專題拓展課四應用萬有引力定律解決“三個”熱點問題【學習目標要求】1.理解衛星變軌的實質，會分析變軌過程中各物理量以及能量變化。2.理解同步衛星、近地衛星和赤道上物體運動的區別。3.掌握雙星和多星問題的特點，會分析相關問題。拓展點1衛星變軌問題1.衛星變軌問題的處理衛星在運動中的“變軌”有兩種情況：離心運動和近心運動。當萬有引力恰好提供衛星做圓周運動所需的向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)時，衛星做勻速圓周運動；當某時刻速度發生突變，所需的向心力也會發生突變，而突變瞬間萬有引力不變。(1)制動變軌：衛星的速率變小時，使得萬有引力大于所需向心力，即Geq\f(Mm,r2)＞meq\f(v2,r)，衛星做近心運動，軌道半徑將變小。(2)加速變軌：衛星的速率變大時，使得萬有引力小于所需向心力，即Geq\f(Mm,r2)＜meq\f(v2,r)，衛星做離心運動，軌道半徑將變大。2.變軌過程(1)為了節省能量，在赤道上順著地球自轉方向發射衛星到圓軌道Ⅰ上，如圖所示。(2)在A點(近地點)點火加速，由于速度變大，萬有引力不足以提供在軌道Ⅰ上做圓周運動的向心力，衛星做離心運動進入橢圓軌道Ⅱ。(3)在B點(遠地點)再次點火加速進入圓軌道Ⅲ。3.變軌過程各物理量分析(1)兩個不同軌道的“切點”處線速度v不相等，圖中vⅢ＞vⅡB，vⅡA＞vⅠ。(2)同一個橢圓軌道上近地點和遠地點線速度大小不相等，從遠地點到近地點線速度逐漸增大。(3)兩個不同圓軌道上的線速度v不相等，軌道半徑越大，v越小，圖中vⅠ＞vⅢ。(4)不同軌道上運行周期T不相等。根據開普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k知，內側軌道的周期小于外側軌道的周期。圖中TⅠ＜TⅡ＜TⅢ。(5)兩個不同軌道的“切點”處加速度a相同，圖中aⅢ＝aⅡB，aⅡA＝aⅠ?！纠?】(2021·湖南長沙一中高一月考)1999年11月21日，我國“神舟”號宇宙飛船成功發射并收回，這是我國航天史上重要的里程碑。新型“長征”運載火箭，將重達8.4t的飛船向上送至近地軌道1(如圖所示)。飛船與火箭分離后，在軌道1上以速度7.2km/s繞地球做勻速圓周運動，則()A.飛船在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率B.飛船在軌道3上的角速度大于在軌道1上的角速度C.飛船在軌道1上經過Q點的加速度大于它在軌道2上經過Q點的加速度D.飛船從軌道1進入軌道2必須要加速答案D解析研究飛船繞地球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝eq\f(mv2,r)，解得v＝eq\r(\f(GM,r))，M為地球的質量，r為軌道半徑。因為r1＜r3，所以v1＞v3，選項A錯誤；根據萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝mrω2，得出ω＝eq\r(\f(GM,r3))，則半徑大的角速度小，選項B錯誤；根據萬有引力提供向心力，有Geq\f(mM,r2)＝ma，則在同一位置加速度相同，選項C錯誤；飛船從軌道1進入軌道2必須加速做離心運動，選項D正確。【針對訓練1】(2021·北京西城區高一期末)圖甲為“中星9A”在定位過程中所進行的10次調整軌道的示意圖，其中的三條軌道如圖乙所示，曲線Ⅰ是最初發射的橢圓軌道，曲線Ⅱ是第5次調整后的橢圓軌道，曲線Ⅲ是第10次調整后的最終預定圓軌道；軌道Ⅰ與Ⅱ在近地點A相切，軌道Ⅱ與Ⅲ在遠地點B相切。衛星在變軌的過程中質量變化忽略不計，下列說法正確的是()A.衛星在軌道Ⅲ上運行的速度大于第一宇宙速度B.衛星在軌道Ⅱ上經過B點時的速度小于衛星在軌道Ⅲ上經過B點時的速度C.衛星在軌道Ⅰ上經過A點時的速度小于衛星在軌道Ⅲ上經過B點時的速度D.