1、實用文案絕密考試結束前2009 年普通高等學校招生全國統一考試( 浙江卷 )數學（理科）本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分。全卷共5 頁，選擇題部分1 至 2 頁，非選擇題部分3 至 5 頁。滿分 150 分，考試時間120 分鐘。請考生按規定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上。選擇題部分（共50 分）注意事項：1 答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題紙上。2每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題紙上對應題目的答案標號涂黑，如需改動， 用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。不能答在試題卷上。參考公式：如果事件A, B 互斥，那么棱柱的體積公式P( AB)P(

2、A) P(B)V Sh如果事件A, B 相互獨立，那么其中 S 表示棱柱的底面積，h 表示棱柱的高P(A B)P(A) P(B)棱錐的體積公式如果事件 A 在一次試驗中發生的概率是p ，那么V1 Sh3n 次獨立重復試驗中事件A 恰好發生 k 次的概率其中 S 表示棱錐的底面積，h 表示棱錐的高Pn (k )Cnk pk (1 p) n k ,( k0,1,2, ,n)棱臺的體積公式球的表面積公式V1h( S1S1S2 S2 )3S4R2其中 S1、 S2 分別表示棱臺的上、下底面積，球的體積公式h 表示棱臺的高V4R33其中 R 表示球的半徑一、選擇題：本大題共10 小題，每小題5 分，共

3、50 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 .1設 UR ， A x | x 0 ， B x | x1 ，則 A eU B ( )A x |0 x 1B x | 0 x 1C x | x 0D x | x 1答案： B【解析】對于CUBx x1，因此 AeU B x | 0x1 2已知a,b 是實數，則“ a0且 b 0 ”是“ ab0 且ab 0”的( )標準實用文案A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件答案： C【解析】對于“ a0 且 b0 ”可以推出“ ab0 且 ab 0 ”，反之也是成立的3設 z1i （ i 是虛數單位），則2z

4、2()zA 1 i B 1 iC 1 iD 1 i答案： D【解析】對于 2z22i(1i)21i2i1iz14在二項式( x215的展開式中，含x4)的項的系數是 (w.w.w.k.s.5.u.c.o.mxA10B 10C 5D 5答案： BTrC5r (x2 )5r (1 )rr3r ，對于10 3r 4, r 2，則 x4 的項的系數是【解析】對于11 C5r x10xC52 ( 1)2105在三棱柱 ABCA1B1C1 中，各棱長相等，側掕垂直于底面，點D 是側面 BBC11C 的中心，則 AD 與平面 BBC11C 所成角的大小是()A 30B45C60D 90答案： C【解析】取

5、BC的中點 E，則 AE面 BB1C1C ，AEDE ，因 此AD 與平面 BB1C1C 所成角即為ADE，設 ABa ， 則AE3 a，DEa ，即有 tanADE3,ADE600 226某程序框圖如圖所示， 該程序運行后輸出的k 的值是 ()A 4B 5C 6D 7答案： A【 解 析 】 對 于 k 0, s 1, k1 ， 而 對于 k1, s 3, k 2 ， 則 k 2, s3 8, k 3， 后 面 是k 3,s 3 8 211, k 4 ，不符合條件時輸出的 k 4 7設向量a ， b 滿足： | a |3 ， | b |4 ， ab 0 以 a ， b ， ab 的模為邊長構

6、成三角形，則它的邊與半徑為 1的圓的公共點個數最多為 ()w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA 3B 4C 5D 6標準實用文案答案： C【解析】對于半徑為1 的圓有一個位置是正好是三角形的內切圓，此時只有三個交點，對于圓的位置稍一右移或其他的變化，能實現4 個交點的情況，但5 個以上的交點不能實現8已知a是實數，則函數f ( x) 1 a sin ax 的圖象不可能 是 ( )答案： D【解析】對于振幅大于1 時，三角函數的周期為T2,a1,T2 ，而 D 不符合要求，它的振幅a大于 1，但周期反而大于了29過雙曲線 x2y2 1( a0, b0) 的右頂點 A 作斜率為1的直線，該直線

7、與雙曲線的兩條漸近線的a2b2交點分別為 B, C 若 AB1()BC ，則雙曲線的離心率是w.w.w.k.s.5.u.c.o. m2A2B 3C5D 10答案： C【 解 析 】 對 于 A a,0， 則 直 線 方 程 為 xy a0，直線與兩漸近線的交點為B， C，a2aba2,abBC (2a2 b2 ,2a2bababB, C ()，則有a2b22), AB,， 因a b a ba b a ba ba b a b2 AB BC, 4a2b2 ,e5 10對于正實數，記 M為滿足下述條件的函數f ( x) 構成的集合：x1 , x2 R 且 x2x1 ，有(x2x1)f ( x2 )f

