1、數學分析選講教案1授課時間2005 年9月12日第3周星期一 第 四 大節授課地點6402實到人數117授課題目函數的概念與性質、實數理論授課專業 班級信息與計算科學教學目的與教學要求1. 掌握函數的概念、性質和運算的方法。2. 理解實數理論的完備性，并會熟練運用，證明有關問題,.主要內容1、各種符號，函數的概念，幾類重要函數，函數的性質，定理1.1 Contor閉區間套定理，定理1.2 （Bolzano -Weierstrass定理）任何的有界數列必有收斂子列（列緊性），定理1. 3 (完備性定理) 數列收斂的充要條件是它為基本數列。定理1.4 （單調收斂定理） 單調有界數列必收斂。定理1.

2、5 （確界存在定理）上有界的數集必有上確界；下有界的數集必有下確界。定理 1.6 （HeineBorel有限覆蓋定理）重點與難點重點：函數的性質和實數理論。難點：實數理論教學方法手段（教具）討論法，傳統教學方法與使用多媒體相結合參考資料數學分析，高等數學，2005年數學研究生考題 2006年高等數學考試測試題課后作業與思考題作業1.2.3.4.5.6思考題：六個實數完備性定理的相互證明。教學后記講稿部分教學過程時間分配第一講：函數的概念與性質，實數理論一、函數的概念與性質（一）常用符號 N, Z, R, (二) 函數的概念1. 函數的定義2. 幾個重要函數l 分段函數 l 符號函數 l Dir

3、ichlet 函數l Rinmann 函數 3. 初等函數 4. 周期函數 5.奇偶函數6. 復合函數 7. 反函數 (三) 函數的性質 l 有界性 l 周期性 l 奇偶性 l 單調性 20m第 1 頁 共 頁講稿部分教學過程時間分配 , 求 =， 求 設 = 由數學歸納法 證明 為R上的有界函數。 二、實數完備性定理 在研究數列極限以前，我們要討論一下極限存在的環境問題。它是數學分析的另一個基礎：實數系和它的完備性。所謂完備性，實質上就是對極限運算的“封閉性”。正因為實數系有完備性（或連續統），所以在實數系中討論極限問題時才沒有后顧之憂。 定理1.1 Contor閉區間套定理，定理1.2 （

4、Bolzano -Weierstrass定理）任何的有界數列必有收斂子列（列緊性）。定理1. 3 (完備性定理) 數列收斂的充要條件是它為基本數列。20m第 2 頁 共 頁講稿部分教學過程時間分配定理1.4 （單調收斂定理） 單調有界數列必收斂。定理1.5 （確界存在定理）上有界的數集必有上確界；下有界的數集必有下確界。定理 1.6 （HeineBorel有限覆蓋定理）三、概念辨析與問題證明1、 區間套與有限覆蓋定理的應用區間套定理通常用于將函數在某一閉區間上成立的性質歸結為在某點鄰域的性質，體現了整體收縮為局部的特點。他所證明的結論涉及到某一點的問題，例如，閉區間上連續函數的零點存在性問題，

5、有界數列存在收斂子列問題等。而有限覆蓋定理得作用與區間套定理相反，它是把函數在每點某鄰域的性質拓展為函數在閉區間上所共有的性質。例如函數在閉區間上逐點連續推出函數在閉區間上一致連續。 區間套與有限覆蓋定理是同一事物的兩個方面，可以相互轉化，從反證法的觀點來看，局部點的反面變成了整體，反之亦然。若函數 在上有定義恒取正值， = 則在a, b 上必有正的下界。 2 聚點與聚點定理 是的聚點， 聚點是對數集而言，極限是對數列而言。聚點不一定是極限點，極限點也不一定是聚點。當收斂數列有無窮項相異時，則極限點比為聚點。 ，不是的聚點，但數列有極限。 有聚點但不是沒有極限點20m第 3 頁 共 頁講稿部分

