1、中考數學壓軸題之直角三角形的邊角關系（中考題型整理，突破提升）含詳細答案一、直角三角形的邊角關系1 .如圖（9）所示（左圖為實景側視圖，右圖為安裝示意圖），在屋頂的斜坡面上安裝太陽能熱水器：先安裝支架 AB和CD （均與水平面垂直），再將集熱板安裝在AD上.為使集熱板吸熱率更高，公司規定：AD與水平面夾角為i ,且在水平線上的射影 AF為1cm) ?1.4m.現已測量出屋頂斜面與水平面夾角為2,并已知tan i 1.082,tan 2 0.412 .如果安裝工人確定支架AB高為25cm,求支架CD的高（結果精確到解；過點且作聞7 CD于P，AE#女 3千F在 R2 ADF 中, DF = AF

2、tn =1,4x1.082 = 1.5148（）, q在檢 EAP 中,EF tan 0=1.4x0.412 = 0,576S（ff?）（ 2 分）二口因二口尸一后尸= 1.5148- 03762 = 0932（喀）（1 分）又可證四邊形ABCS為平行四邊形，故有CE = 25二酬（2分）二C7?二口正十重二93 8十25二11&8總119仁切（2分）答：支架CD的高妁為11%陽.口分）/【解析】過A作AF CD于F,根據銳角三角函數的定義用。1、色表示出DF、EF的值，又可證四邊形ABCE為平行四邊形，故有 EC=AB=25cm再再根據DC=DE+ECffi行解答即可.2 .已知RtABC中

3、，/ACB=90,點D、E分別在BC、AC邊上，連結BE、AD交于點P,設AC=kBD, CD=kAE k為常數，試探究 /APE的度數：（1）如圖1,若k=1,則/APE的度數為；（2）如圖2,若k=J3,試問（1）中的結論是否成立？若成立，請說明理由；若不成立，求出/APE的度數.（3）如圖3,若k=J3,且D、E分別在CR CA的延長線上，（2）中的結論是否成立， 請說明理由.cc【答案】(1) 45。； (2) (1)中結論不成立，理由見解析；(3) (2)中結論成立，理分析：(1)先判斷出四邊形 ADBF是平行四邊形，得出 BD=AF, BF=AD,進而判斷出 FA三ACD,得出EF

4、=AD=BF再判斷出/ EFB=90 ；即可得出結論;(2)先判斷出四邊形 ADBF是平行四邊形，得出 BD=AF, BF=AD,進而判斷出 FAEAACD,再判斷出/EFB=90；即可得出結論;(3)先判斷出四邊形 ADBF是平行四邊形，得出 BD=AF, BF=AD,進而判斷出 ACDHEA,再判斷出/ EFB=90；即可得出結論;詳解：(1)如圖1,過點A作AF/ CB,過點B作BF/ AD相交于F,連接EF,./FBE=Z APE, /FAC4 C=90 ；四邊形 ADBF是平行四邊形,BD=AF, BF=AD. AC=BD, CD=AE .AF=AC. / FACC=90 ； .FA

5、EAACD,EF=AD=BF / FEA=Z ADC. / ADC+Z CAD=90 , / FEA+Z CAD=90 = Z EHD.1) AD/ BF,.EF=BR2) ) (1)中結論不成立，理由如下:如圖2,過點A作AF/ CB,過點B作BF/ AD相交于F,連接EF,C，/FBE=/ APE, /FAC4 C=90 四邊形 ADBF是平行四邊形, BD=AF, BF=AD. AC= . 3 BD, CD=, 3 AE,蛆CD -BD AE BD=AF,AF AE / FACC=90 ；.FAEAACD,AC AD BF- V3 , / FEA之ADC.AF EF EF / ADC+Z

6、 CAD=90 , / FEA+/ CAD=90 = Z EMD.1. AD/ BF,/ EFB=90 . 在 RtEFB 中，tan/FBE=EFBF/ FBE=30,/ APE=30 ,(3) (2)中結論成立，如圖3,作 EH/ CD, DH/BE, EH, DH 相交于 H,連接 AH,D/ APE=/ ADH, / HECN C=90；四邊形EBDH是平行四邊形, .BE=DH, EH=BDAC= 3BD, CD=、.3AE,AC CDBDAE3 / HEA=Z C=90 ；4 .ACDAHEAsAD AC V3 , / ADC=Z HAEAH EH5 / CAD+/ ADC=90