衛星在軌道Ⅱ上經過B點時的加速度小于衛星在軌道Ⅲ上經過B點時的加速度答案B解析第一宇宙速度是最大環繞速度，故衛星在軌道Ⅲ上運行的速度小于第一宇宙速度，A錯誤；衛星從軌道Ⅱ到軌道Ⅲ上需要在B點加速，所以衛星在軌道Ⅱ上經過B點時的速度小于衛星在軌道Ⅲ上經過B點時的速度，故B正確；由萬有引力提供向心力得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，因為rⅠ<rⅢ，所以vⅠ>vⅢ，則衛星在軌道Ⅰ上經過A點時的速度大于衛星在軌道Ⅲ上經過B點時的速度，C錯誤；根據Geq\f(Mm,r2)＝ma，得到a＝Geq\f(M,r2)，可知衛星在軌道Ⅱ上經過B點時的加速度等于衛星在軌道Ⅲ上經過B點時的加速度，故D錯誤。拓展點2同步衛星、近地衛星和赤道上物體的比較1.相同點(1)都以地心為圓心做勻速圓周運動。(2)同步衛星與赤道上的物體具有相同的角速度。2.不同點(1)向心力不同同步衛星、近地衛星均由萬有引力提供向心力，eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)；而赤道上的物體隨地球自轉做圓周運動的向心力(很小)是萬有引力的一個分力，eq\f(GMm,r2)≠eq\f(mv2,r)。(2)向心加速度不同比較項目衛星繞地球運行的向心加速度物體隨地球自轉的向心加速度(不局限于赤道)產生原因由萬有引力產生由萬有引力的一個分力(另一分力為重力)產生方向指向地心垂直且指向地軸大小a＝eq\f(GM,r2)(地面附近a近似等于g)a＝rω2，r為地面上某點到地軸的距離，ω為地球自轉的角速度特點隨衛星到地心的距離的增大而減小從赤道到兩極逐漸減小【例2】(多選)(2021·黑龍江鶴崗一中高一月考)如圖所示，A是靜止在赤道上的物體，B、C是同一平面內兩顆人造衛星。B位于離地高度等于地球半徑的圓形軌道上，C是地球同步衛星。下列說法中正確的是()A.衛星B的速度大小小于地球的第一宇宙速度B.A、B的線速度大小關系為vA＞vBC.B、C的向心加速度大小關系為aB＜aCD.A、B、C周期大小關系為TA＝TC＞TB答案AD解析第一宇宙速度是繞地球做圓周運動的最大的環繞速度，由于衛星B的軌道半徑大于地球的半徑，則衛星B的速度小于地球的第一宇宙速度，故A正確；對于A、C，A、C的角速度相等，根據v＝ωr，可得vC＞vA，對于B、C，根據萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，v＝eq\r(\f(GM,r))，可得vB＞vC，故vB＞vA，B錯誤；對于B、C，根據萬有引力提供向心力，有eq\f(GMm,r2)＝ma，可得a＝eq\f(GM,r2)，則aB＞aC，故C錯誤；A、C的角速度相等，則A、C的周期相等，根據萬有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r，可得T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，故TA＝TC＞TB，故D正確。【針對訓練2】(多選)(2021·石家莊精英中學高一月考)2019年11月5日01時43分，我國在西昌衛星發射中心用長征三號乙運載火箭，成功發射了第49顆北斗導航衛星。該衛星屬傾斜地球同步軌道衛星，標志著北斗三號系統3顆傾斜地球同步軌道衛星全部發射完畢。傾斜地球同步軌道衛星是運轉軌道面與地球赤道面有夾角的軌道衛星，它的運行周期與“同步衛星”相同(T＝24h)，運動軌跡如圖所示。關于該北斗導航衛星的說法正確的是()A.該衛星與地球上某一位置始終相對靜止B.該衛星的高度與“同步衛星”的高度相等C.該衛星運行速度大于第一宇宙速度D.