1、2020-2021中考數學二次函數綜合經典題及答案解析一、二次函數1.如圖，拋物線y=ax2+bx過點B (1, - 3),對稱軸是直線 x=2,且拋物線與x軸的正半 軸交于點A.(1)求拋物線的解析式，并根據圖象直接寫出當ywo時，自變量x的取值范圍；(2)在第二象限內的拋物線上有一點P,當PA! BA時，求4PAB的面積.【答案】(1)拋物線的解析式為 y=x2-4x,自變量x的取值范圖是0<x<4 (2) 4PAB的 面積=15.【解析】【分析】(1)將函數圖象經過的點B坐標代入的函數的解析式中，再和對稱軸方程聯立求出待定系數a和b ；(2)如圖，過點 B作B已x軸，垂足為點

2、 E,過點P作PELx軸，垂足為 F,設P (x, x2- 4x),證明PFAAEB求出點P的坐標，將4PAB的面積構造成長方形去掉三個三角形 的面積.【詳解】(1)由題意得,a b= 3b 二 22a解得a= 1 b=，拋物線的解析式為 y=x2-4x,令 y=0,得 x2-2x=0,解得 x=0 或 4,結合圖象知，A的坐標為(4, 0),根據圖象開口向上，則 ywo時，自變量x的取值范圍是0wxw；4(2)如圖，過點 B作BEXx軸，垂足為點 E,過點P作PELx軸，垂足為F,B/設 P （x, x2-4x）,. PA，BA / PAF吆 BAE=90 ,° / PAF吆 FP

3、A=90, ° / FPA=/ BAE又 / PFA=Z AEB=90.PFAAEB,PF AF 口 x2 4x 4 x,即，AE BE 2 13解得，x= -1 , x=4 （舍去）.x2-4x=-5點P的坐標為（-1, -5）,又.B點坐標為（1, -3）,易得到BP直線為y=-4x+1 1所以BP與x軸交點為（一，0）4115 八”SA PAB= 5 3 15 2 4【點睛】本題是二次函數綜合題，求出函數解析式是解題的關鍵，特別是利用待定系數法將兩條直 線表達式解出，利用點的坐標求三角形的面積是關鍵.2. 一座拱橋的輪廓是拋物線型 （如圖所示），拱高6m,跨度20m,相鄰兩支柱

4、間的距離均為5m.（1）將拋物線放在所給的直角坐標系中（如圖所示），其表達式是y ax2 c的形式.請根據所給的數據求出a, c的值.（2）求支柱MN的長度.（3）拱橋下地平面是雙向行車道 （正中間是一條寬2m的隔離帶），其中的一條行車道能否并排行駛寬2m、高3m的三輛汽車（汽車間的間隔忽略不計）?請說說你的理由.【答案】(1) y=-3x2+6； (2) 5.5米；(3) 一條行車道能并排行駛這樣的三輛汽車.50【解析】 試題分析：(1)根據題目可知 A. B, C的坐標，設出拋物線的解析式代入可求解.(2)設N點的坐標為(5, yN)可求出支柱 MN的長度.(3)設DN是隔離帶的寬，NG是

5、三輛車的寬度和.做 GH垂直AB交拋物線于H則可求 解.試題解析：(1)根據題目條件,A、B、C 的坐標分別是(-10,0)、(0,6)、(10,0).將B、C的坐標代入y ax26 c,0 100a c., 一 3斛得a一,c 6 .50拋物線的表達式是yx2 6.50(2)可設 N(5, Yn),一32于是 yN一 52 6 4.5.50從而支柱 MN的長度是10-4.5=5.5米. 設DE是隔離帶的寬，EG是三輛車的寬度和，則 G 點坐標是(7,0)(7=2 T 2X3).3o1過G點作GH垂直AB交拋物線于H,則yH 72 6 3 3 .5050根據拋物線的特點，可知一條行車道能并排行

6、駛這樣的三輛汽車3.在平面直角坐標系 xOy中，拋物線y=x2-2x+a-3,當a=0時，拋物線與y軸交于點 A,將點A向右平移4個單位長度，得到點 B.(1)求點B的坐標；(2)將拋物線在直線 y= a上方的部分沿直線 y=a翻折，圖象的其他部分保持不變，得到 一個新的圖象，記為圖形 M,若圖形M與線段AB恰有兩個公共點，結合函數的圖象，求 a的取值范圍.【答案】(1) A (0, 3) , B (4, 3) ; (2) - 3< a<Q【解析】【分析】(1)由題意直接可求 A,根據平移點的特點求 B;(2)圖形M與線段AB恰有兩個公共點，y=a要在AB線段的上方，當函數經過點

