第一章集合與充要條件

本章內容在高考題中多以選擇、填空形式出現，其分值占高考比例約5%左右，要求不高，難度不大。涉及

的知識點有:集合的有關概念與表示方法;集合間的關系;集合的運算;推出與充要條件.

§1-1集合及其運算

【考點】

1.理解集合、空集、子集、真子集、交集、并集、全集、補集的概念

2.理解屬于、包含、相等關系的意義與符號

3.掌握集合的表示方法

4.掌握求集合的子集、交集、并集與補集

5.了解實數分類、常用數集的記號及關系

【復習指導】

一、實數分類

r<1）正有理數，0,負有理數

r正分數

-分數?

有理數一L負分數

「正整數I

(2)r(l)0J自然數

負整數

-整數「正奇數

「奇數.

L負奇數

「正偶數

L偶數-c

L負偶數

r正無理數

無理數（無限且不循環小數）-

L負無理數

質數:大于1的自然數，除去1和它自身沒有其他約數的數

（2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,....）

二、集合概念

1.最解集合.元素的特性:確定性、互異性、無序性

2.元素與集合的關系:屬于，不屬于（匕任）

3.記住常用數集符號:N,N*（N+）ZZ*,Q,RRR*,R+（非負實數）

4.集合分類:有限集和無限集

5.集合的表示法:列舉法;性質描述法A=卜|〃（耳｝

6.空集的特性：0,不包含任何元素，是任何一個集合的子集，是任何一個非空集合的真子集,

0UA=A0nA=0,AW0,A\jB=0^A=B=0i

AnB=0n①A、3非空無公共元素；②A=0,B/0：③4工0,B=0；@A=B=0

三、集合間的關系

1.子集①定義:A中任一元素都是B的元素/------、

②記作:Aq8(A包含于8)或33A(5包含A)/、

③A=A(B\

2.真子集①定義:AqB,且3中至少有一個元素不屬于A/\

②記作:A08或BOA(都表示A是8的真子集)I()j

③用文氏圖表示集合間的關系：(見右圖)\A/

④空集沒有真子集\/

3.集合A中有〃個元素，則：，

①A的所有子集有2”個

②A的所有真子集有2"-1個

③A的所有非空真子集有2"-2個

④。中加個元素(/?>rri)，則滿足Cq8qA的集合B有2n~m個

4.集合相等:元素完全相同,A=5;若且BqA,則A=8

5.集合傳遞性

①則AqC;②A08,B0C,則;A0C

③A±8,80C,則A0C;④A0優則A0c

四、集合運算

1.交集①定義:A與3有公共元素，AIB={X|XGAKVGB),若A與8無公共元素，則AI8=0

②性質：AIB=BIAMIA=A9A10=0

③若AqB,則AIB=A

④集合中元素的個數：|AI卻=同+忸

2.并集①定義:所有元素并在一起，相同元素只記一個

②性質：AU8=8UAAUA二A,AU0=AM=A

③若Aq3,則AU8=8

④若406=0,則A=8=0

⑤集合中元素的個數：|個UB|=M+|B|TAIB\

3.分配律:AU(5IC)=(AUB)I(XUC)

AI(5UC)=(AIC)

4.補集①定義:食舀A={x|xwU且x任A}(可畫圖表示)

LAQU

②條件:A三U(A必須是全集U的子集)

③性質:AU食§A=U;4I酬=0;癡(o4)=Atg(/=0

解(41團=解4U食勖;fg(AU8)=解41食留B

注:集合符號在立體幾何中的應用(點、線、面的關系)

【解題示例】

例1如果5={1卜=2〃+1,〃￡2},7={不卜=42±1,2￡2}那么()

(A)SuT(R)TuS(C.)S=T(D)S^T

解析:當應取0,±1,±2…時，有2〃+1=±1,±3,±5…,當女取0,±1,±2…時，有以+1=土1,±3,±5一?故選

(C).

