專題01平行線與相交線【9個考點知識梳理+題型解題方法+專題訓練】考點一：對頂角與鄰補角對頂角：如圖，∠1與∠3是對頂角。對頂角的性質(zhì)：對頂角相等。即∠1＝∠3鄰補角：如圖，∠1與∠2或∠3與∠2是鄰補角。鄰補角的性質(zhì)：鄰補角互補注意：對鄰角與鄰補角不僅存在位置關系，還存在數(shù)量關系。【考試題型1】判斷對頂角與鄰補角【解題方法】根據(jù)這兩種角的位置關系進行判斷。例題講解：1．（2022春?堯都區(qū)期中）下列示意圖中，∠1與∠2是對頂角的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)對頂角的概念判斷即可．【解答】解：A、∠1的兩邊分別是∠2的兩邊的反向延長線，∠1與∠2是對頂角，故此選項符合題意；B、∠1與∠2沒有公共頂點，∠1與∠2不是對頂角，故此選項不符合題意；C、∠1與∠2沒有公共頂點，∠1與∠2不是對頂角，故此選項不符合題意；D、∠1的兩邊不是∠2的兩邊的反向延長線，∠1與∠2不是對頂角，故此選項不符合題意．故選：A．2．（2022春?橫縣期中）下列各圖中，∠1與∠2是鄰補角的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)鄰補角的定義（具有共同頂點，兩邊互為反向延長線的兩個角互為鄰補角）解決此題．【解答】解：A．根據(jù)鄰補角的定義，A中∠1與∠2不是鄰補角，那么A不符合題意．B．根據(jù)鄰補角的定義，B中∠1與∠2是對頂角，那么B不符合題意．C．根據(jù)鄰補角的定義，C中∠1與∠2是鄰補角，那么C符合題意．D．根據(jù)鄰補角的定義，D中∠1與∠2不是鄰補角，那么D不符合題意．故選：C．【考試題型2】計算【解題方法】利用對頂角與鄰補角的性質(zhì)進行角度計算。例題講解：3．（2022春?虞城縣期中）如圖，直線AB、CD相交于點O，∠AOE＝2∠AOC，若∠1＝35°，則∠DOE等于（）A．65° B．70° C．75° D．80°【分析】根據(jù)對頂角求得∠AOC＝∠1＝35°，根據(jù)∠AOE＝2∠AOC＝70°，根據(jù)平角的定義即可求解．【解答】解：∵∠1＝35°，∴∠AOC＝∠1＝35°，∵∠AOE＝2∠AOC，∴∠AOE＝70°，∴∠DOE＝180°﹣∠AOE﹣∠1＝180°﹣70°﹣35°＝75°．故選：C．考點二：垂直垂直的定義：兩條直線相交形成的四個角中，若有一個角是直角時，則說著兩條直線相互垂直，其中一條是另一條的垂直，交點為垂足。由鄰補角與對頂角的性質(zhì)可知，兩直線垂直時形成的四個角都是直角。垂直的畫法：（尺規(guī)作圖）過一點作已知直線的垂線具體步驟：①將直尺的一條邊與已知直線重合。②將直角三角尺的一條直角邊緊靠直尺平移，直到另一直角邊與已知點重合。③過點沿另一直角邊畫直線。該直線即為所作垂線。④在交點的位置標上直角符號。垂線的性質(zhì)：過平面內(nèi)一點有且只有一條直線與已知直線垂直。有且只有：即存在且唯一【考試題型1】與垂直有關的計算【解題方法】由垂直形成的角是直角（90°）結合對頂角與鄰補角的性質(zhì)即可解題。例題講解：4．（2022春?禹州市期中）如圖，直線AB，CD相交于點O，OE⊥OB，OF平分∠AOD，若∠BOD＝SKIPIF1<0∠COE，則∠AOF＝（）A．38° B．45° C．63° D．68°【分析】根據(jù)角平分線的定義和對頂角相等解答即可．【解答】解：∵OE⊥OB，∴∠COE＝90°，∵∠AOC＝∠BOD，∠BOD＝∠COE，∴∠AOC＝54°，∴∠AOD＝126°，∵OF平分∠BOD，∴∠AOF＝63°．故選：C．【考試題型2】對性質(zhì)的理解【解題方法】根據(jù)垂直的性質(zhì)直接判定。例題講解：5．（2022春?沂水縣期中）如果直線ON⊥直線a，直線OM⊥直線a，那么OM與ON重合（即O，M，N三點共線），其理由是（）A．兩點確定一條直線 B．在同一平面內(nèi)，過兩點有且只有一條直線與已知直線垂直 C．在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 D．兩點之間，線段最短【分析】利用垂線的性質(zhì)解答．【解答】解：如果直線ON⊥直線a，直線OM⊥直線a，那么OM與ON重合（即O，M，N三點共線），其理由是在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故選：C．考點三：垂線段垂線段的定義：過直線外一點作已知直線的垂線，點到垂足之間的線段叫做垂線段。垂線段的性質(zhì)：直線外一點與直線上所有點的連線中，垂線段最短。簡稱垂線段最短。注意：正確理解性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短，它是相對于這點與直線上其他各點的連線而言點到直線的距離：垂線段的長度表示點到直線的距離。注意：點到直線的距離是一個長度，而不是一個圖形，也就是垂線段的長度，而不是垂線段．