6、教學過程時間分配聚點的等價定義：是的聚點，以下三個定義等價：I 含有的無窮多個點II 含有內至少一個點III 使得 3確界原理應用舉例設函數 在上單調遞增，且 證明 使得： 由， E非空有上界，必有上確界 欲證 單增 是的一個上界，所以 （1）又單增，得到 即 （2）由（1）（2）知道 3. 致密性定理應用舉例設函數， 且有唯一最值點， 若 且 證明： 為有界數列，有收斂的子列記作20m第 4 頁 共 頁講稿部分教學過程時間分配并記 顯然 再由 這與為的唯一最值點矛盾。4多種方法證明設函數 在上只有第一類間斷點（可以有無窮多個），證明 在上有界1：（致密性定理）反證，若在上無界，存在，可找出，

7、有界，必有收斂的子列 時在上無界。小結：掌握函數的各種性質，理解初等函數的概念及復合運算。 20m第 5頁 共 頁講稿部分教學過程時間分配作業題1 , 求 2 試證 不是周期函數3 證明 每一點都有有限值，但每一點的鄰域內函數無界。 4 證明是滿足不等式 一切正有理數的下確界。 5 已知在每一點極限存在，證明在上有界6設函數 且有界，=在至多有有限實根，證明存在35m第 6 頁 共 頁數學分析選講教案2授課時間2005 年9月14日第3周星期三 第二 大節授課地點6403實到人數117授課題目數列極限，實數理論授課專業 班級信息與計算科學教學目的與教學要求1 掌握數列的概念、性質和運算的方法。

8、2掌握數列收斂的判別方法，并會熟練運用，證明有關問題,.主要內容1、數列極限概念、 性質，唯一性、有界性、包號性、保序性、迫斂性。（Bolzano -Weierstrass定理）任何的有界數列必有收斂子列（列緊性），柯西基本列。2、 收斂數列判別 單調收斂定理、 單調有界數列必收斂。海因定理。Stolz 定理，壓縮影響原理3、 判別法應用及運算技巧重點與難點重點：各種判別法。難點：運算技巧教學方法手段（教具）討論法，傳統教學方法與使用多媒體相結合參考資料數學分析，高等數學，2005年數學研究生考題 2006年高等數學考試測試題課后作業與思考題作業1.2.3.4.5.6思考題：各種判別法相互關系

9、。教學后記講稿部分教學過程時間分配第二講 數列的極限 數學分析的最根本的概念是極限。數學分析所有的概念都基于極限。如數列極限，函數極限，連續，導數，積分等的定義都是某種類型的極限。 （一）基本概念和定理1 性質 唯一性，有界性，保號性，保序性迫斂性2 四則運算3 幾個公式 4常用收斂判別方法（1）Cauchy Principle, （2）單調有界定理，（3）兩面夾定理，（4）Stolz定理。 （5）壓縮映像原理，（6）定積分法 5 三個不等式 （1）Bernulli Inequality (2) Schwarz Inequality (3)AG Inequality 20m第 1頁 共 頁講稿

10、部分不教學過程時間分配（二）應用舉例 用Cauchy Principle證明調和級數發散。用單調有界定理證明證明單調遞減下確界為零 設為兩正實數， 證明 收斂，并有相同的極限。 20m第 2頁 共 頁講稿部分教學過程時間分配 （三） 壓縮映像原理1壓縮數列 2壓縮函數 3 有界變差數列20m第 3頁 共 頁講稿部分教學過程時間分配 有界變差數列，壓縮數列均收斂 先證有界變差數列收斂 單調地遞增有上界 故收斂 收斂再證壓縮數列收斂 +2壓縮函數 壓縮函數列應用 設 證明 20m第 4頁 共 頁講稿部分教學過程時間分配此題證明有理數逼近無理數。 為壓縮數列 (四)Stolz 定理1 如果 單調遞增趨于正無窮， 2應用舉例 1 （算術平均收斂公式）設 證明 2 3 （五）運用定積分求極限 1 求 （）20m第 5頁 共 頁講稿部分教學過程時間分配 2 3 （六）運