七年級下學期數學期末壓軸題訓練

1.探究并嘗試歸納:

(1)如圖1,已知直線a與直線3平行，夾在平行線間的一條折線形成一個角N4試求

N1+/2+/4的度數，請加以說明.

(2)如圖2,已知直線a與直線6平行，夾在平行線間的一條折線增加一個折，形成兩

個角//和請直接寫出/1+/2+/月+/6=度.

(3)如圖3,已知直線a與直線6平行，夾在平行線間的一條折線每增加一個折，就增

加一個角.當形成〃個折時，請歸納并寫出所有角與Nl、N2的總和：—【結果用

含有〃的代數式表示，〃是正整數，不用證明】

2.如圖，已知"〃CD,反尸分別在A3、8上，點G在A8、切之間，連接GE、GF.

(1)當NBEG=40。時，EP平分NBEG,FP平分ZDFG；

①如圖1,當EGLFG時，則NP=_°；

②如圖2,在C￡＞的下方有一點0,若EG恰好平分N8EQ,/T＞恰好平分NGFQ,求

NQ+2々的度數；

(2)在的上方有一點0,若尸。平分NGFC.線段GE的延長線平分NOE4,則當

ZEOF+ZEGF=100。時，直接寫出ZOEA與ZOFC的關系.

O.

B

3.問題情境：如圖1,已知45〃C/),Z4PC=108°.求NR4B+NPCD的度數.

經過思考，小敏的思路是：如圖2,過P作PE〃福,根據平行線有關性質，可得

NPAB+ZPCD=3600-ZAPC=252°.

問題遷移：如圖3,8G點尸在射線〃獷上運動，ZADP=Na,ABCP=A/3.

(1)當點。在4、6兩點之間運動時，NCPD、乙a、4之間有何數量關系？請說明

理由.

(2)如果點P在46兩點外側運動時(點P與點A、B、。三點不重合)，請你直接寫出ACPD、

Na、”之間的數量關系.

⑶問題拓展：如圖4,MA,//NA?,A-^-4-MT是一條折線段，依據此圖

所含信息，把你所發現的結論，用簡潔的數學式子表達為二

4.如圖1,AB//CD,E是AB,⑦之間的一點.

⑴判定N員傷，/0應與//口之間的數量關系，并證明你的結論；

⑵如圖2,若NBAE,應的角平分線交于點E直接寫出/加力與/月初之間的數量

關系；

⑶將圖2中的射線DC沿翻折交",于點G得圖3,若///的余角等于2N6的補角，

求/歷史的大小.

5.已知：如圖1,直線4分/5，E尸分別交AB,CD于E,尸兩點，/AEF,NCFE

的平分線相交于點

(1)求NM的度數；

(2)如圖2,ZAEM,DC7區的平分線相交于點M1,請寫出N/與NM之間的等量關

系，并說明理由；

⑶在圖2中作NAEM-NCR%的平分線相交于點歷2,作乙4EM2,NCFM2的平分

線相交于點加3,依此類推，作NCFMM。的平分線相交于點以，請直接

寫出/“2。21的度數.

6.已知AM〃CN,點占為平面內一點，AB上BC于B.

(1)如圖，直接寫出N4和NC之間的數量關系.

B

求證：ZABD=NC.

(3)如圖，在(2)間的條件下，點￡,尸在〃〃上，連接班t,BF,CF,BF斗分/DBC,

BE平■分■NABD,若NFCB+NM才=180°,NBFC=3NDBE,求NE3c的度數.

7.如圖1,把一塊含30°的直角三角板的回邊放置于長方形直尺儂Z?的房邊上.

(1)填空：Zl=,N2=；

(2)現把三角板繞6點逆時針旋轉.如圖2,當0<〃<90,且點C恰好落在加邊

上時，

①請直接寫出N2=°(結果用含〃的代數式表示)

②若N1與N2恰好有一個角是另一個角的1■倍，求"的值

(3)若把三角板繞6點順時針旋轉.當0<〃<360時，是否會存在三角板某一邊

所在的直線與直尺(有四條邊)某一邊所在的直線垂直？如果存在，請直接寫出所有〃

的值和對應的那兩條垂線；如果不存在，請說明理由.

8.已知，AB〃DE,點C在AB上方,連接6C、CD.

(1)如圖1,求證：NBCD+ZCDE=NABC；

(2)如圖2,過點。作組6c交"的延長線于點凡探究和/尸之間的數量關

系；

(3)如圖3,在(2)的條件下，/C叨的平分線交切于點G,連接四并延長至點

若BH*分■NABC,求/腦-N呼的值.

9.如圖，直線4?〃直線切，線段4'〃切，連接跖、CF.

(1)求證：4ABF+4DCF=4BFC；

(2)連接儆CE、BC,若郎平分NABC,BEICE,求證：CE平■令4BCD；

(3)在(2)的條件下，G為用上一點，連接6G,若4BFC=4BCF,4FBG=2NECF,

/CBG=70°,求/斯的度數.

圖1圖2圖3

10.已知/97切.

