吉林省長春市2024年中考數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．根據有理數加法法則，計算2+（﹣3）過程正確的是（）A．+（3+2） B．+（3﹣2） C．﹣（3+2） D．﹣（3﹣2）【答案】D【解析】【解答】解：．故答案為：D．【分析】根據有理數的加法法則：絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.2．南湖公園是長春市著名旅游景點之一，圖①是公園中“四角亭”景觀的照片，圖②是其航拍照片，則圖③是“四角亭”景觀的（）A．主視圖 B．俯視圖 C．左視圖 D．右視圖【答案】B【解析】【解答】解：由題意可知圖③是從“四角亭”上方看到的，即為俯視圖．故答案為：B．【分析】根據三視圖的定義即可得到答案．3．在剪紙活動中，小花同學想用一張矩形紙片剪出一個正五邊形，其中正五邊形的一條邊與矩形的邊重合，如圖所示，則∠α的大小為（）A．54° B．60° C．70° D．72°【答案】D【解析】【解答】解：由題意得：∠α是正五邊形的一個外角，

∴.故答案為：D．【分析】根據多邊形的外角和及正五邊形的性質，即可得到答案．4．下列運算一定正確的是（）A．2a?3a＝6a B．a2?a3＝a6C．（ab）2＝a2b2 D．（a3）2＝a5【答案】C【解析】【解答】解：A．，故選項A錯誤；B．，故選項B錯誤；C．，故選項C正確；D．，故選項D錯誤.故答案為：C．【分析】根據單項式乘單項式的運算法則可判斷A；根據同底數冪的乘法法則可判斷B；根據積的乘方運算法則可判斷C；根據冪的乘方運算法則可判斷D．5．不等關系在生活中廣泛存在．如圖，a、b分別表示兩位同學的身高，c表示臺階的高度．圖中兩人的對話體現的數學原理是（）A．若a＞b，則a+c＞b+c B．若a＞b，b＞c，則a＞cC．若a＞b，c＞0，則ac＞bc D．若a＞b，c＞0，則【答案】A【解析】【解答】解：由左圖可得：，由右圖可得：，即選項A符合題意．故答案為：A．【分析】根據不等式的性質即可得到答案．6．2024年5月29日16時12分，“長春凈月一號”衛星搭乘谷神星一號火箭在黃海海域成功發射．當火箭上升到點A時，位于海平面R處的雷達測得點R到點A的距離為a千米，仰角為θ，則此時火箭距海平面的高度AL為（）A．asinθ千米 B．千米 C．acosθ千米 D．千米【答案】A【解析】【解答】解：由題意得：∴千米.故答案為：A.【分析】根據銳角的正弦函數的定義即可求解.7．如圖，在△ABC中，O是邊AB的中點．按下列要求作圖：①以點B為圓心、適當長為半徑畫弧，交線段BO于點D，交BC于點E；②以點O為圓心、BD長為半徑畫弧，交線段OA于點F；③以點F為圓心、DE長為半徑畫弧，交前一條弧于點G，點G與點C在直線AB同側；④作直線OG，交AC于點M．下列結論不一定成立的是（）A．∠AOM＝∠B B．∠OMC+∠C＝180°C．AM＝CM D．OMAB【答案】D【解析】【解答】解：A．根據作圖可得：，故選項A一定成立，不符合題意；B．∵，∴，∴，故選項B一定成立，不符合題意；C．∵是邊的中點，∴，∵，∴，即：，故選項C一定成立，不符合題意；D．不一定成立，故選項D符合題意．故答案為：D.【分析】先根據作圖可得，根據平行線的判定定理得出，根據平行線的性質得出，根據平行線分線段成比例得出，即可得出．8．如圖，在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，點A（4，2）在函數y（k＞0，x＞0）的圖象上．將直線OA沿y軸向上平移，平移后的直線與y軸交于點B，與函數y（k＞0，x＞0）的圖象交于點C．若BC，則點B的坐標是（）A．（0，） B．（0，3）C．（0，4） D．（0，2）【答案】B【解析】【解答】解：把代入∴．