8、 ( x1 )( x2 x1) 下列結論中正確的是( )A若 f ( x)M1 ， g (x)M2 ，則 f ( x)g( x)M1 2B若 f ( x)M1 ， g (x)M2 ，且 g( x)0 ，則 f (x)M1g (x)2C若 f ( x)M1 ， g (x)M2 ，則 f ( x)g (x)M12w.w.w. k.s.5. u.c.o.m標準實用文案D若 f ( x)M1 ， g (x)M 2，且12 ，則 f (x)g( x)M12答案： C【解析】對于(x2x1 ) f ( x2 )f ( 1 x )2( x ， x即) 有f ( x2 )f (x1)， 令x2x1f ( x2

9、 )f ( x1 )k， 有k，不妨設f ( x)M1， g (x)M 2，即有x2x11k f1 ,2kg2 ，因此有12k fkg12 ，因此有 f (x)g( x)M 12 非選擇題部分（共100 分）注意事項：1 用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將答案寫在答題紙上，不能答在試題卷上。2 在答題紙上作圖，可先使用 2B 鉛筆，確定后必須使用黑色字跡的簽字筆或鋼筆描黑。二、填空題：本大題共 7 小題，每小題 4 分，共 28 分。11設等比數列 an 的公比 q1S4，前 n 項和為 Sn ，則a42答案： 15【解析】對于 s4a1(1 q4 ) , a4a1q3 ,s41q4151 qa4q3

10、 (1q)12若某幾何體的三視圖（單位：cm ）如圖所示，則此幾何體的體積是cm3 答案： 18【解析】該幾何體是由二個長方體組成，下面體積為13 39 ，上面的長方體體積為3319，因此其幾何體的體積為18xy2,13 若實數x, y 滿足不等式組2 xy4, 則 2x3 y 的最小值xy0,是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m答案： 4【解析】通過畫出其線性規劃，可知直線y2 xZ 過點2,0 時， 2x 3 y min 4314某地區居民生活用電分為高峰和低谷兩個時間段進行分時計價該地區的電網銷售電價表如下：高峰時間段用電價格表低谷時間段用電價格表高峰月用電量高峰電價低谷月用電量低谷

11、電價（單位：千瓦時）（單位：元 / 千瓦（單位：千瓦時）（單位：元 / 千瓦標準實用文案時）時）50 及以下的部分0.56850 及以下的部分0.288超過 50至 200 的部分0.598超過 50至 200 的部分0.318超過200 的部分0.668超過200 的部分0.388若某家庭 5 月份的高峰時間段用電量為 200千瓦時，低谷時間段用電量為100 千瓦時，則按這種計費方式該家庭本月應付的電費為元（用數字作答）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m答案： 148.4【解析】對于應付的電費應分二部分構成，高峰部分為500.5681500.598 ；對于低峰部分為50 0.288 50

12、 0.318，二部分之和為148.415觀察下列等式：C51C55232 ，C91C95C992723 ，C131C135C139C131321125 ，C171C175C179C1713C171721527 ，由以上等式推測到一個一般的結論：對于 nN*1594 n 1， C4n1C4n 1C4 n 1C4 n 1w.w.w.k.s.5.u.c.o.m24n1n答案：122n1【解析】這是一種需類比推理方法破解的問題，結論由二項構成，第二項前有1 n ，二項指數分別為24n 1,22 n 1，因此對于 nN*1594n 124 n 1n22n 1， C4n1 C4n 1C4 n 1C4 n

13、1116甲、乙、丙 3 人站到共有7 級的臺階上，若每級臺階最多站2 人，同一級臺階上的人不區分站的位置，則不同的站法種數是（用數字作答）答案： 336【解析】 對于 7 個臺階上每一個只站一人，則有 A73 種；若有一個臺階有2 人，另一個是1 人，則共有 C31 A72種，因此共有不同的站法種數是336 種 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m17如圖，在長方形 ABCD 中， AB 2 ， BC1， E 為 DC 的中點， F 為線段 EC （端點除外）上一動點現將AFD 沿 AF 折起，使平面ABD平面 ABC 在平面 ABD 內過點 D作 DKAB ， K 為垂足設 AKt ，則t

14、 的取值范圍是標準實用文案答案：1 ,12【解析】此題的破解可采用二個極端位置法，即對于F 位于 DC的中點時， t1，隨著 F 點到 C 點時，因CBAB,CBDK, CB平面 ADB，即有 CBBD，對于CD2,BC 1, BD3 ，又A D1, AB2BD ，則有1t1,1t，因此的取值范圍是，因此有 ADw.w.w.k.s.5.u.c.o.m22三、解答題：本大題共5 小題，共72 分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。18（本題滿分 14 分）在ABC 中，角 A, B, C 所對的邊分別為a,b, c ，且滿足 cos A25，25AB AC3（I）求ABC 的面積；（ II