(1)如圖1,E為AB,⑦之間一點，連接喝DE,得到/刎.求證：4BED=4吩ND；

(2)如圖，連接1。，BC,防平分N46GDF平■分乙ADC,且孫；小'所在的直線交于點

F.

①如圖2,當點8在點力的左側時，若N46C=50°,N47C=60°,求/月的度數.

②如圖3,當點8在點A的右側時，設NMC=a,AADC=B,請你求出/質的度數.(用

含有a,B的式子表示)

圖1圖2圖3

11.已知：如圖(1)直線力從口被直線秘V所截，N1=N2.

(1)求證：AB//CD-,

(2)如圖(2),點￡在/18龍之間的直線版V上，P、0分別在直線力氏CD上,連接

PE、EQ,PF平分乙BPE,QF平■'分乙EQD,則/必,0和/必B之間有什么數量關系，請直接

寫出你的結論；

(3)如圖(3),在(2)的條件下，過。點作/W偌交切于點〃，連接版若圖平

分乙EPH,/QPF：NEQF=k5,求/哪的度數.

12.如圖1,腸必圖點G6分別在直線加V、圖上，點力在直線版KPQ之間.

(1)求證：NCAB=NMCA+NPBA；

(2)如圖2,CD〃AB,點、E在PQ上,4EC"4CAB,求證：4MCA=NDCE；

(3)如圖3,BF平分NABP,CG平分N4CV,AF//CG.若/。8=60°,求/力陽的度數.

圖1圖2圖3

13.已知，AB//CD.點”在49上，點/V在a?上.

(1)如圖1中，乙BME、NE、NEW的數量關系為：—；(不需要證明)

如圖2中，ZW；/尸、的數量關系為：—；(不需要證明)

(2)如圖3中，鹿平分NR皿，,監平分NE監，且2N6+N6=180°,求/同e的度數；

(3)如圖4中，N8監'=60°,EF平■分4MEN,NP平■分4END,且EQ〃NP,則/此的

大小是否發生變化，若變化，請說明理由，若不變化，求出/碇的度數.

14.閱讀下面材料：

小亮同學遇到這樣一個問題：

已知：如圖甲，ABHCD,E為AB,5之間一點，連接豳DE,得到N6出

求證：NMAN屏

(1)小亮寫出了該問題的證明，請你幫他把證明過程補充完整.

證明：過點《作"http://力8,

則有/啊

'：ABHCD,

：.AFED=_.

：.N版=NBEF+4FEgN田

(2)請你參考小亮思考問題的方法，解決問題：如圖乙，

已知：直線a//6,點46在直線a上，點C,〃在直線6上，連接AD,BC,BE平分4ABC,

瓦1平分B.BE,龐所在的直線交于點￡.

①如圖1,當點8在點力的左側時，若N46C=60°,N47C=70°,求/質的度數：

②如圖2,當點8在點力的右側時，設NABC=a,NADC=8,請你求出/質的度數

(用含有a,￡的式子表示).

15.如圖，以直角三角形40c的直角頂點。為原點，以0C、2所在直線為x軸和y軸

建立平面直角坐標系點4(0,a),C(b,0)滿足Ja-26+|0-2|=0.〃為線段的中

點.在平面直角坐標系中以任意兩點戶(入,%)、/加,%)為端點的線段中點坐標為(4警

(1)則力點的坐標為;點。的坐標為.。點的坐標為.

(2)已知坐標軸上有兩動點只0同時出發，尸點從C點出發沿“軸負方向以1個單位

長度每秒的速度勻速移動，。點從。點出發以2個單位長度每秒的速度沿y軸正方向移

動，點Q到達A點整個運動隨之結束.設運動時間為t(t>0)秒.問：是否存在這樣

的t,網SAOD—SAODQ,若存在，請求出t的值：若不存在，請說明理由.

(3)點尸是線段“'上一點，滿足/AOC=NR6,點G是第二象限中一點，使得N4%

=/AOF.點￡是線段》上一動點，連夜交加于點〃，當點￡在線段的上運動的過

程中，幺竺之M笠的值是否會發生變化？若不變，請求出它的值，若變化請說明理

ZOEC

由.

16.已知4MCN,點8為平面內一點，ABJ_BC于B.

(1)如圖1,求證：NA+NC=90。；

(2)如圖2,過點8作B￡?_LM4的延長線于點。，求證：ZABD=ZC；

(3)如圖3,在(2)問的條件下，點E、尸在DW上，連接BE、8F、CF,且8尸平

令NDBC,BE平分/AfiO,若ZAFC=ZBCF,NBFC=3NDBE,求NEBC的度數.

17.如圖1,點A、8分別在直線G”、MN上,NGAC=ANBD,NC=ND.

(1)求證：GHUMN；(提示：可延長4c交MN于點尸進行證明)

(2)如圖2,AE平分NG4C,DE平分NBDC,若/AED=NG4C,求NGAC與NACD

之間的數量關系；

(3)在(2)的條件下，如圖3,BF平分ND8W,點K在射線跳1上，ZKAG=^ZGAC,

^ZAKB=ZACD,直接寫出NG4C的度數，

18.已知直線/,///,,點A,C分別在4,4上，點8在直線4,%之間，且ZBCN<NBAM<90°.

