1、第三章 導數與微分17世紀上半葉（整整半個世紀），當時天文學、力學等領域發展醞釀著微積分的發展，伽利略天文望遠鏡的發明使天文學的高漲，1619年開普勒通過觀測歸納出運動的三大定律，對定律進行證明成為當時最中心的課題之一，1638年伽利略建立自由落體定律，動量定律等，他本人也倡導自然科學數學化，他的著作激起了人們對他確立的動力學概念與定律做精確的數學表述的巨大熱情這一蓬勃發展的自然科學在邁入綜合與突破的階段時面臨的是數學困難，使微分學的基本問題成為人們關注的焦點：確定非勻速運動物體的速度與加速度使瞬時變化率問題的研究成為當務之急；望遠鏡的光程設計需要確定透鏡曲面上任一點的法線，這又使求任一點切線

2、問題變得不可回避微分學是微積分的重要組成部分，它的基本概念是導數與微分其中導數反映的是函數相對于自變量的變化快慢程度，而微分則反映出當自變量有微小變化時，函數大體上變化了多少本章主要討論導數和微分的概念以及它們的計算方法第一節 導數的定義一、導數的引例1、變速直線運動的瞬時速度設某物體做變速直線運動，在0,t內所走過的路程為，其中為時間，求物體在時刻的瞬時速度我們知道，當物體做勻速直線運動時，若物體所走過的路程為，所用時間為，則可知該段時間內的平均速度為由于是勻速運動，因此在時刻的瞬時速度，但變速直線運動物體的速度是隨時間的變化而變化的，不同時刻的速度可能都不同，因此平均速度不能很好的反映物體

3、在時刻的瞬時速度為解決此問題，我們先求出物體在這一小段時間內的平均速度，因此有路程變化表達式平均速度為通常速度在段時間內變化不會很大，因此這里的可以作為的近似值，容易看出，越小，則越接近，試想，當無限變小時，將無限接近即2、曲線的切線斜率首先說明什么是曲線的切線，在中學，我們曾定義圓的切線為“與圓只有一個交點的直線”，但對于一般曲線而言，這一定義不合適，很明顯，與一曲線只有一個交點的直線很多，但不是切線圖31一般地，設連續曲線及上一點如圖31所示，在點外任取一點，做割線，如果點沿曲線趨向點時，如果割線趨向與它的極限位置，則稱直線為曲線在處的切線，如圖所示設點的坐標為，則點的坐標為，割線的傾角為

4、，切線的傾角為，則割線的斜率當時，點沿曲線趨于，由切線的定義知趨于，從而，有，即切線的斜率 以上兩個問題，盡管實際意義不同，但是有著相同的本質，都是歸結于要求函數的改變量與自變量的改變量的比值，當自變量的改變量區域0時的極限，可見這種形式的極限問題是非常重要的而且普遍存在，因此有必要將其抽象出來，進行重點討論和研究，這種形式的極限就是函數的導數二、導數的定義定義 設函數在點及其近旁有定義, 當自變量在點有增量時, 函數有相應的增量，當時，若的極限存在，即存在，則稱此極限值為函數在點處的導數，記作, , , 反映的是自變量從改變到時, 函數的平均變化速度, 稱為函數的平均變化率而導數則反映的是函

5、數在處的變化速度, 稱為函數在處的瞬時變化率函數在點處有導數，則稱函數在點處可導定義 如果函數在區間內每一點處都可導，則稱在區間內可導此時，對于區間內每一個確定的, 都有一個導數的值與它對應，這樣就定義了一個新的函數，稱為函數的導函數（derivative function）在不致發生混淆的情況下，導函數也簡稱為導數，記作, , , 顯然 函數在點處的導數，就是導函數在點處的函數值，即注意與的區別：表示函數在點的導數，即函數在一點的導數；而表示點處函數值的導數，即一個常數的導數，結果為零基于此，要求一個函數在一個點的導數，應先求出這個函數的導函數，再把點代入即得三、與導數有關的問題有了導數的定

6、義，實際中很多問題都可以用導數來表示，導數引例中的兩個問題分別用導數可以表示為：（1） 變速直線運動的速度是路程對時間的導數，即（2） 函數在點處的導數是曲線在點處的切線的斜率，即其中是切線的傾斜角，這也是導數的幾何意義除了這兩個以外，還有如下問題分別可以用導數來表示：（3）在經營管理中，收益函數對銷售量的導數稱為邊際收益（4）利潤函數對產量的導數稱為邊際利潤（5）在電工學中，電量對時間的導數稱為電流（6）在熱學中，熱量對溫度的導數稱為比熱等（7）在化學反應中，物質的濃度對時間的導數稱為反應速率，一般為了使反應速率為正值，如果物質是反應物，則前加負號，即；物質是產物，則速率就是（8）在干燥物體