7、A時,AB與函數兩個交點的臨界點；【詳解】解：(1) A (0, 3) , B (4, 3)；(2)當函數經過點 A時，a=0,;圖形M與線段AB恰有兩個公共點，. .y=a要在AB線段的上方， . a > - 3- 3V aw Q【點睛】本題二次函數的圖象及性質；熟練掌握二次函數圖象的特點，函數與線段相交的交點情況是解題的關鍵.4.如圖，已知拋物線V =5+ bx + c的圖象與x軸的一個交點為 B (5, 0),另一個交點為(2)若點M是拋物線在x軸下方圖象上的動點，過點 M作MN/y軸交直線BC于點N, 求MN的最大值；(3)在(2)的條件下，MN取得最大值時，若點 P是拋物線在x

8、軸下方圖象上任意一 點，以BC為邊作平行四邊形 CBPQ設平行四邊形 CBPQ的面積為Si, ABN的面積為 S2,且S=6Q,求點P的坐標。【答案】(1)525彳(3) P 的坐標為(1, 12)或(6, 5)或(2, 3)或(3, 4)【解析】【分析】(1)由B (5, 0) , C (0, 5),應用待定系數法即可求直線BC與拋物線的解析式。(2)構造MN關于點M橫坐標的函數關系式，應用二次函數最值原理求解。(3)根據S=6&求得BC與PQ的距離h,從而求得PQ由BC平移的距離，根據平移的性質求得PQ的解析式，與拋物線¥ =5聯立，即可求得點 P的坐標。【詳解】解：(1

9、)設直線BC的解析式為廣收 + e,J 5k + m = 0 k - 1將 B (5, 0) , C (0, 5)代入，得巾=5 ，得 1 = 5。，直線BC的解析式為+目。|2S + 5b + c = ° 卜=6將 B (5, 0) , C (0, 5)代入y =3+ bx +j 得 I 5 ，得。，拋物線的解析式¥ = * -6)( + 5。(2)二點M是拋物線在x軸下方圖象上的動點，設M(m.m”-61T+5)。點N是直線BC上與點M橫坐標相同的點，N(e，-e + 5當點M在拋物線在x軸下方時，N的縱坐標總大于 M的縱坐標。之25 2 25MN - m + S -

10、(m -、+ G _ m' +=-(m - . 十 丁. 。25MN的最大值是4。I 5 5(3)當MN取得最大值時，N、才了。¥ = /一+ 5的對稱軸是 |x = 3, b 0),，a(i , 0)。，ab=4。15Sz = SABN _2X4X2 = S. 。由勾股定理可得，BC = 5W。設BC與PQ的距離為h,則由Si=6S2得：5NXh = 6x5,即卜=3"裳。如圖，過點B作平行四邊形 CBPQ的高BH,過點H作x軸的垂線交點E,則BH=h="，？，eh是直線BC沿y軸方向平移的距離。易得，4BEH是等腰直角三角形, . eh=：Y2 = g

11、直線BC沿y軸方向平移6個單位得PQ的解析式：y =1 + 5 + 6 =' + 1或產 x + 5 - 6 = L 1。當V=-x+ll時，與產聯立，得 y=x + ll卜=-1卜=61廣、6* + 5,解得尸？或9 = 5。此時，點p的坐標為（1,12）或（6, 5）。當）二一 k 一 1時，與y = / - G* + 5聯立，得IU x = 2 |J x = 3*二、8 + 5 ,解得*=-或1¥ ="。此時，點P的坐標為（2, 3）或（3,一 4）。綜上所述，點P的坐標為（1, 12）或（6, 5）或（2, 3）或（3, 4）。5.在平面直角坐標系中，我們定

12、義直線y=ax-a為拋物線y=ax2+bx+c （a、b、c為常數，aw。的 衍生直線”；有一個頂點在拋物線上，另有一個頂點在y軸上的三角形為其 衍生三角形”.已知拋物線y23x2 勺叵x 273與其 衍生直線”交于A、B兩點（點A33在點B的左側），與x軸負半軸交于點 C.（1）填空：該拋物線的 衍生直線”的解析式為，點A的坐標為，點B的坐 標為;（2）如圖，點 M為線段CB上一動點，將4ACM以AM所在直線為對稱軸翻折，點 C的 對稱點為N,若4AMN為該拋物線的 衍生三角形”，求點N的坐標；（3）當點E在拋物線的對稱軸上運動時，在該拋物線的衍生直線”上，是否存在點F,使得以點A、C E、

13、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點E、F的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1） y2.32.3x+（2） N點的坐標為（0, 2/3-3）,-2, 2百）；（1,0）；0, 2J3+3 ）；（3） E （-1,-迤）、F （0,業）或 E （-1, -M ） , F （-4, 101 ）3333【解析】【分析】(1)由拋物線的 衍生直線”知道二次函數解析式的 a即可；(2)過A作AD，y軸于點D,則可知AN=AC,結合A點坐標，則可求出 ON的長，可求出N點的坐標；(3)分別討 論當AC為平行四邊形的邊時，當 AC為平行四邊形的對角線時，求出滿足條件的 E、F坐標即可【詳

