 6 + 6+ 18= 26. 16. (2014 陜西)在直角坐標系 xOy 中，已知點 A(1 , 1) , B(2 , 3), C(3, 2)，點 P(x , y)在厶 ABC 三邊圍成 的區域(含邊界)上，且 OF= mA+ nAC(m, n R). (1)若 m= n= 2，求 |OP| ; 用 x, y 表示 m- n,并求 m- n的最大值. 答案(1)2 2 (2)1 .2 f f 解析 (1) T m= n= 3, AB= (1 , 2) , AC= (2 , 1), 晁 2(1 , 2) + 2(2 , 1) = (2 , 2)

13、. |赤| = 22+ 22= 2 2. T 0|P= m(1, 2) + n(2 , 1) = (m+ 2n, 2m+ n), x = 2n, y= 2m n. 兩式相減，得 m- n= y x.令 m n= t，由圖知，當直線 y = x+1 過點 B(2 , 3)時，t 取得最大值 1,故 m n 的最大值為 1. 17. (2017 江西上饒中學調研)已知在 ABC 中，角 A, B, C 的對邊分別為 a, b, c,向量m= (sinA , sinB), n= (cosB , cosA) , m- n=sin2C. (1)求角 C 的大小； 若 sinA , sinC , sinB

14、 成等差數列，且 CA- (AB AC = 18，求 c 邊的長. n 答案(1)亍(2)6 解析 (1) m- n= si nA cosB + si nB cosA = sin(A + B), 對于 ABC A+ B= n C, 0Cn , sin(A + B) = sinC , m- n= sinC , 又 m n = sin2C , . . 1 n -sin2C sinC , cosC 2 , C 3 . (2)由 sinA , sinC , sinB 成等差數列,可得 2sinC = sinA + sinB , 由正弦定理得 2c= a + b. / CA- 即 abcosC= 18

15、, ab= 36. 2 2 2 2 由余弦定理得 c = a + b 2abcosC= (a + b) 3ab , 2 2 2 - c = 4c 3X 36 , c = 36 , - c= 6. 備選題| 1. (2017 浙江)如圖，已知平面四邊形 ABCD AB 丄 BC, AB= BC= AD= 2 , CD= 3 , AC 與 BD 交 于點 O.記 I 1 = OA- OB 12= OB- OC I 3=OC- OD,貝U ( ) A. I 1I 2I 3 B. I 1I 3I 2 C. I 3I 1 I 2 D. I 2I 1 I 3 答案 C 解析 如圖所示，四邊形 ABCE 是正方形，F 為正方形的對角線的交點，易得 =90,(AB ACC = 18