∴反比例函數的解析式為，

設直線OA的解析式為，

把代入

得：2=4k，解得：，

∴直線OA的解析式為，

設直線OA沿y軸向上平移m個單位長度，

∴，直線OB解析式為，

點C在反比例函數圖象上，設，代入，

得，即

過點y軸于點H，如圖：

∴在△BCH中，由勾股定理得：

即：解得：a=2，代入得，

解得：m=3∴故答案為：B．【分析】由待定系數法求得反比例函數解析式，直線OA的解析式為，設直線OA沿y軸向上平移m個單位長度，得，直線OB解析式為，設，代入，得到，過點y軸于點H，在△BCH中，由勾股定理得：，即：，解得a=2，進而得出m=3，即可得到答案.二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。9．單項式﹣2a2b的次數是．【答案】3【解析】【解答】解：單項式的次數是3.故答案為：．【分析】根據單項式次數的定義：所有字母的指數和叫做這個單項式的次數．10．計算：-=【答案】【解析】【解答】解：=2﹣=．故答案為：．【分析】先化簡=2，再合并同類二次根式即可．11．若拋物線y＝x2﹣x+c（c是常數）與x軸沒有交點，則c的取值范圍是．【答案】【解析】【解答】解：∵拋物線與x軸沒有交點，∴，解得：．故答案為：．【分析】根據拋物線與x軸沒有交點，，即可求解.12．已知直線y＝kx+b（k、b是常數）經過點（1，1），且y隨x的增大而減小，則b的值可以是.（寫出一個即可）【答案】2（b＞1即可）【解析】【解答】解：把代入，得：．∵y隨x的增大而減小，∴，得：b＞1∴b的值可以是2．故答案為：2（答案不唯一）【分析】由題意得出，由y隨x的增大而減小，利用一次函數的性質，可得出，可得b＞1，寫出解即可.13．一塊含30°角的直角三角板ABC按如圖所示的方式擺放，邊AB與直線l重合，AB＝12cm．現將該三角板繞點B順時針旋轉，使點C的對應點C'落在直線l上，則點A經過的路徑長至少為cm．（結果保留π）【答案】8π【解析】【解答】解：∵將該三角板繞點順時針旋轉，使點的對應點落在直線上，∵，

∴，∴點A經過的路徑長至少為．故答案為：8π．【分析】由題意得：，再根據點A經過的路徑長至少為以B為圓心，以為半徑的圓弧的長即可求解．

?14．如圖，AB是半圓的直徑，AC是一條弦，D是的中點，DE⊥AB于點E，交AC于點F，DB交AC于點G，連結AD．給出下面四個結論：①∠ABD＝∠DAC；②AF＝FG；③當DG＝2，GB＝3時，FG；④當2，AB＝6時，△DFG的面積是，上述結論中，正確結論的序號有．【答案】①②③【解析】【解答】解：如圖：連接，∵是的中點，∴，

由圓周角定理的推論得：，故①正確；∵是直徑，∴，∴，∵∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，即②正確；在和，，∴，∴，

