1、2013年中考數學專題復習第四講：因式分解【基礎知識回顧】一、因式分解的定義：1、把一個 式化為幾個整式 的形式，叫做把一個多項式因式分解。（ ）（ ）2、因式分解與整式乘法是 運算，即：多項式 整式的積【趙老師提醒：判斷一個運算是否是因式分解或判斷因式分解是否正確，關鍵看等號右邊是否為 的形式。】二、因式分解常用方法：1、提公因式法： 公因式：一個多項式各項都有的因式叫做這個多項式各項的公因式。 提公因式法分解因式可表示為：ma+mb+mc= 。【趙老師提醒：1、公因式的選擇可以是單項式，也可以是 ，都遵循一個原則：取系數的 ，相同字母的 。2、提公因式時，若有一項被全部提出，則括號內該項為

2、 ，不能漏掉。3、提公因式過程中仍然要注意符號問題，特別是一個多項式首項為負時，一般應先提取負號，注意括號內各項都要 。】2、運用公式法：將乘法公式反過來對某些具有特殊形式的多項式進行因式分解，這種方法叫做公式法。平方差公式：a2-b2= , 完全平方公式：a2±2ab+b2= 。【趙老師提醒：1、運用公式法進行因式分解要特別掌握兩個公式的形式特點，找準里面a與b。如：x2-x+即是完全平方公式形式而x2- x+就不符合該公式。】一、 公式分解的一般步驟1、 一提：如果多項式即各項有公因式，即分要先 2、 二用：如果多項沒有公因式，即可以嘗試運用 法來分解。3、 三查：分解因式必須進

3、行到每一個因式都解因為止。 【趙老師提醒：分解因式不徹底是因式分解常見錯誤之一，中考中的因式分解題目一般為兩點，做題時要特別注意，另外分解因式的結果是否正確可以用整式乘法來檢驗】【重點考點例析】 考點一：因式分解的概念例1 （2012安徽）下面的多項式中，能因式分解的是（）Am2+n Bm2-m+1 Cm2-n Dm2-2m+1思路分析：根據多項式特點和公式的結構特征，對各選項分析判斷后利用排除法求解解：A、m2+n不能分解因式，故本選項錯誤；B、m2-m+1不能分解因式，故本選項錯誤；C、m2-n不能分解因式，故本選項錯誤；D、m2-2m+1是完全平方式，故本選項正確故選D點評：本題主要考查

4、了因式分解的意義，熟練掌握公式的結構特點是解題的關鍵對應訓練1（2012涼山州）下列多項式能分解因式的是（）Ax2+y2 B-x2-y2 C-x2+2xy-y2 Dx2-xy+y21C 考點二：因式分解例2 （2012天門）分解因式：3a2b+6ab2= 思路分析：首先觀察可得此題的公因式為：3ab，然后提取公因式即可求得答案解：3a2b+6ab2=3ab（a+2b）故答案為：3ab（a+2b）點評：此題主要考查了提公因式法分解因式，關鍵是掌握找公因式的方法：當各項系數都是整數時，公因式的系數應取各項系數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的；取相同的多項式，多項式

5、的次數取最低的例3 （2012廣元）分解因式：3m3-18m2n+27mn2= 思路分析：先提取公因式3m，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續分解解：3m3-18m2n+27mn2=3m（m2-6mn+9n2）=3m（m-3n）2故答案為：3m（m-3n）2點評：本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止對應訓練2（2012溫州）把a2-4a多項式分解因式，結果正確的是（）Aa（a-4） B（a+2）（a-2） Ca（a+2）（a-2） D（a-2）2-42A3（2012恩施州）a4b-6a

6、3b+9a2b分解因式得正確結果為（）Aa2b（a2-6a+9） Ba2b（a-3）（a+3） Cb（a2-3）2 Da2b（a-3）23D考點三：因式分解的應用例4 8（2012隨州）設a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，且1-ab20，則()5= 考點：因式分解的應用；分式的化簡求值分析：根據1-ab20的題設條件求得b2=-a，代入所求的分式化簡求值解答：解：a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，（a2+2a-1）-（b4-2b2-1）=0，化簡之后得到：（a+b2）（a-b2+2）=0，若a-b2+2=0，即b2=a+2，則1-ab2=1-a（a+2）=1-a2-2a=0，與

