2024—2025學年下學期學情調研卷（一）八年級數學（人教版）注意事項：1．本試卷共6頁，三個大題，滿分120分，考試時間100分鐘．2．請按要求把答案填寫在試卷或答題卡上．一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個選項，其中只有一個是正確的．1.下面各式中，是最簡二次根式是（）A. B. C. D.2.下列以，，為三邊長的三角形中，是直角三角形的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，3.下列等式一定成立的是（）A. B. C. D.4.下列命題的逆命題不成立的是（）A.等邊對等角B.直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方C.兩直線平行，內錯角相等D.如果兩個實數都是正數，那么它們的的積是正數5.無理數像一首讀不完的長詩，既不循環，也不枯竭，無窮無盡，數學家稱其是一種特殊的數．若某矩形的長為，寬為，則這個矩形面積的值大約在（）A.2與3之間 B.3與4之間 C.4與5之間 D.5與6之間6.1995年，希臘為紀念畢達哥拉斯學派發行了如圖1所示的郵票，圖片中間是三個正方形頂點相連構成一個三角形．如圖2，若中間的三角形為直角三角形，則三個正方形的面積可以是（）A.2，3，5 B.3，4，5 C.6，8，13 D.5，12，147.已知，則的大小關系是（）A. B. C. D.8.如圖，數軸上點A表示的數為，的直角邊落在數軸上，且長為3個單位長度，長為1個單位長度，若以點A為圓心，以斜邊長為半徑畫弧交數軸于點D，則點D表示的數為（）A B. C. D.9.如圖，已知在中，的垂直平分線分別交于兩點，連接，則的長為（）A.1 B. C. D.10.如圖，正方形的邊長為1，以為邊作第2個正方形，再以為邊作第3個正方形，按照這樣的規律，第2025個正方形的邊長為（）A B. C. D.二、填空題（每小題3分，共15分）11.若代數式有意義，則實數的取值范圍是______；12.已知，，則的值為．13.如圖是一臺手機支架的示意圖，，可分別繞點，轉動，測得，，若，，垂足為點，，則點到的距離為______．14.如圖所示的長方體透明玻璃魚缸，假設其長，高，水深．在水面上緊貼內壁的處有一塊面包屑，且．一只螞蟻想從魚缸外的點沿魚缸壁爬進魚缸內的處吃面包屑，則螞蟻爬行的最短路線的長為_______．15.如圖，點A是射線外一點，連接，cm，點A到的距離為3cm．動點P從點B出發沿射線以2cm/s的速度運動．設運動的時間為t秒，當t為____________________秒時，為直角三角形．三、解答題（本大題共8個小題，共75分）16.計算：（1）；（2）．17.為了讓學生更好地學會用勾股定理，某校八年級數學興趣小組的同學把“測量風箏的垂直高度”作為一項課題，利用課余時間完成了實踐調查，并利用皮尺等工具采集了如下的實驗數據．【采集數據】如圖，利用皮尺測量水平距離米，然后根據手中剩余風箏線的長度得出風箏線的長度米，最后測量放風箏的小康同學的身高米【數據應用】當點均在同一平面內，已知圖中各點均在同一平面內，點，，，在同一直線上．（1）求此時風箏的垂直高度．（2）若站在點不動，想把風箏沿著的方向從點的位置上升18米到點的位置，則還需要放出風箏線多少米？18.定義兩種新運算：，其中為實數且．（1）求的值；（2）化簡：．19.“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間一個小正方形拼成的大正方形，為中國古代以形證數，形數統一，代數和幾何緊密結合，互不可分的獨特風格樹立了一個典范．如圖，某同學制作了一個“趙爽弦圖”的紙板，設．（1）請你利用圖證明：；（2）若大正方形的邊長為13，小正方形的邊長為7，求．20.小明在解決問題：已知，求的值．他是這樣分析與解答的：，．，即．．．請你根據小明的分析過程，解決如下問題：（1）計算：______；（2）計算：；（3）若，求的值．21.今年第11超強臺風“海葵”登陸我國沿海地區，風力強，累計降雨量大，影響范圍大，有極強的破壞力，如圖，臺風“海葵”中心沿東西方向AB由A向B移動，已知點C為一海港，且點C與直線AB上的兩點A、B的距離分別為，，又，經測量，距離臺風中心及以內的地區會受到影響．（1）海港C受臺風影響嗎？為什么？（2）若臺風中心移動速度為28千米/時，則臺風影響該海港持續的時間有多長？22.閱讀】我們很早就學習了求三角形面積的公式，三角形的面積底高，學習了勾股定理和二次根式運算后，我們還有其他方法求三角形面積，這里介紹著名的海倫-秦九韶公式，它們分別是由古希臘的幾何家海倫和我國南宋時期數學家秦九韶提出的．這兩個公式都可以已知三邊求出三角形面積，兩個公式分別為：海倫公式：已知一個三角形的三邊長分別為a，b，c，設，那么這個三角形的面積；秦九韶公式：已知一個三角形的三邊長分別為a，b，c，那么這個三角形的面積【嘗試公式應用】（1）已知一個三角形的三邊長分別為9，10，11．請分別應用上述兩個公式求出三角形的面積．【嘗試新方法】嘗試用已學過的勾股定理以及二次根式的運算解決下面的問題：（用上面的公式不給分）（2）已知一個中，，，．求面積．23.定義：如圖，點、把線段分割成、、，若以、、為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點、是線段的勾股分割點．（1）已知、把線段分割成、、，若，，，則點、是線段的勾股分割點嗎？請說明理由．（2）已知點、是線段的勾股分割點，且為直角邊，若，，求的長．

