1、第一講 差倍問題（一）專題簡析：前面我們已經初步掌握了“和倍問題”的特征和解題方法。如果知道了兩個數的差與兩個數間的倍數關系，要求兩個數各是多少，這一類題，我們則把它稱為“差倍問題”。小朋友，你們有沒有想到用解答和倍問題的類似方法解答差倍問題呢？解答差倍問題與解答和倍問題相類似，要先找出差所對應的倍數，先求1倍數，再求出幾倍數。此外，還要充分利用線段圖幫助分析數量關系。用關系式可以這樣表示：兩數差（倍數1）較小的數（1倍數）較小的數倍數較大的數（幾倍數）例1.小明到市場去買水果，他買的蘋果個數是梨的3倍，蘋果比梨多18個。小明買蘋果和梨各多少個？思路導航：將梨的個數看作1倍數，則蘋果的個數是這

2、樣的3倍。如圖：從線段圖上可以看出，蘋果的個數比梨多了312倍梨的2倍是18個，所以梨有1829個，蘋果有：9327個。練習一1.先鋒小學學生數是勝利小學的3倍，已知先鋒小學比勝利小學多700人，兩所學校各有學生多少人？2.育英小學參觀少年科技展覽。第一天參觀的人數比第二天多220人，已知第一天參觀的人數是第二天的3倍，兩天各是多少人？3.飼養場飼養的白兔比黑兔多249只，白兔是黑兔的4倍。問：飼養場養了黑兔、白兔各是多少只？4.紅旗農場收割玉米，第一天比第二天少收割540公畝，第二天收割的公畝數是第一天的3倍，兩天各收割多少公畝？5.朝陽農場收割小麥，第一天比第二天少收割129公畝，第二天收

3、割的公畝數比第一天多3倍，兩天各收割多少公畝？第二講 差倍問題（二）有些差倍問題比較復雜，不能直接利用公式進行解答，這時需要我們小朋友仔細審題，尤其注意一些隱含條件，同時借助線段圖幫助理解題意，從而找到解題方法。較復雜的差倍應用題，數量關系比較隱蔽。先依題意畫出線段圖，數量關系就會比較清晰地展現出來，然后借助線段圖找出兩個數的差以及所對應的倍數，再利用公式進行解答。例2.被除數比除數大252，商是7，被除數、除數各是多少？思路導航：根據“商是7”可知，被除數是除數的7倍，把除數看作1倍數，被除數就是這樣的7份，比除數多6份。所以除數是：252（71）42被除數是：42252294練習二1.被除

4、數比除數大168，商是22，被除數、除數各是多少？2.除數比被除數小212，商是5，被除數、除數各是多少？3.被除數比商大144，除數是7，被除數、商各是多少？4.除數比被除數小200，商是5，被除數、除數各是多少？5.除數比被除數小210，商是6，被除數、除數各是多少？第三講 年齡問題（一）年齡問題可以說是前面所講的和差問題及差倍問題的綜合，要正確解答這類題，首先要弄清：兩個不同年齡的人，年齡之差始終不變，但兩個人年齡的倍數關系卻在不斷地變化。年齡問題的主要特征是：大小年齡差是一個不變的量。我們可以抓住差不變這個特點，利用和差、差倍等知識來分析解答這類應用題。例1.三年前爸爸年齡是女兒的4倍

5、，爸爸今年43歲，女兒今年多少歲？思路導航：由題意可知爸爸今年43歲，則三年前爸爸的年齡是43340歲，40歲正好是女兒年齡的4倍，女兒三年前的年齡是40410歲，今年女兒的年齡是10313歲。例2.明明4歲時，媽媽年齡是明明的8倍。今年明明12歲，媽媽今年多少歲？思路導航：媽媽的年齡是明明的8倍，那么媽媽與明明的年齡相差48428歲。媽媽與明明的年齡差是不變的，今年明明12歲，那么媽媽的年齡是122840歲。練習三1.四年前小林年齡是小麗的2倍，小林今年12歲，小麗今年多少歲？2.五年前爺爺年齡是孫子的7倍，孫子今年14歲，爺爺今年多少歲？3.兒子今年10歲，爸爸今年34歲。幾年前，爸爸的年