(1)如圖①，求證：ZABC=ZBAM+ZBCN.

閱讀并將下列推理過程補齊完整：

過點6作BG//NC,因為〃〃2,

所以AM〃()

所以Z/WG=N3AW,NCBG=NBCN()

所以ZABC=ZABG+NCBG=NBAM+ZBCN.

(2)如圖②，點。，￡在直線4上，S.ZDBC=ZBAM,應'平分/ABC.

求證：ZDEB=ZDBE；

(3)在(2)的條件下，如果/CBE的平分線跖與直線4平行，試確定ZBAM與NBCN

之間的數量關系，并說明理由.

參考答案:

1.(1)360°

(2)540

⑶18O-(n+l)°

【分析】(1)過A作A8〃直線。，再根據平行線的性質即可得到結論；

(2)過A作AC〃直線。，30〃直線。，則/CZ物//直線6,根據平行線的性質即可得到

結論；

(3)根據平行線的性質即可得到結論.

【解析】(1)解：過｛作/〃/直線。，

則仍/直線b,

Zl+Z3=Z4+Z2=180°,

.-.Z1+Z2+ZMAN=360。；

(2)解：過A作4。/直線“，姒/直線”，

則〃//"/直線。，

Nl+N3=N5+N6=N4+N2=180°,

Z1+Z2+ZMAB+ZABN=540°,

故答案為：540；

(3)解:由(1),(2)知,

當形成1個折時，所有角與Nl、N2的總和=180(1+1)。=360。，

當形成2個折時，所有角與Nl、N2的總和=180-(2+1)。=540。，

當形成〃個折時，所有角與Nl、N2的總和=180(〃+1)。,

故答案為：180("+1)。.

1

N

圖1

【點評】本題考查了平行線的性質，正確的作出圖形是解題的關鍵.

2.⑴①45；②120。

(2)3ZOEA-ZOFC=160°

【分析】(1)根據平行線的性質，以及角平分線的定義即可求解；

(2)過點。作OT〃A8,則。7〃。設/0爪=/0柘=/，ZOEH=ZHEA=a,

NG=NBEG+NGF￡>=a+18()o-277,根據平行線的性質求得a+乃=80。，進而根據

3NOE4-NOHC=3/7-(/-2a)=2/+2a=160。即可求解.

【解析】(1)①如圖，分別過點G,P作GN〃AB,PM〃A3,

B

圖1

：,/BEG=/EGN,

AB//CD,

:.ZNGF=ZGFD,

ZEGF=ZBEG+NGFD,

同理可得NEP/=NN石P+NPED,

EG1FG,

.\ZEGF=90°,

族平分ZBEG,FP平分/DFG；

/.BEP=-/BEG,ZPFD=-ZGFD,

22

/EPP=|(/BEG+ZGFD)=|ZEGF=45°

故答案為：45,

②如圖，過點。作QR〃。,

圖2

ZBEG=40°,

EG恰好平分NBEQ,FD恰好平分/GFQ,

ZGEQ=^BEG=40°f/GFQ=/QFD,

設乙GFQ=4QFD=a,

QR//CD,AB//CD,

二ZEQR=180O-ZQEB=180°-2ZQEG=100°,

CD//QR,

??./DFQ+NFQR=180。,

a+ZF0/?=180°,

:.a+ZFQE=S009

ZFeE=80°-a,

由(1)可知NG=2NP=NBEG+NEFD=400+a,

NFQE+2NP=80°-a+40°+a=120°；

(2)如圖，在AB的上方有一點0,若尸。平分NGFC,線段GE的延長線平分NOE4,設”

為線段GE的延長線上一點，

貝|JNOFC=NOEG,NOEH=NHEA

設ZOFC=ZOFG=0,ZOEH=NHEA=?

如圖，過點。作OT〃A8,則OT〃C。

.-.^TOF=ZOFC=/3,/TOE=ZOEA=2a

NEOF=0-2a

ZHEA=/BEG=a,4GFD=180°-2/3

由(1)可知NG=N3EG+NGF￡>=a+18()o-2/7

ZEOF+ZEGF=100°

0-2a+a+1800-2/?=100°

.5+夕=80°

ZOFC=p-2a,ZOEA=0

..3/OE4—NOFC=3￡—(尸一2a)=24+2a=160。

即3ZOEA-ZOFC=160°

【點評】本題考查了平行線的性質，以及角平分線的定義，掌握平行線的性質是解題的關鍵.

3.(DN。氏理由見解析

⑵4CPD=2￡-/a或/⑦9=/a-4B

(3)N1/+N力/+…+N//?=/8/+/昆+…+N加

【分析】(1)過P作在〃/〃，根據平行線的判定可得在〃/〃〃8G再根據平行線的性質即

可求解；

⑦這P作PE〃AD,根據平行線的判定可得跳〃4?〃及7,再根據平行線的性質即可求解;

(3)問題拓展：分別過念4…，4,作直線〃/圈過8,B,,-,8T作直線〃4M根據平

行線的判定和性質即可求解.