例2如圖所示,U是全集,M、P、S是U的3個子集，則陰影部分

所表示的集合是()

(A)(MI尸)1S(B)(MIP)US

(C)(MIP)IS⑼(MIP)U螂

解析:圖中陰影部分在M和尸中，故必在中;但陰影部分又不在S中,則必在露S中,故在(MIP)IduS

中。故應選(C)

例3若集合A={1,3,X},B={X2/},4U8={1,3,X},則滿足條件的實數了的個數有()

(A)l個(B)2個(C)3個(D)4個

分析:由AU8=jl,3,x}=A,知3口4,于是有f=3或者/=%

解得x=土百或者x=0或x=1,

若％=1，則與集合元素的互異性矛盾，

所以滿足條件的實數x有3個,行、7、0,故選(C)。

例4已知集合4={(乂)，)|0￥72+〃=0},8={(乂)，)|/一①一0=0},若{(2,3)}工0413),則

a=__________,b=_________o

解析:???{(2,3)}=(AIB).?.(2,"Aa(,2)-8

2a-9+b=0a=-5

故?解得

4-3a-b=06=19

例5已知集合A={x||x+8|(x2-4)〈0},集合B為函數/(%)=1的定義域。

XJCI

Q求集合比(2)若A=8,求實數〃的取值范圍。

解析：(1)由1+“；20得卜一(4+1)](十一24)」0團:-2々羊0,

又Q。vL???2a<a+l,.?.x<2a^!UNa+l,

.,.8={幻工〈幼或吟1+1}

⑵由卜+8|(12—4)40得上+8|=0或/—440,即1=一8或一24x42,

A={x|x=-8^c-2<x<2}

QAq8,???有以下三種情況：

①為>2,即這與相矛盾

②。+1￡-8,即。三-9

_(2a>-8

③<，即-4<〃W-3

a+1<-2

綜上所述，若A=&則實數。的取值范圍為{。|。4一9或一4＜。＜一3},

2

例6已知4=卜次2一?+儲一］9=0},B={x|log2(x-5x+8)=1},C={x|e，+2i,且

(AIB)U0,AIC=0，求實數Q的值。

解析：(AI8)00意即A、3有公共元素;AIC=0意即A、C無公共元素

Q8={2,3},C={<2}/.2",生A

把x=3代入可得：9—3。+。2-19=0,解得。二一2或5

當°=5時,A={2,3}與2紀4矛盾，舍去

當。=—2時,A={3,-5}符合條件，故。=-2。

【過關訓練】

一、填空題

1.已知"={1|122},汽={幻X4封,若/0%=0,則實數2的取值范圍是.

2.己知4=(劃-1<1<2},8={劃-2<尢41},則4口3=______.

3.已知A-|x|x2-px-q=o},B=卜|f+"_〃=o},且Api8={1},則A(J8=

4.滿足條件{0,1}qM0{0,1,2,3,4}的集合M的個數為.

5.已知4={不,<3},8={幻]之-1},。={1524},則4^13=______,(AnB)|JC_____

6.已知不等式2or<l的解集是。，尸={x|x〈O},若。八條產二{x|Ovx<；,，則。=.

7.如圖所示,U是全集，則圖中陰影部分表示的集合是_________________________

8.二次方程x2-2x+2=0在實數范圍內的解集是(3^^

9.已知集合4=2{2/+?,8={工一乂4卜且4=3,則-------------------

x=,y=.

10.已知全集U=N，且QA={0,1,2}，則A=_______.

11.設。乃￡R,集合{1,〃+/?,〃}={(),2,6，則b-a=.

二、選擇題

1.若a=l,A={x[x<&},則正確的是()

(A)〃0A(B){a}=0A(C){a}eA(0){a}^A

2.集合A={(x,y)|x+y=2},5={(x,y)|x-y=0}，則Ap|8=()

(A){(lJ)}⑻{1,1}

(C)(l,l)(D){lj

3.已知集合，/={123,4,5,6,7},A={2,457},R={3,4,5}M(喇U(〃曲等

于()

(A){1,6}⑻{4,5}

(C){1,2,3,4,5,7}(D){123,6,7}

4.已知集合4=b|尢=2已+1,1￡^},3={工|工=2%-1,2￡多},則一與3的關系是

()

(A)A=3(B)A0B

(C)AUB(D)以上都不對

5.已知集合4={直線},8={圓}，則下列說法正確的是()

(A)AI8=0(B)AI8含有一個元素

(C)4IB含有兩個元素(D)以上三種均有可能

6.己知知={2,/一34+5,5},%={1,/一64+10,3}，且“nN={2,3},則〃等于

()

(A)l或2(8)2或4(C)2(D)l

7.集合A={2,3,5}的子集個數是()

(A)l(B)3(C)5(D)8

8.沒全集U=/?,A={x|xv3},8={x|x<2}，則()