7、,6 / HAE+Z CAD=90 ；/ HAD=90 :AH在 RtDAH 中，tan/ADH= J3 AD / ADH=30 ；/ APE=30 ,點睛：此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，構造全等三角形和相似三角形的判定和性質.3.如圖，濕地景區岸邊有三個觀景臺且、E、C.已知 = 14W米，TC = 1000米，百點位于以點的南偏西60一7立方向，C點位于且點的南偏東661中方向.求Ah5c的面積；（2）景區規劃在線段BC的中點D處修建一個湖心亭，并修建觀景棧道血.試求為、口間的距離.（結果精確到米）（參考數據：sm53

8、.2 O.SO , 2飛 口加，q 旗一70，60.7 0.49 ,訓距cos6（5.10.41 ,【答案】（1） 560000 （2） 565.6【解析】試題分析：（1）過點c作交互m的延長線于點E,然后根據直角三角形的內角和求出/ CAE,再根據正弦的性質求出 CE的長，從而得到 4ABC的面積；（2）連接AD ,過點D作DFA3 ,垂足為尸點，則口F/CE .然后根據中點的性質和余 弦值求出BE、AE的長，再根據勾股定理求解即可 .試題解析：過點C作心山交壺!的延長線于點 ,在中，1制1 60 7661:53T ,所以 CE = AC - 知52 lOOOO S= SCO 米.所以與但=

9、:應 西=9140054就0:5600比（平方米）. .上J-r（2）連接皿，過點口作口F物,垂足為F點，則CE .因為O是死中點，所以D尸二工CE二4。力米，且F為斑中點，1花，C -跡5326的米，所以班二班十”=1400600=2口。0米.所以hF =4BE-月 = 4M米，由勾股定理得，必三JXFDF： = J4好一的獷=4其6=5（551米.答：幺、D間的距離為5前一6米.考點：解直角三角形4.閱讀下面材料：觀察與思考：閱讀下列材料，并解決后面的問題.在銳角 ABC中，/A、/B、/C的對ADsinC=,即 AD=bc asin C sin A 邊分別是a、b、c,過A作AD, BC

10、于D （如圖），sinB=也ccsinB,AD=bsinC,于口Hr b是 csinB=bsinC,即sin Bsin Csin Ab，所以sin Bsin A sin B sinC若已知三個元素（至少有一條邊），運用上述結論和有關定理就可以求出其余三個未知元素.根據上述 材料，完成下列各題.（1）如圖，4ABC中，ZB=75, Z C= 45, BC= 60,則 AB=；（2）如圖，一貨輪在 C處測得燈塔A在貨輪的北偏西 30。的方向上，隨后貨輪以 60海里/時的速度按北偏東 30。的方向航行，半小時后到達 B處，此時又測得燈塔 A在貨輪的北偏西75。的方向上（如圖），求此時貨輪距燈塔A的距

11、離AB.（3）在（2）的條件下，試求 75。的正弦值.（結果保留根號）即：在一個三角形中.在銳角三角形中【答案】(1) 20 y/6； (2) 15 A/6 海里；(3)娓*& 44【解析】【分析】(1)根據材料：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，寫出比例關系，代入 數值即可求得AB的值.(2)此題可先由速度和時間求出BC的距離，再由各方向角得出 / A的角度，過B作BMLAC于M,求出/ MBC=30 ,求出 MC,由勾股定理求出 BM,求出 AM、BM的長，由勾股定理求出AB即可;(3)在三角形 ABC中，ZA=45, / ABC=75, Z ACB=60,過點C作AC的垂線B

12、D,構造直角三角形ABD, BCD,在直角三角形 ABD中可求出AD的長，進而可求出 sin75的值. 【詳解】解：（1）在 4ABC 中，/B=75, /C=45, BC=60,貝（J / A=60,AB BC一 ?sinC sinAAB 60 sin45o sin60AB 60即Q=用,22解得：AB=20、.6.（2）如圖，AE依題意：BC=60/T3 : SzXBDE= x DE?AD - AF?BD,什 4 36.13 AF = -，2,1313 . RtABC中，AB=42 = 5, RtA ABF 中，AF 6.136.13sin/ABF= sin/ABD= AB1365 .5方