即：，

解得：，

由勾股定理得：，∵，∴，故③正確；如圖：假設半圓的圓心為O，連接，

∵，，是的中點，∴∴，∵，∴是等邊三角形，∴，

∴四邊形是菱形，∴，∵，∴，即，解得：，∴，∵∴，故④錯誤．故答案為：①②③．

【分析】連接，由圓周角定理的推論可判定①正確；先證明、可得、，即可判定②；根據相似三角形的判定定理先證明可得，即，解得，然后由勾股定理可得，再結合即可判定③；設半圓的圓心為O，連接，由題意可得，從而證明是等邊三角形，即可得到四邊形是菱形，然后得到，再解直角三角形可得，根據三角形面積公式可得，最后根據三角形的中線將三角形的面積平分即可判定④．三、解答題：本題共10小題，共78分。15．先化簡，再求值：，其中x．【答案】解：原式把代入得，原式【解析】【分析】先根據分式的減法運算化簡，再代數求值即可．16．2021年吉林省普通高中開始施行新高考選科模式，此模式有若干種學科組合，每位高中生可根據自己的實際情況選擇一種．一對雙胞胎姐妹考入同一所高中且選擇了相同組合，該校要將所有選報這種組合的學生分成A、B、C三個班，其中每位學生被分到這三個班的機會均等．用畫樹狀圖（或列表）的方法，求這對雙胞胎姐妹被分到同一個班的概率．【答案】解：列表如下：ABCAA，AA，BA，CBB，AB，BB，CCC，AC，BC，C共有9種等可能的結果，其中這對雙胞胎姐妹被分到同一個班的結果有3種，∴這對雙胞胎姐妹被分到同一個班的概率為．【解析】【分析】先列表確定出所有等可能的結果數以及這對雙胞胎姐妹被分到同一個班的結果數，然后利用概率公式計算求解即可．17．《九章算術》是我國第一部自成體系的數學專著，其中“盈不足術”記載：今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．問人數、金價各幾何？譯文：今有人合伙買金，每人出400錢，剩余3400錢；每人出300錢，剩余100錢．問合伙人數和金價各是多少？請解答這個問題．【答案】解：設共x人合伙買金，金價為y錢，依題意得：，解得：．答：共33人合伙買金，金價為9800錢．??【解析】【分析】設共x人合伙買金，金價為y錢，根據“每人出400錢，會剩余3400錢；每人出300錢，會剩余100錢”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解方程組即可．18．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是邊AB的中點，∠AOD＝∠BOC．求證：四邊形ABCD是矩形．【答案】證明：是邊AB的中點，，在和中，(ASA)，，，

∴∠A+∠B=180°，，四邊形ABCD是平行四邊形，又，四邊形ABCD是矩形.【解析】【分析】利用全等三角形的判定定理ASA證明，得出，根據平行線的判定定理證出，即可證明四邊形是平行四邊形，進而可根據矩形的判定定理證明四邊形是矩形．19．某校為調研學生對本校食堂的滿意度，從初中部和高中部各隨機抽取20名學生對食堂進行滿意度評分（滿分10分），將收集到的評分數據進行整理、描述和分析．下面給出了部分信息：a．高中部20名學生所評分數的頻數分布直方圖如圖：（數據分成4組：6≤x＜7，7≤x＜8，8≤x＜9，9≤x≤10）b．高中部20名學生所評分數在8≤x＜9這一組的是：8.0，8.1，8.2，8.2，8.4，8.5，8.6，8.7，8.8c．初中部、高中部各20名學生所評分數的平均數、中位數如下：平均數中位數初中部8.38.5高中部8.3m根據以上信息，回答下列問題：（1）表中m的值為；（2）根據調查前制定的滿意度等級劃分標準，評分不低于8.5分為“非常滿意”．①在被調查的學生中，設初中部、高中部對食堂“非常滿意”的人數分別為a、b，則a▲b；（填“＞”“＜”或“＝”）②高中部共有800名學生在食堂就餐，估計其中對食堂“非常滿意”的學生人數．【答案】（1）8.3（2）解：①＞；

②，∴估計其中對食堂“非常滿意”的學生人數為人．【解析】【解答】解：（1）高中部評分的中位數為第位數的平均數，即，故答案為：；（2）①由題意得，初中部評分的中位數為，高中部評分的中位數為，∴，故答案為：；【分析】（1）根據中位數的定義，即可求解；（1）①利用中位數即可得到答案；

②利用總數乘以“非常滿意”的學生占比，計算求解即可．20．圖①、圖②、圖③均是3×3的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B均在格點上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網格中按下列要求作四邊形ABCD，使其是軸對稱圖形且點C、D均在格點上．（1）在圖①中，四邊形ABCD面積為2；（2）在圖②中，四邊形ABCD面積為3；（3）在圖③中，四邊形ABCD面積為4．【答案】（1）解：如圖①：

.