(A){x|2<x<3}(B){X|2<X<3}(c){x|x<2^cx>3}(D)R

9.第三象限內的所有點組成的集合是()

(A){(x,y)|x>0,y>0}(B){(x,y)I—>0}

(c){(x,y)|x<0,y<0}(D){(x,y)|孫voj

10.若集合尸={x|ox+8—x+2=0}是無限集，則實數久分的值分別是()

(A)a=-1,/?=2(B)a=l,b=-2

(C)a=l,b=2(D)a=-\yb=-2

11.下列關系式正確的是()

(A)0G{?}(B)〃q{a}(c)a=l,b=2(D)aw{a,Z?}

12.已知A={x|f-5%+6=0},5=卜|/2+2/-15=0}則4門3等于()

(A){2,3}(B){3}(C){2,-5}(D){2,3-5)

三、解答題

L沒集合4={“丁=%2+]},8={y}=一丁+2%+3}，求40兄

2.沒4={1,3,〃},8={1,。2一a+]}，且304,求4.

3.已知A/={a,4+d,a+2d},N={6。q,aq2}，其中〃=0,且M=乂求〃值.

4.沒集合4={x|2f+3〃x+2=0},B={x|2f+x+q=0}，若AI8={g>,求A|J3.

5.已知集合4=3|0?+2工+1=0｝中至多有一個元素,求〃的值.

6.已知集合4=｛劃一2（工＜5｝,8=｛幻加+1＜欠42〃7-1｝,若37人,求實數〃2的取值范圍.

7.已知集合4=｛劃/一2為一8〈0卜集合8=｛不上一。＜0｝.

⑴若An8=0，求。的取值范圍;⑵若An4=A，求〃的取值范圍.

§1-2充要條件

【考點】

掌握推出關系與充分必要條件

【復習指導】

1.準出與充分必要條件（注:推出關系具有傳遞性）

“如果p,那么q”為真，就說p能夠推出g。

①〃=4（真）:p是g的充分條件，夕是p的必要條件.

②p=q且p即〃<=>4（p與q等價），則

p是q的充分且必要條件（充要條件）,q也是p的充要條件

③若p與q無推出關系:p是q的既不充分又不必要條件.

【解題示例】

例1設p：平面。內有兩條直線平行于平面夕，夕:。//夕，則（）

（A）p是。的充分不必要條件.

（B）p是q的必要但不充分條件.

（Qp是q的充要條件.

（D）p即不是q的充分條件,也不是q的必要條件.

分析:由p=>4（假）“=p（真）

???選（B）.

例2設〃:X是3的倍數,夕：X是6的倍數，則p是q的條件.

分析:?.?〃uq，p是q的必要條件

例3設機：x是等腰三角形,〃:x是正三角形，則〃是加的條件.

分析:?.?n=>m，〃是6的充分條件

例4己知p是4的充分條件,r是q的必要條件,s是r的充要條件，問

⑴s是p的什么條件？（2）q是s的什么條件？

分析:由p是q的充分條件，知〃=“（真）

由r是g的必要條件，知q=>廠（真j

由s是廠的充要條件，知sor（真）

:.〃=s,s是p的必要條件

q=s,q是s的充分條件

【過關訓練】

1.用充分、必要、充要或既不充分又不必要填空

①x>3是x>5的條件.

②4=0且b=0是〃N+從=0的條件.

3“X是平行四邊形"是"X是矩形”的條件.

④a=6是同=力的條件.

⑤“空間四點A8,C,。不在同一平面內”是“直線A3、CD異面”的條件

⑥a>0且。>0是。力>0的條件.

⑦"v0是a>0且bvO的條件.

⑧在AABC中,A8=AC是NB=NC的條件.

⑨〃>。>0是的條件

⑩a>b是>網的條件.

?〃>。是/<匕3的條件.

QA=0是418=0的條件.

2.滇空

（l；（x-l）（x+2）>0<=>.

⑵log?x=log2y的充要條件是.

(3)|H>5是x>5的條件.

⑷￡>o是x工o的條件.

⑸'”是矩形”是“X是正方形”的條件.

⑹“直線，垂直于x軸”是“直線/的斜率不存在”的條件.

⑺AUB=0的充要條件是.

⑻直線a在平面。內，則直線機JLa是掰_La的條件.