14、解】一逋x2迪x 2G a=" ,則拋物線的 衍生直線”的解析式為 33,3y=2 .32 3x+y聯立兩解析式求交點y=2.32 4.3x x332 32 3x+332.3,解得x=-2L或y=2 3x=1y=0 A (2 2出)，B (1,0)； (2)如圖1,過A作AD，y軸于點D,在y迪x2 W3x 2由中，令y=0可求得x= -3或x=1,33 C (-3,0),且 A (-2, 273), -AC= J(-2+3)2+ (2 函2 = A 由翻折的性質可知 AN=AC=J13 , AMN為該拋物線的 衍生三角形”， N在y軸上，且 AD=2,在RtAND中，由勾股定理可得

15、dn=Jan2-AD2 =713-4=3，.OD=2石，6=273-3 或 ON=2V3+3 ,.N 點的坐標為(0, 2百-3) , (0, 273+3);(3) 當AC為平行四邊形的邊時，如圖 2，過F作對稱軸的垂線 FH,過A作AK±x軸于點K,貝U有 AC/ EF且AC=EF / ACK之 EFH,在 ACKn EFH 中ACK= EFHAKC= EHFAC=EF . ACKA EFH,，FH=CK=1, HE=AK=273, .拋物線的對稱軸為 x=-1, F點的橫坐標為。或-2, 點F在直線AB上，當F點的橫坐標為0時，則F (0, 2立)，此時點E在直線AB下方，3.E

16、到y軸的距離為EH-OF=273-23 =43 ,即E的縱坐標為-33 , 333E (-1, -43);3當F點的橫坐標為-2時，則F與A重合，不合題意，舍去；當AC為平行四邊形的對角線時， C (-3,0),且 A (-2, 2近)，線段AC的中點坐標為(-2.5, J3),設 E (-1, t) , F (x, y),則 x-1=2X(-2.5) , y+t=2/3,x= -4, y=2T3-t,2 出-t=-2x(-4)+9,解得 t=-4Zl,3 33E(-1, -WE) , F(-4,喧；33綜上可知存在滿足條件的點F,此時E (-1,-33 )、(0, R3 )或E (-1 ,3

17、34<310.3、),F (-4,)圖:【點睛】本題是對二次函數的綜合知識考查，熟練掌握二次函數，幾何圖形及輔助線方法是解決本 題的關鍵，屬于壓軸題26.如圖，已知拋物線 y ax bx c經過 A ( 3, 0) , B (1,0), C (0, 3)二點, 其頂點為D,對稱軸是直線l, l與x軸交于點H.(1)求該拋物線的解析式；(2)若點P是該拋物線對稱軸l上的一個動點，求 4PBC周長的最小值；(3)如圖(2),若E是線段AD上的一個動點(E與A、D不重合)，過E點作平行于y 軸的直線交拋物線于點 F,交x軸于點G,設點E的橫坐標為m, 4ADF的面積為S.求S與m的函數關系式；

18、S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此時點E的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1) y x2 2x 3.3五廂.(3) S m2 4m 3. 當m=-2時，S最大，最大值為1,此時點E的坐標為(-2, 2).【解析】【分析】(1)根據函數圖象經過的三點，用待定系數法確定二次函數的解析式即可(2)根據BC是定值，得到當 PB+PC最小時，4PBC的周長最小，根據點的坐標求得相應 線段的長即可.(3)設點E的橫坐標為m,表示出E (m, 2m+6) , F (m, m2 2m 3),最后表示出EF的長，從而表示出 S于m的函數關系，然后求二次函數的最值即可 【詳解】解：(1)二.拋物線 y

19、 ax 2 bx c經過 A ( 3, 0) , B (1, 0),，可設拋物線交點式為 y a x 3 x 1 .又.拋物線 y ax2bxc經過 C (0,3), a1.，拋物線的解析式為：y x 3 x1 ,即yx22x 3.(2) PBC的周長為：PB+PC+BC且BC是定值. 當PB+PC最小時， PBC的周長最小. 點A、點B關于對稱軸I對稱， 連接AC交l于點P,即點P為所求的點.D.AP=BP,4PBC 的周長最/、是： PB+PC+BC=AC+BC.,. A (-3,0), B(1,0) , C (0,3),.AC=3V2,BC=7i0. PBC的周長最小是：3a/2 VTq