該衛星在一個周期內有2次經過赤道上同一位置答案BD解析同步衛星相對于地面靜止，必須為地球赤道面上的同步衛星，因為此衛星為傾斜軌道，因此不能與地球保持相對靜止，A錯誤；因為兩個衛星的周期是一樣的，其他常量都相同，由公式h＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))－R可得該衛星與“同步衛星”高度相同，B正確；地球的第一宇宙速度是最大的環繞速度，該衛星比近地衛星軌道半徑大，所以速度小于第一宇宙速度，C錯誤；此衛星的軌道為傾斜軌道，因此該衛星一周期內有兩次通過赤道上同一位置，D正確。拓展點3雙星模型1.如圖所示，宇宙中有相距較近、質量相差不大的兩個星球，它們離其他星球都較遠，其他星球對它們的萬有引力可以忽略不計。在這種情況下，它們將圍繞其連線上的某一固定點做周期相同的勻速圓周運動，通常，我們把這樣的兩個星球稱為“雙星”。2.特點(1)兩星圍繞它們之間連線上的某一點做勻速圓周運動，兩星的運行周期、角速度相同。(2)兩星的向心力大小相等，由它們間的萬有引力提供。(3)兩星的軌道半徑之和等于兩星之間的距離，即r1＋r2＝L，軌道半徑與兩星質量成反比。3.處理方法：雙星間的萬有引力提供了它們做圓周運動的向心力，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ω2r1，Geq\f(m1m2,L2)＝m2ω2r2?！纠?】(多選)10月16日，美國宣布首次發現了雙中子星合并產生引力波的事件，引力波開啟宇宙研究新時代。如圖甲所示是一對相互環繞旋轉的質量不等的雙黑洞系統，其示意圖如圖乙所示，雙黑洞A、B在相互之間的萬有引力的作用下，繞其連線上的O點做勻速圓周運動，若雙黑洞的質量之比mA∶mB＝n∶1，則()A.黑洞A、B做圓周運動的角速度之比為1∶1B.黑洞A、B做圓周運動的向心力大小之比為n2∶1C.黑洞A、B做圓周運動的半徑之比為1∶nD.黑洞A、B做圓周運動的線速度之比為1∶n2答案AC解析由于二者繞連線上同一點做勻速圓周運動，二者角速度相等，又由彼此間的萬有引力提供向心力，故有mArAω2＝mBrBω2，解得二者半徑與質量成反比，故有eq\f(rA,rB)＝eq\f(mB,mA)＝eq\f(1,n)，故A、C正確；由于二者由萬有引力提供向心力，故二者做圓周運動的向心力之比為1∶1，故B錯誤；由線速度與角速度的關系可知，當角速度相同時，二者做圓周運動的線速度與半徑成正比，故二者線速度之比為1∶n，故D錯誤?！踞槍τ柧?】(2021·貴州遵義市高一三校聯考)月球與地球質量之比約為1∶80，有研究者認為月球和地球可視為一個由兩質點構成的雙星系統，它們都圍繞地月連線上某點O做勻速圓周運動。據此觀點，可知月球與地球繞O點運動線速度大小之比約為()A.1∶6400 B.1∶80C.80∶1 D.6400∶1答案C解析月球和地球繞O點做勻速圓周運動，它們之間的萬有引力提供各自的向心力，則地球和月球的向心力相等。且月球和地球和O點始終共線，說明月球和地球有相同的角速度和周期。因此有mω2r＝Mω2R，所以eq\f(vm,vM)＝eq\f(ωr,ωR)＝eq\f(M,m)＝80，C正確?！灸Ｐ徒榻B】三星模型四星模型【模型分析】1.運動特點轉動方向、周期、角速度、線速度大小均相同。2.受力特點圓周運動半徑都相等，各星所受萬有引力的合力提供圓周運動的向心力。3.向心力方程甲：eq\f(Gm2,r2)＋eq\f(Gm2,（2r）2)＝ma向乙：eq\f(Gm2,L2)cos30°×2＝ma向丙：eq\f(Gm2,L2)×2cos45°＋eq\f(Gm2,（\r(2)L）2)＝ma向?。篹q\f(Gm2,L2)×2cos30°＋eq\f(GmM,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)L))\s\up12(2))＝ma向【題目示例】(多選)宇宙中存在一些質量相等且離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統，通常可忽略其他星體對它們的引力作用。