3.選擇題

（1MI8=A是4=8的（）條件.

（A）充分（B）必要（C）充要（D）既不充分也不必要

（2）xeZ是大￡%的（）條件.

（A）充分（B）必要（C）充要（D）既不充分也不必要

⑶log2x<0是XV1的（）條件.

（A）充分（B>必要（C）充要（D）既不充分也不必要

⑷直線aqa,則/J?。是/■14的（）條件.

（A）充分（B）必要（Q充要。）既不充分也不必要

⑸一次函數y=Ax+l是增函數是4>0的（）條件.

（A）充分（B）必要（C）充要（D）既不充分也不必要

⑹m>0是加有平方根的（）條件.

（A）充分（B）必要（C）充要（D）既不充分也不必要

⑺sina>sin4是a>夕的（）條件.

（A）充分（B）必要（C）充要（D）既不充分也不必要

（8）ua+b=2tn"是"機是。與力的等差中項”的（）條件.

（A）充分（B）必要（C）充要（D）既不充分也不必要

（9]“函數/（X）的定義域關于原點對稱”是“〃X）是奇函數”的（）條件.

（A）充分（B）必要（C）充要（D）既不充分也不必要

（10）sina=8S/是a+￡=90°的（）條件

（A）充分（B）必要（C）充要（D）既不充分也不必要

4.如果A是8的充分條件,8是C的充要條件,C是。的必要條件，那么。是A的什么條件?

5.已知實數x的兩個條件，甲：12一21-15<0,乙：|2工一5區1.試分析甲是乙的什條件?

【典型試題】

一、選擇題

1.滿足MUN={a力}的集合共有()

(A)7組(B)8組(C)9組(D)1C組

2.己知4={工￡"|工(5},8={工￡?/|/>1},則41B等于()

(A){1,2,3,5,4}⑻{2,3,4,5}

(C){2,3,4}(D){XG/?|I<X<5}

3.由坐標平面內不在坐標軸上的點所組成的集合是()

(A){(x,y)\xyw0}y}\x豐0}

(C){(x,y)\y^0}(D){(x,y)\xy=0}

4.己知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4}，那么集合MIN為()

(A)x=3,y=-1(B)(3,-l)

(C){3,-1}(D){(3,-1))

5.已知全集U=N，集合A={x|x=2/7,〃￡N},B={x|x=4〃,〃eN},則()

(A)U=AU5(B)U=6MAU5

(C)U=AUdwB(D)U=胡4Utg/?

6.設全集U=R,若4=何04]<5},8=3工21},則等于皤411188等于()

(A){x|x>0)⑻或次25}

(C){x|x<lWcx>5}(D){X<1^CX>5)

7.已知集合〃={。,0},"={/|冗2-3X〈0?€?7},若知1Nw0,則a等于()

(A)l(B)2(C)l或2(D)8

8.下列說法錯誤的是()

(A)空集的子集就是它本身⑻空集沒有真子集

(C)空集是任何集合的子集(D)空集是任何集合的真子集

9.已知p：X?之一乂/國=尢，則p是g的()

(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件

(Q充要條件(D)既不充分又不必要條件

10.下列各題中P與g等價的是()

(A)p：X2-3=0q：X=6

(B)p：X是6的倍數/X是12的倍數

(0〃：辦2+5+6=0(。wO)有實數根q:b2-^ac>^

(D)p:有一個角是60。的等腰三角形/正三角形

二、填空題

9

1.如果A={xeN|—eN},那么用列舉法表示A=.

2.已知集合A={一條邊長為1,一個角為40。的等腰三角形}中的元素個數有個.

3.已知工€{1,2,工2},則工=.

4.滿足{2,3}工Mq{2,3,4,5}的M集合個數為.

5.數集{2。,/一々}中〃的取值范圍是.

6.已知4={尤以22},3={處不工圖,若418=0,則實數k的取值范圍中正整數就.

7.已知全集U=R,集合A={x\x<-1或r>1},則6以=.

8./=,2是％=>的條件

9.向量ab=0是。_L6的條件.(為非零向量)

111UU

10.向量。//5是Q=〃?的條件.

三、解答題

1.沒A={x|x2-2_r_3?0,xeZ},5={0,4,5},U={Mk-l|K4,xwZ}

⑴求6%4UB,A1duB.(2)求集合A的子集的個數.