它只能量出或求出，而不能說畫出，畫出的是垂線段這個圖形。【考試題型1】垂線段最短的應用。【解題方法】根據(jù)實際場景確定實際問題應用的是垂線段最短還是兩點之間線段最短。例題講解：5．（2022秋?連云港期末）如圖，某污水處理廠要從A處把處理過的水引入排水渠PQ，為了節(jié)約用料，鋪設垂直于排水渠的管道AB．這種鋪設方法蘊含的數(shù)學原理是（）A．兩點確定一條直線 B．兩點之間，線段最短 C．過一點可以作無數(shù)條直線 D．垂線段最短【分析】根據(jù)直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短，即可選擇．【解答】解：根據(jù)題意可知這種鋪設方法蘊含的數(shù)學原理是垂線段最短．故選：D．【考試題型2】點到直線的距離的理解【解題方法】由垂線段的長度表示點到直線的距離可知需找點到直線的垂線段。例題講解：7．（2017春?樂亭縣期中）如圖，AB⊥AC，AD⊥BC，那么點C到直線AD的距離是指（）A．線段AC的長 B．線段AD的長 C．線段DB的長 D．線段CD的長【分析】根據(jù)點到直線的距離是指垂線段的長度，根據(jù)AD⊥BC，得出點C到直線AD的距離為CD．【解答】解：∵AD⊥BC，∴點C到直線AD的距離是指CD的長度．故選：D．【考試題型3】求點到直線的距離【解題方法】結合垂線段最短，垂線段的長度表示距離進行判斷。例題講解：8．（2022春?石嘴山校級期中）點P為直線l外一點，點A、B、C為直線l上三點，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，則點P到直線l的距離為（）A．4cm B．5cm C．小于2cm D．不大于2cm【分析】直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離，由此即可判斷．【解答】解：由垂線的性質(zhì)：垂線段最短，2＜4＜5，當PC⊥l時，點P到直線l的距離為2cm，當PC與l不垂直時，點P到直線l的距離小于2cm，因此點P到直線l的距離小于或等于2cm即不大于2cm．故選：D．考點四：三線八角同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一組角叫做同位角。如圖中的∠1與∠5。內(nèi)錯角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一組角叫做內(nèi)錯角。如圖中的∠4與∠6。同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一組角叫做同旁內(nèi)角。如圖中的∠4與∠5。同位角的邊構成“F“形，內(nèi)錯角的邊構成“Z“形，同旁內(nèi)角的邊構成“U”形。在復雜的圖中判斷兩個角存在怎么樣位置關系吧這兩個角單獨抽出來看他們形成什么字母形即可判斷。【考試題型1】判斷兩個角之間的位置關系【解題方法】把需要判斷的兩個角抽離出復雜的圖形中單獨判斷所形成的字母形狀。例題講解：9．（2022春?永善縣期中）如圖：下列四個判斷中，正確的個數(shù)是①∠1的內(nèi)錯角只有∠4②∠1的同位角是∠B③∠1的同旁內(nèi)角是∠3、∠E、∠ACD④圖中∠B的同位角共有4個（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】準確識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的關鍵是弄清哪兩條直線被哪一條線所截．也就是說，在辨別這些角之前，要弄清哪一條直線是截線，哪兩條直線是被截線．【解答】解：①∠1的內(nèi)錯角只有∠4，正確，符合題意；②∠1沒有同位角，故原說法錯誤，不符合題意；③∠1的同旁內(nèi)角是∠E，∠ACD，∠3，故原說法錯誤，不符合題意；④圖中∠B的同位角有：∠FAC，∠FAE，∠ACD，∠ECD，共4個，正確，符合題意；∴正確的有①④兩個，故選：B．考點五：平行線的定義與性質(zhì)平行線的定義：在同一平面內(nèi)。兩條永不相交的直線的位置關系叫做平行。這兩條直線叫做平行線。用“∥”符號表示。注意：一定要在同一平面內(nèi)，且一定是兩條直線。平行線的性質(zhì)：①兩直線平行，同位角相等。②兩直線平行，內(nèi)錯角相等。③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。【考試題型1】根據(jù)平行線的性質(zhì)進行計算【解題方法】通過圖形找到所求角與已知角的位置關系，在利用平行線的性質(zhì)求解。注意圖中的隱含條件，鄰補角、對頂角、直角、平角以及兩個特殊角的三角板。例題講解：10．（2022春?新城區(qū)校級期中）如圖，將直尺與30°角的三角尺疊放在一起，若∠1＝65°，則∠2的大小是（）A．45° B．55° C．65° D．75°【分析】由30°三角尺可知∠3＝60°，由平角可求∠4，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可知∠2＝∠4．