設四星系統中每個星體的質量均為m，半徑均為R，四顆星穩定分布在邊長為a的正方形的四個頂點上。已知引力常量為G。關于宇宙四星系統，下列說法正確的是()A.四顆星圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動B.四顆星的軌道半徑均為eq\f(a,2)C.四顆星表面的重力加速度均為eq\f(Gm,R2)D.四顆星的周期均為2πaeq\r(\f(2a,（4＋\r(2)）Gm))【詳細分析】答案ACD解析四星系統中任一顆星體均在其他三顆星體的萬有引力作用下，合力方向指向對角線的交點，圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，由幾何知識可得軌道半徑均為eq\f(\r(2),2)a，故A正確，B錯誤；在星體表面，根據萬有引力等于重力，可得Geq\f(mm′,R2)＝m′g，解得g＝eq\f(Gm,R2)，故C正確；由萬有引力定律和向心力公式得eq\f(Gm2,（\r(2)a）2)＋eq\f(\r(2)Gm2,a2)＝meq\f(4π2,T2)·eq\f(\r(2)a,2)，解得T＝2πaeq\r(\f(2a,（4＋\r(2)）Gm))，故D正確?！窘８形颉慷嘈悄Ｐ偷牡湫痛硎侨呛退男悄Ｐ?，對稱性是多星模型的最顯著特點，星體的運動半徑由幾何關系得到，星體的向心力由其他星體萬有引力的合力提供。多星模型中，若有中心星體，該星體是不轉的，是其他星體做圓周運動的圓心。1.(衛星變軌問題)(2021·石家莊精英中學高一月考)如圖所示，某次發射同步衛星時，先進入一個近地的圓軌道，然后在P點經極短時間點火變速后進入橢圓形轉移軌道(該橢圓軌道的近地點為近地圓軌道上的P點，遠地點為同步軌道上的Q點)，到達遠地點時再次經極短時間點火變速后，進入同步軌道。設衛星在近地圓軌道上運行的速率為v1，在P點經極短時間變速后的速率為v2，沿轉移軌道剛到達遠地點Q時的速率為v3，在Q點經極短時間變速后進入同步軌道后的速率為v4。下列關系正確的是()A.在外圓軌道運動的周期小于橢圓軌道的周期B.衛星沿近地圓軌道經P處和橢圓軌道經P處加速度不同C.v2＞v1＞v4＞v3D.不能比較v4和v2的大小關系答案C解析設外圓軌道的半徑為r，內圓軌道的半徑為R，根據開普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r＋R,2)))\s\up12(3),T′2)，可知在外圓軌道運動的周期T大于橢圓軌道的周期T′，故A錯誤；根據萬有引力提供向心力得Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得加速度a＝eq\f(GM,r2)，可知在P處的加速度都相同，故B錯誤；從內圓軌道變為橢圓軌道，需要在P處加速，所以v2＞v1，從橢圓軌道進入外圓軌道，需要在Q處加速，所以v4＞v3，根據萬有引力提供向心力得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(GM,r))，外圓軌道半徑大于內圓軌道半徑，所以v1＞v4，綜上所述，速度關系為v2＞v1＞v4＞v3，故C正確，D錯誤。2.(同步、近地衛星和赤道上物體的比較)國務院批復，自2016年起將4月24日設立為“中國航天日”。1970年4月24日我國首次成功發射的人造衛星“東方紅1號”，目前仍然在橢圓軌道上運行，其軌道近地點高度約為440km，遠地點高度約為2060km；1984年4月8日成功發射的“東方紅2號”衛星運行在赤道上空35786km的地球同步軌道上。