7、題設矛盾，所以a-b2+20，因此a+b2=0，即b2=-a，()5=()5=-()5=()5=（-2）5=-32故答案為-32點評：本題考查了因式分解、根與系數的關系及根的判別式，解題關鍵是注意1-ab20的運用對應訓練4（2012蘇州）若a=2，a+b=3，則a2+ab= 46【聚焦山東中考】1（2012濟寧）下列式子變形是因式分解的是（）Ax2-5x+6=x（x-5）+6 Bx2-5x+6=（x-2）（x-3）C（x-2）（x-3）=x2-5x+6 Dx2-5x+6=（x+2）（x+3） 1B2（2012臨沂）分解因式：a-6ab+9ab2= 2a（1-3b）23（2012濰坊）分解因式

8、：x3-4x2-12x= 考點：因式分解-十字相乘法等；因式分解-提公因式法分析：首先提取公因式x，然后利用十字相乘法求解即可求得答案，注意分解要徹底解答：解：x3-4x2-12x=x（x2-4x-12）=x（x+2）（x-6）故答案為：x（x+2）（x-6）點評：此題考查了提公因式法、十字相乘法分解因式的知識此題比較簡單，注意因式分解的步驟：先提公因式，再利用其它方法分解，注意分解要徹底4（2012威海）分解因式：3x2y+12xy2+12y3= 考點：提公因式法與公式法的綜合運用分析：先提取公因式3y，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續分解解答：解：3x2y+12xy2+12y3，=3y

9、（x2+4xy+4y2），=3y（x+2y）2故答案為：3y（x+2y）2點評：本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止【備考真題過關】一、選擇題1（2012無錫）分解因式（x-1）2-2（x-1）+1的結果是（）A（x-1）（x-2） Bx2 C（x+1）2 D（x-2）21D2（2012呼和浩特）下列各因式分解正確的是（）A-x2+（-2）2=（x-2）（x+2） Bx2+2x-1=（x-1）2C4x2-4x+1=（2x-1）2 Dx2-4x=x（x+2）（x-2） 2C3（2012臺灣

10、）下列四個選項中，哪一個為多項式8x2-10x+2的因式？（）A2x-2 B2x+2 C4x+1 D4x+23A4（2012西寧）下列分解因式正確的是（）A3x2-6x=x（3x-6） B-a2+b2=（b+a）（b-a）C4x2-y2=（4x+y）（4x-y） D4x2-2xy+y2=（2x-y）2考點：因式分解-運用公式法；因式分解-提公因式法專題：計算題分析：根據因式分解的定義，把一個多項式寫成幾個整式積的形式叫做因式分解，并根據提取公因式法，利用平方差公式分解因式法對各選項分析判斷后利用排除法求解解答：解：A、3x2-6x=3x（x-2），故本選項錯誤；B、-a2+b2=（b+a）（b

11、-a），故本選項正確；C、4x2-y2=（2x+y）（2x-y），故本選項錯誤；D、4x2-2xy+y2不能分解因式，故本選項錯誤故選B點評：本題主要考查了因式分解的定義，熟記常用的提公因式法，運用公式法分解因式的方法是解題的關鍵5（2012溫州）把a2-4a多項式分解因式，結果正確的是（）Aa（a-4） B（a+2）（a-2）Ca（a+2）（a-2） D（a-2）2-4考點：因式分解-提公因式法分析：直接提取公因式a即可解答：解：a2-4a=a（a-4），故選：A點評：此題主要考查了提公因式法分解因式，關鍵是掌握找公因式的方法：當各項系數都是整數時，公因式的系數應取各項系數的最大公約數；字母

12、取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的；取相同的多項式，多項式的次數取最低的二、填空題6（2012湘潭）因式分解：m2-mn= 6m（m-n）7（2012桂林）分解因式：4x2-2x= 72x（2x-1）8（2012沈陽）分解因式：m2-6m+9= 8（x-3）29（2012黔西南州）分解因式：a4-16a2= 9a2（a+4）（a-4）10（2012北海）因式分解：-m2+n2= 10（n+m）（n-m）11（2012北京）分解因式：mn2+6mn+9m= 11m（n+3）2 12（2012益陽）寫出一個在實數范圍內能用平方差公式分解因式的多項式： 12解：答案不唯一，如x2-3=