【解答】解：如圖：由30°三角尺可知∠3＝60°，∴∠4＝180°﹣∠1﹣∠3＝180°﹣65°﹣60°＝55°．由平行線的性質(zhì)可知∠2＝∠4＝55°．故選：B．【考試題型2】平行性質(zhì)結合翻折計算【解題方法】在翻折中要注意翻折前后的兩部分是一樣的，線段長度相等，角度大小相等，再結合平行線的性質(zhì)以及圖中的隱含條件解題。例題講解：11．（2022春?黃石期中）如圖，已知長方形紙片ABCD，點E，F(xiàn)在AD邊上，點G，H在BC邊上，分別沿EG，F(xiàn)H折疊，使點D和點A都落在點M處，若α+β＝119°，則∠EMF的度數(shù)為（）A．57° B．58° C．59° D．60°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DEG+∠AFH＝119°，由折疊得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，從而得到∠DEM與∠AFH的和．利用兩個平角求出∠FEM與∠EFM的和，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°即可求出答案．【解答】解：∵長方形ABCD，∴AD∥BC，∴∠DEG＝α，∠AFH＝β，∴∠DEG+∠AFH＝α+β＝119°，由折疊得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，∴∠DEM+∠AFM＝2×119°＝238°，∴∠FEM+∠EFM＝360°﹣238°＝122°，在△EFM中，∠EMF＝180°﹣（∠FEM+∠EFM）＝180°﹣122°＝58°，故選：B．考點六：平行公理及其推論平行公理：過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行。（存在且唯一）平行公理的推論：平行于同一直線的兩直線相互平行。（可以作為判定平行的一種方法）拓展：同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線平行。（也可作判定平行的一種方法）【考試題型1】平行公理及其推論的理解【解題方法】根據(jù)平行公理及其推論的內(nèi)容進行判斷。例題講解：12．（2022春?海淀區(qū)校級期中）下列說法正確的是（）A．a(chǎn)、b、c是直線，若a⊥b，b∥c，則a∥c B．a(chǎn)、b、c是直線，若a⊥b，b⊥c，則a⊥c C．a(chǎn)、b、c是直線，若a∥b，b⊥c，則a∥c D．a(chǎn)、b、c是直線，若a∥b，b∥c，則a∥c【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定逐個判斷即可．【解答】解：A、∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c，故本選項錯誤；B、在同一平面內(nèi)，當a⊥b，b⊥c時，a∥c，故本選項錯誤；C、當a∥b，b⊥c時，a⊥c，故本選項錯誤；D、當a∥b，b∥c時，a∥c，故選項正確；故選：D．考點七：命題與定理命題的定義：判斷一件事情的話語叫做命題。若判斷的事情是正確的則命題是真命題，若判斷的事情是錯誤的則命題是假命題。命題的構成與改寫：命題都是由題設與結論構成。可以改寫成如果...，那么...的形式。如果后面跟題設，那么后面跟結論。定理：有些命題的正確性需要推理論證，這樣的真命題叫做定理。命題的“真”“假”是就命題的內(nèi)容而言．任何一個命題非真即假．要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可。【考試題型1】對命題的判斷【解題方法】結合命題，真命題，假命題的定義判斷。例題講解：13．（2021秋?鹿城區(qū)校級期中）下列句子是命題的是（）A．畫∠AOB＝45° B．小于直角的角是銳角嗎？ C．連結CD D．有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形【分析】根據(jù)命題的定義“判斷一件事情的語句，叫做命題”依次判斷即可．【解答】解：A、畫∠AOB＝45°，沒有對事情做出判斷，故不是命題；B、小于直角的角是銳角嗎？沒有對事情做出判斷，故不是命題；C、連結CD，沒有對事情做出判斷，故不是命題；D、有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，是命題；故選：D．14．（2022春?海淀區(qū)校級期中）下列命題中，真命題的個數(shù)是（）①相等的角是對頂角；②同位角相等；③等角的余角相等；④如果x2＝y(tǒng)2，那么x＝y(tǒng)．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)對頂角、平行線的性質(zhì)、余角的概念、平方根的概念判斷即可．