2024—2025學年下學期學情調研卷（一）八年級數學（人教版）注意事項：1．本試卷共6頁，三個大題，滿分120分，考試時間100分鐘．2．請按要求把答案填寫在試卷或答題卡上．一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個選項，其中只有一個是正確的．1.下面各式中，是最簡二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了最簡二次根式，根據最簡二次根式的定義：被開方數不含分母，被開方數中不含能開得盡方的因數或因式，同時滿足以上條件的二次根式是最簡二次根式，據此逐項判斷即可求解，掌握最簡二次根式的定義是解題的關鍵．【詳解】解：、被開方數是分數，不是最簡二次根式，該選項不合題意；、被開方數是小數，不是最簡二次根式，該選項不合題意；、是最簡二次根式，該選項符合題意；、，不是最簡二次根式，該選項不合題意．故選：．2.下列以，，為三邊長三角形中，是直角三角形的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】B【解析】【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形三邊關系，如果三角形的三邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形．根據勾股定理的逆定理和三角形三邊關系，逐項判斷即可．【詳解】解：A.，不能構成直角三角形，故該選項不符合題意；B.，能構成直角三角形，故該選項符合題意；C.，不能構成三角形，故該選項不符合題意；D.，不能構成直角三角形，故該選項不符合題意；故選：B

．3.下列等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了算術平方根，絕對值的性質以及二次根式的除法運算，解題的關鍵是熟練掌握相關運算規則并準確計算．分別對每個選項進行計算，根據算術平方根，絕對值，二次根式運算規則判斷等式是否成立．【詳解】A、計算，先算，再算，最后加負號得，并非2，A錯誤；B、計算，因為，所以，絕對值結果為，并非，B錯誤；C、計算，并非4，C錯誤；D、計算，等式成立，D正確．故選：D．4.下列命題的逆命題不成立的是（）A.等邊對等角B.直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方C.兩直線平行，內錯角相等D.如果兩個實數都是正數，那么它們的的積是正數【答案】D【解析】【分析】本題主查了互逆命題，把一個命題的條件和結論互換就得到它的逆命題．再分析逆命題是否為真命題，需要分別分析各題設是否能推出結論，從而利用排除法得出答案．【詳解】解：A、逆命題是：如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等，是真命題，故本選項不符合題意，B、逆命題是：如果一個三角形的兩條較短的邊的平方和等于較長邊的平方，那么這個三角形是直角三角形，為真命題，故本選項不符合題意，C、逆命題是：內錯角相等，兩直線平行，是真命題，故本選項不符合題意，D、逆命題是：如果兩個實數的積是正數，那么這兩個實數也是正數，是假命題，故本選項符合題意；故選：D．5.無理數像一首讀不完的長詩，既不循環，也不枯竭，無窮無盡，數學家稱其是一種特殊的數．若某矩形的長為，寬為，則這個矩形面積的值大約在（）A.2與3之間 B.3與4之間 C.4與5之間 D.5與6之間【答案】C【解析】【分析】本題考查了二次根式的運用，無理數的估算，根據題意利用二次根式乘法求出矩形面積，再由無理數的估算方法估算即可．【詳解】解：根據題意，矩形面積為：，，即，，這個矩形面積的值大約在4與5之間，故選：C．6.1995年，希臘為紀念畢達哥拉斯學派發行了如圖1所示的郵票，圖片中間是三個正方形頂點相連構成一個三角形．如圖2，若中間的三角形為直角三角形，則三個正方形的面積可以是（）A.2，3，5 B.3，4，5 C.6，8，13 D.5，12，14【答案】A【解析】【分析】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題關鍵．根據勾股定理可得：，然后利用正方形的面積公式可得：以為邊長的正方形面積+以為邊長的正方形面積=以為邊長的正方形的面積，即可解答．