20、 .(3).拋物線yx2 2x 3頂點D的坐標為(-1, 4) , A ( - 3, 0),直線AD的解析式為y=2x+6,一點 E 的橫坐標為 m, E (m, 2m+6) , F (m, m2 2m 3) 22 . EF m 2m 3 2m 6 m 4m 3.1一EF AH222m 4m 3 2 m 4m 3_1-1-SSdef SAEF EF GHEF AG22.S與m的函數關系式為s m2 4m 3._22 S m 4m 3 m 21,當m=-2時，S最大，最大值為1,此時點E的坐標為(-2, 2)7.在平面直角坐標系 xOy中，已知拋物線的頂點坐標為(2, 0),且經過點(4, 1)

21、,1 如圖，直線y= -x與拋物線交于 A、B兩點，直線l為y=-1.4(1)求拋物線的解析式；(2)在l上是否存在一點 P,使PA+PB取得最小值？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.M到直線l的(3)知F (xO, yo)為平面內一定點， M (m, n)為拋物線上一動點，且點 距離與點M到點F的距離總是相等，求定點 F的坐標.y=1x2-x+1. (2)點P的坐標為(色13T) . (3)定點F的坐標為(2, 1).【解析】2, 0),可設拋物線的解析式為y=a(x-2) 2,由拋分析：(1)由拋物線的頂點坐標為 物線過點(4, 1),利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；A、

22、B的坐標，作點(2)聯立直線 AB與拋物線解析式成方程組，通過解方程組可求出點B關于直線l的對稱點B；連接AB'交直線l于點P,此時PA+PB取得最小值，根據點 B的 坐標可得出點B'的坐標，根據點 A、B'的坐標利用待定系數法可求出直線 AB'的解析式，再 利用一次函數圖象上點的坐標特征即可求出點 P的坐標；(3)由點M到直線l的距離與點 M到點F的距離總是相等結合二次函數圖象上點的坐標特征，即可得出(1-2 -2yo) m2+ (2-2xo+2yo) m+xo2+yo2-2yo-3=O,由m的任意性可得出關F的坐標.2, 0)，于xo、y0的方程組，解之即可

23、求出頂點 詳解：(1) ;拋物線的頂點坐標為( 設拋物線的解析式為 y=a (x-2) 2.;該拋物線經過點(4,1=4a,解得：a=,4.拋物線的解析式為y= (x-2) 24=x2-x+1.(2)聯立直線AB與拋物線解析式成方程組，得:1 y= x412y= x4x1=11x2=41，A5y1丫2=14，點A的坐標為(1,，點B的坐標為(4, 1).1作點B關于直線l的對稱點B',連接AB'交直線l于點P,此時PA+PB取得最小值(如圖 所示). 點 B (4, 1)，直線 l 為 y=-1, 點B的坐標為(4, -3).設直線AB'的解析式為y=kx+b (kwQ

24、 ,(1, L、B，(4,4-3)代入 y=kx+b,得:4kh_ 1b4,解得:g 3k=史12 ,g -3直線AB的解析式為y=-£x+4,123當 y=-i 時，有-13x+3=-i, 12328 解得：x=一,13.二點P的坐標為(一，-1) .13(3)二點M到直線l的距離與點 M到點F的距離總是相等,(m-xo) 2+ (n-yo) 2= (n+1) 2, 1 m2-2xom+xo2-2yon+yo2=2n+1. M (m, n)為拋物線上一動點，n= m2-m+1 ,m2-2xom+x02-2y0 (4m2-m+1) +yo2=2 ( m2-m+1) +1,44整理得：

25、(1-yo)2 2m2+ (2-2xo+2yo) m+xo2+y02-2yo-3=0.- m為任意值,1 c2 y0- 02 2xo 2yo=O22Xo V。 2Vo 3= 0Xo=2一 yo=i，定點F的坐標為（2, 1）.點睛：本題考查了待定系數法求二次（一次）函數解析式、二次（一次）函數圖象上點的坐標特征、軸對稱中的最短路徑問題以及解方程組，解題的關鍵是：（1）根據點的坐標，利用待定系數法求出二次函數解析式；（2）利用兩點之間線段最短找出點P的位置；（3）根據點M到直線l的距離與點 M到點F的距離總是相等結合二次函數圖象上點的坐標特征，找出關于 Xo、yo的方程組.8.在直角坐標系中，我

26、們不妨將橫坐標，縱坐標均為整數的點稱之為中國結”。（1）求函數y= J3x+2的圖像上所有 中國結”的坐標；k（2）求函數y= （kwQ k為吊數）的圖像上有且只有兩個中國結，試求出吊數k的值x與相應中國結”的坐標；2222（3）若一次函數 y=（k 3k 2）x （2k 4k 1）x k k （k為常數）的圖像與 x軸 相交得到兩個不同的 中國結”，試問該函數的圖像與 x軸所圍成的平面圖形中（含邊 界），一共包含有多少個中國結”？【答案】（1） （。,2） ； （ 2）當k=1時，對應中國結”為（1,1） （ 1, 1）；當k=1 時，對應中國結”為（1, 1） , （ 1,1） ; （ 3