2

2.已知A={y|y=f-4x+6,yG^|zB={y|y=-x-2x+7,ywN},求AIB.

3.已知4={%|2/+工+m=0},8=1|2/+依+2=0}，且AIB=，求AUB.

4對關于實數集A={x|f-2?+(4〃_3)=0},8={才工2一2億￥+?2+々+2)=0},是否存在實

數%使AUB=0若《不存在，說明理由;若〃存在，求。的值.

5.沒集合M=|(x,j)|y=x24-2xJ,A^=|(x,y)|y=x4-a}.^AfIN=0,求〃的取值范圍.

6.已知A={x|〃z-1vxvwt+2|},3={x|x<1或x>5},若AI8=0,求m的取值范圍.

【鞏固訓練】

一、選擇題

1.集合A={x|j>3}M=Ji5，則

(A)?oA(B)a任A(C){?}cA(D){6f}GA

2.集合A={X\XGZ,R是3的倍數}fB=(x\xeZ,x是9的倍數}，則正確的是

(A)A0B(B)A=B(C)/1UB(D)AGB

3.A={-3,0,3},B={0}，則

(A)8為空集(B)3wA(C)80A(D)A08

4.條件p:sina=:a=30°,則p是q的()條件

(A)充分不必要(B)必要不充分

(C)充要(D)既不充分又不必要

5.集合A有5個元素,A所有非空子集個數是()個

(A)32(B)31(C)30(D)25

6.A={X￡Z|3X2—X=0},則

(C)A={0}(D)Ah0,；

(A)A=0(B)A=0

7.x>0是.~>0的()條件

(A)充分不必要(B)必要不充分

(Q充要(D)既不充分又不必要

8.集合4="|工>0},5={幻工之0},則413=

(A){x|x>0}(B){x|x>0}(C){0}(D)0

9若。=1,4={1|1<&},則正確的是

(A)a0A(B){a}0A(c){a}eA(D){a}^A

io.下列正確的是

(A)30{3}(B)3G{3}(C)30{1,2,3}(D)3G0

11.尤=丁是爐=外的()條件

(A)充分不必要⑻必要不充分

(C)充要(D)既不充分又不必要

12.設全集U=R，集合4={%|』<3},8={%|x<2},則41CuB=

(A){x[24x<3}(B){A|2<x<3)

(C){x|xv2或xi3}(D)R

13.設p:x<Lq:->1,則p是9的()條件

x

(A)充分不必要(B)必要不充分

(Q充要(D)既不充分又不必要

14.集合A={0,2,5,8}的子集共有()個

(A)4(B)8(C)15(D)16

15.設p:平面〃內有兩條直線平行于平面p.q:allp.則p是g的()條件

(A)充分不必要⑻必要不充分

(C)充要(D)既不充分又不必要

16.若集合A={1,2},B={2,3},C={1,3}，則集合41(8UC)=()

(A)0(B){1}?{1,2}⑼{1,2,3}

17.設集合A={G，y)|2x-y=4},3={(工,>)|工一2丁=5},則AIB=()

(A){1,-2}(B)(l,-2)(C){(1,-2)}(D){(-2,1)}

18.設集合4={-1,0},8={X￡N|X<J5}』IJAIB=()

(A){-1,0}⑻{0,1}(C){O}(D){-1,0,1}

19.<<(x+2)(x-l)>0w是ux>\n的()條件

(A)充分不必要(B)必要不充分

(Q充要(D)既不充分又不必要

20.已知集合A={-1,0,1},B={0,1,2},則AIB=()

(A){0,1}⑻{-1,0,1,2}(C)O,1(D){-1,2}

21.設集合4={幻工<3},3={幻工:>一1},則41B=

(A)(0,1,2)(B){x|-l<x<3}

(C){x|xv3垢>-1}(D)0

22.2若集合411呂=31C,則必有

(A)AcC(B)CaA(C)AwC(D)A=0

二、填蠢

1.{4〃|刀￡Z}U{4〃+21〃cZ}

2.A={奇數},8={偶數}，則AIB,AUB=

3./={2,4,/_〃+1},A={2,々+1},8={7},AUB=/，則”

4.全集U=Z,A={xwN|x>I0}l={x￡N|xN3pUjC〃(AU8)=

5.全集U={X|XGZ,X>0)，則CuN*=

6.集合A={xwZ|0<x<4},5={2,3,4,5,6}，則AIB=

7.[/=/?M={X|-2<X<3},則Ck4=

8.設集合4={冗|一1<%42},8={0一2<：工(1},則/11B=

9.沒集合A={x|f-x-2=0},8={x[f+x-2v0}，則AIB=

10.已知全集U=N,集合CuA={1,2,3,4,…},則集合A=

11.用列舉法表示:小于10的所有質數組成的集合.