7、的時候，單位干燥面積上汽化水分量對時間的導數稱為干燥速率（9）某種傳染病傳播的人數量對時間的導數稱為傳染病的傳播速度四、幾個求導數實例例1 求在處的導數解 由于函數改變量所以=例2 求函數的導數解 因為，所以 )即類似地, 可求得例3 求函數的導數解 因為 ，所以即特別地, 當時 五、可導與連續的關系定理 如果函數在點處可導, 則它在點處一定連續（證明略）這個定理的逆命題不成立, 即如果函數在點處連續, 但在處不一定可導例如函數在區間內處處連續，但它在處不可導是因為在處有，即曲線在原點有垂直于軸的切線，從而導數不存在如圖32所示又例如函數，圖形如圖33所示，這樣的圖形在原點是沒有切線的，所以就

8、不存在斜率，也就沒有導數，但是連續，所以像這種點也是不可導的，它的理論推導留給讀者在習題中完成圖33圖32習題訓練1物體作直線運動的方程為，求：（1）物體在2秒到秒的平均速度； （2）物體在2秒時的瞬時速度；（3）物體在秒到秒的平均速度； （4）物體在秒時的瞬時速度2根據導數定義證明：3已知每公斤鐵由加熱到所吸收的熱量由下式確定：求時鐵的比熱4用導數定義證明連續函數在點處不可導5用導數定義證明函數在點處連續，但在點處不可導6用導數定義討論函數在點處的可導性7結合你自己的專業，查找除了本節中給出的可以用導數表示的外，還有哪些可以用導數表示？第二節 求導法則一、函數和、差、積、商的求導法則上面，我

9、們利用導數的定義求出了一些簡單函數的導數，但是當函數比較復雜時，那么用導數的定義來求這些復雜函數的導數時就會變得相當麻煩由于導數在數學形式上就是一種特殊的函數的極限，我們可以利用函數極限的四則運算法則導出函數求導的四則運算法則設、在點處具有導數，.根據導數定義和函數極限的四則運算法則很容易得到下面函數的和、差、積、商的求導法則（證明略）法則1 這個公式可以推廣到有限多個函數代數和的情形法則2 法則3 (為常數)法則4 （）例1 求函數的導數解 例2求函數的導數解 例3 求函數的導數解 因為，所以即 類似的，可以求出 例4 求函數的導數解 因為，所以 即 類似的 可以求出 例5 求函數的導數解

10、例6 一個可變電阻的電路中的電壓為，求在時電壓對可變電阻的變化率解 根據導數的本質可知，電壓關于可變電阻的變化率為,即當時，電壓關于可變電阻的變化率為二、反函數的導數定理 設函數在內單調、可導，且，則它的反函數在對應的區間內也單調、可導，且或（證明略）例7 求函數的導數解 因為的反函數是（），且，所以即 類似的 可以求出例8 求函數 的導數解 因為的反函數是（），且，所以即 類似的 可以求出 例9 求函數的導數解 因為的反函數是 ，且，所以即特別地，指數函數的導數是三、復合函數的導數定理 設函數是由及復合而成的函數，如果在點處有導數，而在對應點處有導數，則復合函數在點處的導數也存在, 且或寫成

11、或其中表示對的導數，表示對中間變量的導數，而表示中間變量對自變量的導數（證明略）復合函數的導數可以推廣到有限次復合的函數情形例如 ， 則，這樣的復合函數的求導方法則稱為鏈式法則例10 求函數的導數解 設，則，因為，所以例11 求的導數解 設，則，因為，所以當運算熟練后，求復合函數的導數時，就不必再寫出中間變量，可以按照復合的前后次序，層層求導直接得出結果例1,2 求的導數解 計算函數的導數時，有時需同時運用函數的和、差、積、商的求導法則和復合函數的求導法則例13 求的導數解 例14 求的導數解 函數的定義域為，所以 例15對電容器充電的過程中，電容器充電的電壓為,求電容器的充電速度表

12、達式.解 根據題意可知充電速度為，根據復合函數的求導法則，有四、初等函數的求導公式到現在為止，我們已經求出了全部基本初等函數的導數由于初等函數是由常數和基本初等函數經過有限次四則運算和有限次的函數復合運算構成的，因此可以利用函數的和、差、積、商的求導法則、復合函數的求導法則以及基本初等函數的導數公式求出任何初等函數的導數從而可以得出下面的結論：一切初等函數都是可導的，而且可導的初等函數的導數仍為初等函數為了便于查閱，我們把這些導數公式和求導法則歸納如下：1 基本初等函數的導數公式1 （為常數）2（為任意實數）3 45 6789101112131415162 函數和、差、積、商的求導法則 ；（是