【解答】解：①相等的角不一定是對頂角，故本說法是假命題；②兩直線平行，同位角相等，故本說法是假命題；③等角的余角相等，本說法是真命題；④如果x2＝y(tǒng)2，那么x＝±y，故本說法是假命題；故選：A．【考試題型2】對命題改寫【解題方法】找到命題的題設與結論，然后把命題改寫成如果...，那么...的形式。例題講解：15．（2022春?天河區(qū)校級期中）把命題“等角的余角相等”寫成“如果…，那么…．”的形式為．【分析】把命題的題設寫在如果的后面，把命題的結論部分寫在那么的后面即可．【解答】解：命題“等角的余角相等”寫成“如果…，那么…．”的形式為：如果兩個角為相等的角的余角，那么這兩個相等．故答案為：如果兩個角為相等的角的余角，那么這兩個相等．考點八：平行線的判定平行線的判定方法：①同位角相等，兩直線平行。②內(nèi)錯角相等，兩直線平行。③同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。④平行于同一直線的兩直線平行。⑤垂直于同一直線的兩直線平行。注意：在平行的判定題目中，若用同位角，內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角判定，則一定是這幾種角中不共邊的兩條邊的平行關系。【考試題型1】判定條件的熟悉【解題方法】根據(jù)平行線的判定方法判斷。例題講解：16．（2022秋?香坊區(qū)校級期中）如圖，下列各組條件中，能得到AB∥CD的是（）A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠4 C．∠B＝∠D D．∠1+∠2+∠B＝180°【分析】根據(jù)平行線的判定定理求解即可．【解答】解：∵∠1＝∠3，∴AD∥BC，故A不符合題意；∵∠2＝∠4，∴AB∥CD，故B符合題意；由∠B＝∠D不能判定AB∥CD，故C不符合題意；∵∠1+∠2+∠B＝180°，∴AD∥BC，故D不符合題意；故選：B．【考試題型2】平行線的證明【解題方法】由平行線的判定方法結合圖中的隱含條件進行判定證明。例題講解：17．（2022春?雙流區(qū)校級期中）如圖，點G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，F(xiàn)G平分∠AGC，請說明AE∥GF的理由．解：因為∠BAG+∠AGD＝180°（），∠AGC+∠AGD＝180°（），所以∠BAG＝∠AGC（）．因為EA平分∠BAG，所以∠1＝（）．因為FG平分∠AGC，所以∠2＝，得∠1＝∠2（），所以AE∥GF（）．【分析】根據(jù)鄰補角的定義及題意得出∠BAG＝∠AGC，再根據(jù)角平分線的定義得到∠1＝∠2，即可判定AE∥GF．【解答】解：因為∠BAG+∠AGD＝180°（已知），∠AGC+∠AGD＝180°（鄰補角的定義），所以∠BAG＝∠AGC（同角的補角相等），因為EA平分∠BAG，所以∠1＝∠BAG（角平分線的定義），因為FG平分∠AGC，所以∠2＝∠AGC，得∠1＝∠2（等量代換），所以AE∥GF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．故答案為：已知；鄰補角的定義；同角的補角相等；∠BAG；角平分線的定義；∠AGC；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．考點九：平移平移的定義在平面內(nèi)，把一個圖形整體沿某一的方向移動，這種圖形的平行移動，叫做平移變換，簡稱平移。平移前后的點叫做對應點，平移前后的角叫做對應角，平移前后的邊叫做對應邊。平移要素：平移方向與平移距離是平移要素。平移作圖：具體步驟：①確定平移條件。即平移方向與平移距離。②找出圖中的關鍵點按照平移條件進行平移，得到平移前后的對應點。③將平移后的對應點按照原圖形進行連接。平移的性質(zhì)：①平移前后圖形的形狀大小不變。②對應角相等，對應邊平行且相等。③連接各組對應點的線段平行且相等。同一個圖形進行平移時，所有點的平移方向和平移距離都是一樣的。【考試題型1】判段平移【解題方法】根據(jù)概念，平移前后方向不變，大小不變。例題講解：18．（2022春?禹州市期中）第24屆冬季奧林匹克運動會于2022年2月4日在北京舉行，如圖是冬奧會的吉祥姓名物“冰墩墩”，通過平移“冰墩墩”可以得到的圖形是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)求解即可．【解答】解：通過平移“冰墩墩”可以得到的圖形是故選：C．【考試題型2】利用平移性質(zhì)計算【解題方法】根據(jù)平移的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)進行求解。例題講解：19．（2022春?