【解析】(1)戶/a+N￡,理由如下：

如圖，過P忤PE〃AD交CD于E,

：,AD//PE//BQ

：?4a=4DPE,4B=4CPE,

AZC7^ZZmZC7^=Z。+/￡；

(2)當戶在劭延長線時，/CPD-/8-/a；理由:

如圖，鈍P作.PE〃AD交CD于E,

：.AD//PE//BC.

：?4a二乙DPE,4B=4CPE,

：.4CPA4CPE-4DP拄4￡-NQ；

當月在死之間時，/0少=/。-/￡.理由:

如圖，迂P作-PE"AD友CD于E、

：,AD//PE//BQ

：?4a=4DPE,4B=4CPE,

:"CP2/DPA/CP="N￡.

（3）問題拓展：分別過4,4…，4/作直線〃4M過為員，…，叢作直線〃力圈

由平行線的性質和角的和差關系得/4/+/4?+…+N/=/8+N氏+…+NH

N.

nN

故答案為：NAf+NA?+…+NA=N8t+NB2+…+NB.

【點評】本題主要考查了平行線的判定和性質的應用，主要考查學生的推理能力，第(2)

問在解題時注意分類思想的運用.

4.(1)ZBAE+ZCDE=ZAED；

(2)ZAFD=-ZAED；

2

(3)Z&4￡=60°

【分析】(1)作旗〃48,如圖1,KJEF//CD,利用平行線的性質得N1=N用區42=4CDE,

從而得到/胡研/0片/4S9

(2)如圖2,由(1)的結論得/胡反乙CD2三4CDE,馳NAFF三(4BAE+4CDE),

加上(1)的結論得到砂4砂；

(3)由(1)的結論得胡力/儂，利用折疊性質得/5再利用等量代

3

換得到N4O2//盼jN物￡,加上90°-//6氏180°-2/45〃從而計算出/劭E的度數.

【解析】(1)^BAE+ACDE=ZAED

理由如下：

作EF//AB,如圖1

'：AB//CD

：.EF//CD

：.Z1=ZBAE,Z2=ZCD￡

：.ZBAE+ZCDB=ZAED

(2)如圖2,由(1)的結論得

NAFD=NBAPr/CDF

VZBAE./核的兩條平分線交于點尸

:.NBAgg/BAE,/CD吟/CDE

：.NAF吟(.NBAE+/CDE)

,：4BA吩乙CDE=4AED

:.NAF吟NAED

(3)由(1)的結論得N/ON為—NSG

而射線DC沿膜翻折交4尸于點G

:.匕CDf/CDF

：./AGD=ZBAF+4NCDQg/BAE+2/CD拄gzBAE+2QAED~NBAE)=2ZAED~-ZBAE

222

V90°-ZAGD=18O0-2/AED

3

.\90°-2/4吠—N胡氏180°-2ZAED

2

???/班芹60°

【點評】本題考查了平行線性質：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內角互補;

兩直線平行，內錯角相等.

5.(1)90°

(2)AMi=\AM.證明見解析

⑶弓)2021X900

【分析】(1)利用平行線的性質以及角平分線的定義解決問題即可；

(2)結論：如圖2中，過點、助作利用平行線的性質解決問題;

(3)探究規律，利用規律解決問題即可.

【解析】(1)解：如圖1中，

,：A.B//CD,

,:NAEF,喏的平分線相交于點業

:.NME百;NAEF,AEFM=^ACFE,

：.2MER乙MFE卷(/AEMCFE)=90°,

/,Z^180°-90°=90°；

(2)結論：NMk;NM.

理由：如圖2中，過點用作版7〃/6

圖2

'JAB//CD,MJ//AB,

CD,

,:乙AEM,/仔獷的平分線相交于點出,

：./AEMkyZ.AEM,ZCFMf=gZCFM,

'：NE陸戶/AEM,,AJM,F-ZCFM,

:4E品戶/AEM*/CFMkgCZAEl^-ZCElf)=gx90°=45°；

所以/掰於gZ.K

(3)由(2)可知，N*X90°,

同法可知，/肪=；N跖=1NM,

24

???9

N滬(3)〃X90°,

當爐2021時，//*(y)2021X90°.

【點評】本題考查平行線的性質，角平分線的性質等知識，解題的關鍵是學會探究規律的方

法，屬于中考?？碱}型.

6.(1)ZA+ZC=90°

(2)證明見解析

⑶105°

【分析】(1)根據平行線的性質及直角三角形的性質證明即可；

(2)過點6作8G〃。何，根據同角的余角相等得出NA8O=NCBG,再根據平行線的性質

得到NC=/CBG,即可得到NA3￡)=NC；

(3)過點8作8G〃OM,根據角平分線的定義得出NABP=NG89，設NDBE=a,

AABF=(3,可得3a+〃=75。，再根據AB23C,得到/7+￡+2a=90。，解方程得到

NABE=15。,繼而得出，ZEBC=ZABE+ZABC=15°+90°=105°.