設“東方紅1號”在遠地點的加速度為a1，“東方紅2號”的加速度為a2，固定在地球赤道上的物體隨地球自轉的加速度為a3，則a1、a2、a3的大小關系為()A.a2＞a1＞a3 B.a3＞a2＞a1C.a3＞a1＞a2 D.a1＞a2＞a3答案D解析衛星圍繞地球運行時，萬有引力提供向心力，對于“東方紅1號”，在遠地點時有Geq\f(Mm1,（R＋h1）2)＝m1a1，即a1＝eq\f(GM,（R＋h1）2)，對于“東方紅2號”，有Geq\f(Mm2,（R＋h2）2)＝m2a2，即a2＝eq\f(GM,（R＋h2）2)，由于h2＞h1，故a1＞a2，“東方紅2號”衛星的角速度與地球自轉的角速度相等，由于“東方紅2號”做圓周運動的軌道半徑大于地球赤道上物體做圓周運動的半徑，因為a＝ω2r，故a2＞a3，所以a1＞a2＞a3，選項D正確，A、B、C錯誤。3.(雙星或多星模型)(2021·河南駐馬店市第一學期期末)天文學家經過長期觀測，在宇宙中發現了許多“雙星”系統，這些“雙星”系統一般與其他星體距離很遠，受到其他天體引力的影響可以忽略不計。根據對一“雙星”系統的光學測量確定，此雙星系統中兩個星體的質量均為m，而繞系統中心轉動的實際周期是理論計算的周期的k倍(k＜1)，究其原因，科學家推測，在以兩星球球心連線為直徑的球體空間中可能均勻分布著暗物質。若此暗物質確實存在，其質量應為()A.eq\f(m,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k2)－1)) B.eq\f(m,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,k2)－1))C.eq\f(m,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k2)－4)) D.eq\f(m,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4k2)－1))答案A解析雙星均繞它們的連線的中點做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，得Geq\f(m2,L2)＝meq\f(4π2,Teq\o\al(2,0))·eq\f(L,2)，解得T0＝πLeq\r(\f(2L,Gm))。根據觀測結果，星體的運動周期T＝kT0＜T0，這種差異是由雙星內均勻分布的暗物質引起的，均勻分布在球體內的暗物質對雙星系統的作用與一質量等于球內暗物質的總質量m′，位于中點O處的質點的作用相同。則有Geq\f(m2,L2)＋eq\f(Gmm′,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2)))\s\up12(2))＝meq\f(4π2,T2)·eq\f(L,2)，解得T＝πLeq\r(\f(2L,G（m＋4m′）))，所以m′＝eq\f(m,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k2)－1))，故選項A正確。課時定時訓練(限時35分鐘)題組一衛星變軌問題1.1970年成功發射的“東方紅1號”是我國第一顆人造地球衛星，該衛星至今仍沿橢圓軌道繞地球運動。如圖所示，設衛星在近地點、遠地點的速度分別為v1、v2，近地點到地心的距離為r，地球質量為M，引力常量為G。則()A.v1＞v2，v1＝eq\r(\f(GM,r)) B.v1＞v2，v1＞eq\r(\f(GM,r))C.v1＜v2，v1＝eq\r(\f(GM,r)) D.v1＜v2，v1＞eq\r(\f(GM,r))答案B解析衛星繞地球運動，由開普勒第二定律知，近地點的速度大于遠地點的速度，即v1＞v2。若衛星以近地點時的半徑做圓周運動，則有eq\f(GMm,r2)＝meq\f(veq\o\al(2,近),r)，得運行速度v近＝eq\r(\f(GM,r))，由于衛星在近地點做離心運動，則v1＞v近，即v1＞eq\r(\f(GM,r))，選項B正確。2.(多選)如圖所示，在發射地球同步衛星的過程中，衛星首先進入橢圓軌道Ⅰ，然后在Q點通過改變衛星速度，讓衛星進入地球同步軌道Ⅱ，則()A.