6、齡是兒子的4倍？4.玲玲7歲時，爸爸年齡是玲玲的5倍。今年爸爸40歲，玲玲今年多少歲？5.爺爺63歲時，他的年齡是小青的9倍。今年小青12歲，爺爺今年多少歲？第四講 年齡問題（二）例3.女兒今年3歲，媽媽今年33歲。幾年后，媽媽的年齡是女兒的7倍？思路導航：女兒今年3歲，媽媽今年33歲，她們的年齡差是33330歲。她們年齡差不變，幾年后，媽媽的年齡是女兒的3倍，把女兒的年齡看作1份，媽媽的年齡就有7份，相差716份，6份是30歲，所以幾年后女兒的年齡是3065歲。也就是說，532年后，媽媽的年齡是女兒的7倍。例4.4年前，媽媽的年齡是女兒的3倍，4年后，母女年齡和是56歲。媽媽今年多少歲？思路

7、導航：4年后，母子的年齡和是56歲，可求出今年母子年齡和是564248歲。4年前母子年齡和是484240歲。又根據4年前，媽媽年齡是女兒的3倍，把女兒年齡看作1份，媽媽的年齡就有這樣的3份，共有314份。所以4年前女兒的年齡是40410歲，媽媽今年的年齡是103434歲。練習四1.小明今年7歲，爺爺今年62歲。幾年前，爺爺的年齡是小明的12倍？2.兒子今年2歲，爸爸今年的年齡是兒子的16倍。幾年后，爸爸的年齡是兒子的7倍？3.媽媽今年26歲，是小玲年齡的13倍。幾年后，媽媽的年齡是小玲的7倍？4.3年前，哥哥的年齡是弟弟的2倍。3年后，哥弟倆的年齡和是30歲。哥哥今年多少歲？5.5年前，小明的

8、年齡是小紅的3倍。5年后，小明和小紅年齡和是44歲。今年小明多少歲？第五講 盈虧問題在日常生活中常有這樣的問題：一定數量的物品分給一定數量的人，每人多一些，物品就不夠；每人少一些，物品就有余。盈虧問題就是在已知盈虧的情況下來確定物品總數和參加分配的人數。解答盈虧問題的關鍵是弄清盈、虧與兩次分得差的關系。盈虧問題的數量關系是：（1）（盈虧）兩次分配差份數 （大盈小盈）兩次分配差份數 （大虧小虧）兩次分配差份數（2）每次分得的數量份數盈總數量 每次分得的數量份數虧總數量例1.一個植樹小組植樹。如果每人栽5棵，還剩14棵；如果每人栽7棵，就缺4棵。這個植樹小組有多少人？一共有多少棵樹？由題意可知，植

9、樹的人數和樹的棵數是不變的。比較兩種分配方案，結果相差14418棵，即第一種方案的結果比第二種多18棵。這是因為兩種分配方案每人植樹的棵數相差752棵。所以植樹小組有1829人，一共有591459棵樹。練習五1.幼兒園把一些積木分給小朋友，如果每人分2個，則剩下20個；如果每人分3個，則差40個。幼兒園有多少個小朋友？一共有多少個積木？2.某校安排宿舍，如果每間6人，則16人沒有床位；如果每間8人，則多出10個床位。問宿舍多少間？學生多少人？3.有一個班的同學去劃船，他們算了一下，如果增加一條船，正好每條船坐6人；如果減少一條船，正好每條船坐9人。問：這個班共有多少學生？4.學生們分用筆，若每