【解析】(1)如圖1,

圖/

'：AMIICN,

：.NC=ZAOB,

ABIBC,

：.ZABC=9O°,

ZA+ZAOB=90°,ZA+ZC=90°,

故答案為：ZA+ZC=90°；

圖2

,?BDYAM,

；?DB上BG,

：.ND5G=90。，

：.ZABD+ZABG=90°.

■:AB1BC,

：.NCBG+ZABG=90。,

：.ZABD=ZCBG,

■:AM/IBG,

Z.ZC=ZCBG,ZABD=ZC.

(3)如圖3,過點、B作BG//DM,

■:BF平分NDBC,BE平分NABD,

：./DBF=/CBF,ZDBE=ZABE,

由(2)知NABD=NC3G,

:?ZABF=/GBF,設Z￡>8E=a,ZAB尸=￡,

則ZA3E=a,ZABD=2a=ZCBG,4GBF=/AFB=0,

/BFC=3/DBE=3a,

：.ZAFC=3a+/3

VZAFC+ZA^CF=180°,NFCB+/NCF=180。,

；.4FCB=ZAFC=3a+j3,

△BCF中，由NCM+NBFC+N3b=18。。得

2a+/7+3a+3a+/?=180°,

VAB1BC,

?"+/+2a=90。，

Aa=15°,

；?ZABE=15°,

???/EBC=ZABE+ZABC=150+90°=105°.

【點評】本題考查平行線的性質與應用、角平分線的性質、方程思想等知識，學會添加輔助

線，掌握相關知識是解題關鍵.

7.(1)120°,90°；(2)①90°+n；②n的值為弓或與；(3)當〃=30°時，ABVDG

(防)；當〃=90°時，BCLDG(fiP),ACLDE(GF)；當z?=120°時，ABIDE(g當n=

180°時，ACVDG(〃)，BCLDE(GA；當〃=210°時，AB±DG(ER；當〃=270°時，

BCLDG(￡70,ACLDE{GF)-,當c=300°時，ABIDE(GP>.

【分析】(1)根據鄰補角的定義和平行線的性質解答；

(2)①根據兩直線平行，同旁內角互補求出/比6然后根據周角等于360。計算即可得到

N2；②根據鄰補角的定義求出N4施；再根據兩直線平行，同位角相等可得N1=N48￡,再

分/1=3N2和/2=：Z1分別求解即可；

44

(3)結合圖形，分48、BC、/C三條邊與直尺垂直討論求解.

【解析】解：(1)Zl=180°-60°=120°,

Z2=90°；

故答案為：120,90；

(2)①如圖2,'：DG//EF,

：.ABCG^1800-/儂'=180°-n°,

N5CG+N2=360°,

，/2=360°-NACB-NBCG=36Q°-90°-(180°-n°)=90°+n°；

故答案為：90°+n°；

②?.?/腦=60°,

AZABE=180°-60°-n°=120°-n°,

'：DG//EF,

：.Z1=ZABE=12O°-n°,

若Nl=2/2,則120°~n°--(90°+〃°),解得n=L；

443

若則90。+n=-(120°-n°),解得n=四；

443

所以n的值為?或寫:

(3)當〃=30。時，ABLDG(^)；

當〃=90°時，BCLDG(ED,ACLDE(GF)；

當〃=120°時，ABLDE(6^)；

當n=180°時，ACLDG(E2,BCLDE(GP)；

當〃=210°時，ABLDG(￡70；

當〃=270°時，BCJLDGAOLDE(.GR；

當〃=300°時，ABIDE(670.

【點評】本題考查了角的計算，垂線的定義，主要利用了平行線的性質，直角三角形的性質，

讀懂題目信息并準確識圖是解題的關鍵.

8.(1)證明見解析；(2)ZAfiC-ZF=90°；(3)45°.

【分析】(D過點C作CF〃回，先根據平行線的性質可得NABC+N8b=I80。，再根據

平行公理推論可得C尸DE,然后根據平行線的性質可得/a>E+N8CF+/8C￡>=180。，

由此即可得證；

(2)過點C作CG〃/同(1)的方法，先根據平行線的性質得出NA5C+/3CG=18O。，

ZF+ZBCG+ZBCF=180°,從而可得ZABC—NF=NBCF,再根據垂直的定義可得

NBCF=90°,由此即可得出結論；

(3)過點G作GMAB,延長FG至點N,先根據平行線的性質可得NABH=ZMG”，

ZMGN=ZDFG,從而可得ZMGH-NMGN=ZABH-NDFG,再根據角平分線的定義、

結合(2)的結論可得NMGN=45。，然后根據角的和差、對頂角相等可得

ZBGD-ZCGF=ZMGH-AMGN,由此即可得出答案.