12.用描述法表示:第一象限內的所有點組成的集合.

三、解答題

1.已知全集17={0,1,2,3,4,5,6},集合4={0,1,4,6},集合8={1,3,5,6},求：

(1MIB,AUB;(2)CtiA;(3)Cw(AUfi).

2.全集0=/?,4={乂X<5},3="次2-2},求41BtA\JB.CuA.CuB.

3.已知集合A={x|or2—6x+3=0}中只有一個元素，求。的值.

4.己知集合A={(x,y)|2x_y+3=0},8={(x,y)|x+y_9=0}，求AIB.

第二章不等式

本章內容在高考中多以選擇、填空形式出現，其分值約占高考比例5%左右。要求同學們掌握不等式的基

本性質，熟練掌握一元二次不等式、絕對值不等式的解法。另外，由于不等式與其他知識聯系緊密，具有一定的

“工具性”，如求函數定義域、值域,確定函數的最大值與最小值，二次函數的△等等。因此，是近幾年來高考的

重點和熱點.

§2-1不等式的性質與證明

【考點】

L了解不等式的概念.

2.掌握實數大小的基本性質，不等式的重要性質.

3.能利用不等式的性質進行推理、求值、確定范圍.

4.會用作差比較法證明不等式.

【復習指導】

一、不等式的性質

1.實數的大小比較基本性質(作差比較法)

@a-b>O^>a>b

?a—b=O<=>a=b

?a—b<O<^>a<b

2.不等式的性質

⑴傳遞性

@a>b,b>c=>a>c@a>b,b>c=>a>c

@a>b,b>c=>a>c@a>b,b>c^>a>c

(2)加法性質

①a>/?=a+c>b+c

②移項:a+

③a>b,c>d=>a+c>b+d

⑶乘法性質

?a>b,c>O=>ac>bc

②a>b,cvO=acvbc,(注意:乘以負數要改變不等號的方向!)

③a>b>O,c>d>Onac>bd

變形題①avbvO,cvdvO，則ac>bd.

?a<b<O,c>d>0,^ac<bd.

⑷倒數

?a>b>0=>0<—<—②0>a>Z?=>—<—<0?a>O>b=>—>0>—

ababab

(5)乘方(n為大于1的正整數)

a>b>0=>an>hna>b>0=板>物

(6)a2+b2>2ab(a,beR)

二、不等式的證明

作差法(證明格式、完全平方、配方法、構造思想)

【解題示例】

例1已知。〈人〈0,則()

A.[4<|4B.a2<trc.y<1D.a3<b3

答案:選D

例2比較大小,用〉,v,2,W填空.

①已知a+則與十與______—+

b2a2ab

@(x-3)2(x-2)(x-4);@x2+y2+22x+4y-3；

@72oi2-V2oTTV20TT-V2010；

⑤若a>b,m<Q,m[a-c)m(b-c).

(答案:①2;②〉;③弄④v；⑤v)

例3若0<。<],一]</<0,則。一夕的取值范圍是o答案：(0,4)

例4若時>0,且。〉力，則有()

1111,.2

(A)->-(B)-<-[C)a2>b2(D)a2<b

abab

解答:本題可綜合運用分類討論法，舉特例法、排除法，選8.

例5若Ovav〃〈加，則不列不等式成立的是()

n-ann+ann-an+a

(A)<—<------(B)—<<------

m—arnin+amtn—arn+a

n+ann+an-an

(C)----<一<(D)-----<-----<一

m+atntn-am+atn-atn

解析:可采用特殊值法，令a=\,n=2fm=3，代入求值驗證，選A.

例6若xwy,求證：d+寸>/,+孫3

證明：Qx4+y4-(x3y+Ay3)=x3(x-y)-y3(x-y)

=(x-y)p-y3)

二(x-y)2，+孫+丁)

二(f)2[+?+])，

又Qxwy/.(x-j)2>0Jx+-y4/>o

k2)4

33

故/+爐>xy+xy

點評:運用作差比較法證明不等式時，常用到因式分解、公式變形、配方法等.