10、人分5支，則余9支；若每人分8支，則差18支。學生多少人？鉛筆多少支？第六講 盈虧問題（二）例2.學校將一批鉛筆獎給三好學生。如果每人獎9支，則缺45支；如果每人獎7支，則缺7支。三好學生有多少人？鉛筆有多少支？分析與解答：這是兩虧的問題。由題意可知：三好學生人數和鉛筆支數是不變的。比較兩種分配方案，結果相差45738支。這是因為兩種分配方案每人得到的鉛筆相差972支。所以，三好學生有38219人，鉛筆有91945126支。例3.有一些少先隊員到山上去種一批樹。如果每人種16棵，還有24棵沒種；如果每人種19棵，還有6棵沒有種。問有多少名少先隊員？有多少棵樹？分析與解答：這是兩盈的問題。由題意

11、可知：少先隊員的人數和樹的棵數是不變的。比較兩種分配方案，結果相差24618棵，這是因為兩種分配方案每人種的樹相差19163棵。所以，少先隊員有1836名，樹有16624120棵。練習六1.將月季花插入一些花瓶中。如果每瓶插8朵，則缺少15朵；如果每瓶改為插6朵，則缺少1朵。求花瓶的只數和月季花的朵數。2.王老師給美術興趣小組的同學分發圖畫紙。如果每人發5張，則少32張；如果每人發3張，則少2張。美術興趣小組有多少名同學？王老師一共有多少張圖畫紙？3.老師將一些練習本發給班上的學生。如果每人發10本，則有兩個學生沒分到；如果每人發8本，則正好發完。有多少個學生？多少本練習本？4.小虎在敵人窗外

12、聽里邊在分子彈：一人說每人背45發還多260發；另一人說每人背50發還多200發。有多少敵人？多少發子彈？第七講 雞兔同籠問題假設是數學中思考問題的一常見的方法，有些應用題乍看很難求出答案，但是如果我們合理地進行假設，往往會使問題得到解決。所謂假設法就是依照已知條件進行推算，根據數量上出現的矛盾，作適當的調整，從而找到正確答案。我國古代趣題“雞兔同籠”就是運用假設法解決問題的一個范例。解答“雞兔同籠”問題的基本關系式是：兔數（總腳數每只雞腳數雞兔總數）（每只兔子腳數每只雞腳數）用假設法解答類似“雞兔同籠”的問題時，可以根據題意假設幾個量相同，然后進行推算，所得結果與題中對應的數量不符合時，要能

13、夠正確地運用別的量加以調整，從而找到正確的答案。例1.雞、兔共30只，共有腳84只。雞、兔各有多少只？思路導航：假設全是雞，共有腳：30260只；比實際少：846024只；這是因為把4只腳的兔子都按2只腳的雞計算了。每把一只兔子算作一只雞，少算：422只腳，現在共少算了24只腳，說明把：24212只兔子按雞算了。所以，共有兔子12只，有雞301218只。練習七1.雞、兔共100只，共有腳280只。雞、兔各多少只？2.雞、兔共50只，共有腳160只。雞、兔各幾只？3.雞、兔共45只，雞的腳比兔的腳多60只。雞、兔各多少只？4.野雞兔子49，100條腿地下走。問：野雞多少只？兔子有多少？5.雞兔同

14、籠，共100個頭，272條腿。雞兔各多少只？6.現有雞和兔共35只，合計腿數共100只。雞和兔各有多少只？第八講 雞兔同籠問題例1.某學校舉行數學競賽，每做對一題得9分，做錯一題倒扣3分。共有12道題，王剛得了84分。王剛做錯了幾題？思路導航：這類題實與雞兔同籠同類，還用假設法進行思考。若全做對，應得912108分，現在少了1088424分。為什么會少24分，因為做錯一題，不但得不到9分，反而需要倒扣3分，里外少了12分，所以錯了24122題。練習八1.某小學進行英語競賽，每答對一題得10分，答錯一題倒扣4分，共15題，小華得了102分。小華答對幾題？2.運輸襯衫400箱，規定每箱運費30元，