互助縣期中）如圖，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，將三角形ABC沿直線BC向右平移2cm得到三角形DEF，連接AE，有以下結論：①AD∥BE；②∠B＝∠ADE；③DE⊥AC；④BE＝AD，其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)圖形平移的性質(zhì)對各小題進行解答即可．【解答】解：∵三角形ABC沿直線BC向右平移2cm得到三角形DEF，∴AD∥BE，BE＝AD，故①④正確；∵AD∥BE，BE＝AD，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴∠B＝∠ADE，故②正確；∵∠BAC＝90°，∴∠EDF＝90°，∴ED⊥DF，∵AC∥DF，∴DE⊥AC，故③正確．故選：D．【考試題型3】平移作圖以及計算【解題方法】根據(jù)平移要素進行平移作圖，在根據(jù)平移的性質(zhì)計算。在網(wǎng)格中求三角形的面積時，常用把三角形補成正長方形，然后用長方形的面積減去旁邊的小三角形的面積即可得所求三角形的面積。例題講解：20．（2022春?清城區(qū)校級期中）在平面直角坐標系中，△ABC的位置如圖所示，把△ABC先向左平移2個單位，再向下平移4個單位可以得到△A′B′C′．（1）畫出三角形△A′B′C′，并寫出A′，B′，C′三點的坐標；（2）求△A′B′C′的面積．【分析】（1）首先確定A、B、C三點平移后的位置，然后再連接即可；（2）利用矩形面積減去周圍多余三角形的面積即可．【解答】解：（1）如圖所示：△A′B′C′即為所求，A′（﹣4，﹣2），B′（0，﹣4），C′（1，﹣1）；（2）△A′B′C′的面積：3×5﹣×1×5﹣2×4﹣×1×3＝7．【專題過關】一．對頂角、鄰補角（共2小題）1．（2022春?紅河縣校級期中）如圖，直線AB、CD相交于點O，OA平分∠EOC，∠EOC：∠EOD＝1：2，則∠BOD等于（）A．30° B．36° C．45° D．72°【分析】根據(jù)鄰補角的定義求出∠EOC，再根據(jù)角平分線的定義求出∠AOC，然后根據(jù)對頂角相等解答．【解答】解：∵∠EOC：∠EOD＝1：2，∴∠EOC＝180°×＝60°，∵OA平分∠EOC，∴∠AOC＝∠EOC＝×60°＝30°，∴∠BOD＝∠AOC＝30°．故選：A．2．（2022春?阜平縣期中）如圖，直線AB，CD相交于點O，∠2﹣∠1＝10°，∠3＝135°．則∠2的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．55° D．62.5°【分析】由鄰補角的性質(zhì)得到∠1＝45°，由∠2﹣∠1＝10°，即可求出∠2的度數(shù)．【解答】解：∵∠3＝135°，∴∠1＝180°﹣∠3＝45°，∵∠2﹣∠1＝10°，∴∠2＝∠1+10°＝55°．故選：C．二．垂線（共2小題）3．（2022春?聊城期中）如圖，直線AB，CD相交于點O，OE⊥CD于點O，∠1＝40°，則∠AOC的度數(shù)（）A．50° B．120° C．130° D．140°【分析】利用補角、余角的定義計算即可．【解答】解：∵OE⊥CD，∴∠1+∠BOC＝90°，∵∠1＝40°，∴∠BOC＝90°﹣∠1＝50°，∵∠BOC+∠AOC＝180°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣50°＝130°．故選：C．4．（2022春?羅源縣期中）已知：如圖，直線AB、CD相交于點O，OF⊥AB，垂足為點O，且OF平分∠COE，若∠BOC：∠BOD＝5：1．（1）求∠AOC的度數(shù)；（2）求∠EOF的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)已知∠BOC：∠BOD＝5：1，以及平角定義，進行計算即可解答；（2）根據(jù)垂直定義可得∠BOF＝90°，從而可得∠COF＝∠BOC﹣∠BOF＝60°，然后利用角平分線的定義即可解答．【解答】解：（1）∵∠BOC：∠BOD＝5：1，∠BOC+∠BOD＝180°，∴∠BOD＝180°×＝30°，∠BOC＝180°×＝150°，∴∠AOC＝∠BOD＝30°，∴∠AOC的度數(shù)為30°；（2）∵OF⊥AB，∴∠BOF＝90°，∵∠BOC＝150°，∴∠COF＝∠BOC﹣∠BOF＝60°，∵OF平分∠COE，∴∠COF＝∠EOF＝60°，∴∠EOF的度數(shù)為60°．三．垂線段最短（共2小題）5．（2022春?通城縣期中）如圖，將軍要從村莊A去村外的河邊飲馬，有三條路AB、AC、AD可走，將軍沿著AB路線到的河邊，他這樣做的道理是（）A．兩點之間，線段最短 B．兩點之間，直線最短 C．兩點確定一條直線 D．直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短【分析】根據(jù)垂線段最短即可求解．【解答】解：將軍要從村莊A去村外的河邊飲馬，有三條路可走AB、AC、AD，將軍沿著AB路線到的河邊，他這樣做的道理是垂線段最短．故選：D．6．（2022春?