13、法二、如圖2所示，過點。作OF，AB于點F,同理可得，OB= 1BD 屈,s Sa aob= 1OF AB21OA BC , 2.OF=.在 RtBOF 中,0Fsin/FBO=OB65,136,1365【點睛】本題考查直角三角形翻折變化后所得圖形的性質，矩形的判定和性質，平行四邊形的性質 和解直角三角形求線段的長度，關鍵是正確添加輔助線和三角形面積的計算公式求出 sin/ABD.6.如圖，AB為eO的直徑，C、D為eO上異于A、B的兩點，連接 CD,過點C作 CE DB ,交CD的延長線于點 E ,垂足為點E ,直徑AB與CE的延長線相交于點 F .DAC ACF 180(1)連接AC、AD

14、 ,求證:(2)若 ABD 2 BDC.求證：CF是e O的切線._l 3當BD 6 , tan F 時，求CF的長.420【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析；CF 23【解析】【分析】(1)根據圓周角定理證得 /ADB=90,即AD BD,由CH DB證彳導AD/CF,根據平行線 的性質即可證得結論；(2) 連接OC.先根據等邊對等角及三角形外角的性質得出/3=2/ 1,由已知/4=2/1,得到/4=/3,則OC/ DB,再由CH DB,得到OC CF,根據切線的判定即可 證明CF為OO的切線； 由 CF/ AD,證出 ZBAD=ZF,得出 tan Z BAD=tanZ F=-BD-=-

15、,求出 AD=4 bd=8,利 AD 43OC 3 用勾股定理求得 AB=10,得出OB=OC=, 5,再由tanF=OC=,即可求出CF.CF 4【詳解】解：(1) AB是e O的直徑，且D為e O上一點，ADB 90 ,QCE DB,DEC 90 ,CF /AD ,DAC ACF 180 .(2)如圖，連接OC.Q OA OC ,12.Q 312,3 2 1.Q 4 2 BDC , BDC 1,4 2 1,43,OC /DB.QCE DB, OC CF .又QOC為e O的半徑,CF為e O的切線.D由（1）知 CF /AD ,BAD F , 3 tan BAD tanF -, 4BD 3

16、 . AD 4OC 5.Q BD 6 4 AD - BD 8 , 3AB 括 82 10，OBQOC CF ,OCF 90 ,tanFOCCF解得CF20P從點A出發，沿AB以每 D（點P不與點A, B重合）, t秒.本題考查了切線的判定、解直角三角形、圓周角定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，特別是（2）中，需要運用三角函數、勾股定理和由平行線得出比例式才能得出結果.7.如圖，在 RtABC中，/C= 90, /A=30, AB= 4,動點秒2個單位長度的速度向終點B運動.過點P作PD AC于點作/DPQ= 60,邊PQ交射線DC于點Q.設點P的運動時間為(1)用含t的代數式表示線段 DC

17、的長： ;(2)當t =時，點Q與點C重合時；(3)當線段PQ的垂直平分線經過 4ABC一邊中點時，求出t的值.1 3 5【答案】(1) -回 (2) 1; (3) t的值為,或不嘰.2 4 4【解析】【分析】(1)先求出AC,用三角函數求出 AD,即可得出結論；(2)利用AQ=AQ即可得出結論；(3)分三種情況，利用銳角三角函數，即可得出結論.【詳解】(1) AP= , AB=4,/A=30.AC= , AD=. . CD=2 3 ”由；(2) AQ=2AD*、用當AQ=AC時，Q與C重合即 =. .t=1;(3) 如圖，當PQ的垂直平分線過 AB的中點F時，.4 p r111|1/ PGF

18、= 90 ； PG=寸Q= ：AP= t, AF=2 / A= / AQP= 30 :/ FPG= 60 ; ：. /1 .AP+PF= 2t + 2t = 2,t = 5 如圖，當PQ的垂直平分線過 AC的中點_4PB1 1./QMN = 90： AN=AC=y3, QM=jP,A,MQ2、口在 RtA NMQ 中，NQ= co.s 30 不. AN + NQ=AQ,=/AB= 2.PFG= 30 ,PF= 2PG= 2t,N時，1Q= AP=t.3 如圖，當PQ的垂直平分線過 BC的中點F時,DC.BF=：BC= 1, PE= ；PQ=t, / H= 30. / ABO 60 ；/ BFH

19、= 30 = Z HI,BH= BF= 1.在 RtA PEH 中,PH= 2PE= 2t.5t的值為.AH=AP+ PH=AB+ BH, ，2t+2t=5, = 1.即當線段PQ的垂直平分線經過 ABC一邊中點時,【點睛】 此題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的判定和性質，銳角三角函數，垂直平分線 的性質，正確作出圖形是解本題的關鍵.8.關于三角函數有如下的公式: sin ( a +0 =sin a cos 3 +cos a sin 3cos ( a +)3 =cos a cos-時n a sin 3 tan ( a +)3 =利用這些公式可將某些不是特殊角的三角函數轉化為特殊角的三角函