【解析】證明：(1)如圖，過點C作C/〃AB,

/.ZABC4-ZBCF=180°,

ABDE9

；?CFPDE,

.\ZCDE+ZDCF=180°f即+，

??.ACDE+ABCF+/BCD=ZABC+ZBCF,

/./BCD+/CDE=ZABC；

(2)如圖，過點C作CG〃Afi,

ZABC+ZBCG=180°,

ABDE,

:.CGDE,

.?.ZF+ZFCG=180°,即NF+ZBCG+ZBb=180。，

/./F+NBCG+NBCF=ZABC-b4BCG,

:.ZABC—/F=/BCF,

CF±BCf

.\ZBCF=90°f

.\ZABC-ZF=90°；

(3)如圖，過點G作GMAB,延長AG至點N,

:.ZABH=ZMGHf

ABDE,

:.GMDE,

:.ZMGN=4DFG,

.8〃平分/ABC,FN平分/CFD,

/ABH=-NABC,ZDFG=-ZCFD,

22

由（2）可知，Z4BC-ZCFD=90°,

??.NMGH-ZMGN=ZABH-ZDFG=-ZABC--ZCFD=45°,

22

「JZBGD=/MGH+ZMGD

又[ZCGF=4DGN=NMGN+/MGD'

/.ZBGD-ZCGF=ZMGH-ZMGN=45°.

【點評】本題考查了平行線的性質、對頂角相等、角平分線的定義等知識點，熟練掌握平行

線的性質是解題關鍵.

9.（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）/FBE=35°.

【分析】（1）根據平行線的性質得出N/144N5陽4DCF=4EFC,進而解答即可；

（2）由（1）的結論和垂直的定義解答即可；

（3）由（1）的結論和三角形的角的關系解答即可.

【解析】證明：（1）9：AB//CD,EF"CD,

：.AB//EF,

：.ZABF=ZBFE,

?：EF〃CD,

:?/DCF=/EFC,

：.ZBFC=4BFE+4EFC=/AB我/DCF；

（2）VBE工EC,

：,4BEC=9G°,

:?/EBC+/BCE=9C,

由（1）可得：NBFC=/ABE+4ECD=9G,

???/ABE+/ECD=/EBC+/BCE,

?:BE*分/ABC,

：.ZABE=4EBC,

：.4ECD=/BCE,

???龐平分N閱9；

（3）設4BCE=B,NECF=y,

?：CE4禽/BCD,

：.ZDCE=ABCE=￡,

:./DCF=/DCE-/ECF=B-y,

：.ZEFC=e-y,

9：ZBFC=ZBCF,

：.ZBFC=ZBCE+ZECF=y+8,

：.ZABF=ZBFE=2y,

?：4FBG=24ECF,

：.ZFBG=2y,

:"ABE+ZDCE=N.BEC=9G°,

:.NABE=9Q°-￡,

NGBE=Z.ABE-AABF-N碗=90°-￡-2%-2y,

■:BE平■62ABC,

:./CBE=NABE=9Q°-￡,

：.ACBG=ACBE+AGBE,

.?.70°=90°-2+90°-￡-2y-2y,

整理得：2y+￡=55°,

：.NFBE=2FBG+NGBE=2、+9Q°-￡-2y-2y=90°-(2y+￡)=35°.

【點評】本題主要考查平行線的性質，解決本題的關鍵是根據平行線的性質解答.

10.(1)見解析；(2)55°；(3)180。-；。+：/7

【分析】(1)根據平行線的判定定理與性質定理解答即可；

(2冠如圖2,過點F作在//A3,當點8在點A的左側時,根據ZABC=50°,ZADC=60°,

根據平行線的性質及角平分線的定義即可求NBFD的度數；

②如圖3,過點尸作成〃A3,當點5在點A的右側時，ZABC=a,ZADC=^,根據平

行線的性質及角平分線的定義即可求出N8FD的度數.

【解析】解：(1)如圖1,過點E作EF//AB,

圖1

則有=

AB//CD,

:.EF//CD,

：.ZFED=ZD,

:.ZBED=^BEF+AFED=ZB+ZD\

(2)①如圖2,過點尸作在E//AB,

圖2

有ZBFE:ZFBA.

ABI/CD,

:.EF//CD.

:.乙EFD=4FDC.

NBFE+Z.EFD=乙FBA+4FDC.

即ZBFD=NFBA+NFDC,

BF平分/ABC,。尸平分/ADC,

ZFBA=-^ABC=25°ZFDC=-ZADC=30°,

2f2

ZBFD=^FBA+AFDC=55°.

答：N8FD的度數為55。；

②如圖3,過點尸作在〃AB,

圖3

有NBFE+NE8A=180。.

:.ZBFE=180P-NFBA,

AB!/CD,

:.EF//CD.

ZEFD=ZFDC.

ZBFE+ZEFD=180°-NFBA+NFDC.

即NBFD=180°-ZFBA+ZFDC,

8/平分NA8C,。尸平分一ADC,

ZFBA=gZA6C=ga,NFDC=-Z.ADC=；/3,

NBFD=180°-ZFBA+ZFDC=18O°--a+-/7.