∴四邊形ABCD的面積為2.

四邊形即為所求.??????（2）解：如圖②：

四邊形ABCD為軸對稱圖形，且AC⊥BC

∴四邊形ABCD的面積為.

∴四邊形即為所求.（3）解：如圖③：四邊形即為所求.

??????【解析】【分析】（1）以AB為邊畫正方形ABCD即可．（2）結合軸對稱圖形的定義，使四邊形ABCD的對角線相互垂直平分，且對角線的長分別為2和3即可.

（3）畫長和寬分別為和的矩形即可.也可作上下底分別為和，高為的梯形.21．區間測速是指在某一路段前后設置兩個監控點，根據車輛通過兩個監控點的時間來計算車輛在該路段上的平均行駛速度．小春駕駛一輛小型汽車在高速公路上行駛，其間經過一段長度為20千米的區間測速路段，從該路段起點開始，他先勻速行駛小時，再立即減速以另一速度勻速行駛（減速時間忽略不計），當他到達該路段終點時，測速裝置測得該輛汽車在整個路段行駛的平均速度為100千米/時．汽車在區間測速路段行駛的路程y（千米）與在此路段行駛的時間x（時）之間的函數圖象如圖所示．（1）a的值為；（2）當x≤a時，求y與x之間的函數關系式；（3）通過計算說明在此區間測速路段內，該輛汽車減速前是否超速．（此路段要求小型汽車行駛速度不得超過120千米/時）【答案】（1）（2）解：設當時，y與x之間函數關系式為，

圖象經過，得

，

解得：，∴．??（3）解：當時，，∴先勻速行駛小時的速度為：，∵，∴汽車減速前沒有超速．【解析】【解答】解：(1)由題意可得：，

解得：．故答案為：．【分析】（1）根據題意：當以平均時速為行駛時，小時路程為千米，可得，即可求解；（2）設當時，y與x之間函數關系式為，利用待定系數法求解即可得解；（3）求出先勻速行駛小時的速度，然后比較即可得解．22．【問題呈現】小明在數學興趣小組活動時遇到一個幾何問題：如圖①，在等邊△ABC中，AB＝3，點M、N分別在邊AC、BC上，且AM＝CN，試探究線段MN長度的最小值．【問題分析】小明通過構造平行四邊形，將雙動點問題轉化為單動點問題，再通過定角發現這個動點的運動路徑，進而解決上述幾何問題．【問題解決】如圖②，過點C、M分別作MN、BC的平行線，并交于點P，作射線AP．在【問題呈現】的條件下，完成下列問題：（1）證明：AM＝MP；（2）∠CAP的大小為度，線段MN長度的最小值為．（3）【方法應用】某種簡易房屋在整體運輸前需用鋼絲繩進行加固處理，如圖③．小明收集了該房屋的相關數據，并畫出了示意圖，如圖④，△ABC是等腰三角形，四邊形BCDE是矩形，AB＝AC＝CD＝2米，∠ACB＝30°．MN是一條兩端點位置和長度均可調節的鋼絲繩，點M在AC上，點N在DE上．在調整鋼絲繩端點位置時，其長度也隨之改變，但需始終保持AM＝DN．鋼絲繩MN長度的最小值為米．【答案】（1）證明：過點、分別作、的平行線，并交于點，作射線，四邊形是平行四邊形，；（2）30；（3）【解析】【解答】解：（2）∵是等邊三角形，

∴，AC=AB=3.；當時，最小，此時最小，在中，，線段長度的最小值為；

故答案為：30；.【方法應用】：過點、分別作、的平行線，并交于點，作射線，連接，

四邊形是平行四邊形，，MP=ND.