13、常數） 3 復合函數的求導法則設，而且及都可導，則復合函數的導數為或習題訓練1求下列函數在給定點的導數：（1）在及； （2）在及；（3）在； （4）在2指出下列復合函數的復合過程，并求出其導數（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）3求下列函數的導數：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）4曲線在處的切線斜率是多少？曲線上哪些點的切線平行軸？5過點引拋物線的切線，求此切線方程，并作圖6數為何值時，直線才能與對數曲線相切？在何處相切？第三節 隱函數的導數 由參數方程所確定的函數的導數一、隱函

14、數的導數前面我們遇到的函數，例如，等，兩個變量與之間的對應關系用表示，用這種方式表達的函數稱為顯函數但有些函數的表達方式卻不是這樣，例如，方程表示一個函數，因為當變量在內取值時，變量有確定的值與之對應例如，當時，；當時，等等這種由含有和的方程所確定的函數稱為隱函數把一個隱函數化為顯函數，叫做隱函數的顯化例如從方程解出，就把隱函數化成了顯函數但是隱函數的顯化有時是有困難的，有時甚至是不可能的例如，要將函數顯化顯然是不可能的但在實際問題中，有時需要計算隱函數的導數因此，我們希望有一種方法，不管隱函數能否顯化，都能直接由方程算出它所確定的隱函數的導數來 求隱函數的導數時，可以兩邊逐項對求導，遇到時，

15、就視為的函數，遇到的函數時，就看成為的復合函數，為中間變量然后從所得的等式中解出，即得隱函數的導數下面通過具體例子來說明這種方法例1 求由方程所確定的隱函數的導數解 將方程的兩邊同時對求導，即注意到是的函數，則是的復合函數，由復合函數的求導法則, 先求對的導數，然后乘以對的導數所以上式可以寫為 ，解出，得例2 求由方程所確定的隱函數在處的導數解 兩邊對求導，得，即注意到是的函數，是的復合函數，由復合函數的求導法則，得 ，解出，得 因為，可求得，所以例3 求橢圓在點處的切線方程解 兩邊對求導，得，解出，得把點的坐標，代入，得切線斜率為，從而所求切線方程為，即 例4 求的導數解 對等式兩邊取自然對

16、數，得兩邊對求導，得，解出，得，或由于對數具有化積商為和差的性質，因此我們可以把多因子乘積、開方的求導運算，通過取對數得到簡化例5 求（）的導數解 兩邊取對數，得，兩邊對求導，注意到是的函數，得，即.像例4、例5，我們先對函數兩邊取對數化為隱函數，然后再按隱函數求導法來求函數的導數，稱為對數求導法二、由參數方程所確定的函數的導數一般情況下，參數方程 確定了是的函數關系，在參數方程中，如果函數具有單調連續的反函數，則由參數方程所確定的函數可以看成是由和復合而成的函數假定，都可導，且，則由復合函數的求導法則和反函數的求導法則，得，即 或 例6 求由參數方程所確定的函數的導數解 ，則 例7 求由參數

17、方程確定的函數在處切線的斜率解 ，則，則 例8 求橢圓在的切線方程和法線方程解 ，則切線的斜率為，當時，橢圓上點的坐標為,過的切線方程為，過的法線方程為習題訓練1求由下面的方程所確定的隱函數的導數：（1）； （2）；（3）； （4） ；（5）； （6）2求由下列方程所確定的隱函數在指定點的導數：（1），點； （2），點3求曲線在點的切線方程4求下列由參數方程所確定的函數的導數：（1） ； （2） ； （3）5已知參數方程，求當時的導數6求曲線在點的切線方程與法線方程 第四節 高階導數一、高階導數的概念如果函數的導數仍是的函數，若仍可求導，則稱的導數為函數的二階導數記作, , 或相應地，把的導數

18、稱作函數的一階導數類似地, 如果函數的二階導數仍是的函數，若仍可求導，則稱的導數為函數的三階導數記作, , 或一般地，如果函數的階導數仍是的函數，若仍可求導，則稱的導數為函數的階導數記作(), , 或函數具有階導數，也常說成函數為階可導如果函數在點處具有階導數，那么在點的近旁內必定具有一切低于階的導數二階及二階以上的導數統稱高階導數根據高階導數的意義，求高階導數時仍用前述的求導方法例1 求下列函數的二階導數（1）；（2）；（3）解 （1）， （2） ， （3），例2 求由方程確定的隱函數的二階導數解 由本章第三節例1，可知，上式兩邊再對求導，注意到仍是的函數，則例3 求由參數方程確定的函數的二