南山區(qū)校級期中）在體育課上某同學跳遠的情況如圖所示，直線l表示起跳線，經(jīng)測量，PB＝3.3米，PC＝3.1米，PD＝3.5米，則該同學的實際立定跳遠成績是米．【分析】根據(jù)垂線段的性質(zhì)：垂線段最短，進行解答即可．【解答】解：∵PC⊥l，∴該同學的實際立定跳遠成績應測量圖中線段CP的長，∴該同學的實際立定跳遠成績?yōu)?.1米，故答案為：3.1．四．點到直線的距離（共2小題）7．（2022春?邛崍市期中）如圖，點P是直線a外的一點，點A、B、C在直線a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，則下列不正確的語句是（）A．線段PB的長是點P到直線a的距離 B．PA、PB、PC三條線段中，PB最短 C．線段AC的長是點A到直線PC的距離 D．線段PC的長是點C到直線PA的距離【分析】利用點到直線的距離的定義、垂線段最短分析．【解答】解：A、根據(jù)點到直線的距離的定義：即點到這一直線的垂線段的長度．故此選項正確；B、根據(jù)垂線段最短可知此選項正確；C、線段AP的長是點A到直線PC的距離，故選項錯誤；D、根據(jù)點到直線的距離即點到這一直線的垂線段的長度．故此選項正確．故選：C．8．（2022春?順德區(qū)校級期中）如圖，在直線l外一點P與直線上各點的連線中，PA＝5，PO＝4，PB＝4.3，OC＝3，則點P到直線l的距離為（）A．3 B．4 C．4.3 D．5【分析】由點到直線的距離概念，即可選擇．【解答】解：∵直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離，∴點P到直線l的距離為垂線段PO的長度，故選：B．五．同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角（共1小題）9．（2022春?舞陽縣期中）如圖，按各組角的位置判斷錯誤的是（）A．∠1與∠4是同旁內(nèi)角 B．∠3與∠4是內(nèi)錯角 C．∠5與∠6是同旁內(nèi)角 D．∠2與∠5是同位角【分析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的定義進行解答即可．【解答】解：A、∠1和∠A是同旁內(nèi)角，說法正確；B、∠3和∠4是內(nèi)錯角，說法正確；C、∠5和∠6不是兩條直線被第三條直線截成的角，說法錯誤；D、∠2和∠5是同位角，說法正確．故選：C．六．平行公理及推論（共2小題）10．（2022春?思明區(qū)校級期中）如圖，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE等于（）A．∠1+∠2 B．∠2﹣∠1 C．180°﹣∠2+∠1 D．180°﹣∠1+∠2【分析】直接利用平行線的性質(zhì)得出∠1＝∠BCD，∠DCE+∠2＝180°，進而得出答案．【解答】解：∵AB∥CD，CD∥EF，∴∠1＝∠BCD，∠DCE+∠2＝180°，∴∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝∠1+180°﹣∠2．故選：C．11．（2022春?陜州區(qū)期中）同一平面內(nèi)有四條直線a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，則c、d的位置關系為（）A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．沒有確定關系【分析】作出圖形，根據(jù)平行公理的推論解答．【解答】解：如圖，∵a∥b，a⊥c，∴c⊥b，又∵b⊥d，∴c∥d．故選：B．七．平行線的判定（共2小題）12．（2022春?東莞市期中）如圖，點E在BC的延長線上，下列條件不能判定AB∥CD的是（）A．∠2＝∠4 B．∠B＝∠5 C．∠5＝∠D D．∠D+∠DAB＝180°【分析】根據(jù)平行線的判定定理“同位角相等，兩直線平行”、“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”、“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”分別進行分析．【解答】解：A、根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可判定AB∥CD，故此選項不合題意；B、根據(jù)同位角相等，兩直線平行可判定AB∥CD，故此選項不合題意；C、根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可判定AD∥CB，無法判定AB∥CD，故此選項符合題意；D、根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行可判定AB∥CD，故此選項不合題意；故選：C．13．（2022春?