15、）若 bc 6 ，求 a 的值解 析 ： （ I ） 因 為 cos A25，cos A2cos 2A 13 ,sin A4，又由 ABAC 3，得25255b cc o s A3 , bc5 ，S ABC1 bc sin A2 w.w.w.k.s. 5.u.c. o.m2（ II）對于 bc5，又 bc6 ， b5, c1或 b1,c5，由余弦定理得 a2b2c22bc cos A 20 ，a25 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m19（本題滿分 14 分）在 1, 2,3,9 這 9 個自然數中，任取3 個數（ I ）求這 3個數中恰有 1個是偶數的概率；（II ）設為這 3個數中兩數

16、相鄰的組數（例如：若取出的數為1,2,3 ，則有兩組相鄰的數1,2和2,3，此時的值是 2 ）求隨機變量的分布列及其數學期望E解析：（ I ）記“這 3 個數恰有一個是偶數”為事件A，則 P(A)C41C5210；w.w.w.k.s.5.u.c.o.mC9321（ II）隨機變量的取值為 0,1,2,的分布列為012P51112212所以的數學期望為 E0511212w.w.w.k.s.5.u.c.o.m122123標準實用文案20（本題滿分 15 分）如圖，平面PAC平面 ABC ，ABC是以 AC 為斜邊的等腰直角三角形，E, F,O 分別為 PA ，PB ， AC 的中點， AC16，

17、PAPC10 （I）設 G 是OC 的中點，證明： FG / / 平面 BOE ；（ II ）證明：在ABO 內存在一點M，使FM平面BOE ，并求點 M 到 OA ， OB 的距離證明：（ I ）如圖，連結 OP，以 O為坐標原點，分別以OB、OC、 OP所在直線為 x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標系O xyz ， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m則 O 0,0,0, A(0,8,0), B(8,0,0), C(0,8,0),P(0,0,6), E(0, 4,3), F4,0,3 ，由題意得， G0,4,0, 因OB(8,0,0), OE(0,4,3)，因此平面BOE的法向

18、量為zn(0,3,4)， FG( 4,4, 3得 n FG0 ，又直線 FG 不在平面BOE 內，因此有 FG / / 平面 BOE（ II）設點 M的坐標為x0 , y0 ,0，則 FM(x0 4, y0 ,3) ，因為yFM平面BOEFM / n，因此有x04, y09 ，即點Mx，所以有49x0，在平面直角坐標系xoy 中， AOB 的內部區域滿足不等式組y0，經檢驗，的坐標為 4,04xy 8點 M的坐標滿足上述不等式組，所以在ABO 內存在一點 M ，使 FM平面 BOE ，由點 M的坐標得點 M到 OA ， OB 的距離為 4, 9 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m4y 2x

19、21( ab0) 的右頂點為21（本題滿分 15 分）已知橢圓 C1 ：2b2aA(1，過 C1 的焦點且垂直長軸的弦長為1（ I ）求橢圓 C1 的方程；（ II ）設點 P 在拋物線 C2 ： yx2h ( hR)上， C2 在點 P 處的切線與 C1 交于點 M , N 當線段 AP 的中點與 MN 的中點的橫坐標相等時，求h 的最小值b1a2y2x2解析：（ I ）由題意得b2, 所求的橢圓方程為1，w.w.w.k.s.5.u.c.o.mb12a14（ II ）不妨設 M (x , y ), N (x, y), P(t , t2h), 則拋物線 C2 在點 P 處的切線斜率為 yx t

20、2t ，直線 MN的1 122標準實用文案方 程 為 y2 t x2 th， 將 上 式 代 入 橢 圓 C1的 方 程 中 ， 得 4x2(2txt 2h) 24 0，即4 1 t222224，因0為直線 MN與橢圓C1有兩個不同的交點，所以有x4t (th) x ( th)116t 42(h2)t 2h240 ，設線段 MN的中點的橫坐標是x3 ，則 x3x1x2t (t 2h)，t 2 )22(1w.w.w.k.s.5.u.c.o.m設線段PA 的中點的橫坐標是x4，則 x4t1，由題意得x3x4 ，即有 t 2(1 h)t10，其中的22(1 h) 24 0, h 1或 h3 ；當 h

21、3 時有2，因此不等式16t42(h2)t224不成立；因此h2 0, 4 h1h00h 1 ， 當 h 1時代入方程t2(1h)t10得 t1 ， 將h1 t,代入不等式1116t 42(h2)t 2h240成立，因此h的最小值為 122（本題滿分 14 分）已知函數f ( x)x3(k 2k1)x25x2 ， g ( x)k 2 x2kx1 ，其中 kR w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（ I ）設函數p( x)f (x)g( x)若p( x)在區間(0,3)上不單調 ，求k的取值范圍；（ II）設函數 q( x)g (x), x0,是否存在 k ，對任意給定的非零實數x1 ，存在惟一f (x), x0.的非零實數 x （ x2x），使得 q ( x)q ( x ) 成立？若存在，求k 的值；若不存2121在，