【詳解】解：如圖：由題意得：，∴，∴以為邊長的正方形面積+以為邊長的正方形面積=以為邊長的正方形的面積，∵，，，，∴三個正方形紙片的面積可以是2，3，5，故選：A．7.已知，則的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了二次根式的性質與化簡，完全平方公式，實數的比較大小，熟練掌握二次根式的性質與化簡，完全平方公式，二次根式的比較大小進行求解是解決本題的關鍵．根據題意中提取公因式可得，即可得出，根據二次根式的性質可得，的被開方數可化為，根據完全平方公式的變式應用可化為，可得，再根據實數比較大小的方法進行求解即可得出答案．【詳解】解：，，，，．故選：B．8.如圖，數軸上點A表示的數為，的直角邊落在數軸上，且長為3個單位長度，長為1個單位長度，若以點A為圓心，以斜邊長為半徑畫弧交數軸于點D，則點D表示的數為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查實數與數軸，勾股定理，利用勾股定理求得的長度，即的長度即可得出結果．【詳解】解：由勾股定理知：，所以．所以點D表示的數為．故選：B．9.如圖，已知在中，的垂直平分線分別交于兩點，連接，則的長為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查直角三角形的勾股定理，線段垂直平分線的性質；先利用勾股定理求出，根據垂直平分，設

，則，在中，根據勾股定理即可求解．【詳解】解：在中，，∴，∵垂直平分，∴，設

，則，在中，∵，∴，解得：，則．故選：C．10.如圖，正方形的邊長為1，以為邊作第2個正方形，再以為邊作第3個正方形，按照這樣的規律，第2025個正方形的邊長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了圖形中數字的規律，發現規律是為底數，以圖形序號數減去1為指數的冪是解題的關鍵．根據題意，得第一個正方形的邊長為；第二個正方形的邊長為；第三個正方形的邊長為；第四個正方形的邊長為；由此得到第n個正方形的邊長為，即可解答．【詳解】解：根據題意，得第一個正方形的邊長為；第二個正方形的邊長為；第三個正方形的邊長為；第四個正方形邊長為；由此得到第n個正方形的邊長為；故第2025個正方形的邊長為，故選：C．二、填空題（每小題3分，共15分）11.若代數式有意義，則實數的取值范圍是______；【答案】##【解析】【分析】本題考查了二次根式以及分式有意義的條件，不等式的解法，解題的關鍵是熟練掌握以上知識．根據分母不為零，被開方數大于等于零，列不等式，解答即可．【詳解】解：在實數范圍內有意義，∴，解得：，故答案為：．12.已知，，則的值為．【答案】【解析】【分析】此題主要考查了平方差公式．直接利用平方差公式將原式變形進而得出答案．【詳解】解：∵，，∴，故答案為：．13.如圖是一臺手機支架的示意圖，，可分別繞點，轉動，測得，，若，，垂足為點，，則點到的距離為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了勾股定理應用，等腰直角三角形的判定和性質，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．連接，根據勾股定理得到，根據垂直的定義得到，根據等腰直角三角形的性質得到，于是得到結論．【詳解】解：連接，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴點D到的距離為，故答案為：14.如圖所示的長方體透明玻璃魚缸，假設其長，高，水深．在水面上緊貼內壁的處有一塊面包屑，且．一只螞蟻想從魚缸外的點沿魚缸壁爬進魚缸內的處吃面包屑，則螞蟻爬行的最短路線的長為_______．【答案】100【解析】【分析】本題考查平面展開?最短路徑問題，關鍵知道兩點之間線段最短，從而可找到路徑求出解．作出A關于的對稱點，連接，與交于點Q，此時最短；為直角的斜邊，根據勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖所示作出A關于的對稱點，連接，與交于點Q，螞蟻沿著的路線爬行時路程最短．則，根據題意：，，∴，∴，∴最短路線長為，故答案為：．15.如圖，點A是射線外一點，連接，cm，點A到的距離為3cm．動點P從點B出發沿射線以2cm/s的速度運動．設運動的時間為t秒，當t為____________________秒時，為直角三角形．【答案】2或【解析】【分析】本題考查勾股定理，分和，兩種情況進行討論求解即可．【詳解】解：過點A作，∵點A到的距離為3cm，∴cm，∵cm，根據勾股定理，得cm，當時，如圖所示：此時點P與點H重合，根據題意，得，解得；當時，如圖所示：∵cm，cm，cm，cm，∴cm，根據勾股定理，得，∴，解得，故答案為：2或．三、解答題（本大題共8個小題，共75分）16.