27、） 6個.【解析】試題分析：（1）因為x是整數，xwo時，J3x是一個無理數，所以xwo時，J3x+2不是 整數，所以x=o, y=2,據此求出函數y= J3x+2的圖象上所有 中國結”的坐標即可. k （2）首先判斷出當k=1時，函數y=- （kwQ k為常數）的圖象上有且只有兩個中國xk結：（1, 1）、（- 1、- 1）；然后判斷出當 kwi時，函數y=- （kwQ k為常數）的圖 x象上最少有4個 中國結”，據此求出常數k的值與相應 中國結”的坐標即可.（3）首先令（k2 3k+2） x2+（2k24k+1） x+k2- k=o,貝U （k1） x+k （k2） x+ （k 1） =o

28、 ,求出x1、x2的值是多少；然后根據 x1、x2的值是整數，求出 k的值是多少；最后 根據橫坐標，縱坐標均為整數的點稱之為中國結”，判斷出該函數的圖象與 x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有多少個中國結”即可.試題解析：（1）=”是整數，xwo時，J3x是一個無理數，xw時，芯x+2不是整數，.x=0, y=2,即函數y=J3x+2的圖象上 中國結”的坐標是（0, 2）.k（2） 當k=1時，函數y=- （kwQ k為常數）的圖象上有且只有兩個中國結：x（1,1）、（- 1、- 1）；k當k=-1時，函數y=- （kwq k為常數）的圖象上有且只有兩個中國結：x（1, - 1）、（-

29、1,1）.k當kw 土時，函數v （kwQ k為常數）的圖象上最少有 4個中國結：xk .（1, k）、（- 1, - k）、（ k, 1）、（- k, - 1）,這與函數 y=- （kwq k 為常數）的x圖象上有且只有兩個 中國結”矛盾， k綜上可得，k=1時，函數y= （kwQ k為吊數）的圖象上有且只有兩個中國結：（1,x1）、（- 1、- 1）;k(-1、1).(3)令(k2 3k+2) x2+則(k 1) x+k (k 2)k=-1時，函數y=- （kwQ k為常數）的圖象上有且只有兩個中國結：（1, - 1）、（2k2-4k+1） x+k2 - k=0,x+ （ k 1） =0,

30、x1, *2x1 2x2 1x1 1 x2 1 '整理，可得x1x2+2x2+1=0, x2 (x1+2) =- 1 ,. x1> x2都是整數，或1x2x1 或x2X10當3 ,時,1,1 ,時,11,.k=k-1,無解;綜上，可得，3。，k= , X1 = 3 x2=1,2y=( k2 - 3k+2) x2+ ( 2k2 - 4k+1) x+k2 - k=(3 )2 - 3X3+2x2+2X( 3 )2 - 4X3+1x+ ( 3) 2 - 3222222=-* 1x+3 4243+4y= _ x2_ x+ = _x( - 2) 242443=4當x= - 1時，y= - -

31、 x2 - x+ 424-x( - 1)2=1 i 3當x=0時，y=,4另外，該函數的圖象與 x軸所圍成的平面圖形中 x軸上的 中國結”有3個:(2, 0)、 ( 1、0)、 ( 0, 0)綜上，可得若二次函數y= （ k2 - 3k+2） x2+（ 2k2 - 4k+1） x+k2 - k （k為常數）的圖象與 x軸相交得到兩 個不同的中國結”， 該函數的圖象與x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有 6個中國結”：（-3,0）、（-2,0）、（-1,0）（-1,1）、（ 0,0）、（1,0）考點：反比例函數綜合題9.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A (

32、 - 1, 0) B (3, 0)兩點，與y軸交于點C,點D是該拋物線的頂點.(1)求拋物線的解析式和直線 AC的解析式；(2)請在y軸上找一點 M,使4BDM的周長最小，求出點 M的坐標；(3)試探究：在拋物線上是否存在點P,使以點A,巳C為頂點，AC為直角邊的三角形P的坐標；若不存在，請說明理由.是直角三角形？若存在，請求出符合條件的點【答案】(1)拋物線解析式為y=-x2+2x+3;督用國AC的解析式為y=3x+3; (2)點M的坐標為(0, 3)；，一 7201013(3)符合條件的點P的坐標為(7, 20)或(U, - 13),3939【解析】分析：(1)設交點式y=a (x+1)