該衛星的發射速度必定大于11.2km/sB.衛星在同步軌道Ⅱ上的運行速度大于7.9km/sC.在橢圓軌道上，衛星在P點的速度大于在Q點的速度D.衛星在Q點通過加速實現由軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ答案CD解析11.2km/s是衛星脫離地球引力束縛的最小發射速度，而同步衛星仍然繞地球運動，選項A錯誤；7.9km/s(第一宇宙速度)是近地衛星的環繞速度，也是衛星最大的環繞速度，同步衛星運動的線速度一定小于第一宇宙速度，選項B錯誤；橢圓軌道Ⅰ上，P是近地點，Q是遠地點，故衛星在P點的速度大于在Q點的速度；衛星經過軌道Ⅰ上的Q點加速后才能沿軌道Ⅱ運動，選項C、D正確。3.(多選)2016年10月19日凌晨，“神舟十一號”飛船與“天宮二號”目標飛行器順利完成自動交會對接。關于它們的交會對接，以下說法正確的是()A.飛船在同軌道上加速直到追上“天宮二號”完成對接B.飛船從較低軌道，通過加速追上“天宮二號”完成對接C.在同一軌道上的“天宮二號”通過減速完成與飛船的對接D.若“神舟十一號”與“天宮二號”原來在同一軌道上運動，則不能通過直接加速或減速某飛行器的方式完成對接答案BD解析“神舟十一號”飛船與“天宮二號”目標飛行器正確對接的方法是處于較低軌道的“神舟十一號”飛船在適當位置通過適當加速，恰好提升到“天宮二號”目標飛行器所在高度并與之交會對接。若“神舟十一號”與“天宮二號”原來在同一軌道上運動，后面的飛行器加速會上升到較高軌道，前面的飛行器減速會下降到較低的軌道，都不會完成交會對接。綜上所述，選項A、C錯誤，B、D正確。4.(多選)牛頓在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中設想，物體拋出的速度很大時，就不會落回地面，它將繞地球運動，成為人造地球衛星。如圖所示，將物體從一座高山上的O點水平拋出，拋出速度一次比一次大，落地點一次比一次遠，設圖中A、B、C、D、E是從O點以不同的速度拋出的物體所對應的運動軌道。已知B是圓形軌道，C、D是橢圓軌道，在軌道E上運動的物體將會克服地球的引力，永遠地離開地球，空氣阻力和地球自轉的影響不計，則下列說法正確的是()A.物體從O點拋出后，沿軌道A運動落到地面上，物體的運動可能是平拋運動B.在軌道B上運動的物體，拋出時的速度大小為7.9km/sC.使軌道C、D上物體的運動軌道變為圓軌道，這個圓軌道可以過O點D.在軌道E上運動的物體，拋出時的速度一定等于或大于第三宇宙速度答案AC解析將物體從一座高山上的O點水平拋出，且物體速度不大時，物體沿軌道A運動落到地面上，若水平位移不大，則物體的運動是平拋運動，選項A正確；在軌道B上運動的物體，做勻速圓周運動，拋出時的速度大于第一宇宙速度7.9km/s，選項B錯誤；使軌道C、D上物體的運動軌道變為圓軌道，可以在物體經過O點時減小物體的速度，此時的圓軌道可以過O點，選項C正確；在軌道E上運動的物體，將會克服地球的引力，拋出時的速度一定等于或大于第二宇宙速度11.2km/s，選項D錯誤。題組二同步、近地衛星和赤道上物體的比較5.同步衛星是指相對于地面不動的人造地球衛星，則()A.它可以在地面上任一點的正上方，且離地面的高度可按需要選擇不同的值B.它可以在地面上任一點的正上方，但離地面的高度是一定的C.它只能在赤道的正上方，但離地面的高度可按需要選擇不同的值D.它只能在赤道的正上方，且離地面的高度是一定的答案D解析同步衛星只能在赤道的正上方，且離地面的高度是一定的，大約為地球半徑的5.6倍，可以粗略記為6倍。選項D正確。6.