20、數來求值，如:lan450 + tan 6001 + W (1 + =一斗，則點口坐標為(0/ - 3),將點B的坐標代入二次函數表達式得：3把點H的坐標代入二次函數表達式得：丁 方- 3 = 0,49解得：b =-故：拋物線的解析式為：y =-x-3,3故：答案為：-3), =(2).一MO,。)在線段CM上，且MN,x軸，3 I39點 PE/-3), Ng/i?一嚴-3),3393P二彳m - 3 -(不而-彳山-3)=-彳- 2尸十 ?一真。， ，拋物線開口向下，當m = 2時，PN有最大值是3,當MNP = 90：時，點N的縱坐標為-3,39把3代入拋物線的表達式得：-3 = ?m2-

21、rn-3,解得：m=3或。(舍去m = O),. m = 3；當口NHP = 9Tl時，. BN 1陽,兩直線垂直，其A值相乘為-1,設：直線bn的表達式為：y二-3工+打，4把點的坐標代入上式，解得：n=-3則：直線bN的表達式為：y=-r-3 ,11將上式與拋物線的表達式聯立并解得：m二5或0 (舍去用=0 ),當KHPN = 9邛時，不合題意舍去，11故：使21BPN為直角三角形時 加的值為3或丁；（3） . 0A =4, 0B-3,34,則：cosa = -, sina =,罔軸，上 RPN = jLABO = ad,若拋物線上有且只有三個點|N到直線的距離是h,則只能出現：在八B直線

22、下方拋物線與過點 N的直線與拋物線有一個交點 N,在直線上方 的交點有兩個.當過點|N的直線與拋物線有一個交點|M,點切的坐標為設：點W坐標為：（科，39則：=過點N作八B的平行線，3則點|N所在的直線表達式為：二9+機 將點用坐標代入，33解得：過N點直線表達式為：y=于*將拋物線的表達式與上式聯立并整理得：3x2- 12X-12 + 3rn-1n = 0,二144 - 3 X 4 X012 + 3m -他）: 0 ,3 9,將n =才加工-二m-3代入上式并整理得： 加2-4暇+ 4 = 0,4 419解得：rn = 2,則點N的坐標為,3則：點P坐標為（2,-.,則：PN = 3,.-0

23、B = 3, PM。凡 .四邊形。口厘P為平行四邊形，則點。到直線八M的距離等于點內到直 線力耳的距離，即：過點。與力B平行的直線與拋物線的交點為另外兩個四點，即：V、N”，3n直線的表達式為：y=樸 將該表達式與二次函數表達式聯立并整理得：工2-4.-4 =。，解得：工二22；2,則點N、M的橫坐標分別為? +.2小,作W 1 MB交直線丹口于點12則h = N = NPainu ,0Pt5-作P14軸，交卜軸于點 |T,則：LONP =a, 0Nr = _j_ = _（2 + 2/Z）,5 125四這光心RFN = 8P，九=2丈5 = 6，則：S四口死口叱Y =+ s。時=6 + 6N

24、,同理：5國曲OHNp,=72 6，故：點0|E, N, P構成的四邊形的面積為：6或6 +或6V2-6.【點睛】本題考查的是二次函數知識的綜合運用，涉及到一次函數、解直角三角形等相關知識，其中（3）中確定點N的位置是本題的難點，核心是通過/ = 0,確定圖中N點的坐標.12.如圖，在平面直角坐標系 xOy中，已知點A （3, 0）,點B （0, 3逐），點。為原 點.動點 G D分別在直線 AB、OB上，將 BCD沿著CD折疊，得 BCD.圉1圖2備用圄（I ）如圖1,若CD AB,點B恰好落在點 A處，求此時點 D的坐標；（n ）如圖2,若BD=AQ點B”恰好落在y軸上，求此時點 C的坐標；（出）若點C的橫坐標為2,點B落在x軸上，求點B的坐標（直接寫出結果即可）.【答案】（1） D （0,石）；（2） C （12-6百，12 百-18） ； （3） B （2+而，0） , （ 2 -而，0）.【解析】【分析】設OD為x,則BD=AD=3j3 x ,在RTA ODA中應用