忠縣校級期中）如圖，點D在AC上，點F、G分別在AC、BC的延長線上，CE平分∠ACB并交BD于H，且∠EHD+∠HBF＝180°．（1）若∠F＝30°，求∠ACB的度數(shù)；（2）若∠F＝∠G，求證：DG∥BF．【分析】（1）由對頂角相等、同旁內(nèi)角互補，兩直線平行判定BF∥EC，則同位角∠ACE＝∠F，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求解；（2）結合已知條件，角平分線的定義，利用等量代換推知同位角∠BCE＝∠G，則易證DG∥BF．【解答】（1）解：∵∠EHD+∠HBF＝180°，∠EHD＝∠BHC，∴∠BHC+∠HBF＝180°，∴BF∥EC，∴∠ACE＝∠F＝30°，又∵CE平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACE＝60°．故∠ACB的度數(shù)為60°；（2）證明：∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE，∵∠ACE＝∠F，∠F＝∠G，∴∠BCE＝∠G，∴DG∥EC，又∵BF∥EC，∴DG∥BF．八．平行線的性質(zhì)（共3小題）14．（2022秋?懷寧縣期中）如圖，直線AB∥CD，∠C＝44°，∠E為直角，則∠1等于（）A．138° B．136° C．134° D．132°【分析】過點E作AB的平行線，將角度進行轉(zhuǎn)換，利用圓周角為360°求出∠1的度數(shù)即可．【解答】解：如圖，過點E作EF∥AB∥CD，∴∠1＝∠AEF，∠C+∠FEC＝180°，∴∠FEC＝180°﹣44°＝136°，∴∠AEF＝360°﹣90°﹣136°＝134°，∴∠1＝134°．故選：C．15．（2022春?蘭山區(qū)期中）如圖，將一張長方形紙片ABCD沿EF折疊，點D，C分別落在點D′，C′處，若∠1＝56°，則∠BFC′的度數(shù)是（）A．56° B．62° C．110° D．124°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到∠1＝∠EGF，∠EGF＝∠BFC′，即可求出答案．【解答】解：根據(jù)題意，如圖：∵AD∥BC，∴∠1＝∠EGF，∵ED∥FC，∴∠EGF＝∠BFC′，∴∠BFC′＝∠1＝56°．故選：A．16．（2022春?盱眙縣期中）將一副三角板如圖1所示擺放，直線GH∥MN，現(xiàn)將三角板ABC繞點A以每秒1°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，同時三角板DEF繞點D以每秒2°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，設時間為t秒，如圖2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若邊BC與三角板的一條直角邊（邊DE，DF）平行時，則所有滿足條件的t的值為．【分析】根據(jù)題意得∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，（1）如圖1，當DE∥BC時，延長AC交MN于點P，分兩種情況討論：①DE在MN上方時，②DE在MN下方時，∠FDP＝2t°﹣180°，列式求解即可；（2）當BC∥DF時，延長AC交MN于點I，①DF在MN上方時，∠FDN＝180°﹣2t°，②DF在MN下方時，∠FDN＝180°﹣2t°，列式求解即可．【解答】解：由題意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，（1）如圖1，當DE∥BC時，延長AC交MN于點P，①DE在MN上方時，∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，∴AP∥DF，∴∠FDM＝∠MPA，∵MN∥GH，∴∠MPA＝∠HAC，∴∠FDM＝∠HAC，即2t°＝t°+30°，∴t＝30，②DE在MN下方時，∠FDP＝2t°﹣180°，∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，∴AP∥DF，∴∠FDP＝∠MPA，∵MN∥GH，∴∠MPA＝∠HAC，∴∠FDP＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°，∴t＝210（不符合題意，舍去），（2）當BC∥DF時，延長AC交MN于點I，①DF在MN上方時，BC∥DF，如圖，根據(jù)題意得：∠FDN＝180°﹣2t°，∵DF∥BC，AC⊥BC，∴CI⊥DF，∴∠FDN+∠MIC＝90°，即180°﹣2t°+t°+30°＝90°，∴t＝120，∴2t＝240°＞180°，此時DF應該在MN下方，不符合題意，舍去；②DF在MN下方時，如圖，根據(jù)題意可知：∠FDN＝2t°﹣180°，∵DF∥BC，∴∠MIC＝∠NDF，∴∠NDF＝∠AQI＝t+30°﹣90°＝t﹣60°，即2t°﹣180°＝t°﹣60°，∴t＝120，綜上所述：所有滿足條件的t的值為30或120．