19、階導數解 由本章第三節例7，可知，所以例4 求的階導數解 ， ， ， , 依此類推，得例5 求的階導數解 ， ， ，依此類推，得 同樣的階導數為 二、二階導數的物理意義若某物體作變速直線運動，其運動方程為，則物體運動的速度是路程對時間的導數，即此時若速度仍是時間的函數，我們可以求速度對時間的導數，用表示，即 物理學中，我們稱為加速度，也就是說物體運動的加速度是路程對時間的二階導數例6 已知某物體作變速直線運動，其運動方程為（是常數）求物體運動的加速度解 因為， 則，習題訓練1求下列函數的二階導數（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）2求由方程所確定的隱函數對的二階導數（1）； （

20、2）（3）3求由參數方程所確定的函數對的二階導數（1）（為常數）； （2）（3）4驗證函數（為常數）滿足關系式5求的階導數*第五節 用Matlab求函數導數導數在科技領域中的用途是非常大的，對于復雜的函數如果能用計算機來求導數，對我們來說是再好不過了，下面介紹如何用Matlab來求導數例1 求的一階導數解 在命令窗口中輸入： >> syms x >> f=log(1-x);>> diff(f) 輸出結果為：ans = -1/(1-x)即例2 求的二階導數解 在命令窗口中輸入：>> syms x >>f=log(1-x);>>

21、;diff(f,2) 輸出結果為：ans = -1/(1-x)2即例3 已知所確定的隱函數求解 在命令窗口中輸入：>> syms x y>> f=exp(y)+y*sin(x)-exp(x);>> dfx=diff(f,x);>> dfy=diff(f,y);>> dyx=-dfx/dfy;>> dyx 輸出結果為：dyx = (-y*cos(x)+exp(x)/(exp(y)+sin(x)即 例4 已知一參數方程為求解 在命令窗口中輸入：>> syms t>> x=t*sin(t);>>

22、; y=t*(1-cos(t);>> dx=diff(x,t);>> dy=diff(y,t);>> dx>> dy>> dy/dx輸出結果：dx = sin(t)+t*cos(t) dy = 1-cos(t)+t*sin(t)ans = (1-cos(t)+t*sin(t)/(sin(t)+t*cos(t) 即 習題訓練1用Matlab求下列函數的導數：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）； （9）； （10）2用Matlab求由下面的方程所確定的隱函數的導數：（1）； （2）3已知參數方程，用Ma

23、tlab求當時的導數第六節 函數的微分函數的導數是表示函數在點處的變化率, 它表示函數在點處的變化的快慢程度有時我們還需要了解函數在某一點當自變量取得一個微小的增量時, 相應地函數有多大變化的問題一、微分的定義xx0x0圖34A = x02x我們先來分析一個具體問題，一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響，其邊長由變到（如圖34），問此薄片的面積改變了多少？設正方形邊長為，面積為，則而金屬薄片受溫度變化的影響時，面積的改變量可以看作當自變量在取得增量時，函數的增量它由兩部分組成，第一部分是的線性函數，當時，它是的同階無窮小，是的主要部分第二部分，當時，它是較高階無窮小，很明顯，當很小時，在中所起的

24、作用的很小，可以忽略不計，因此，而，因此上式可改寫成下面說明這里得到的簡單關系，對一般可導函數也是成立的一般地, 如果函數 在點處可導, 即,根據具有極限的函數與無窮小量的關系, 得 （其中是當時的無窮小量）于是 由上面式子可知，函數的增量是由 和兩部分組成, 當0時,是的同階無窮小，是的主要部分，稱是的線性主部而是較更高階無窮小. 所以當很小時, 有下面我們給出微分的定義：定義 如果函數在點處有導數，則稱作函數在點處的微分（Differential），記為即 一般地, 函數在點處的微分叫函數的微分記為=如果設，則有 即自變量的微分就是它的增量， 于是函數的微分可寫成 即函數的微分就是函數的導數與自變量的微分之積，由上面式子亦可以看出函數的微分與自變量的微分之商，等于函數的導數，所以導數也叫微商例1 求函數 當由3改變到 3.01時的和解 因為，所以當時，例2求函數的微分（1）； （2）解 （1）；（2）二、微分的幾何意義為了對微分有比較直觀的了解，我們來說明微分的幾何意義x0xOxNTM圖35Pyx0+xQyy = f (x)dy如圖35，在曲線上取一點，過作曲線的切線，它的傾斜角為當自變量有微小增量時，就得到曲線上另一點.從右圖可以看出， ，即 這就是說，函數的微分，等于曲線在點的切線的縱坐標對應于的增量，這就是微分的幾何意義又因