22

答：NBFD的度數為18(T-ga+；尸.

【點評】本題考查了平行線的判定與性質，解決本題的關鍵是熟練掌握平行線的判定與性質.

11.(1)見解析；(2)/PE52/PFQ=36Q°；(3)30°

【分析】(1)首先證明/1=/3,易證得4勿/口；

(2)如圖2中，NPEQ^2/PFQ=36Q°.作EH〃AB.理由平行線的性質即可證明；

(3)如圖3中，設NQPF=y,NPHQ=x.AEPQ=z,典\NEQF=NFQH=5y,想辦法構建方

程即可解決問題；

【解析】(1)如圖1中，

：/2=/3,Z1-Z2,

.*.Z1=Z3,

:.ABHCD.

(2)結論：如圖2中，N必g2//F0=36O°.

理由：作EHHAB.

M

APB

OD

⑵

?：AB〃CD,EH//AB,

：.EH//CD,

AZ1=Z2,Z3=Z4,

AZ2+Z3=Z1+Z4,

???NW=N1+N4,

同法可證：4PFQ=4BPR乙FQD,

?:/BPE=2/BPF,/EQD=2/FQD,Nl+N叱=180,N4+N頌?=180°,

AZl+Z4+Z￡，e/>Z^=2X180°,

即NQ502(N/WN出為二3600,

.??N/W2NW=360°.

(3)如圖3中，設N斯=八APIIQ=x./EPQ=z,於/EQF=/FQH=3y,

⑶

9：EQ//PH,

"EQC=/PHQ=x,

/.A+10y=180o,

'：AB//CD,

：?4BPH=/PHQ=x,

?:PF平%4BPE,

：.4EP54FPQ=/FPI代NBPH,

；?/FPH=y^-z-x,

、：PQ平分/EPH,

Z=y+y+z-x,

/.x=2y,

.\12y=180°,

.\y=15°,

/.x=30°,

AZW=30°.

【點評】本題考查了平行線的判定與性質，角平分線的定義等知識.（2）中能正確作出輔助

線是解題的關鍵；（3）中能熟練掌握相關性質，找到角度之間的關系是解題的關鍵.

12.（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）120°.

【分析】（1）過點力作/〃〃的；根據兩直線平行，內錯角相等得到乙心/PBA=

4DAB,根據角的和差等量代換即可得解；

（2）由兩直線平行，同旁內角互補得到???、ZCAB^ZACD=180°,由鄰補角定義得到

/ECW/ECN=180°,再等量代換即可得解；

（3）由平行線的性質得到，/FAB=120。-/GCA,再由角平分線的定義及平行線的性質得

到NG。-N力郎'=60°,最后根據三角形的內角和是180°即可求解.

【解析】解：（1）證明：如圖1,過點/作力〃〃協；

圖1

YMNIIPQ、AD〃MN,

：.AD//MN//PQ,

：.AMCA=ADAC,/PBA=/DAB,

，ACAB=/DAC+/DAB=NMCA+/PBA,

即：/CAB=/MCA+/PBA；

(2)如圖2,VCD//AB,

：.ZCAff^ZACD=l80°,

u：ZEafl-ZECN=180°,

9：ZECN=ZCAB

：.Z.ECM=AACD,

即/加Z+N/1B=N〃蛆

.??ZMCA=4DCE；

(3),:AFHCG,

：.ZGCA+ZFAC=Y80°,

?.?NO8=60°

即NGO+/0屏NQ18=180°,

：.ZFAB=180°-60°-ZGCA=120°-/GCA,

由(1)可知，/CAB=/MCA+/ABP,

?：BF斗令/ABP,CG平分4ACN,

：.ZACN=2ZGCA9/ABP=2/ABF,

又???乙必4=180°-4ACN,

???/。4=180°-2NGC4+2NW60°,

：.ZGCA-ZABF=60°,

■:/AFm/AB丹NE4B=M0,

：.ZAFB=1800-ZFAB-ZFBA

=180°-(120°-/GCA)-/ABF

=180°-120°+ZGCA-ZABF

=120°.

【點評】本題主要考查了平行線的性質，線段、角、相交線與平行線，準確的推導是解決本

題的關鍵.

13.(1)/BME=ZMEN-ZEND；ABMF=ZMFN-VAFND-,(2)120°；(3)不變，30°

【分析】⑴過￡作EH//AB,易得分/〃46〃徼根據平行線的性質可求解；過/作FH//AB,

易得"/〃/5〃5，根據平行線的性質可求解；

(2)根據(1)的結論及角平分線的定義可得2QBME+/END)+NBMANFND=180°,可

求解價60°,進而可求解；

(3)根據平行線的性質及角平分線的定義可推知/必03/5物；進而可求解.

【解析】解：(1)這E作EH/iAB,如圖1,

/BME=NMEH,

'：AB//CD,

：.HE//CD,

：.AEND=AHEN,

：.4電=乙幽+NHEN=NBME+ZEND,

即/區ZEND.