33、(x-3),展開得到-2a=2,然后求出a即可得到拋物線解析式；再確定C (0, 3),然后利用待定系數法求直線AC的解析式；(2)利用二次函數的性質確定D的坐標為(1, 4),作B點關于y軸的對稱點B',連接DB'交y軸于M,如圖1,則B' (-3, 0),利用兩點之間線段最短可判斷此時MB+MD的值最小，則此時4BDM的周長最小，然后求出直線DB的解析式即可得到點 M的坐標；(3)過點C作AC的垂線交拋物線于另一點巳如圖2,利用兩直線垂直一次項系數互為 負倒數設直線PC的解析式為y=-1x+b,把C點坐標代入求出b得到直線PC的解析式為32y= x 2x 3y=-1

34、x+3,再解方程組1得此時P點坐標；當過點 A作AC的垂線交拋物3y= -x 33線于另一點P時，利用同樣的方法可求出此時P點坐標.詳解：(1)設拋物線解析式為 y=a (x+1) (x-3),即 y=ax2- 2ax- 3a,，2a=2,解得 a= - 1,拋物線解析式為y=- x2+2x+3；當 x=0 時，y=-x2+2x+3=3,則 C (0, 3),設直線AC的解析式為y=px+q,p q 0把 A ( 1, 0) , C (0, 3)代入得“q 3直線AC的解析式為y=3x+3;(2)y=- X2+2x+3=- (x-1) 2+4,，頂點D的坐標為(1, 4),1,則 B'

35、 ( - 3, 0),.MB=MB',.MB+MD=MB' +MD=DBilt時 MB+MD 的值最小，而BD的值不變，此時4BDM的周長最小，易得直線DB的解析式為y=x+3,當 x=0 時，y=x+3=3,.點M的坐標為(0, 3)；(3)存在.過點C作AC的垂線交拋物線于另一點 巳如圖2,直線AC的解析式為y=3x+3,直線PC的解析式可設為y=- -x+b,3把C (0, 3)代入得b=3,直線PC的解析式為y=- -x+3,3作B點關于y軸的對稱點B',連接DB交y軸于M,如圖y解方程組y=27x12x 3 x。一 x 3,解得或3-x 33y 320y -,

36、則此時P點坐標為(-320、,)；9過點A作AC的垂線交拋物線于另一點P,直線PC的解析式可設為y=x+b,把A ( - 1, 0)代入得1+b=0,解得 3b=一，直線PC的解析式為y=解方程組13、)9綜上所述,y=y=2x1 x32x1310解得3 ,139則此時P點坐標為(10?3符合條件的點p的坐標為103點睛：本題考查了二次函數的綜合題：熟練掌握二次函數圖象上點的坐標特征和二次函數 的性質；會利用待定系數法求函數解析式，理解兩直線垂直時一次項系數的關系，通過解 方程組求把兩函數的交點坐標；理解坐標與圖形性質，會運用兩點之間線段最短解決最短 路徑問題；會運用分類討論的思想解決數學問題

37、.210.如圖，拋物線y x (a 1)x a與x軸交于A、B兩點(點A位于點B的左側)，與 y軸交于點C,已知 ABC的面積為6.(1)求a的值；(2)求ABC外接圓圓心的坐標；(3)如圖，P是拋物線上一點，點 Q為射線CA上一點，且P、Q兩點均在第三象限內，Q、A是位于直線BP同側的不同兩點，若點 P到x軸的距離為d, QPB的面積為2d,【答案】(1)-3； (2)坐標(-1, 1)； (3)Q 4,1【解析】【分析】(1)利用拋物線解析式得到 A、B、C三點坐標，然后利用三角形面積公式列出方程解出a； (2)利用第一問得到 A、B、C三點坐標，求出 AC解析式，找到AC垂直平分線的解析

38、 式，與AB垂直平分線解析式聯立，解出x、y即為圓心坐標；(3)過點P做PD，x軸，PD=d,發現4ABP與4QBP的面積相等，得到 A、D兩點到PB得距離相等，可得AQ/ PB,求出PB解析式，與二次函數解析式聯立得到P點坐標，又易證ABQW QPA,得到BQ=AP=J26,設出Q點坐標，點與點的距離列出方程，解出 Q點坐 標即可【詳解】(1)解：由題意得y x 1 x a由圖知：a<0所以 A(a,0), B 1,0 ,C 0, aS ABC 二1 a2a =6a3或a 4(舍), , a 3(2)由得 A(-3,0), B 1,0 ,C 0,3直線AC得解析式為：y = x+ 3A

39、C中點坐標為3 32,2ac的垂直平分線為：y x又二 AB的垂直平分線為：x 1yxx 1 d 得 dx1y 1ABC外接圓圓心的坐標(-1, 1).(3)解:過點P做PD± x軸由題意得：PD=d,ffc11 . S abp PD AB 2=2d2 QPB的面積為2dS ABP S BPQ , 即A、D兩點到PB得距離相等. AQ/ PB設PB直線解析式為；yb過點B(1,0)x 1x2 2x易得3所以 P(-4,-5),由題意及 PAQAQB易得：ABQ0 QPABQ=AP= . 26設 Q(m , -1)( m«0)221 .1m 126m 42 .Q 4,1 .【