故答案為：30或120．九．平行線的判定與性質(zhì)（共2小題）17．（2022春?思明區(qū)校級期中）如圖，點O在直線AB上，OC⊥OD，∠D與∠1互余．（1）求證：ED∥AB；（2）OF平分∠AOD交DE于點F，若∠OFD＝65°，補全圖形，并求∠1的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)垂直的定義、余角的概念推出∠D＝∠DOB，即可判定ED∥AB；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義求出∠AOD＝2∠AOF＝130°，根據(jù)角的和差即可求解．【解答】（1）證明：∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∴∠1+∠DOB＝90°，∵∠D與∠1互余，∴∠D+∠1＝90°，∴∠D＝∠DOB，∴ED∥AB；（2）解：如圖，∵ED∥AB，∠OFD＝65°，∴∠AOF＝∠OFD＝65°，∵OF平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠AOF＝130°，∵∠COD＝90°，∠AOD＝∠1+∠COD，∴∠1＝40°．18．（2022春?孟村縣期中）如圖，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．（1）試說明：AD∥EF；（2）若DG是∠ADC的平分線，∠2＝142°，求∠B的度數(shù)．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得∠BAD＝∠1，從而可求得∠BAD+∠2＝180°，即可判斷；（2）由題意可求得∠1＝38°，再由角平分線的定義可得∠CDG＝∠1＝38°，再利用平行線的性質(zhì)即可求解．【解答】（1）證明：∵AB∥DG，∴∠BAD＝∠1，∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD+∠2＝180°，∵AD∥EF；（2）解：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝142°，∴∠1＝38°，∵DG是∠ADC的平分線，∴∠CDG＝∠1＝38°，∵AB∥DG，∴∠B＝∠CDG＝38°．十．命題與定理（共2小題）52．（2022春?拱墅區(qū)校級期中）下列命題中，真命題是（）A．相等的角是對頂角 B．在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行 C．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等 D．同旁內(nèi)角互補【分析】利用對頂角的定義、平行線的判定與性質(zhì)等知識分別判斷后即可確定正確的選項．【解答】解：A、相等的角不一定是對頂角，故錯誤，是假命題，不符合題意；B、在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行，正確，是真命題，符合題意；C、兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，故錯誤，是假命題，不符合題意；D、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，故錯誤，是假命題，不符合題意．故選：B．（2022秋?西峽縣期中）把命題“全等三角形的對應角相等”改寫成“如果…，那么…”的形式．．【分析】任何一個命題都可以寫成“如果…那么…”的形式，如果是條件，那么是結論．【解答】解：∵原命題的條件是：兩個三角形是全等三角形，結論是：對應角相等，∴命題“全等三角形的對應角相等”改寫成“如果…，那么…”的形式是如果兩個三角形是全等三角形，那么它們的對應角相等，故答案為：如果兩個三角形是全等三角形，那么它們的對應角相等．十一．生活中的平移現(xiàn)象（共2小題）54．（2022春?璧山區(qū)期中）今年4月，被稱為“豬兒蟲”的璧山云巴正式運行．云巴在軌道上運行可以看作是（）A．對稱 B．旋轉(zhuǎn) C．平移 D．跳躍【分析】根據(jù)平移與旋轉(zhuǎn)定義判斷即可．【解答】解：云巴在軌道上運行可以看作是數(shù)學上的平移．故選：C．55．（2022春?鹿邑縣期中）如圖，直角三角形ABC的周長為22，在其內(nèi)部有5個小直角三角形，這5個小直角三角形都有一條邊與BC平行，則這5個小直角三角形的周長為（）A．11 B．22 C．33 D．44【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)以及平移的性質(zhì)解決此題．【解答】解：由題意可知，這5個小直角三角形的周長與大的直角三角形ABC的周長相等．∴這5個小直角三角形的