如圖2,過戶作灰〃48,

，NBMF=NMFK,

'：AB//CD,

J.FII//CD,

：.4FND=AKFN,

：.AMFN=AMFK-ZKFN=ABMF-ZFND,

即：ZBMF=NMFN+ZFND.

圖2

故答案為i/BME=NMEN-ZEND；4BMF=ZMFN+ZFND.

(2)由(1)得/BME=AMEN-ZEND；ZBMF=NMFN+ZFND.

,:NE*令乙FND,MB平■哈4FME,

：.ZFME=ZBME+ZBMF,ZFNgZFNE+ZEND,

V2ZJ1EAH-Z,10^180°,

：.2QBME+4ENG+ZBMF-/E，Vgl80°,

2ZBME+2ZW+ZBMF-ZMZ>=180o,

即2NBMF+NFND+ZBMF-NFNg'RG,

解得/5跖1=60°,

：.4FME=2NBMF='20"；

(3)/儂?的大小沒發生變化，4FEQ=3Q；

由(1)知：ZMEN^ZBME+ZEND,

■:EF平■令人MEN,NP*64END,

：.4FEN=1/MEN=g(4BME+/END),4EN—|AEND,

'：EQ//NP,

：.ANEQ=AENP,

：.4FEQ=/FEN-ZNEQ=y(ZBME+ZEND)-|AEND=|NBME,

■:NBME=6G°,

X60°=30°.

【點評】本題主要考查平行線的性質及角平分線的定義，作平行線的輔助線是解題的關鍵.

14.(1)NB,EF,CD,ZA(2)①65°；②180°-；夕

【分析】(1)根據平行線的判定定理與性質定理解答即可；

(2)①如圖1,過點￡作EF//AB,當點5在點A的左側時，根據N/PGO。，ZADC=70°,

參考小亮思考問題的方法即可求/時的度數；

②如圖2,過點￡作及〃/8,當點8在點/的右側時，ZABC=a,NADC=B,參考小亮思

考問題的方法即可求出/板的度數.

【解析】解：(1)過點￡作小〃

則有/應7』/氏

'：A.B//CD,

：.EF//CD,

：.ZFED=AD,

：.4BEA/BEFr4FED=NB+ND；

故答案為：/B；EF；CD；ND；

(2)①如圖1,試點、E悴EF〃AB,有NBEF=NEBA.

圖1

?:ABaCD,

：.EF//CD.

：.NFED=AEDC.

：./BEPr4FEA/EBA+ZEDC.

於NBED=/EBA+/EDC,

■:BE平分4ABC,DE平分4ADC,

：.NEBA=g/ABC=3Q°,NEDC=5乙ADC=33。,

:.NBED=NEBA+NEDC=65°.

答：切的度數為65。；

②如圖2,這點、E作■EFHAB,有NBERNEBA=180°.

AB

DC

圖2

顏=180°-ZEBA,

'：AB//CD,

：.EF//CD.

：.AFED=AEDC.

:./B2/FEg\8G°-AEBA+^EDC.

即/戚=180°-ZEBA"EDC,

■:BE平■6/ABC,DE平分乙ADC,

：.AEBA=:/ABC=-a,』EDC=工ZADC=-p,

2222

:.NBEg\8G°-/EBA+/EDC=18Q°--a+-/3.

22

答：/版的度數為180°-\a+\p.

22

【點評】本題考查了平行線的判定與性質，解決本題的關鍵是熟練掌握平行線的判定與性質.

15.(1)(0,4),(2,0),(1,2)；(2)1,理由見解析；(3)2,理由見解析

【分析】(1)根據絕對值和算術平方根的非負性，求得a,6的值，再利用中點坐標公式即

可得出答案；

(2)先得出華=t,OP=2-t,OQ=21,第=4-23再根據力眥=8勿0,列出關于t

的方程，求得t的值即可；

(3)過〃點作/C的平行線，交x軸于只先判定OG〃/G再根據角的和差關系以及平行線

的性質，得出NPHO=NGOF=N1+N2,/加=/6^//WC=NG〃/4/4=/l+/2+/4,

最后代入“HC匕比進行計算即可.

/.OEC

【解析】解：⑴Vsja-2b+\b-2\=o.

.?.a-26=0,b-2=0,

解得a=4,6=2,

：.A(0,4),C(2,0)；

(1,2).

故答案為(0,4),(2,0),(1,2).

(2)如圖1中,

由條件可知：P點從。點運動到。點時間為2秒，0點從。點運動到A點時間為2秒,

時，點0在線段4。上，

即CP=t,OP=2-t,OQ=2t,AQ=\-It,

：.SADOP^^OP>y^^(2-t)X2=2-力SADOQ=yOQ>X2tX1=t,

'：SAODP^SAODQ,

??2一t--ty

；?t=1；

y1

?

X

圖1

(3)的值不變,其值為2.理由如下：如圖2中，

Z.1OEfACC"

VZ2+Z3=90°,

又???N1=N2,Z