40、點睛】本題考查二次函數綜合性問題，涉及到一次函數、三角形外接圓圓心、全等三角形等知識點，第一問關鍵在于用a表示出A、B、C三點坐標；第二問關鍵在于找到AC垂直平分線的解析式，與 AB垂直平分線解析式；第三問關鍵在于能夠求出PB的解析式(1)求二次函數”的解析式；(2)將"沿x軸翻折，再向右平移 2個單位，得到拋物線直線y=m ( m > 0)交生于M、N兩點，求線段 MN的長度(用含 m的代數式表示)；(3)在(2)的條件下，為、式交于A、B兩點，如果直線y=m與力、方的圖象形成的封 閉曲線交于C、D兩點（C在左側），直線y=-m與力、米的圖象形成的封閉曲線交于 E、 F兩點（

41、E在左側），求證：四邊形 CEFD是平行四邊形.【答案】（1）1寸（2） 即 十 = ; （3）證明見解析.【解析】 試題分析：（1）根據待定系數法即可解決問題.（2）先求出拋物線y2的頂點坐標，再求出其解析式，利用方程組以及根與系數關系即可 求出MN .（3）用類似（2）的方法，分別求出 CD EF即可解決問題.試題解析：（1） .,二次函數 yi +過（-2, 4） , （- 4, 4）兩點，4a - 2ft = 4LI 6a 4/i = 4b = 3，二次函數為9的解析式，頂點坐標（3,）,二.鄧】沿x軸翻折，再向右平移2個單位,得到拋物線，拋物線枕的頂點坐標（-1,），拋物線產？為y

42、二 m1 9Iff,消去y整理得到x2 + 2x-B-2rn = O是它的兩個根，則MN=ym1y - 3M,消去y整理得到x2 + 6x+ 2m = 0,設兩個根為+川'73=產口而由,消去y得到x2 I 2x - 8 + 2m = 0,設兩個根為產,則,EF=CD EF/ CD, 四邊形 CEFD平行四EF= =考點：二次函數綜合題.12. (14分)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=mx2-8mx+4m+2 (m>2)與y軸的交點為A,與x軸的交點分別為B (xi,0), C(x2,0),且x2-xi=4,直線AD/ x軸，在x軸上有一動點E (t, 0)過點E作平行于y

43、軸的直線l與拋物線、直線 AD的交點分別 為 P、Q.I1*(1)求拋物線的解析式；(2)當0vtw時，求4APC面積的最大值；(3)當t>2時，是否存在點 P,使以A、P、Q為頂點的三角形與 4AOB相似？若存在， 求出此時t的值；若不存在，請說明理由.匕心+ 3 冬俘【答案】(1)4; (2) 12; (3) t= 3 或 t= 5 或 t=l4.【解析】試題分析：(1)首先利用根與系數的關系得出：肛+工*8,結合條件慳求出孫發的值，然后把點 B, C的坐標代入解析式計算即可；(2) (2)分0vt<6時和6<t<8 時兩種情況進行討論，據此即可求出三角形的最大值；

44、(3) (3)分2vtw時和t>6時兩種情況進行討論，再根據三角形相似的條件，即可得解.試題解析：解：(1)由題意知x1、x2是方程mx2 - 8mx+4m+2=0的兩根，x1+x2=8,解得：，廣.B (2, 0)、C (6, 0)貝U 4m - 16m+4m+2=0 ,解得：m，,該拋物線解析式為：y二x - 2富+3(2)可求得A (0, 3)設直線AC的解析式為：y=kx+b,b=36k+b=02直線AC的解析式為：y=-,x+3, rl要構成APC,顯然tw£分兩種情況討論：當0vt<6時，設直線l與AC交點為F,則：F (t, -t+3)，Saapc=Sx a

45、pf+Sxcpf此時最大值為: 當6Wt司機 設直線l與AC交點為M,則：M (t, -,P (t, -t 2t+3), ，PMLt 亍t,c c c _1 r 1 2 _+ _ 1 fl 3八一八, Saapc=Sapf- Sacpi=- 一1 -1'£-C_i£_3 2 _ 9=-一胞 -飛)2_27=,1，當t=8時，取最大值，最大值為：12,綜上可知，當0vtw時，4APC面積的最大值為12；(3)如圖，連接 AB,貝 UAOB 中，/AOB=90, AO=3, BO=2,Q (t, 3) , P (t,弓/一笈十3),1 2當 2vtw時，AQ=t, PQ