(多選)地球同步衛星離地心的距離為r，運行速率為v1，加速度為a1，地球赤道上的物體隨地球自轉的向心加速度為a2，地球的第一宇宙速度為v2，半徑為R，則下列比例關系中正確的是()A.eq\f(a1,a2)＝eq\f(r,R) B.eq\f(a1,a2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,R)))eq\s\up12(2)C.eq\f(v1,v2)＝eq\f(r,R) D.eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(R,r))答案AD解析設地球的質量為M，同步衛星的質量為m1，在地球赤道上隨地球自轉的物體的質量為m2，根據向心加速度和角速度的關系有a1＝ωeq\o\al(2,1)r，a2＝ωeq\o\al(2,2)R，又ω1＝ω2，故eq\f(a1,a2)＝eq\f(r,R)，選項A正確，B錯誤；由萬有引力定律和牛頓第二定律得Geq\f(Mm1,r2)＝m1eq\f(veq\o\al(2,1),r)，Geq\f(Mm2,R2)＝m2eq\f(veq\o\al(2,2),R)，解得eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(R,r))，選項D正確。7.地球赤道上有一物體隨地球的自轉而做圓周運動，向心力為F1，向心加速度為a1，線速度為v1，角速度為ω1；繞地球表面附近做圓周運動的人造衛星(高度忽略)的向心力為F2，向心加速度為a2，線速度為v2，角速度為ω2；地球同步衛星的向心力為F3，向心加速度為a3，線速度為v3，角速度為ω3。地球表面重力加速度為g，第一宇宙速度為v，假設三者質量相等，則()A.F1＝F2＞F3 B.a1＝a2＝g＞a3C.v1＝v2＝v＞v3 D.ω1＝ω3＜ω2答案D解析赤道上物體隨地球自轉的向心力為萬有引力與支持力的合力，近地衛星的向心力等于萬有引力，同步衛星的向心力為同步衛星所在處的萬有引力，故有F1＜F2，F2＞F3，加速度a1＜a2，a2＝g，a3＜a2；線速度v1＝ω1R，v3＝ω3(R＋h)，其中ω1＝ω3，因此v1＜v3，而v2＞v3；根據Geq\f(Mm,r2)＝mω2r得角速度ω＝eq\r(\f(GM,r3))，因r3＞r2，所以ω2＞ω3，故有ω1＝ω3＜ω2，故選項D正確。8.(2021·淮南一中高一月考)如圖所示，a為赤道上的物體，隨地球自轉做勻速圓周運動，b為沿地球表面附近做勻速圓周運動的人造衛星，c為地球同步衛星，以下關于a、b、c的說法中正確的是()A.b的運轉周期最短B.a的軌道半徑最小，做圓周運動的線速度最大C.a和b的角速度相同D.b的軌道相對赤道面傾斜，不穩定，在地球引力作用下最終將落到赤道平面上答案A解析衛星c為同步衛星，所以Ta＝Tc，根據Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r，得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，則c的周期大于b的周期，即b的運轉周期最短，故A正確；地球赤道上的物體與同步衛星具有相同的角速度，所以ωa＝ωc，根據v＝rω，知vc>va，由公式Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))，則vc＜vb，則有vb＞vc＞va，故B錯誤；地球赤道上的物體與同步衛星具有相同的角速度，所以ωa＝ωc，再根據eq\f(GMm,r2)＝mω2r，可知ωb＞ωc,所以ωb＞ωa，故C錯誤；b的軌道相對赤道面傾斜，仍由萬有引力提供向心力，則b衛星能穩定運行，故D錯誤。題組三雙星或多星模型9.(2021·淮南一中高一月考)“雙星系統”由兩顆相距較近的恒星組成，每個恒星的線度遠小于兩個星體之間的距離，而且雙星系統一般遠離其他天體。如圖所示，兩顆星球組成的雙星，在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上的O點做周期相同的勻速圓周運動?，F測得兩顆星之間的距離為L，設質量分別用m1、m2表示，且m1：m2＝5∶2。