15、若損失一箱，不但不給運費，并要賠償100元。運后運費為8880元，損失了幾箱？3.某車間生產一批服裝共250件，生產1件可得25元，如果有1件不符合要求，則倒扣20元。生產后得到費用5350元，有幾件不符合要求？4.某小學舉行一次數學競賽，共15道題，每做對一題得8分，每做錯一題倒扣4分，小明共得了72分。他做對了幾道題？第九講 包含與排除三（1）班準備給參加班級繪畫比賽的16位同學和參加朗讀比賽的12位同學每人發一份紀念品，當中隊長玲玲將28份紀念品發下去時，卻多出5份，這是怎么回事？對了，因為有5位同學既參加了繪畫比賽，又參加了朗讀比賽，所以獎品就多出了5份。數學中，我們將這樣的問題稱為重

16、疊問題。解答重疊問題要用到數學中的一個重要原理包含與排除原理，即當兩個計數部分有重復包含時，為了不重復計數，應從它們的和中排除重復部分。例1.六一兒童節，學校門口掛了一行彩旗。小張從前數起，紅旗是第8面；從后數起，紅旗是第10面。這行彩旗共多少面？思路導航：根據題意，畫出下圖：從圖上可以看出，從前數起紅旗是第8面，從后數起是第10面，這樣紅旗就數了兩次，重復了一次，所以這行彩旗共有810117面。練習九1.小朋友排隊做操，小明從前數起排在第4個，從后數起排在第7個。這隊小朋友共有多少人？2.學校組織看文藝演出，冬冬的座位從左數起是第12個，從右數起是第21個。這一行座位有多少個？3.同學們排隊

17、去參觀展覽，無論從前數還是從后起起，李華都排在第8個。這一排共有多少個同學？4.同學們排隊跳舞，每行、每列人數同樣多。小紅的位置無論從前數從后數，從左數還是從右數起都是第4個。跳舞的共有多少人？第十講 包含與排除（二）容斥問題涉及到一個重要原理包含與排除原理，也叫容斥原理。即當兩個計數部分有重復包含時，為了不重復計數，應從它們的和中排除重復部分。容斥原理：對n個事物，如果采用不同的分類標準，按性質a分類與性質b分類（如圖），那么具有性質a或性質b的事物的個數NaNbNab。例1.一個班有48人，班主任在班會上問：“誰做完語文作業？請舉手！”有37人舉手。又問：“誰做完數學作業？請舉手！”有42

18、人舉手。最后問：“誰語文、數學作業都沒有做完？”沒有人舉手。求這個班語文、數學作業都完成的人數。分析：完成語文作業的有37人，完成數學作業的有42人，一共有374279人，多于全班人數。這是因為語文、數學作業都完成的人數在統計做完語文作業的人數時算過一次，在統計做完數學作業的人數時又算了一次，這樣就多算了一次。所以，這個班語文、數作業都完成的有：794831人。練習十1.五年級有122名學生參加語文、數學考試，每人至少有一門功課取得優秀成績。其中語文成績優秀的有65人，數學優秀的有87人。語文、數學都優秀的有多少人？2.四年級一班有54人，訂閱小學生優秀作文和數學大世界兩種讀物的有13人，訂小

19、學生優秀作文的有45人，每人至少訂一種讀物，訂數學大世界的有多少人？3.學校文藝組每人至少會演奏一種樂器，已知會拉手風琴的有24人，會彈電子琴的有17人，其中兩種樂器都會演奏的有8人。這個文藝組一共有多少人？4.三（1）班有40個學生，其中25人參加數學小組，23人參加科技小組，有19人兩個小組都參加了。那么，有多少人兩個小組都沒有參加？第十一講 還原問題“一個數加上3，乘3，再減去3，最后除以3，結果還是3，這個數是幾？”像這樣已知一個數的變化過程和最后的結果，求原來的數，我們通常把它叫做“還原問題”。解答還原問題，一般采用倒推法，簡單說，就是倒過來想。解答還原問題，我們可以根據題意，從結果