13、x2-（）2=（x+）（x-）故可填 x2-313（2012宜賓）分解因式：3m2-6mn+3n2= 133（m-n）214（2012綏化）分解因式：a3b-2a2b2+ab3= 14ab（a-b）215（2012宜賓）已知P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2，當x0時，3P-2Q=7恒成立，則y的值為 15解：P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2，3P-2Q=3（3xy-8x+1）-2（x-2xy-2）=7恒成立，9xy-24x+3-2x+4xy+4=7，13xy-26x=0，13x（y-2）=0，x0，y-2=0，y=2；故答案為：216（2012廣東）分解因式：2x2-10x=

14、考點：因式分解-提公因式法分析：首先確定公因式是2x，然后提公因式即可解答：解：原式=2x（x-5）故答案是：2x（x-5）點評：本題考查了提公因式法，正確確定公因式是關鍵17（2012黃石）分解因式：x2+x-2= 考點：因式分解-十字相乘法等專題：探究型分析：因為（-1）×2=-2，2-1=1，所以利用十字相乘法分解因式即可解答：解：（-1）×2=-2，2-1=1，x2+x-2=（x-1）（x+2）故答案為：（x-1）（x+2）點評：本題考查的是十字相乘法分解因式，運用十字相乘法分解因式時，要注意觀察，嘗試，并體會它實質是二項式乘法的逆過程18（2012黑河）因式分解：

15、27x2-3y2= 考點：提公因式法與公式法的綜合運用分析：首先提公因式3，然后利用平方差公式分解解答：解：原式=3（9x2-y2）=3（3x+y）（3x-y）故答案是：3（3x+y）（3x-y）點評：本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止19（2012六盤水）分解因式：2x2+4x+2= 考點：提公因式法與公式法的綜合運用分析：先提取公因式2，再根據完全平方公式進行二次分解完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2解答：解：2x2+4x+2=2（x2+2x+1）=

16、2（x+1）2故答案為：2（x+1）2點評：本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式進行二次分解，注意分解要徹底20（2012南充）分解因式：x2-4x-12= 考點：因式分解-十字相乘法等專題：計算題分析：因為-6×2=-12，-6+2=-4，所以利用十字相乘法分解因式即可解答：解：x2-4x-12=（x-6）（x+2）故答案為（x-6）（x+2）點評：本題考查十字相乘法分解因式，運用十字相乘法分解因式時，要注意觀察，嘗試，并體會它實質是二項式乘法的逆過程21（2012哈爾濱）把多項式a3-2a2+a分解因式的結果是 考點：提公因式法與公式法的綜合運用分析

17、：先提取公因式a，再利用完全平方公式進行二次分解因式解答：解：a3-2a2+a=a（a2-2a+1）=a（a-1）2故答案為：a（a-1）2點評：本題主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，難點在于需要進行二次分解因式22（2012廣州）分解因式：a3-8a= 考點：提公因式法與公式法的綜合運用專題：常規題型分析：先提取公因式a，再對余下的多項式利用平方差公式繼續分解解答：解：a3-8a，=a（a2-8），=a（a+2）（a-2）故答案為：a（a+2）（a-2）點評：本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因

18、式分解要徹底，直到不能分解為止23（2012廣西）分解因式：2xy-4x2= 考點：因式分解-提公因式法分析：利用提取公因式法分解即可，公因式的確定方法是：公因式的系數是各項的系數的最大公約數，字母是各項中共同含有的字母，并且字母的次數是各項中字母的最低的次數作為公因式的次數解答：解：原式=2x（y-2x）故答案是：2x（y-2x）點評：本題考查了利用提公因式法分解因式，正確確定公因式是關鍵24（2012大慶）分解因式：ab-ac+bc-b2= 考點：因式分解-分組分解法分析：首先把前兩項分成一組，后兩項分成一組，每一組可以提公因式，然后再利用提公因式法即可解答：解：ab-ac+bc-b2=（ab-ac）+（bc-b2）=a（b-c）-b（b-c）=（b-c）（a-b）故答案是：（b-c）（a-b）點評：本題考查了分組分解法分解因式，此題因式分解方法靈活，注意認真觀察各項之間的聯系三、解答題25