則可知()A.m1、m2做圓周運動的線速度之比為2∶5B.m1、m2做圓周運動的角速度之比為5∶2C.雙星間距離一定，雙星的總質量越大，其轉動周期越大D.雙星的質量一定，雙星之間的距離越大，其轉動周期越小答案A解析雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，具有相同的角速度，設為ω，則有eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ω2r1＝m2ω2r2，解得eq\f(r1,r2)＝eq\f(m2,m1)＝eq\f(2,5)，根據v＝ωr知eq\f(v1,v2)＝eq\f(r1,r2)＝eq\f(2,5)，故A正確；雙星具有相同的角速度，則m1、m2做圓周運動的角速度之比為1∶1，故B錯誤；根據萬有引力提供向心力，有Geq\f(m1m2,L2)＝m1eq\f(4π2,T2)r1＝m2eq\f(4π2,T2)r2，得Gm2T2＝4π2r1L2，Gm1T2＝4π2r2L2，聯立得G(m1＋m2)T2＝4π2L3，得T＝eq\r(\f(4π2L3,G（m1＋m2）))，雙星間距離一定，雙星的總質量越大，其轉動周期越小，雙星的質量一定，雙星之間的距離越大，其轉動周期越大，故C、D錯誤。10.(多選)2015年4月，科學家通過歐航局天文望遠鏡在一個河外星系中，發現了一對相互環繞旋轉的超大質量雙黑洞系統，如圖所示。這也是天文學家首次在正常星系中發現超大質量雙黑洞。這對驗證宇宙學與星系演化模型、廣義相對論在極端條件下的適應性等都具有十分重要的意義。我國在近期也將發射全球功能最強的暗物質探測衛星。若圖中雙黑洞的質量分別為M1和M2，雙黑洞間距離為L，它們以兩者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動，引力常量為G。根據所學知識，下列選項正確的是()A.雙黑洞的軌道半徑之比r1∶r2＝M2∶M1B.雙黑洞的線速度之比v1∶v2＝M1∶M2C.雙黑洞的向心加速度之比a1∶a2＝M1∶M2D.它們的運動周期為T＝2πeq\r(\f(L3,G（M1＋M2）))答案AD解析雙黑洞做圓周運動的向心力由它們之間的萬有引力提供，向心力大小相等，由Geq\f(M1M2,L2)＝M1r1ω2＝M2r2ω2，得雙黑洞的軌道半徑之比r1∶r2＝M2∶M1，選項A正確；由v＝ωr得雙黑洞的線速度之比v1∶v2＝r1∶r2＝M2∶M1，選項B錯誤；由a＝ω2r得雙黑洞的向心加速度之比為a1∶a2＝r1∶r2＝M2∶M1，選項C錯誤；由Geq\f(M1M2,L2)＝M1r1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)、Geq\f(M1M2,L2)＝M2r2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)和r1＋r2＝L得T＝2πeq\r(\f(L3,G（M1＋M2）))，選項D正確。11.(多選)(2021·石家莊精英中學高一月考)有a、b、c、d四顆地球衛星：a還未發射，在地球赤道表面上隨地球一起轉動，b在地球的近地圓軌道上正常運行，c是地球同步衛星，d是高空探測衛星。各衛星排列位置如圖，則下列說法正確的是()A.向心加速度大小關系是：ab＞ac＞ad＞aa，線速度大小關系是：va＞vb＞vc＞vdB.在相同時間內b轉過的弧長最長，a、c轉過的弧長對應的角度相等C.c在4小時內轉過的圓心角是eq\f(π,2)，a在2小時內轉過的圓心角是eq\f(π,6)D.b的周期一定小于d的周期，d的周期一定大于24小時答案BD解析b、c、d三顆衛星繞地球運行，根據萬有引力提供向心力，得Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得a＝eq\f(GM,r2)，可知ab＞ac