46、= +2t,若：AOBsAQP,則：些普IAQ PQ即: t=0 (舍)，或 t=學,若AOBsPQA,則:3 二 2即： 1 2"t,t +2t4 t=0 （舍）或 t=2 （舍），1）當t>6時，AQ' = t PQ'斤七 2t若：AOBsAQP,則:AC BOAQ'節 Q'3_2即：針1 2J 2t一人332 t=0 （舍），或 t=F",若AOBsPQA,則:即:t=0 （舍）或 t=14,考點：二次函數綜合題.13.已知拋物線 Ci： y=ax2 - 4ax - 5 (a> 0).(1)當a=1時，求拋物線與x軸的交點坐

47、標及對稱軸;(2)試說明無論a為何值，拋物線 G一定經過兩個定點，并求出這兩個定點的坐標; 將拋物線G沿這兩個定點所在直線番S折，得到拋物線Q,直接寫出C2的表達式;(3)若(2)中拋物線C2的頂點到x軸的距離為2,求a的Aax2+4ax 5【答案】(1) ( 1, 0)或(5, 0) (2)(0, 5) , (4, - 5) (2)y=(3) a=一或一4 4試題分析：(1)將a=1代入解析式，即可求得拋物線與x軸交點;(2)化簡拋物線解析式，即可求得兩個點定點的橫坐標，即可解題；根據拋物線翻折理論即可解題；(3)根據(2)中拋物線C2解析式，分類討論 y=2或-2,即可解題 試題解析：(1

48、)當a=1時，拋物線解析式為 y=x2- 4x- 5= (x- 2) 2- 9, ，對稱軸為y=2；當 y=0 時，x- 2=3 或-3,即 x=-1 或 5;，拋物線與x軸的交點坐標為(-1, 0)或(5, 0)；(2) 拋物線C1解析式為：y=ax2-4ax-5,整理得：y=ax (x-4) - 5；丁當ax (x-4) =0時，y恒定為-5;，拋物線C1 一定經過兩個定點(0, - 5) , (4, - 5);這兩個點連線為y=-5;將拋物線C1沿y=-5翻折，得到拋物線 C2,開口方向變了，但是對稱軸沒變;1拋物線C2解析式為：y= - ax2+4ax- 5,(3)拋物線C2的頂點到x

49、軸的距離為2,則x=2時，y=2或者-2;7當 y=2 時，2=- 4a+8a- 5,解得，a=;4當 y= - 2 時，-2=- 4a+8a- 5,解得，a=考點：1、拋物線與x軸的交點；2、二次函數圖象與幾何變換14.拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A (1, 0) , B (m, 0),與y軸交于C.(1)若m=-3,求拋物線的解析式，并寫出拋物線的對稱軸;(2)如圖1,在(1)的條件下，設拋物線的對稱軸交x軸于D,在對稱軸左側的拋物線一一一W 上有一點 E,使S；A ACE= SiAACD,求點E的坐標;3(3)如圖2,設F ( - 1, - 4) , FGJ±y于G,在線

50、段 OG上是否存在點 P,使/OBP=/ FPG?若存在，求 m的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】(1)拋物線的解析式為：y=x2+2x- 3= (x+1) 2-4;對稱軸是：直線 x=- 1;(2)點E的坐標為E(- 4, 5) (3)當-4Wmv0或m=3時，在線段 OG上存在點P,使/ OBP=/ FPG.【解析】試題分析：(1)利用待定系數法求二次函數的解析式，并配方求對稱軸；(2)如圖1,設E (m, m2+2m-3),先根據已知條件求 SaacE=10,根據不規則三角形面積等于鉛直高 度與水平寬度的積列式可求得m的值，并根據在對稱軸左側的拋物線上有一點E,則點E的橫坐標小于

51、-1,對m的值進行取舍，得到 E的坐標；(3)分兩種情況：當B在原點的左側時，構建輔助圓，根據直徑所對的圓周角是直角，只要滿足/BPF=90就可以構成/OBP=/ FPG如圖2,求出圓E與y軸有一個交點時 的m值，則可得取值范圍；當B在原點的右側時，只有 OBF是等腰直角三角形， FPG也是等腰直角三角形時滿足條件，直接計算即可.試題解析：(1)當m= - 3時，B ( - 3, 0),把A (1, 0) , B (-3, 0)代入到拋物線 y=x2+bx+c中得:-3,，拋物線的解析式為：y=x2+2x- 3= (x+1) 2-4;對稱軸是：直線 x=- 1;(2)如圖 1,設 E (m, m2+2m 3),由題意得：AD=1 + 1=2, OC=3,1010 1S>a ace=Sa acd= X33 25 .0 -ADOCX 2X 3=105設直線AE的解析式為：y=kx+b,把 A (1, 0)和 E (m, m2+2m3)代入得,m+b =0,一,解得:哂止 + b =+ 2m-3 ，直線 AE 的解析式為：y= (m+3)