20、出發，按它變化的相反方向一步步倒著推想，直到問題解決。同時，可利用線段圖表格幫助理解題意。例1.一個減24加上15，再乘8得432，求這個數。思路導航：我們可以從最后的結果432出發倒著推想。最后是乘8得432，如果不乘8，那應該是432854；如果不加上15，應該是541539；如果不減去24，那應該是392463。因此，這個數是63。例2.一段布，第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，還剩8米。這段布原來長多少米？從上面的線段圖可以看出：剩下的8米和余下的一半同樣多，那么原長的一半是：8216米，原來長：16232米。練習十一1.一個數加上3，乘3，再減去3，最后除以3，結果還是3。這個

21、數是幾？2.一個數的4倍加上6減去10，再乘2得88，求這個數。3.一個數縮小2倍，再縮小2倍得80，求這個數。4.某水果店賣西瓜，第一次賣掉總數的一半，第二次賣掉剩下的一半，這時還剩10只西瓜。原有西瓜多少只？5.某人乘船從甲地到乙地，行了全程的一半時開始睡覺，當他睡醒時發現船又行了睡前剩下的一半，這時離乙地還有40千米。甲、乙兩地相距多少千米？第十二講 還原問題（二）已知某個數經過加、減、乘、除運算后所得的結果，要求原數，這類問題叫做還原問題，還原問題又叫逆運算問題。解決這類問題通常運用倒推法。遇到比較復雜的還原問題，可以借助畫圖和列表來解決這些問題。例1.小剛的奶奶今年年齡減去7后，縮小

22、9倍，再加上2之后，擴大10倍，恰好是100歲。小剛的奶奶今年多少歲？分析與解答：從恰好是100歲向前推算，擴大10倍后是100歲，沒有擴大10倍之前應是1001010歲；加上2之后是10歲，沒有加2之前應是1028歲；沒有縮小9倍之前應是8972歲；減去7之后是72歲，沒有減去7前應是72779歲。所以，奶奶今年是79歲。例2.某商場出售洗衣機，上午售出總數的一半多10臺，下午售出剩下的一半多20臺，還剩95臺。這個商場原來有洗衣機多少臺？分析與解答：從“下午售出剩下的一半還多20臺”和“還剩95臺”向前倒推，剩下的95臺和下午多賣的20臺合起來，即9520115臺正好是上午售后剩下的一半，

23、那么1152230臺就是上午售出后剩下的臺數。而230臺和10臺合起來，即23010240臺又正好是總數的一半。那么，2402480臺就是原有洗衣機的臺數。練習十二里填上適當的數。20816262.一個數的3倍加上6，再減去9，最后乘上2，結果得60。這個數是多少？3.小紅問王老師今年多大年紀，王老師說：“把我的年紀加上9，除以4，減去2，再乘上3，恰好是30歲。”王老師今年多少歲？4.糧庫內有一批大米，第一次運出總數的一半多3噸，第二次運出剩下的一半多5噸，還剩下4噸。糧庫原有大米多少噸？5.爸爸買了一些橘子，全家人第一天吃了這些橘子的一半多1個，第二天吃了剩下的一半多1個，第三天又吃掉了剩

24、下的一半多1個，還剩下1個。爸爸買了多少個橘子？第十三講 植樹問題爸爸給晶晶出了一道題：“小朋友在路的一邊植樹，先植一棵樹，以后每隔3米植一棵，已經植了9棵，問第一棵和第九棵樹相距多少米？”晶晶一看，隨口答道：“27米?！毙∨笥?，晶晶答得對嗎？這一類應用題我們通常稱為“植樹問題”。解答這類問題的關鍵是要弄清總距離、間隔長和棵樹三者之間的關系。解答植樹問題要考慮植樹的方式，一般在不封閉的線路上植樹，棵數總距離間隔長1；在封閉的線路上植樹，棵數總距離間隔長。另外，生活中還有一些問題，可以用植樹問題的方法來解答，比如鋸木頭、爬樓梯問題等等，這里解題的關鍵是要將題目中的條件與問題與植樹問題中的總距離、間隔長、棵數對應起來。例1.小朋友們植樹，先植一棵樹，以后每隔3米植一棵，已經植了9棵，第一棵和第九棵相距多少米？思路導航：要得出正確的結果，我們可以畫出如下的示意圖：