∵△ABC是等腰三角形，∠ACB＝30°；四邊形BCDE是矩形，AB＝AC＝CD＝2米，，∠BCD=90°，∵AM=DN，

∴AM=MP.，..當時，最小，此時最小，

在等腰△ACD中，，

在中，，

線段長度的最小值為米．故答案為：.

【分析】（1）過點、分別作、的平行線，并交于點，作射線，根據平行四邊形的判定與性質，即可證明結論；（2）根據等邊三角形的性質和平行線的性質先證明，然后根據垂線段最短求出最小值；（3）過點、分別作、的平行線，并交于點，作射線，連接，根據平行四邊形的判定與性質，求出，進而得，根據垂線段最短，利用三角函數求解即可．23．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．點D是邊BC上的一點（點D不與點B、C重合），作射線AD，在射線AD上取點P，使AP＝BD，以AP為邊作正方形APMN，使點M和點C在直線AD同側．（1）當點D是邊BC的中點時，求AD的長；（2）當BD＝4時，點D到直線AC的距離為；（3）連結PN，當PN⊥AC時，求正方形APMN的邊長；（4）若點N到直線AC的距離是點M到直線AC距離的3倍，則CD的長為.（寫出一個即可）【答案】（1）解：∵，點是邊的中點，BD=6，

∴，BD=CD=3，∴在中，由勾股定理得：

；（2）（3）解：當時，根據正方形的軸對稱性可得，點落在上，過點作于，

設，則，，則，，，解得：故，所以正方形的邊長為；?????（4）或【解析】【解答】解：（2）作交AC于H，如圖所示；設點到直線的距離，

當時，則，，解得：；

故答案為：（4）如圖，①，在異側時；

點N到直線AC的距離是點M到直線AC距離的3倍，

∴NQ=3MQ，

四邊形APMN是正方形，

∴AN=MN，∠PAN=∠ANQ=90°，

∴，

設

，即，

AC=AE+CE=5，即：，

解得：；②當，在同側

由題意得：∠NAF=MQC，∠AFN=QCM=90°，

∴△ANF∽△QME，

∴

點N到直線AC的距離是點M到直線AC距離的3倍，

∴AN=3MQ，

四邊形APMN是正方形，

∴

，

設

，

∴

AC=AH+CH=5，即：，解得：；綜上所述：的長為或.故答案為：或.【分析】（1）根據等腰三角形的性質得，利用勾股定理即可求解；

（2）作交AC于H，利用三角形面積相等即可求解；

（3）過點作于H，設，則，，根據，列出方程即可求解；

（4）分類討論：①，在異側時，由點N到直線AC的距離是點M到直線AC距離的3倍，得NQ=3MQ，結合正方形的性質可推出，設，根據三角函數可得，由AC=AE+CE=5，即，計算求解即可；②當，在同側，由相似三角形的判定定理可得△ANF∽△QME，可得，即可AN=3MQ，根據正方形的性質及正切的定義可得，設，由三角函數可得，由AC=AH+CH=5，即，計算求解即可得解.24．在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，拋物線y＝x2+2x+c（c是常數）經過點（﹣2，﹣2）．點A、B是該拋物線上不重合的兩點，橫坐標分別為m、﹣m，點C的橫坐標為﹣5m，點C的縱坐標與點A的縱坐標相同，連結AB、AC．（1）求該拋物線對應的函數表達式；（2）求證：當m取不為零的任意實數時，tan∠CAB的值始終為2；（3）作AC的垂直平分線交直線AB于點D，以AD為邊、AC為對角線作菱形ADCE，連結DE．①當DE與此拋物線的對稱軸重合時，求菱形ADCE的面積；②當此拋物線在菱形ADCE內部的點的縱坐標y隨x的增大而增大時，直接寫出m的取