【過關訓練】

一、選擇題

1.不等式①/+2>2。,②/+從22(。一人一1)，③。2+/>。力恒成立的個數是

(A)0(B)l(C)2(D)3

2.若avOv。,則下列關系正確的是

(A)"(B)ab<a2<b

(C)-^—>-(D)/g仿一〃)>O

b-aa

3.已知av1,則成立的不等式是

(A)->1(B)a2<]

a

(C)/<1(D)同<1

4.已知則----+-----的值是

b-cc-a

(A)正數(B)非正數

(Q負數(D)非負數

5.已知avOvO,下列不成立的是

11

(A)a2<ab(c)\a\>b\(D)a2>b2

ah

6.已知?"CER,則下列命題成立的是

.o!?ab,

(A)a>。=ac~>bc~(B)—>—=>a>b

cc

(C)a3>b\ab>0^>-<-(D)a?>b2,ab>0^>-<-

abab

7.若a、〃是任意實數，且a>6,則

(A)a2>b2(B)-<1

a

(C)/g(tz-Z?)>0<g)

8.刀>1是一<1的

X

(A)充分條件(B卜必要條件

(C)充要條件(D)既不充分又不必要條件

9.己知av匕v0,則下列不等式中正確的是

<>fb(B)x/^a<4-b

⑹后<后(D)V-a<>/^b

10.已知a>A,那么->-成立的充要條件是

ab

(A)a>"0(B)bvavO

(C)a>O>Z?(D)O</?<a<1

二、填空題

1.比較大小：(x+61(x+5)(x+7)

2.若一則a-夕的范圍是.

3.已知〃>2力>2,則a+b與出?的大小關系是

4.若1cxv10,a=(/g=/g寸,c=/g(/gx),則〃，4c的大小關系是

5.若2v6v3,則L的范圍是.

m

6.〃>6且am<Zwt,則m的取值范圍是.

7.0vxvl是的條件.

x

8./>從是|d|>網的條件.

9.a，B都是銳角，且cosa>cos/?,則a與p的大小關系是.

mtn+1

10.m,n都是正整數，且m>n，比較大小:一________________.

n〃+1

三、解答題

1.求證:①/+Z?2+l>2(?/?+a-Z?),@a2+6+1Nab+a-b,(提示:兩邊乘以2)③

a2+b2+c2>ab+bc-{-ca

2.已知〃、bwR；求證〃3+//>〃2%+〃力2

3.已知〃、b￡R”,試比較一^H—尸與的大小.

\fbyla

4.若XVy<0,試比較(d+y2)(x_y)與(12-y2)(x+y)的大小.

5.設集合4={#一2<“<1},3={刈。一1?工《2。+1},且304,求。的取值范圍.

6.已知一1?機<4,一3K〃V6,求m+2n和2〃一3，〃的范圍.

7.己知6<8,2</?<3,分別求：〃+/?；〃一匕；出?;3的范圍.

b

§2-2不等式的解法

【考點】

1.理解不等式的解集與區間的關系.

2.掌握一元一次不等式（組）、一元二次不等式、絕對值不等式的解法.

3.了解不等式與不等式組在解實際問題中的應用.

【復習指導】

一、解集與區間(〃<。)(注:不0能寫成區間)

?a<x<Z?<=>[?,/?]?a<x<Z?<=>(?,/?)?a<x<b<^>[a,b)

?a<x</?<=>(?,/?]⑥x>ao(a,+oo)

⑦x<a<=>(/a]⑧X《40(-OOM]@XG/?<=>(-oo,+oo)

⑩無=a<=>（-00,a）U（〃，+00）

二、一元一次不等式（組）

1.不等式n（。〉0時）或冗<〃（。<0時，注意變向）

a

2.不等式組（同大取大，同小取小，大于小小于大取中間,小于小大于大無解刑0）

三、一元二次不等式:達標一求根一定解

1.之標:保證二次項系數為正，化為標準形式:加+法+c>0（〃>0）

—4〃c

2.求根:求對應二次方程的根（囚式分解、求根公式大=—b—+喂Jb?———）

2a

3.定解:大于取兩根之外，小于取兩根之間;用數軸表示.

4.解法:因式分解法（“十字相乘法”卜區間分析法、圖像法、△判別法.

5.圖像法解題步驟：

①先變二次項系