計算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題主要考查二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的混合運算法則和運算順序是解題關鍵．（1）原式先根據平方差公式，完全平方公式及二次根式的乘法計算，再合并即可得到結果；（2）原式先計算除法和乘法，再將二次根式化為最簡二次根式，最后合并同類二次根式即可得到結果．【小問1詳解】解：原式．【小問2詳解】解：原式．17.為了讓學生更好地學會用勾股定理，某校八年級數學興趣小組的同學把“測量風箏的垂直高度”作為一項課題，利用課余時間完成了實踐調查，并利用皮尺等工具采集了如下的實驗數據．【采集數據】如圖，利用皮尺測量水平距離米，然后根據手中剩余風箏線的長度得出風箏線的長度米，最后測量放風箏的小康同學的身高米【數據應用】當點均在同一平面內，已知圖中各點均在同一平面內，點，，，在同一直線上．（1）求此時風箏的垂直高度．（2）若站在點不動，想把風箏沿著的方向從點的位置上升18米到點的位置，則還需要放出風箏線多少米？【答案】（1）米（2）14米【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理的實際應用：（1）根據題意可得米，再由勾股定理求出的長即可得到答案；（2）先求出的長，再利用勾股定理求出的長即可得到答案．【小問1詳解】解：由題意得，米，，在中，由勾股定理得米，∴米；∴此時風箏垂直高度為米；【小問2詳解】解：由題意得，米，在中，由勾股定理得米，∵米，∴還需要放出風箏線14米．18.定義兩種新運算：，其中為實數且．（1）求的值；（2）化簡：．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查二次根式的混合運算．（1）根據新定義列式，并利用平方差公式計算即可；（2）根據新定義列式，并利用平方差公式計算即可．【小問1詳解】解：原式．【小問2詳解】解：原式．19.“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間一個小正方形拼成的大正方形，為中國古代以形證數，形數統一，代數和幾何緊密結合，互不可分的獨特風格樹立了一個典范．如圖，某同學制作了一個“趙爽弦圖”的紙板，設．（1）請你利用圖證明：；（2）若大正方形的邊長為13，小正方形的邊長為7，求．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理的證明，完全平方公式的應用，能用不同的方法表示出正方形的面積及巧用整體思想是解題的關鍵．（1）用兩種不同的方法去求正方形的面積即可．（2）利用（1）中發現的結論即可解決問題．【小問1詳解】證明：中間小正方形的邊長為，．四個直角三角形的面積和為：，．，．【小問2詳解】解：由（1）可知，，．，．．20.小明在解決問題：已知，求的值．他是這樣分析與解答的：，．，即．．．請你根據小明的分析過程，解決如下問題：（1）計算：______；（2）計算：；（3）若，求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】本題考查了分母有理化，二次根式的化簡求值，二次根式的加減混合，熟練掌握分母有理化是解題的關鍵．（1）利用分母有理化計算；（2）先分母有理化，然后合并即可；（3）先化簡a，求出，然后利用整體代入的方法計算．【小問1詳解】解：，故答案為：；【小問2詳解】解：【小問3詳解】，，．21.今年第11超強臺風“海葵”登陸我國沿海地區，風力強，累計降雨量大，影響范圍大，有極強的破壞力，如圖，臺風“海葵”中心沿東西方向AB由A向B移動，已知點C為一海港，且點C與直線AB上的兩點A、B的距離分別為，，又，經測量，距離臺風中心及以內的地區會受到影響．（1）海港C受臺風影響嗎？為什么？（2）若臺風中心的移動速度為28千米/時，則臺風影響該海港持續的時間有多長？【答案】（1）海港C受臺風影響，理由見解析（2）臺風影響該海港持續的時間為小時【解析】【分析】（1）根據勾股定理逆定理得出，過點C作于D，用等面積法求出，即可解答；（2）根據題意可得當，時，正好影響C港口，根據勾股定理求出，進而得出，最后根據時間=路程÷速度，即可求解．【小問1詳解】解：，，是直角三角形，；過點C作于D，是直角三角形，，即，，，海港C受臺風影響；【小問2詳解】解：當，時，正好影響C港口，，，臺風的速度為28千米/小時，（小時）．答：臺風影響該海港持續的時間為小時．【點睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，解題的關鍵是掌握兩邊平方和等于第三邊平方的三角形，是直角三角形；直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方．22.【閱讀】我們很早就學習了求三角形面積的公式，三角形的面積